【K12】2018年秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )(A)e2x-2(B)e2x(C)e2x+1(D)e2x+2解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.3.若log m3<log n3<0,则m,n应满足的条件是( D )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0解析:因为log m3<log n3<0,所以0<n<1,0<m<1且<<0,即lg 3(-)<0⇔lg 3()<0.因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,即lg n<lg m⇔n<m,所以1>m>n>0.故选D.4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.5.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,0),设函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.答案:07.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2, 所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域.解:(1)由求得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],所以y≤lg 1=0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )(A)()b>()a>()c(B)()a>()b>()c(C)()c>()b>()a(D)()c>()a>()b解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>()a>()c.故选A.10.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1.所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为.解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),因为y=lo t为减函数,所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,所以解得1≤m≤2.答案:[1,2]12.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值. 解:因为f(x)=2+log3x,所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.当log3x=1,即x=3时,y=13.所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.。
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第一课时
第一课时对数函数的图象及性质【选题明细表】1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )(A)y=log4x (B)y=lo x(C)y=lo x (D)y=log2x解析:设对数函数为y=log a x(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=log a16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|中,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=在区间(0,1)上单调递增;④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.4.(2018·唐山高一检测)若函数f(x)=log a(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=a x+b 的图象大致是( D )解析:由函数f(x)=log a(x+b)的图象可知,函数f(x)=log a(x+b)在(-b, +∞)上是减函数,所以0<a<1且0<b<1,所以g(x)=a x+b在R上是减函数,故排除A,B.由g(x)的值域为(b,+∞),所以g(x)=a x+b的图象应在直线y=b的上方,故排除C.故选D.5.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )(A)-log23 (B)-log32 (C) (D)解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.6.函数f(x)=|lo x|的单调增区间为.解析:由函数f(x)=|lo x|可得函数的大致图象如图所示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).答案:[1,+∞)7.函数f(x)=log2(4-x2)的定义域为,值域为 ,不等式f(x)>1的解集为.解析:依题意得4-x2>0,解得-2<x<2,所以该函数的定义域为(-2,2).因为4-x2>0,所以(4-x2)max=4,所以在(-2,2)上,该函数的值域为(-∞,2].由f(x)>1得到log2(4-x2)>1,则4-x2>2,解得-<x<.故不等式f(x)>1的解集为(-,).答案:(-2,2) (-∞,2] (-,)8.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x)(a>0且a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即log a(1+x)>log a(1-x).①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,a>1时,x∈(0,1),0<a<1时,x∈(-1,0).9.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-1<x<0或x>1.答案:(-1,0)∪(1,+∞)11.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是 .解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)12.设f(x)=(1)求f(log2)的值;(2)求f(x)的最小值.解:(1)因为log2<log22=1,所以f(log2)===.(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=()x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=.当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),令t=log3x,则t∈(0,+∞),f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-,所以f(x)的最小值为g()=-.综上可知,f(x)的最小值为-.13.已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±.因为2x>0,所以2x=1+,x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1).因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+∞).。
2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第1
第1课时对数函数的图象及性质学习目标：1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)[自主预习·探新知]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象及性质[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[基础自测]1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R.( )(2)y＝log2x2与log x3都不是对数函数．( )(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．函数y＝log a x的图象如图221所示，则实数a的可能取值为( )图221A ．5 B.15 C.1eD.12A [由图可知，a >1，故选A.]3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．f (x )＝log 2x [设对数函数的解析式为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得log a 4＝2，∴a＝2，即f (x )＝log 2x .]4．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________.【导学号：37102283】(－1，＋∞) [由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．][合 作 探 究·攻 重 难]对数函数的概念及应用(1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.【导学号：37102284】(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. (1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.]1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 2 [由a 2＋a －5＝1得a ＝－3或a ＝2. 又a >0且a ≠1，所以a ＝2.]对数函数的定义域求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8).【导学号：37102285】[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x ≥0，2－x ≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 分母不能为根指数为偶数时，被开方数非负 对数的真数大于，底数大于且不为提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于数大于0且不等于2．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．[解] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．