第七章 晶体结构的点阵理论

平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图

形复原的操作。
点阵:按连接任意两点的向量进行平移后能复原的一

组点叫点阵。
构成点阵的条件：①点阵点数无穷大； ②每个点阵点周围具有相同的环 境； ③平移后能复原。

1、直线点阵（一维点阵）
在直线上等距离排列的点——直线点阵。 由聚乙炔、直线排列的等径圆球可以抽取出直线点阵。 · · · · · ·

六、几个计算公式
1、两原子间距离（键长） p1-p2=|p1p2|=|(x2-x1)a+(y2-y1)b+(z2-z1)c| 当       90 时：

p1  p2  [(x2  x1 ) 2 a 2  ( y2  y1 ) 2 b2  ( z2  z1 ) 2 c 2 ]1/ 2
 Tm

Tm  ma(m  0, 1, 2 )
对向量的加法构成一个群—平移群。

此外，NaCl晶体中沿某晶棱方向排列的一 列离子，石墨晶体中的一列原子均可抽取出 直线点阵。

2、平面点阵 将晶体结构中某一平面上周期性重复排列的 结构基元抽象成点可得平面点阵。 例如：NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子， 石墨晶体中的一层碳原子。将平面点阵点用直线 连接起来得到平面格子（P208图7.3）。平面格子 由一些平面四边形（平面点阵单位）无隙并臵排 列而成。平行四边形顶点处的点阵点被4个相邻格 子所共用，每个单位分摊1/4个，棱上的点被两个 格共用，每个格子分摊1/2个。

3、空间点阵（三维点阵）

所有点阵点分布在三维空间上平移群。
P208图7.4。

4、正当单位（正当格子）
对平面点阵按选择的素向量和用两组互不平行的 平行线组（过点阵点，等间距），把平面点阵划分成 一个个的平行四边行，可得到平面格子。 由于素向量的选取有多种形式，所以一个平面点 阵可得到多种平面格子。

平面格子中的每一个平行四边形称为一个单位。 四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4 四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2 四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。 只含一个阵点的单位—素单位（素格子） 含有两个或两个以上阵点的单位——复单位（复 格子） 注意：素单位肯定是由素向量构成，但素向量不 一定构成素单位。
正四面体四个面的指标分别为：

(111)(111)(111)(111)

六、晶面间距d（hkl）
一组晶面指标为（hkl）的平面点阵中，相邻两个平面点 阵间的垂直距离用d（hkl）表示，称为晶面间距。不同的晶 系用不同的公式计算。 1 立方晶系： dhkl  a(h  k  l )

|←—a—→|
|←———b——–—→| |←—————c——————→|    沿向量 a、b、c 等平移都能使图形复原。 直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量（又称基    本向量）。上图中为 a 素向量,称为b、c复向量。

直线点阵中有无穷多个平移操作可使其复原， 用数学语言描述则为：

只含有1个点阵点的平面点阵单位称素单位， 它是平面点阵的基本单位。含2个以上点阵 点的平面点阵单位称复单位。将素单位中两 个互不平行的边作为平面点阵的基本向量， 两两连接所有点阵点，所得向量可用这两个 基本向量表示。 将向量进行平移构成二维平移群。   平移群： 

Tm,n  ma  nb (m, n  0,1  2 )
2、晶面夹角 当a=b=c,      90 时：

  cos1
3、晶面间距

h1h2  k1k2  l1l2
2 2 2 (h12  k12  l12 )(h2  k2  l2 )

当a=b=c,      90 时： d( hkl ) 

a (h 2  k 2  l 2 )

点阵=点阵结构-结构基元

四、晶胞、晶胞参数及原子坐标参数

1、晶胞
空间点阵是晶体结构的数学抽象，晶体 具有点阵结构。空间点阵中可以划分出一 个个的平行六面体一空间格子，空间格子 在实际晶体中可以切出一个个平行六面体 的实体，这些包括了实际内容的实体叫晶 胞，晶胞是晶体结构中的基本重复单位。

晶胞一定是平行六面体，它们堆积起 来能构成晶体。晶胞也有素晶胞、复晶 胞和正当晶胞之分，只含一个结构基元 的晶胞称为素晶胞。P209图7.6 正当晶胞:在照顾对称性的前提下，选 取体积最小的晶胞为正当晶胞。正当晶 胞可以是素晶胞，也可以是复晶胞。

