2.2.1第2课时
课件2：2.2.1 第2课时 对数的运算
自学导引
1．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_a_N_； (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M______(n∈R)．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简 求值．
4．要充分运用“1”的对数等于 0，底的对数等于“1”等对 数的运算性质．
5．两个常用的推论： (1)logab·logba＝1(a，b>0 且均不为 1)； (2)logambn＝mn logab(a，b>0 且均不为 1，m≠0)．
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＝2(log214密 因忽略真数大于0而出错
【例 4】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 错解：因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
xy的值．
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4，
解：(1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7 －lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋ (lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
x，得
x＝llooggccba.
∵x＝logab，
∴logab＝llooggccba.
最新湘教版九年级上数学教案 2.2.1 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2
2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程教学目标1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程（一）复习引入1、a2±2ab+b2=?2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢?（二）创设情境如何解方程x2+6x+4=0呢？（三）探究新知1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题例1（课本P.11，例5）[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使它与原式相等)=(x+1)2-4。
(使含未知数的项在一个完全平方式里)用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？（七）思考与拓展解方程：(1) x2-6x+10=0；(2) x2+x+ =0；(3) x2-x-1=0。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含解析
第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝nlog a M__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy＝log a x·log a y.( )(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．( )【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式：log a b ＝logcblogca (a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 【答案】4[小组合作型](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; 【导学号：97030098】 (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)法一 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝错误!＝错误!＝错误!.(3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532 ＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【精彩点拨】 由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫34t＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lgE －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E1E2＝6，则E1E2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．[探究共研型]探究1 假设log25log23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log25log23.探究2 由探究1，你能猜测logcblogca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】 logcb logca ＝log a b .假设logcblogca ＝x ，则log c b ＝xlog c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logcblogca ＝log a b.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【导学号：02962014】【精彩点拨】 各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值． 【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a1＋3－a 2a＝错误!. (2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28·log 52＋log54log525＋log58log5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22log 52＋2log522log55＋3log523log55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log22log25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋log25＋13log25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】 161．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( ) ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ； ④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. A ．②④ B ．①③ C ．①④D ．②③【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B . 【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3．(2016·宝鸡高一检测)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示) 【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n . 【答案】 m ＋2n4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645. 【导学号：97030099】 【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ， 于是log 3645＝log1845log1836＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5， 即log 185＝b .于是log 3645＝错误!＝错误!＝错误!.法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log 3645＝lg 45lg 36＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时 圆的一般方程
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)第二章 2.2.1 第2课时对数的运算
● (2)分析问题中的变量，并根据各个不等关系列出常量与变量x，y之间的不等式;
● (3)把各个不等式连同变量x，y有意义的实际范围合在一起，组成不等式组。
● 高三数学复习知识点2 ● 一、充分条件和必要条件 ● 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 ● 二、充分条件、必要条件的常用判断法 ● 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 ● 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 ● 3.集合法 ● 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： ● 若A?B，则p是q的充分条件。 ● 若A?B，则p是q的必要条件。 ● 若A=B，则p是q的充要条件。 ● 若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 ● 三、知识扩展 ● 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： ● (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; ● (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; ● (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 ● 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转
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第二章 2.2.1 对数与对数运算
2.2.1对数与对数的运算第2课时[精选文档]
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即证得 logaMn nlogaM(n R) (3)
对公式容易错误记忆：
loga (MN ) loga M loga N,
log a (M N ) log a M log a N
例3 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) loga 3 z
M
loga N logaM logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
log a
N
log c log c
N a
(4)
loga b logb a 1
（5）
log am
Nn
n m loga N
（6）
(3 5 15
1) 3
log5 1
log3 31
0 1
重要公式1:
换底公式
log a
N
log c N log c a
(其中a, c (0,1) (1,), N
0)
证明：设 log a N p 则：N a p ,
logc N logc a p,
logc N p logc a,
p logc N logc a
log a
N
log c N log c a
log a
b
log b log b
b a
log a
b
1 log b
a
还可以变形为： log a b logb a 1
重要公式3:
log am
Nn
n m
log a
N
公式中条件： a, c (0,1) (1,), N 0
2.2.1等差数列第二课时课件(人教B版必修5)
课堂互动讲练
考点突破 等差数列性质的应用 例1 等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11 ＝36，求a5＋a8. 【分析】 解答本题既可以用等差数列的性 质，也可以用等差数列的通项公式．
【解】 法一：根据题意设此数列首项为a1， 公差为d，则： a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36， ∴4a1＋22d＝36,2a1＋11d＝18， ∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18. 法二：由等差数列性质得：
(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为_递__增__数列； d<0⇔{an}为_递__减__数列；d＝0⇔{an}为_常__数列.