对数函数的图象问题 [探究问题]1．如图222，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？图222提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0.2．函数y ＝a x与y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象为( )A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象.【导学号：37102286】思路探究：(1)结合a >1时y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C [(1)∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解] ∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5， ∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．中，－x ＞0，∴x ＜0， 轴的左侧，故排除A ，D ； 是减函数，|2x ＋＋的图象，如图(1)(1) (2)x 轴向左平移1个单位长度，得y (3) (4)函数图象的变换规律一般地，x ±a ＋b a ，b 为实数的图象是由函数x 的图象沿左或向右平移个单位长,度，再沿y 轴向上或向下平移个单位长度得到的.含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到f x －a的图象是关于直线轴对称图形；函数x 的图象与x 的图象在,f x的部分相同，在x的部分关于.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1) D ．y ＝ln xD [结合对数函数的形式y ＝log a x (a >0且a ≠1)可知D 正确．] 2．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )【导学号：37102287】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53C [由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.]3．（2018·全国卷Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B [法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B. 法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.] 4．函数f (x )＝log a (2x －5)的图象恒过定点________． (3,0) [由2x －5＝1得x ＝3， ∴f (3)＝log a 1＝0.即函数f (x )恒过定点(3,0)．] 5．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围.【导学号：37102288】[解] (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 所以所求a 的取值范围为0<a <2.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质
2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的应用课时分层作业20 新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的应用课时分层作业20 新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层作业(二十）对数函数及其性质的应用（建议用时:40分钟)［学业达标练]一、选择题1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是（）A．(－∞,7］B．（2，7]C．[7,＋∞) D．(2,＋∞)B［由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即2〈x≤7，故选B。
]2．函数f(x）＝｜log错误!x|的单调递增区间是（）【导学号：37102301】A。
错误!B．（0，1］C．(0，＋∞) D．[1,＋∞)D[f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为［1，＋∞)．］3．已知log a错误!>log b错误!>0,则下列关系正确的是（)A．0<b〈a<1 B．0〈a<b〈1C．1〈b<a D．1<a〈bA[由log a错误!>0，log b错误!〉0，可知a，b∈(0,1），又log a错误!>log b错误!，作出图象如图所示，结合图象易知a〉b，∴0<b〈a<1。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质
【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0， 得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
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logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
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1. 函 数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是 对 数 函 数 ， 则 实 数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的 反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
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目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图 象及性质. 3.会类比指数函数，研究 对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第一课时 对数函数的图象及性质
K12课件
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有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的图象过定点 时，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定点为(x，m)． (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对 应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点， 判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后 综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一 象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大， 可比较底数的大小．
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[点睛] 底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升 降”：当 a＞1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时， 对数函数的图象“下降”．
3．反函数 指数函数 y＝ax 和对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1) 互为反函数．
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
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判断一个函数是对数函数的方法
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[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实 数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
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求对数型函数的定义域
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(4)
要
使
函
数
式
有
意
义
，
需
4x－3>0， log0.54x－3≥0，
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课时 对数函数的图象及性质的应
2x＞0,
所以由
log0.72x<log0.7(x-1)得
x
1＞0,
解得 x>1.
2x＞x 1，
即 x 的取值范围是(1,+∞).
方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为一般 不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.
所以 0>log0.71.1>log0.71.2.
所以 1 < 1 , log0.7 1.1 log0.7 1.2
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
3
2< log1
5
2.
(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.
题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类 讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以 画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(3)求函数f(x)的单调递减区间,并证明.
解:(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0),证明如下:
设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A必修1
[答案] A [解析] ∵函数y＝logax的图象一直上升， ∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A.
