福师《初等数论》期末复习题
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
初等数论试题(练习题)
《初等数论》选修结业试题班级 姓名； 考籍号；一、单项选择题(每题5分，共30分) 1、=),0(b （ ）. A b Bb- CbD 02、如果a b ，b a ，则( ). Aba = Bba -= Cba ≤ Dba ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 Dba +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 二、计算题（每题10分，共30分） 1、 求24871与3468的最大公因数?2、 求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题（每题10分，共40分） 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.答案一、单项选择题C D C A C A 二、计算题 3、求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+17 85=17⨯5,所以,(24871,3468)=17. 4、求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题 5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,br '≤0.所以rbq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于br ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r'=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()bq a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,br ≤0.6、证明对于任意整数n ,数62332nnn ++是整数.证明： 因为62332nnn ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332nnn ++是整数.7、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 8、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.。
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称单价作者版本出版社初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1、求所有正约数的和等于15的最小正数为考核知识点：约数，参见P14-192、若b1,b2,L L,b11是模11的一个完全剩余系，则8b1+1,8b2+1,L L,8b11+1也是模11的剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为考核知识点：倍数，参见P11-13p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者5、如果考核知识点：整除，参见P1-4a,b的公倍数是它们最小公倍数的.6、提示:要证明原式成立，只须证明 3 a + a +1，或者 3 a + a 成立即可。
四、（10％）设 p 是不小于 5 的素数，试证明 p ≡ 1(mod 24)考核知识点：最小公倍数，参见 P11-137、如果 a , b 是两个正整数,则存在 整数q , r ,使 a = bq + r , 0 ≤ r p b .考核知识点：整除，参见 P1-48、如果 3 n ， 5 n ，则 15（ ） n .考核知识点：整除，参见 P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里 n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见 P9-12提示： i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定 a 是任意整数，求证 a 2+ a + 1 ≡ 0(mod 3 ) 或a 2+ a ≡ 0(mod 3 )考核知识点：二次同余式，参见 P882 22 考核知识点：同余的性质，参见 P48-52提示： 且 是不小于 5 的素数． 又 且 是不小于 5 的素数．⎩14 x ≡ 2(mod 8)⎪⎩ x ≡ 3(mod 8) ⎪⎩如果 n = x + y , 所以 x , y 只能与 0,1 同余,所以 x + y ≡ 0,1, 2(mod 4)只能是奇数且即 即五、(15%)解同余式组 ⎧5 x ≡ 1(mod 7) ⎨考核知识点：同余式，参见 P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2∴ 14x≡2(mod8) 有且仅有二个解 解 7x≡1(mod4) ⇒ x≡3 (mod4) ∴ 6x≡10(mod8)的解为x≡3，3+4(mod8)⎧⎪x ≡ 3(mod 7) 原同余式组等价于 ⎨ ⎧⎪x ≡ 3(mod 7)或 ⎨x ≡ 7 (mod 8)分别解出两个解即可。
《初等数论》期期末复习资料
《初等数论》期期末复习资料一、单项选择题1、如果n 2，n 15，则30（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 2、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 3、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 95、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 7、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解 8、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 9、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 911、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解13、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 14、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 15、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 16、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 17、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ Bb a =C ac T )(m od m bcD b a ≠19、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠20、=),0(b （ ）. A b Bb -C bD 021、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a BbC 1D b a +22、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 三、计算题1、 求50!中2的最高次幂.2、令 =-1859， =1573，求( )=?3、 求525与231的最大公因子?4、解同余式)321(m od 75111≡x .5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、 解不定方程525x+231y=42.8、 求7x+4y=100的一切整数解. 9、 求-15x+25y=-100的一切整数解. 10、 求9x+24y-5z=1000的一切整数解。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) .
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )恰有一个解 .
一次同余方程有解的判定
定理3.1.3 设m为正整数， a, b是整数， (a, m)=d，则同
余方程 ax≡b (mod m) 有解的充分必要条件为 d | b.
