高中数学 第14课时 几个著名的不等式 平均不等式教案 新人教A版选修4-5

第14课时 几个著名的不等式之三：平均不等式

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）

证明：222)(2b a ab b a -=-+

⇒⎭

⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,

强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+

即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2

注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）

证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++

)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=

))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=

])()())[((2

1222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++

指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33

abc c b a ≥++。（当且仅当c b a ==时取“=”）

证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++ ⇒33abc c b a ≥++

⇒33

abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：

①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n

a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；

②．基本不等式： n

a a a n +++ 21≥n n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③．ab b a ≥+2

的几何解释： 以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD ’⊥AB 则ab CB CA CD =⋅=2， 从而ab CD =，而半径ab CD b a =≥+2

。 二、典型例题： 例1、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222。

证：∵ab b a 222>+ bc c b 222>= ca a c 22

2>+

以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++

∴ca bc ab c b a ++>++222

例2、设c b a ,,为正数，求证：abc c bc ac ab b a ab 16))(1(2≥++++++。

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1、若+

∈=+R b a b a ,,1 求证2

25)1()1(22≥+++b b a a 证：由幂平均不等式：2

)11()1()1(2

22b b a a b b a a +++≥+++ 2252)23(2)3(2)1(22

2=+≥++=++++=b a a b b b a a b a