3．下列函数中是对数函数的是 ( A．y＝log1 x
4 4
)
B．y＝log1 (x＋1) D．y＝log1 x＋1
4
C．y＝2· log1 x
4
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，
[规律总结] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x， 底数a必须是大于0且不等于1的常数．
跟踪练习
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x；④y＝log3 x；⑤y
预习自测
1.下列函数是对数函数的是 ( A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且 a≠1) C．y＝logax2(a＞0，且 a≠1) D．y＝lnx )
[答案] D
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是
否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2． 函数 y＝logax 的图象如图所示， 则实数 a 的可能取值为 ( ) A．5 1 B.5 1 C.e 1 D．2
2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表 所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞ 1
0＜a＜1
，＋∞) 定义域：(0 ______ R 值域：______
性质
(1,0) ，即当 x＝1 时，y＝0 图象过定点______ 增函数 在(0，＋∞)上是______ 减函数 在(0，＋∞)上是______
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第1
[典例 3] 如图所示的曲线 C1、C2、C3、C4 是对数函数 y＝logax 的图象，而 a∈{12，13， 3，π}，则图象 C1、C2、C3、C4 对应函 数的底数依次是________． [解析] 解法一：由对数函数图象特征：图象在 y 轴右侧，x>1 时，图象顺时针 方向，底数逐渐增大，而 a>1 图象是上升的，0<a<1 图象是下降的，或者整体记 忆为：在 x 轴上方，按顺时针方向，底数逐渐增大，即 C3<C4<C1<C2，故答案为 C3＝13，C4＝12，C1＝ 3，C2＝π. 故 C1、C2、C3、C4 对应的函数底数为 3、π、13、12.
解法二：在图中作 y＝1，分别与 C3、C4、C1、C2 交于
A，B，C，D 四点，则 A(a1,1)，B(a2,1)，C(a3,1)，D(a4,1)
(其中 a1，a2，a3，a4 分别为对数函数的底)．由图可知
a1<a2<a3<a4.
∴C3<C4<C1<C2 故 C1、C2、C3、C4 分别为 3、π、13、12.
[答案]
3
π
1 3
1 2
根据对数函数图象判断底数大小的方法： 作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内， 自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．当 a>1 时，函数 y＝logax 和 y＝(1－a)x 的图象只能是( )
解析：∵a>1，∴y＝logax 的图象是上升的；而 y＝(1－a)x 的图象是下降的． 答案：B
对数函数的判断： 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的形式， 即满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第1
(1)函数 y＝log1 x 的定义域为________．
2
(2)函数 f(x)＝logax 的图象如图所示，则 a 的取值可能是
()
A．10
B．12
1 C.3
D．14
答案：(1)(0，＋∞) (2)A
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”， 错误的打“×”．
1．对数函数的图象一定在 y 轴的右侧．( ) 2．对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函 数．( ) 3．当 a＞1 时，若 0＜x＜1，则 logax＜0.( )
解析：由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象应在y 轴左侧，可排除A、D选项；
当a＞1时，y＝ax应为增函数，y＝loga(－x)应为减函数， 可知B项正确；
而对C项，由图象知y＝ax递减⇒0＜a＜1⇒y＝loga(－x)应为 增函数．与C图不符．故选B.
答案：B
与对数函数有关的定义域
2．对数函数图象与直线 y＝1 的交点横坐标越大，则对应 的对数函数的底数越大．
3．对数函数图象性质的助记口诀： 对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于 0，等 于 1 来也不行，底数若是大于 1，图象从下往上增；底数 0 到 1 之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
2．已知 a＞0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象 可能是( )
答案：D
2．对数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
定义域
a>1
0<a<1
_(_0_，__＋__∞_)__
值域
R
过定点
过定点_(_1_,0_)_，即 x＝1 时，y＝0
2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第2
第2课时 对数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2.通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)[合 作 探 究·攻 重 难]比较对数值的大小比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152； (3)log 23与log 54.【导学号：37102296】[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215.又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54.同底数的利用对数函数的单调性同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化底数和真数都不同，找中间量提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或的大小[跟踪训练]1．比较下列各组值的大小： (1)log 230.5，log 230.6.(2)log 1.51.6，log 1.51.4. (3)log 0.57，log 0.67. (4)log 3π，log 20.8.[解] (1)因为函数y ＝log 23x 是减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4. (3)因为0>log 70.6>log 70.5， 所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57.(4)因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8.解对数不等式已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．思路探究：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合； (2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73； 当0＜a ＜1，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.形如＞1与0形如性求解；形如[跟踪训练]2．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围.【导学号：37102297】[解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， 所以由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．对数函数性质的综合应用 [探究问题]1．函数f (x )＝log 12(2x －1)的单调性如何？求出其单调区间．提示：函数f (x )＝log 12(2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝log 12x 是减函数，函数y ＝2x －1是增函数，所以f (x )＝log 12(2x －1)是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的减函数，其单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．如何求形如y ＝log a f (x )的值域？提示：先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．(1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )【导学号：37102298】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．思路探究：(1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得． (2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＞f ，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＞log a －a ，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2.(2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．]．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >bD [a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D.]2．函数y ＝log 12(2x＋1)的值域为________.【导学号：37102299】(－∞，0) [∵2x＋1>1，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12(2x＋1)<log 121＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．]3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.]4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.]5．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值.【导学号：37102300】[解] (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.(2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75.(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝log a(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即log a5＝－2，∴a－2＝1a2＝5，解得a＝55.。