定理3. 1. 4 设m为正整数, a为整数, (a, m)=d，
d | b，则同余方程 ax ≡ b (mod m) 恰有 d 个解．
变形(1)：加上或减去模的倍数，推广的加减变形，
即 a≡b+mk (mod m); 变形(2)：移项变形， 由 a≡b+c(mod m) 可得 a－c≡b(mod m); 变形(3)：约去同余式两端的公约数，约简变形，
2015年5月8日9时1分
简化剩余系的充要条件
定理2.2 7 整数集合 {a1 , a2 , , a ( m) }为模m的 简化剩余系的充要条件是： ( i ) (ai, m) =1 ( 1≤i ≤ϕ (m) ); ( ii ) 各数关于模m两两不同余．
2015年5月8日9时1分
定理 2.2.8 若( a，m ) = 1 , x 通过模 m 的简化 剩余系，则 ax 也通过模 m 的简化剩余系。
2015年5月8日9时1分
பைடு நூலகம்
利用同余解答整除问题
初等数论复习题
初等数论复习题初等数论复习题在数学的世界里，数论是一门研究整数性质和整数间关系的学科。
它是数学的基础，也是其他数学领域的重要组成部分。
初等数论是数论的基础，它涉及到整数的性质、整数的整除关系、素数、最大公约数等等。
在这篇文章中，我们将回顾一些初等数论的重要概念和复习题。
1. 整数的性质整数是自然数、负整数和零的集合。
整数有很多独特的性质，比如整数的加法和乘法运算满足结合律、交换律和分配律等。
此外，整数还有奇偶性的区分，每个整数都可以分为奇数或偶数。
复习题1：证明任意两个奇数的和是偶数。
解答：设两个奇数分别为2n+1和2m+1，其中n和m为整数。
它们的和为：(2n+1) + (2m+1) = 2n + 2m + 2 = 2(n+m+1)。
由于n和m都是整数，所以n+m+1也是整数，因此2(n+m+1)为偶数。
所以任意两个奇数的和是偶数。
2. 整除关系在数论中，整除是一个重要的概念。
如果一个整数a可以被另一个整数b整除，我们称a是b的倍数，b是a的约数。
如果a能被b整除，我们可以用符号b|a 来表示。
复习题2：证明如果a|b且b|c，则a|c。
解答：根据整除的定义，如果a|b，则存在整数k，使得b=ak。
同样地，如果b|c，则存在整数m，使得c=bm。
将b的表达式代入c的表达式中，得到：c = bm = (ak)m = a(km)。
由于km是一个整数，所以a|c。
3. 素数素数是只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中起着重要的作用，它们是整数的基本构成单元。
素数有许多有趣的性质，比如素数的个数是无穷的。
复习题3：列举前10个素数。
解答：前10个素数依次为2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（GCD）是两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的整数。
最小公倍数（LCM）是两个或多个整数中最小的能够同时被它们整除的整数。
复习题4：求出24和36的最大公约数和最小公倍数。
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷(B)一，选择题（满分15分，每题3分）1，下列不正确的是（ ）A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。
B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(mo d 2121m b b a a ≡。
D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。
2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）A 203，B 607，C 51，D 10019。
4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）A )5(mod 0≡x ，B )5(mod 4≡x ，C )5(mod 2≡x ，D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（ ）A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)6(mod 1)9(mod 4x xC ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。
二，填空题（满分10分，每题2分）1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。
2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。
3，=)16(ϕ 。
4，写出模8的一个简化剩余系： 。
5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。
三，判断题（满分10分，每题2分 ）1，)(m ϕ为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ϕ。
（ ）2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ϕ为模m 的一个简化剩余系，则{})(21,......,,m aa aa aa ϕ也为模m 的一个简化剩余系。
初等数论期末复习
初等数论期末复习数论教案§1整数的整除带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中⼩学数学⾥,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较⼤时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ?a.例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,⼀定可被2整除. 练习证明任意3个连续整数的乘积,⼀定可被3整除. 2.带余除法设a,b 是整数,且b>0,那么有唯⼀⼀对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这⾥q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可⽤计算器进⾏.具体操作:输⼊a-按mod(取余)键-输⼊b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ?a.