4.3共点力的平衡及其应用

解法四：用正交分解法求解 取足球作为研究对象，受三个力作用， 重力G，墙壁的支持力N，悬绳拉力T，
如右图所示，取水平方向为x轴，竖直
方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进 行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴 方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零．即 Fx合=N-Tsin α=0① Fy合＝Tcos α－G＝0② 由②式解得：T＝G/cos α＝mg/cos α， 代入①得N＝Tsin α＝mgtan α. 【答案】 mg/cos α mgtan α
(1)对研究对象进行受力分析，作出受力图．
(2)物体在三个力作用下处于平衡状态时，常用的解题方法有：力的分解法、 力的合成法． (3)共面的非平行的三个力平衡时：其中任意两个力的合力必与第三个以上力作用下处于平衡状态时，通常应用正交分解法．
2-1
3 F 2
质量为m的木块，被水平力F紧压在倾角θ=60°的
固定木板上，如右图所示，木板对木块的作用力为(
A．F 1 C. 2 B.
)
D. F2＋(mg)2
【解析】 木块受到木板的作用力为摩擦力与弹力的合力，其大小应与F 与mg两力的合力平衡，为 【答案】 D
F 2 mg 2
，D正确．
动态平衡问题的分析
即F=G，从图中力的平行四边形可求得： N=Ftan α=mgtan α
T=F/cosα=mg/cos α.
解法二：用分解法
取足球为研究对象，其受重力G、
墙壁支持力N、悬绳的拉力T，如 右图所示，将重力G分解为F′1和F′2， 由共点力平衡条件可知，N与F′1的合 力必为零，T与F′2的合力也必为零，所以 N＝F′1＝mgtan α T＝F′2＝mg/cos α.
【解析】
在共点力作用下处于平衡状态的物体，必然同时具备两个特点：
从运动状态来说，物体保持静止或匀速运动，加速度为零；从受力情况来说， 合力为零． 显然，静止在粗糙斜面上的物体和匀速行驶的汽车都处于平衡状态，而沿 光滑斜面由静止加速下滑的物体，加速度不等于零，不处于平衡状态，做自 由落体运动的物体在刚开始下落时，尽管速度v＝0.但加速度a＝g≠0，合力F＝
解法三：用相似三角形求解 取足球作为研究对象，其受重力G， 墙壁的支持力N，悬绳的拉力T，如右 图所示，设球心为O，由共点力的平衡 条件可知，N和G的合力F与T大小相等，
方向相反，由图可知，三角形OFG与三
角形AOB相似，所以
F AO 1 ＝ ＝ G AB cos α T＝G/cos α＝mg/cos α N OB ＝ ＝tan α， G AB N＝Gtan α＝mgtan α.
如右图所示．挡板AB和竖直墙之间 夹有小球，球的质量为m，则挡板与竖直墙 壁之间的夹角θ缓慢增加至θ=90°时，AB板 及墙对球压力如何变化？ 【解析】 解法一：解析法
(1)利用力的合成 由于挡板缓慢放下，故小球总处于平衡状态， 其受力如右图所示，由平衡条件知，N2与N1的
合力大小等于G，将N1与N2合成，由图知：
4.3 共点力的平衡及其应用
1．平衡状态：物体处于 静止 和 匀速直线运动 ，我们说物体处于平衡状态． 2．在共点力作用下处于平衡状态的物体所受的合外力为零 ，即： F合＝0 . 3．三力平衡的条件：任意两个力的合力与第三个力大小 相等 ，方向 相反 ， 作用在 一条直线 上． 4．多力平衡条件：物体受到几个共点力的作用而平衡时，其中的任意一个力 必定与余下的其他力的合力 平衡 ． 5．解共点力平衡问题的基本思路
(2)图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形
定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段( 表示力)的长度变化判断各个力的变化情况． 图解法适用条件： 质点在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力恒定，一个力的方向不 变，第三个力的大小和方向都变化的情况．具体做法是：合成两个变力， 其合力与恒力等值反向．
取球为研究对象，受到重力G，垂直于墙 的弹力N1和垂直于挡板的弹力N2的作用， 当挡板与竖直墙壁之间的夹角θ缓慢增加时． 物体可以看做处于一系列的动态平衡状态． 该过程中墙对球的弹力的方向不变，挡板对 球的弹力方向随挡板与墙的夹角θ的增大而不 断变化，当θ＝90°时，N2方向变为竖直向上，但在整个变化过程中，由平衡 条件知，两个弹力的合力N大小方向都不变，与向下的重力等大反向．据此可 知作出几组平行四边形，反映出N1、N2的变化情况，如上图所示．当θ逐渐增
D．只有加速度为零的物体才处于平衡状态
【解析】 因为重物上升到最高点时速度为零，加速度是g，所以物体不 处于平衡状态，A是错误的；电梯中的人和电梯一起匀速运动，所受合外力
为零，所以B是正确的；弹簧上挂的重物在力F撤去后，产生向上的加速度，
故C是错误的；物体处于平衡状态的本质特征是加速度为零，故D是正确的． 【答案】 BD
三、共点力平衡条件的应用
● 重点解读
现实生活中，物体在力的作用下处于平衡的情况随处可见，站着的人在重力 和地面支持力的作用下，处于静止的平衡状态，这叫做静态平衡；跳伞运动员 在降落过程中，当其匀速降落时，他所受的重力与降落伞的拉力及空气阻力相 平衡，这叫做动态平衡． 有时，物体就整体而言并不处于平衡状态，但它可以在某一方向上处于平衡 状态．如在海面上加速行驶的快艇，在水平方向上做变速运动，可是它在竖直 方向上只受重力和浮力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡状态． (1)在共点力作用下物体处于平衡状态，则物体所受合力为零，因此物体在任 一方向上的合力都为零．
2-1
如右图所示，电灯悬挂于
两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移 动而保持O点的位置和OB绳的位置不变，则在 A点向上移动的过程中( A．绳OB的拉力逐渐增大 )
B．绳OB的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大
【解析】 这是一个动态平衡问题，在点A向
上移动的过程中，结点O始终处于平衡状态．
N1=mgcotθ，N2＝mg/sin θ，当θ增大时 cot θ减小，sin θ增大，故N1减小，N2也 减小，当θ＝90°时，N1＝0，N2＝mg.