2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性
第2课时 对数函数及其性质的应用1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点) 2．了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征．(难点)3．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)[小组合作型](1)0.7 1.1的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b(2)下列不等式成立的是(其中a ＞0且a ≠1)( ) A ．log a 5.1＜log a 5.9 B ．log 122.1>log 122.2C ．log 1.1(a ＋1)<log 1.1aD ．log 32.9＜log 0.52.2(3)若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 46，则下列结论正确的是( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c<b <a D ．b <c<a【精彩点拨】 利用对数函数的单调性或中间量(0或1)比较大小．【自主解答】 (1)根据对数函数y ＝log 0.7x ，y ＝log 1.1x 的图象和性质，可知0＜log 0.70.9＜1，log 1.10.7＜0，由指数函数y ＝1.1x 的图象和性质，可知c ＝1.10.9＞1，∴b ＜a ＜c ，故选C.(2)对于选项A ，因为a 和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A 不成立；对于选项B ，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C ，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D ，log 32.9＞0，log 0.52.2＜0，故不成立，故选B.(3)因为函数y ＝log 4x 是增函数，a ＝log 23＝log 49>log 46>1，log 32<1，所以b <c<a ，故选D.【答案】 (1)C (2)B (3)D对数值比较大小的常用方法：比较大小的对数式底数是同一常数，真数不同，可根据对数函数的单调性直接进行判断对于底数不同，真数相同的两对数大小的比较，可以用图象法，还可以利用换底公式转化为分子为1，分母上为底数相同，真数不同的形式，再利用函数单调性比较两个分母的大小，来完成两对数大小的比较若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间量间接的比较两对数的大小，常用的中间量有0，1，－1等.[再练一题]1．设a ＝log π3，b ＝20.3，c ＝log 213，则( )A ．b >a >cB ．a >c>bC ．c>a >bD ．a >b >c【解析】 由a ＝log π3，b ＝20.3，c ＝log 213，得0<log π3<1,20.3>1，log 213<0，所以b >a >c ，故选A.【答案】 A已知函数a a ，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g(x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g(x )中x 的取值范围．【精彩点拨】 (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合； (2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>06－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x＜3}．(2)不等式f (x )≤g(x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73； 当0＜a ＜1，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.常见的对数不等式有三种类型：形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x的单调性求解；形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.[再练一题]2．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值． 【解】 (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.(2)由(1)得，0＜a ＜1， ∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>07－5x >03x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13x <75x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75. (3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.[探究共研型]探究1 函数f (x )＝log 12(2x －1)的单调性如何？求出其单调区间．【提示】 函数f (x )＝log 12(2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝log 12x 是减函数，函数y ＝2x －1是增函数，所以f (x )＝log 12(2x －1)是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的减函数，其单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.探究2 如何求形如y ＝log a f (x )的值域？【提示】 先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x 的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．(1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )【导学号：97030111】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【精彩点拨】 (1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．【自主解答】 (1)∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＞f a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＞log a －aa >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0，∴1＜a ＜2.(2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．【答案】 (1)B (2)(－∞，－1]1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．[再练一题]3．(2014·重庆高考)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 【解析】 f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.【答案】 －141．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b【解析】 ∵a ＝0.50.5>b ＝0.30.5>0，c ＝log 0.32<log 0.31＝0，∴a >b >c .故选A. 【答案】 A2．函数y ＝log 12(2x＋1)的值域为________．【解析】 ∵2x＋1>1，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12(2x＋1)<log 121＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ×0＋1>0，解得a >0.【答案】 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．【解析】 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知f (x )＝log 2(x ＋2)，g(x )＝log 2(4－x )． (1)求函数f (x )－g(x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g(x )的值为正数的x 的取值范围. 【导学号：97030112】【解】 (1)∵f (x )＝log 2(x ＋2)，g(x )＝log 2(4－x )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>04－x >0，解得－2＜x ＜4，故函数f (x )－g(x )的定义域为(－2,4)．(2)∵f (x )－g(x )的值为正数，∴log 2(x ＋2)＞log 2(4－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>4－x－2<x <4，解得1＜x＜4，∴使函数f (x )－g(x )的值为正数的x 的取值范围为(1,4)．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
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2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质讲义3 新人教A版必修1
[解析] 解法一 首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝
loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C. 其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反 ，又可排除D.∴应选B.