点阵点所处的环境相同指对于每一个点，在相同的方向上、 相同的距离处都可找到点阵点。

2、如何从晶体的微观结构中抽取出点阵点。 点周围环境必须完全相同（指周围原子的种 类、数目和原子分布的方向）如石墨。 3、点阵与点阵结构的关系 点阵是反映点阵结构周期性的科学抽象，点 阵结构是点阵理论的实践依据和具体研究对象。 点阵结构=点阵+结构基元

晶胞的两要素:

(1)晶胞的大小和形状，（用晶胞参数表示）。
(2)晶胞所含内容，即晶胞内原子的种类、数量及 位臵（用原子的分数坐标表示）。

P210图7.9 图7.10

2、晶胞参数
选取晶体所对应点阵的三个素向量为晶 体的坐标轴X、Y、Z，称为晶轴。 晶轴确定之后，三个素向量的大小a、b、 c及这些向量之间的夹角α、β、γ就确 定了晶体的形状和大小, α、β、γ、a、 b、c为晶胞参数，且α=b∧c，β=a∧c， γ=a∧b。

顶点原子（0，0，0）

五、晶面与晶面指标

晶面
一个空间点阵中可以从不同的方向划分出一组组 互相平行的平面点阵组，每一组中的各点阵面是互 相平行的，且距离相等。（P211图7.11）各组平面 点阵对应于实际晶体中不同方向的晶面。

用“晶面指标”来描述这些不同方向的晶面。晶 面指标是晶体在三个晶轴上的倒易截数之比。设有 一平面点阵和三个坐标轴x，y，z相交，在三个坐 标轴上的截长分别为ra，sb，tc，则r，s，t为晶 面在三个晶轴上的截数，可反映出平面点阵的方向。 若晶面和晶轴平行，则截数为无穷大，为避免出现 无穷大，取截数的倒数： 1/r：1/s：1/t=h*：k*： l*（h* ，k* ，l*为互质的整数）称为晶面指标，又 称密勒指标。（密勒1939年建议使用）P212图7.14

三、晶体的微观结构—点阵结构及其基本性质
凡是能抽取出点阵的结构可称为点阵结构；点阵结构可 以被与它相对应的平移群所复原。

点阵：按连接任意两点所得向量进行平移后能够复原的 一组点称为点阵。
1、构成点阵的两个条件

点数无限多；各点所处的环境完全相同。例：P283图9.7
点数无限多指当晶体颗粒与内部微粒相比，其直线上的差 约为107倍时，可近似认为有无限多个粒子。

NaCl晶体常出现立方体外形，其六个面的指标为： （100）、（010）、（001）、

(1Leabharlann Baidu0)(010)(001)
明矾晶体常出现正八面体外形，其八个面的指标为：

(111)(111)(1 11)(11 1) (1 11)(11 1)(1 1 1)(1 1 1)

§7-1晶体的点阵结构与晶体缺陷
要揭示物质组成和结构之间的关系,就涉 及到原子的数量、大小、原子间的结合力 (键型),原子与原子间的位臵关系(结构形 式)等。一种物质在不同的条件下可具有不 同的晶体结构（同质多晶），不同的物质 也可具有相同的晶体结构（类质同晶）。

一、晶体概论 1.晶体及其特性
晶体：内部粒子（原子、分子、离子）或粒子 集团在空间按一定规律周期性重复排列成的 一种固体。 晶体结构的周期性：一定数量和种类的粒子 （或粒子集团）在空间排列时，在一定的方 向上相隔一定的距离重复出现的现象。 周期性的结构包括周期性重复的内容（结构基 元）和周期性重复的方式（周期性重复的大 小和方式）。

在考虑对称性尽量高的前提下，选取含点阵点尽量 少的单位——正当单位（正当格子） 正当单位可以是素单位，也可以是复单位。 平面正当格子有四种类型五种形式。P209图7.5 （正方形、六方形、矩形、带心矩形、平行四边形）

注意：平面正当格子中只有矩形格子有素格子和 复格子（带芯格子）之分，这是因为其它三种形状的 格子的话，必定能取出同类形状的更小的素格子来。
2 2 2  2
 1 2

六方晶系： d  [ac(h2  hk  k 2 )a 2  3l 2c 2 ] hkl

h2 k 2 l 2  1 2 d  (   ) hkl 正交晶系： a 2 b2 c 2 平面间距既与晶面参数有关，又与平面指标h，k，l有关。 h，k，l越小，晶面间距越大，实际晶体外形中这个晶面出 现的机会也越大。每种晶体对应于一个特定的空间点阵,求 出不同方向上的d（hkl）值的全体,是晶体结构特定的数值 组,是晶相鉴定的依据.