例3 利⽤计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,⽽且222a b n -=,证明n 是偶数. 例5设a 是任⼀奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平⽅数.证明对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a=92即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平⽅数.练习设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平⽅数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最⼤公因数 1.最⼤公因数、辗转相除法中⼩学⾥的公因数、最⼤公因数的概念：⼏个数的公有因数叫做这⼏个数的公因数.公因数中最⼤的整数称为这⼏个数的最⼤公因数. (1)⼏个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最⼤公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最⼤的整数称为最⼤公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则称12,,,n a a a L 互质。
初等数论试题库
初等数论试题库初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。
A. 奇数 B. 偶数 C. 奇数或偶数 D. 由n奇偶性而定32. 1998除以9后的余数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。
A. 0，1，2，3，…8，9 B. 1，2，3，…9，10 C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×532×223C. 2×3×5 D. 2×2×3×5×5×5 5. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（） A. 2 B. 3C. 4D. 无数 7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。
A. xyz=9 B.5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac?bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a?b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( ) A. a奇b偶 B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数能被11整除，则A是( ) 123A5A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( ) A. 2 B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕?〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( ) 1 D.m+n=0 A.m－n=3B.m+2n=5 217.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) C.2m+n=A.c|aB.c|b22 C.c|a－b D.c|a－b 18.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数 19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1m,1mm1,m C.,1,,...,－1,0,1,... D.,,...,－1,0,1, (2222)20.下列不属于二元二次不定方程的是( )22 A.xy=5 B.x+y=161y22 C.2x4x，,+y=8 D. 3421.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。
福建师范大学《初等数论》考试大纲
《初等数论》考试大纲一、单项选择题1、设a ，b ，c 是正整数，则（ A ） A. ),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a = B. [,,](,,)[,][,][,](,)(,)(,)a b c a b c a b b c c a a b b c c a = C. 22,,[,,][,][,][,](,)(,)(,)a b c a b c a b b c c a a b b c c a =（）D. [,][,][,](,)(,)(,)a b b c c a a b b c c a =2、设k 是正奇数，则（ B ）A. 1 + 2 + + 8∣1k + 2k + + 8kB. 1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9kC. 1 + 2 + + 7∣1k + 2k + + 7kD. 1 + 2 + + 5∣1k + 2k + + 5k3、用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)，则（ C ）A. 625,73x y ==B. 73,62x y ==C. 73,625x y ==D. 73,25x y ==4、=（258,516,1032）（ D ）A. 774B.516C.1032D.2585、两整数,a b 互质的充分与必要条件是（ A ）A.存在两个整数s ，t 满足条件+=1as btB.对任意两个整数s ，t 满足条件+=1as btC.存在两个正整数s ，t 满足条件+=1as btD.对任意两个正整数s ，t 满足条件+=1as bt6、设0,0m n >>，且m 是奇数，则（ B ）A.+=(2,21)1m nB.(21,21)1m n -+=.C.-=(21,2)1m nD. =(2,2)1m n7、若p 是素数，且p 不能整除a ，|p ab ，则( C )A. |b pB. |a pC.|p bD. |ab p8、若2n - 1是素数，则n 是（ D ）A. 3n >B.3n ≤C.合数D.素数9、以下结论正确的是（ A ）A. [][][][{}{}]x y x y x y +=+++B. +=+[][][]x y x yC.={+}{}+{}x y x yD. -+=[][]0x x10、设,x y 都是实数，则（ B ）A.