∴由对数函数的单调性，得 log0.71.1>log0.71.2. 又∵log0.71.2<log0.71.1<0， ∴log01.71.1<log01.71.2， 即 log1.10.7<log1.20.7. 另外，也可以利用对数函数图象，当底数大于 1 时，底数 越大，在直线 x＝1 左侧图象越靠近 x 轴，由右图所示，可知 log1.10.7<log1.20.7.
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， ∴k＝1 符合题意． 方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x， 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， ∴k－＝11＝，－k， 解得 k＝1.
2．要注意从多角度分析问题，培养思维的灵活性．
跟踪练习
将本例中条件改为 a>1，则函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象 是( )
[答案] A
[解析] ∵a>1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数，∴C、 D 排除．
又∵y＝a－x＝(1a)x,0<1a<1， ∴y＝a－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，故选 A.
题型讲解
命题方向一 指、对数式的运算
2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 第1课
第1课时对数学习目标：1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．[自主预习·探新知]1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？[提示]由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝log a N时，不存在N≤0的情况．[基础自测]1．思考辨析(1)log a N是log a与N的乘积．( )(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )(3)对数运算的实质是求幂指数．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )A．log2M＝a B．log a M＝2C．log22＝M D．log2a＝MB[∵a2＝M，∴log a M＝2，故选B.]3．若log3x＝3，则x＝( )【导学号：37102256】A ．1B ．3C ．9D ．27D [∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27.]4．ln 1＝________，lg 10＝________.0 1 [∵log a 1＝0，∴ln 1＝0，又log a a ＝1，∴lg 10＝1.][合 作 探 究·攻 重 难]对数的概念(1)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________． (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7＝1128；②log 1232＝－5； ③lg 1 000＝3；④ln x ＝2.【导学号：37102257】(1)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．] [解] (2)①由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. ②由log 1232＝－5，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32.③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. ④由ln x ＝2，可得e 2＝x .将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式[跟踪训练]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3; (4)logx64＝－6.【导学号：37102258】[解] (1)log 319＝－2；(2)log 1416＝－2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(4)(x )－6＝64.利用指数式与对数式的互化求值求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－23； (2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x .[解] (1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23) 16＝212＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x＝e 2， 所以x ＝－2.[规律方法]要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.应用对数的基本性质求值 [探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)吗？ 提示：因为a x＝N ，所以x ＝log a N ，代入a x＝N 可得a log a N ＝N .2．如何解方程log 4(log 3x )＝0?提示：借助对数的性质求解，由log 4(log 3x )＝log 41，得log 3x ＝1，∴x ＝3.设5log 5(2x －1)＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．13 C ．100D ．±100(2)若log 3(lg x )＝0，则x 的值等于________.【导学号：37102259】思路探究：(1)利用对数恒等式a log a N＝N 求解； (2)利用log a a ＝1，log a 1＝0求解．(1)B (2)10 [(1)由5log 5(2x －1)＝25得2x －1＝25，所以x ＝13，故选B. (2)由log 3(lg x )＝0得lg x ＝1，∴x ＝10.][规律方法] 1.利用对数性质求解的2类问题的解法求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a b c 的值，先求log b c 的值，再求log a b c的值.已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.2.性质a log a N＝N 与log a a b＝b 的作用a log a N ＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.log a a b＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数.[当 堂 达 标·固 双 基]1．在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是( )【导学号：37102260】A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D [由m －1>0得m >1，故选D.]2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 55＝1与51＝5C [C 不正确，由log 39＝2可得32＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.【导学号：37102261】3 [由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．]4．log 33＋3log 32＝________.3 [log 33＋3log 32＝1＋2＝3.] 5．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23；(3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.【导学号：37102262】[解] (1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝314＝322. (3)由x ＝log 2719，可得27x＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.(4)由x ＝log 1216，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝16， ∴2－x＝24，∴x ＝－4.。
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课时分层作业(二十) 对数函数及其性质的应用
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞) D ．(2，＋∞)
B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10，
即2<x ≤7，故选B.]