(2)利用正交分解 由以上分析知，小球处于平衡状态，其合力为零，其受力如上图所示， N2· θ＝N1 cos 沿 N1 及 G 方向建坐标分解 N2，据平衡条件有 故解得 N1＝ N2· θ＝mg sin mgcot θ， 2＝ N mg ， θ 增大时， 当 分析与方法(2)相同， 1 减小， N 最后等于 0， sin θ
(2)如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则物体在该方向上合力为零，
因此可以在该方向上应用平衡条件列方程求解．
平衡状态的判断
下列物体处于平衡状态的是( A．静止在粗糙斜面上的物体 B．物体在光滑斜面上由静止释放后沿斜面自由下滑 )
C．在平直公路上匀速行驶的汽车
D．做自由落体运动的物体在刚开始下落时
● 疑点辨析
对静止的理解：静止与速度v＝0不是一回事．物体保持静止状态，说明 v＝0，a＝0，两者必须同时成立．若仅是v＝0，a≠0，如上抛到最高点的物 体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态． 所以平衡状态是指加速度为零的状态，而不是速度为零的状态．
二、共点力作用下的平衡条件
大时，N2与竖直方向的夹角逐渐减小，N2→N′2→N″2；当θ＝90°时，N2＝N
＝G＝mg，所以N2逐渐减小，N1逐渐减小．
【答案】 见解析 【方法总结】 动态平衡问题的分析方法：
(1)解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出
应变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定应变参量 的变化．
【方法总结】
应用共点力的平衡条件解题的一般步骤：
(1)确定研究对象：即在弄清题意的基础上，明确以哪一个物体(或结点) 作为解题的研究对象． (2)分析研究对象的受力情况：全面分析研究对象的受力情况，找出作用
在研究对象上的所有外力，并作出受力分析图，如果物体与别的接触物体间
有相对运动(或相对运动趋势)时，在图上标出相对运动的方向，以判断摩擦 力的方向． (3)判断研究对象是否处于平衡状态． (4)应用共点力的平衡条件，选择适当的方法，列平衡方程． (5)求解方程，并根据情况，对结果加以说明或必要的讨论．
● 要点梳理
共点力作用下物体处于平衡状态的力学特点是所受合外力F合＝0.
例如，图甲中，放在水平地面上的物体保持静止，则此物体所受的重力和 支持力是一对平衡力，其合力为零．
甲
乙
又如图乙中，若物体沿斜面匀速下滑，则f与N的合力必与重力G等大、反 向，故仍有F合＝0.
● 重点解读 (1)若物体在两个力同时作用下处于平衡状态，则这两个力大小相等、方 向相反，且作用在同一条直线上，其合力为零，这就是初中学过的二力平 衡． (2)若物体在三个非平行力同时作用下处于平衡状态，则这三个力必定共 面共点(三力汇交原理)，合力为零，称为三个共点力的平衡，其中任意两个
N2 减小，最后等于 mg.
解法二：极限法 小球受力如上图所示，N1和N2均不为零，当挡板放在水平位置，即θ＝ 90°时，N1＝0，故知N1在挡板缓慢放下时应减小．由解法一知初始时N2大
于mg，当挡板平放时，小球平衡，N2＝mg，故在整个过程中N2一直减小最
后等于0，N1一直减小最后等于mg.
解法三：图解法
G和N的作用线必交于球心O点，则T的作用线必过O点．既然是三力平衡，可以
根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可以根据力三角形求解，也可 用正交分解法求解．
解法一：用合成法 取足球作为研究对象，它们受重力G=mg、 墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力 作用而平衡，由共点力平衡的条件可知，
N和T的合力F与G大小相等、方向相反，
静态平衡的求解
沿光滑的墙壁用网兜把一个足球 挂在A点(右图所示)，足球的质量为m，网兜 的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳 与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁 对球的支持力．