[2][2][][][]x y x x y y +≤+++B.[2][2][][][]x y x x y y +≥+++C. [2][2]=[][][]x y x x y y ++++D. -+={}{}0x x11、313159被7除的余数等于（ C ）A. 4B.5C. 6D.712、设()f x 是整系数多项式，且(1),(2),,()f f f m 都不能被m 整除，则（ D ）A. 方程()0f x =只有零解B. 方程()0f x =有正整数解C. 方程()0f x =有负整数解D.方程()0f x =没有整数解13、777n =的个位数字是（ A ）A.3B.4C.5D.614、如果今天是星期一，问从今天起再过101010天是星期几？（ B ）A. 星期四B. 星期五C. 星期三D. 星期二15、甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生每人分到相同数量的铅笔x ，乙班学生每人也分到相同数量的铅笔y ，则（ C ）A. x=4,y=8B. x=4,y=4C. x=8,y=4D. x=8,y=816、设正整数n 的十进制表示为10k n a a a =，其中09,0,0i k a i k a ≤≤≤≤≠，且110()k k S n a a a a -=++++，则（ A ）A. 9|n 的充分必要条件是9|()S nB.9|n 的充分必要条件是n |9C. 9|n 的充分必要条件是9|2nD. n |9的充分必要条件是()|9S n17、若n 是奇数，则（ B ）A. 28|(+1)nB.28|(1)n -C. 28|nD. 2(1)|8n -18、设n ，k 是正整数，则（ C ）A. n k 与n k + 3的个位数字相同B. n k 与n k + 2的个位数字相同C.n k 与n k + 4的个位数字相同D. n k 与n k +14的个位数字相同19、以下结论正确的是（ A ）A.对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立B. 对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2都成立C. 对于某些整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2能够成立D. 对于某些正整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2能够成立20、以下结论正确的是（ B ）A. 3不能整除++(1)(21)n n n ，n ∈ZB. 12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈ZC. 若3∣a 2 + b 2，则3不能整除aD. 若3∣a 2 + b 2，则3不能整除b21、以下结论正确的是（ C ）A. 设r 是正奇数，则对任意的正整数n ，2n +都能整除(12)r r r n +++B. 设r 是正奇数，则对某些正整数n ，2n +能整除(12)r r r n +++C.整数5001001个能被1001整除D. 若,a b 是二个连续的正奇数时，则a b +不能整除a b a b +22、设0,|a a b >，则（ D ）A. (,)b a b =B. (,)2a b a =C. (,)a b ab =D.(,)a b a =23、若|,1,2,,i d a i k =，则（ B ）A. 122|(,,,)k d a a a B.12|(,,,)k d a a a C. 123|(,,,)k d a a a D. 124|(,,,)k d a a a24、设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，则（ A ）A. 17∣9x + 5yB. 17∣2xC. 17∣3yD. 17∣9x25、设n 为正整数，则（ C ）A. (!,(1)!1)1n n ++=B. (!1,(1)!)1n n ++=C. (!1,(1)!1)1n n +++=D. (!,(1)!)1n n +=26、以下结论正确的是（ A ）A. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 有相同的最大公约数 B. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 的最大公约数不相等C. 12,,,n a a a 与12||,||,,||n a a a 的最小公倍数不相等D.设m 是12,,,n a a a 的任意一个公倍数，则12|[,,,]n m a a a27、设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，则（ B ）A. b ∣aB.a ∣bC. a ∣cD. c ∣a28、设a ，b 是正整数，则（ C ）A. (a + b )[a , b ] =b [b , a + b ]B. (a + b )[a , b ] = a [b , a - b ]C. (a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]D. (a - b )[a , b ] = a [b , a - b ]29、设a ，b 是正整数，且a < b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144，则（ D ）A. 72,48a b ==B. 46,74a b ==C. 44,76a b ==D. 48,72a b ==30、设,,a b c 为正整数，则（ A ）A.[,,](,,)a b c ab bc ca abc =B. [,,](,,)a b c a b c abc =C.,,[,,]a b c ab bc ca abc =（） D. ,,[2,2,2]2a b c a b c abc =（） 二、简述模m 的完全剩余系的特征，并给出模m 的完全剩余系的一个充分必要条件，其中m 为正整数解：（1）由带余数除法知道，对于给定的正整数m ，可将所有整数按照被m 除的余数分成m类，其中每一类都称为模m 的剩余类.从模m 的每一个剩余类中任取一个数组成一个集合，则称该集合是模m 的一个完全剩余系（或简称为完全系）.（2）同一剩余类中的任何两个整数关于模m 互相同余，不同剩余类中的任何两个整数关于模m 互不同余.（3） 整数集合M 是模m 的完全剩余系的充分必要条件是M 中含有m 个整数，而且M 中任何两个整数对模m 互不同余.三、叙述不定方程的定义，并简述n 元一次不定方程的一般解的求法.解：（1）不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且其解的取值范围受到某些限制（如整数、正整数和有理数等）的方程（组）．