高中数学第1部分第二章2-12-1-2函数的表示方法课件新人教B版必修

解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1].
[例 2] 的解析式；
(1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝9x＋4，求 f(x)
自变量的值所对应的函数值 出来
(2)理解分段函数应注意的问题
①分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”
的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区
间的端点需不重不漏．
②求分段函数的函数值时，自变量的取Hale Waihona Puke Baidu属于哪
一段，就用哪一段的解析式．
③研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，
尤其是作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画 出来，从而得到整个函数的图象．
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式．
[思路点拨]
(1)可设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 再根据题设列方程
组，求待定系数 k，b. (2)在 “x ＋ 2 x” 中凑出“ x＋ 1” 或将 “ x ＋ 1” 整体换 元来求解．
[精解详析]
(1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，
它只能表示自变量可以
一一列出的函数关系
只能近似地求出自变量
的值所对应的函数值， 而且有时误差较大
图象法
表示 方法
优点
缺点
一是简明、全面地概括了变 不够形象、直观、 解 析 法 量间的关系，从“数”的方 具体，而且并不 面揭示了函数关系；二是可 是所有的函数都 以通过解析式求出任意一个 能用解析法表示
y/分 50 40 30 20 10
0
(2)该函数关系用图象法表示，如图．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．
(1)函数的三种表示方法的优缺点比 表示方法 优点 不需要计算就可以直 列表法 接看出与自变量的值 相对应的函数值 能形象直观地表示出 函数的变化情况 缺点
[例4]
(12分)某市市内电话收费方法为：3分钟内(含3分钟)
收0.2元，以后每加1分钟(不足1分钟按1分钟计)加收0.1元．
(1)求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)试画出0<t≤6时函数的图象．
[思路点拨]
利用分段函数表示y与t之间的关系．
[精解详析]
(1)根据题意和， 3 分钟内(含 3 分钟)收 0.2 元， (2 分) (3 分) (5 分)
接起来．
1．下列图形是函数y＝－|x|x∈[－2,2]的图象的是 (
)
－x，0≤x≤2， 解析：y＝－|x|＝ x，－2≤x<0.
注意端点的取舍．
答案：B
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)； (3)y＝，x∈[2，＋∞)． 解：(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝2时，y＝5. 所画图象如图（ 1 ）所示．
问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系． 提示： 铅笔数x/支 钱数y/元 1 0.5 2 1 3 1.5 4 2 5 2.5
问题4：试用图象表示x与y之间的关系． 提示：
函数的表示法
(1)列表法 通过列出 自变量 与 对应函数值 的表来表示函数关系 的方法叫做列表法． (2)图象法 用“ 图形 ”表示函数的方法叫做图象法．
以后每加 1 分钟加收 0.1 元， ∴当 0<t≤3 时，y＝0.2； 当 t>3 时，y＝0.2＋0.1([t＋1]－3)．
0.2，0<t≤3， y＝ 0.2＋0.1[t＋1]－3，t>3.
故

(6 分)
(2)由(1)知，当0<t≤3时，图象为平行于x轴的线段(不包括 左端点)；当3<t≤6时，图象为三条线段(不包含左端点)，如图.
6．已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)．
解： 在原式中以－x 替换 x， 得 af(－x)＋f(x)＝－bx，
afx＋f－x＝bx， 于是得 af－x＋fx＝－bx.
bx 消去 f(－x)，得 f(x)＝ . a－1 b 故 f(x)的解析式为 f(x)＝ x. a－ 1
若 f(a)＝a，则实数 a 的值
a 解析：当 a≥0 时，f(a)＝ －1＝a，得 a＝－2(舍去). 2 1 当 a<0 时，f(a)＝a＝a，a＝± 1，a＝1 不满足 a<0 舍去．
答案：－1
9.根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析式．
解：当 0≤x<1 时， f(x)＝2x； 当 1≤x<2 时，f(x)＝2； 当 x≥2 时，f(x)＝3. 2x， 0≤x<1， 故 f(x)＝2， 1≤x<2， 3， x≥2.
7． 设函数 A．15
2 x ， f(x)＝ x－1，
x<1， 则 f[f(－4)]的值为( x≥1， B．16 D．－15
)
C．－5
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15. 答案：A
1 2x－1，x≥0， 8．设函数 f(x)＝ 1，x<0. x 是________．
[思路点拨] 列表 → 描点 → 用平滑的线连成图象
→ 观察图象求值域
[精解详析] x∈Z 表示为：
x (1)用列表法可将函数 y＝ ＋1，x∈[1,5]， 2
x y
1 3 2
2 2
3 5 2
4 3
5 7 2
图象如图．
3 5 7 值域为{ ，2， ，3， }． 2 2 2
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]． 图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图所示．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[一点通]
作函数图象的三个步骤：
(1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来；
(3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连
则 f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
2 k ＝9， ∴ kb＋b＝4.
解得 k＝3，b＝1 或 k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1 或 f(x)＝－3x－2.
(2)法一(配凑法)： ∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二(换元法)： 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
[例 3]
x2， x>0， 已知函数 f(x)＝1， x＝0， 0， x<0.
分别求 f(1)， f(－3)，
f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
[思路点拨]
对于分段函数求值问题，应先看清自变量
的值所在的区间，再代入相应的解析式求解．
[精解详析]
f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，
(3)解析法(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用 代数式(或解析式)
来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公
式法)
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的
按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点 站和终点站)有11个汽车站． 问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票
价y（元）有函数关系吗？
提示：有函数关系．
问题 2：函数的表达式是什么？
2， 提示：y＝ 3，
0＜x≤5， 5＜x≤10.
问题3：x与y之间有何特点？ 提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不 同．
分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的 不同取值区间 ，有 着 不同的对应法则 ，这样的函数通常叫做分段函数．
4．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝________.
k 解析：设反比例函数 f(x)＝x(k≠0)， k 则 f(3)＝ ＝－6，解得 k＝－18. 3 18 ∴f(x)＝－ x .
18 答案：－ x
5．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解：设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
[一点通] (1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取 值在哪个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求 函数值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分 类讨论，逐段用不同的函数解析式求解，求解最后检验所 求结果是否适合条件．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3. 当x＝0时，y＝0. 当x＝1时，y＝－1. 当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．
(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．
3．已知
2 x ， f(x)＝ 1，
－1≤x≤1， x＞1或x＜－1.
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[一点通]
求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求 解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)， 通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析 式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t， 反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．
第 二 章
2.1.2
理解教材新知
知识点一 知识点二 考点一
2. 1
函 数
函 数
函 数 的 表 示 方 法
把握热点考向
考点二 考点三 考点四
应用创新演练
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价 格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系． 问题1：该函数的定义域是什么？ 提示：{1,2,3,4,5}． 问题2：y与x满足的关系式是什么？ 提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
(1)函数的常用表示法有三种：解析法、图象法和列 表法.各自有不同的适用范围，在表示函数时，要视不同 情况灵活选用表示方法． (2) 分段函数是一个整体，不要因为每一部分自变量 和解析式不同而把它当成多个函数．
[例 1]
作出下列函数的图象并求出其值域．
x (1)y＝ ＋1，x∈{1,2,3,4,5}； 2 (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
(12分)
[一点通]
对于此类问题，要根据题目的特点选择表示
方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先 找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后
写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考
虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．
10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分， 每答错1道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图 象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数 x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系． 解：(1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5