六、晶体结构与点阵结构的关系
点阵是反映晶体结构周期性的科学抽象。 晶体则是点阵理论的实践依据和晶体研究对象。 点阵是反映晶体结构周期性的几何形式。 平移群是反映晶体结构周期性的代数形式。 点阵和晶体的对应关系： 空间点阵 阵点 直线点阵 平面点阵 晶体 结构基元 晶棱 晶面

由空间点阵按选择的向量把三维点阵划分成一 个个的平行六面体，可得到空间格子，空间格子 中的每个平行六面体称为空间格子的一个单位， 也有素单位（素格子）、复单位（复格子）、正 当单位（正当格子）之分。 空间点阵素格子的对称类型有7种，相应晶体可划 分为7个晶系(三斜、单斜、正交、四方、三方、 六方、立方)，复格子有体心、底心（含2个点阵 点）面心（含4个点阵点），共14种点阵形式。

晶体中原子或基团的排列具有三维空间的周期性， 它使晶体具有下列特点： （1）自发地形成多面体外形（自范性） （2）均匀性 （3）各向异性 （4）有明显的熔点 此外，晶体还有对称性、对X射线的衍射等。

2.晶体的同素异构及应用示例 （1）同素异构体 由于形成材料不同，同一种原子或基团 形成晶体，可能存在不同的晶体结构，此 现象称为晶体的同素异构。不同的异构体 在材料科学中称为不同的“相”。 （2）人工智能材料

3、原子坐标

晶胞中任一原子的位臵可用向量     x, y , z  1 OP  xa  yb  zc 表示， ∴ x, y , z 称为P原子的分数坐标。
CsCl晶胞，Cl-（0,0,0），Cs+ ( 1 , 1 , 1 )
2 1 1 2 2 2 Mg晶胞，晶胞内原子（ , , ）， 3 3 2
教学要求:
1.理解点阵和平移群、晶体的点阵结构、结构基元、空间格 子、点阵单位、正当点阵单位、晶面指标等概念。 2.掌握14种空间点阵型式、晶胞、晶胞参数的概念和原子分 数坐标的定义。 3.掌握晶体的宏观对称元素和对称操作，七个晶系及其特征 对称元素。 4.了解32个晶体点群；了解螺旋轴、滑移面及其操作，空间 群的概念及国际符号的意义。 5.掌握Laue方程、Bragg方程；影响衍射强度的因素，结构 因子的计算；立方晶系点阵型式和系统消光的关系； 6.了解单晶衍射法；粉末多晶衍射法。

①一个晶面指标h* k* l*代表一组互相平行的晶面。 ②晶面指标的数值反映了这组晶面间的距离大小和阵点的 疏密程度。晶面指标越大，晶面间距越小，晶面所对应的平 面点阵上的阵点密度越小。(图7.15) ③由晶面指标h* k* l* 可求出这组晶面在三个晶轴上的截 数和截长 n n 截数 r  n t s h l k 截长 ra sb tc

二、晶体的点阵结构理论
X一射线衍射实验表明，晶体由在空间有规律地重复排列的 微粒（原子、分子、离子）组成的，晶体中微粒有规律地重 复排列—晶体的周期性，不同品种的晶体内部结构不同，但 内部结构在空间排列的周期性是共同的。
为研究晶体周期性结构的普遍规律,不管重复单元的具体内 容,将其抽象为几何点（无质量、无大小、不可区分),则晶体 中重复单元在空间的周期性排列就可以用几何点在空间的排 列来描述。无数个几何点在空间有规律地排列构成的图形称 为点阵。构成点阵的几何点称为点阵点，简称阵点。用点阵 的性质来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论。点阵结 构中点阵点所代表的具体内容（包括原子或分子的种类和数 量及在空间按一定的排列方式）称为晶体的结构基元。