（2）n 元一次不定方程一般解的求法如下：首先，判断n 元一次不定方程是否有解，若有解，根据定理3．2．2将其化归为n-1个二元一次不定方程；再求出每一个二元一次不定方程的解的一般形式，从结果中消去参数，即得原n 元一次不定方程的解.四、叙述最大公因数和最小公倍数的定义，并简述二者的联系.解：（1）几个整数的公共因数称为公因数. 不全为零的几个整数的公因数中最大的一个，称为最大公因数（或最大公约数）（2）几个非零整数的公共倍数称为公倍数. 几个非零整数的正公倍数中最小的一个叫做最小公倍数（3）对任意非零整数a ，b ，有(),,ab a b a b ⎡⎤=⎣⎦，或者⎡⎤=⎣⎦,/(,)a b ab a b ，这说明两个非零整数的最小公倍数的问题实质上可化归为它们的最大公因数的问题.五、简述欧拉定理和Wilson 定理的证明过程中蕴涵的数学思想方法.解：（1）欧拉定理的证明过程蕴涵了整体化思想. 整体化思想就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径.（2）Wilson 定理的证明过程蕴涵了配对思想. 配对思想就是将整体对象中满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题.（3）配对思想方法实质上是通过对把局部补成整体的一种方法. 因此，也可以说配对思想是整体化思想的一种变形.（温馨提示：照抄答案，没有加入自己的答案，一律不给分。
《初等数论》期末模拟试题
证明：∵ n 2 p 1 为素数，由威尔逊定理 (n 1)!1 0(mod n) ， 即有
(n 1)!1 (n 1)(n 2) 3 2 1 1 (n 1) 2 (n 2) p(n p) 1(mod n)
∴ n 为素数。
18、
18、（10 分）证明： (a b) p ap bp(mod p)
证明：由费尔马小定理知对一切整数有： ap a( p), bp b( p)
只供学习与交流
资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除
由同余性质知有： ap bp a b( p)
又由费尔马小定理有 (a b) p a b( p) ap bp(mod p)
5、（15 分）设 p、q 是两个大于3
是两个大于 3 的质数，证明：
3,8) = 1，
证明：因为24
证明：因为24 = 3 × 8，(3,8)
。
≡ ()
(mod3)，p2 ≡ q2 (mod8)同时成立。
(mod8)同时成立。
∴ 只需证明p
只需证明p2 ≡ q2 (mod3)，
故 b1 ka .因此 m aka ab1t
反过来，当 t 为任一整数时，
ab
t ，其中 t 满足等式 k a b1t .
( a, b)
ab
t 为 a , b 的一个公倍数，
(a, b)
故上式可以表示 a , b 的一切公倍数.
的一切公倍数.
令 t 1 ，即得到最小的正数，故得证 a , b
证明：由题设可知， mi mi 1 , i 2,3,L , n 1, 且 a1 m2 , ai mi , i 2,3,L , n , ，
初等数论期末复习题
一、填空1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。
2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。
3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{5. 写出标准分解式(1)!20= .(2)30!=(3)32!= .6. !20中质因数2的指数是 。
在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。
7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。
8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。
9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：(1) (自反性) ；(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；(3) （传递性） 。
10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .11. 欧拉函数2(7)ϕ= ， =)10(ϕ ，=)37(ϕ ，=)120(ϕ 。
12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。
13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .14. 写出82798848的标准分解式 。
15. 写出51480的标准分解式 。
二、判断1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d md b d a =。
（） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ϕ。
（ ）3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。
（ ）4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。
最新福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-46、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数，参见P11-137、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52提示： 且是不小于5的素数．又 且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
《初等数论》复习思考题及参考答案
《初等数论》复习思考题及参考答案一、填空题1、16除-81的商是 -6 ，余数是 15 。
2、{-3.3} = 0.7 ；[-5.68] = -6 。
3、12!的标准分解式为 210⨯35⨯52⨯7⨯11 。
4、（1516，600）= 4 。
5、8270的标准分解式是 2⨯5⨯827 。
6、不定方程ax + by = c (其中a ，b ，c 是整数)有整数解的充要条件是 (a ，b )|c 。
7、模5的最小非负完全剩余系是 0，1，2，3，4 。
8、模6的绝对最小完全剩余系是 -3，-2，-1，0，1，2 。
9、3406的十进位表示中的个位数字是 9 。