2．函数f (x )＝|log 1
2
x |的单调递增区间是( )
【导学号：37102301】
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]
3．已知log a 13>log b 1
3>0，则下列关系正确的是( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．1<b <a
D ．1<a <b
A [由log a 13>0，log b 1
3>0，可知a ，b ∈(0,1)，
又log a 13>log b 1
3，作出图象如图所示，
结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.
]
4．若a ＝20.2
，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )
【导学号：37102302】
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
A [∵a ＝20.2＞1＞b ＝log 4(3.2)＞0＞c ＝log 2(0.5)，∴a ＞b ＞c . 故选A.]
5．若函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1
2
C ．2
D ．4 B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1
2(舍去)．
当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝1
2.]
二、填空题
6．函数y ＝log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)的值域是________.
【导学号：37102303】
[－2，＋∞) [－x 2
＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋254≤254
，
∴有0<－x 2
＋3x ＋4≤254
，
所以根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象即可得到： log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)≥log 0.4
25
4
＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
7．若log a 2
3<1，则a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式⇔⎩⎪⎨
⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，2
3
<a ，
解得0<a <2
3
或a >1，
故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]
8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.
【导学号：37102304】
(1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－a ＋3≥0，a >1，
a >0且a ≠1，
解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．] 三、解答题
9．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝
⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.
(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；
(2)求该函数的值域．
[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－3
2
t ＋1，
又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3. (2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322
－1
8，1≤t ≤3，
当t ＝32时，y min ＝－1
8
；
当t ＝3时，y max ＝1，∴－1
8
≤y ≤1，
即函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－18，1. 10．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值范围.
【导学号：37102305】
[解] (1)要使函数有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3＋x >0，
3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )＝ln(9－x 2
)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜1
3
或1＜m ＜2.
[冲A 挑战练]
1．函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1x 2
＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 2
＋1＋x ＝lg 1x 2＋－x 2＝lg 1＝0，
∴f (x )为奇函数，故选A.]
2．当0＜x ≤12时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围是( )
【导学号：37102306】
A ．(2，2)
B ．(1，2) C.⎝
⎛⎭⎪⎫
22，1 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，
22 C [当0＜x ≤12
时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x
＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象
恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x
的图象交于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2点时，
a ＝
22，故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足2
2
＜a ＜1，故选C.]
3．函数f (x )＝log 2x ·log
2
(2x )的最小值为________．
－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝1
2log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122
－1
4(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为
－1
4
.] 4．（2018·全国卷Ⅲ）已知函数f (x )＝ln(1＋x 2
－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. －2 [由f (a )＝ln(1＋a 2
－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2
－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2
＋a )＋1＝－ln
11＋a 2
＋a
＋1＝－ln(1＋a 2
－a )＋1＝－3＋1＝－2.]
5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．
[解] (1)要使函数有意义，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x >0，x ＋3>0，
解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2
－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2
＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2
＋4≤4.
因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2
＋4]≥log a 4，
即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4
＝4，所以a ＝4－14＝22
.。