10、7100被11除的余数是 1 。
11、ϕ(480) = 128 。
二、选择题1、417被-15除的带余除法表达式是（ D ）。
A 417 = (-15)⨯(-30)-33B 417 = (-15)⨯(-26)+27C 417 = (-15)⨯(-28)+(-3)D 417 = (-15)⨯(-27)+122、设n ，m 为整数，如果n 3，m 3，则9（ A ）nm 。
A 整除B 不整除C 等于D 小于3、整数6的正约数的个数是（ D ）。
A 1B 2C 3D 44、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则( A )。
A )(mod m bc ac ≡B bc ac =C ac ≢)(mod m bcD bc ac ≠5、如果( A )，则不定方程c by ax =+有解。
A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( B )整除。
A 3B 3与9C 9D 3或97、大于20且小于40的素数有（ A ）。
A 4个B 5个C 6个D 7个8、模4的最小非负完全剩余系是( D )。
A -2,-1,0,1B -4,-3,-2,-1C 1,2,3,4D 0,1,2,39、整数637693能被( C )整除。
(完整版)初等数论练习题二(含答案)
《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、 同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、 如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、 在176与545之间有（）是13的倍数.10、 如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（ ）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、 如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 （）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（ ）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论 期末复习
题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。
初等数论练习题二(含答案)
四、证明题
1、证明对于任意整数,数是整数. (10分)
证明 因为==,
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1,
所以从和有,
即是整数.
பைடு நூலகம்
-----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为,
所以只需证明. 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成, 所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
三、计算题 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、求,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=? 6、求解不定方程. 7、解同余式. 8、求17的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
《初等数论》期末练习一
一、单项选择题 1、如果，，则( ). A BCD 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A BCD 5、如果( ),则不定方程有解. ABCD 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果，，则30（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 8、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9、模5的最小非负完全剩余系是( ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被( )整除. A3 B5 C7 D9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(单选题)1.如果b|a，a|b，则（）
A: a=b
B: a=-b
C: a < b
D: a=±b
正确答案: D
(单选题)2.如果b|a，a|c，则（）
A: b=c
B: b=-c
C: b|c
D: c|b
正确答案: C
(单选题)3.下列关于质数、合数的说法，正确的是（）A: 两个质数之和一定是质数
B: 质数一定是奇数
C: 两个合数之和一定是合数
D: 两个质数之积一定是合数
正确答案: D
(单选题)4.所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个A: 20
B: 21
C: 22
D: 23
正确答案: C
(单选题)5.1050与858的最大公因数是（）
A: 2
B: 3
C: 6
D: 12
正确答案: C
(单选题)6.（1/5）=（）
A: -1
B: 0
C: 1
D: 2
正确答案: C
(单选题)7.下列说法错误的是（）
A: 101是合数
B: 素数有无限多个
C: 奇数一定能表示为两平方数之差
D: 两个连续自然数互质
正确答案: A
(单选题)8.如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）
A: 奇数
B: 偶数
C: 奇数或偶数
D: 由n的奇偶性而定
正确答案: B
(单选题)9.适合同余式3x≡6(mod18)的x的整数值是（）A: 2+6t,t为任意整数
B: 3+2t,t为任意整数
C: 2+3t,t为任意整数
D: 6+2t,t为任意整数
正确答案: A
(单选题)10.能被4,5,7整除的最小的正整数是（）. A: 120
B: 130
C: 140
D: 150
正确答案: C
(单选题)11.417被-15除的带余除法表达式是（）
A: 417 = (-15)(-30)-33
B: 417 = (-15)(-26)+27
C: 417 = (-15)(-28)+(-3)
D: 417 = (-15)(-27)+12
正确答案: D。