(6)设{an}是公差为 d 的等差数列，那么 an＝am an－am
＋_(_n_－__m__)d_或 d＝__n_－__m__ (m，n∈N＋)． 本性质是通项公式的推广，通常适用于“已知 等差数列某一项(或某几项)，求数列中另一项” 这类题目． 应用性质应注意，n 与 m 的大小关系是不确定 的，当 n≤m 时，性质仍然成立．
知新益能
1．等差中项 (1)若 a，b，c 成等差数列，则 b 称为 a 与 c 的
a＋c 等差中项，且 b＝___2___； (2)a，b，c 成等差数列是 2b＝a＋c 的_充__要__条件；
(3)用递推关系 an＋1＝12(an＋an＋2)给出的数列也 是等差数列，an＋1 称为_a_n_，__a_n_＋_2_的等差中项．
【解】 (1)法一：设等差数列的等差中项为a, 公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24. 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
2.2.1 第2课时 卵细胞的形成过程、减数分裂的观察和受精作用 (教案)
第2课时卵细胞的形成过程、减数分裂的观察和受精作用一、卵细胞的形成过程1．形成场所：卵巢。
2．形成过程3．结果一个卵原细胞经过减数分裂只形成一个卵细胞，三个极体都退化消失。
归纳总结动物精子和卵细胞形成过程比较项目精子形成过程卵细胞形成过程部位睾丸卵巢原始生殖细胞精原细胞卵原细胞细胞质的分裂情况两次分裂都均等只有减数第二次分裂过程中第一极体分裂时均等，其他分裂不均等分裂结果1个精原细胞→4个精细胞(生殖细胞)1个卵原细胞→1个卵细胞(生殖细胞)＋3个极体(消失)是否变形变形不需变形(1)初级卵母细胞和次级卵母细胞分别在减数第一次分裂后期和减数第二次分裂后期出现了细胞质的不均等分裂，只产生一个卵细胞。
(2)在形成卵细胞的过程中形成极体，其中减数第一次分裂产生的极体称为第一极体，减数第二次分裂产生的三个极体称为第二极体。
极体体积小，所含营养物质少，无生殖功能，都会退化消失。
(3)卵细胞形成过程中染色体和DNA的行为变化与精子形成过程中相同。
例1如图表示某二倍体生物正在进行分裂的细胞，关于此图的说法正确的是()A．是次级精母细胞，处于减数第二次分裂后期B．含同源染色体2对、DNA分子4个、染色单体0个C．正在进行同源染色体的分离、非同源染色体的自由组合D．分裂后形成的2个细胞，仅1个具有生殖功能答案D解析细胞质不均等分裂且细胞中无同源染色体，可知该细胞为次级卵母细胞，处于减数第二次分裂后期，其特点为着丝点一分为二，结果是分裂为一个卵细胞和一个极体。
例2在下图中，不属于精子形成过程的是()答案C解析卵细胞与精子的产生过程基本相同，它们的不同点主要集中在产生部位、分裂后形成的生殖细胞的数量、细胞质的分配特点及其是否变形等。
卵细胞形成过程的两次分裂的后期细胞质不均等分配。
二、观察蝗虫精母细胞减数分裂固定装片1．实验原理蝗虫的精母细胞进行减数分裂过程中的染色体形态、位置和数目都在不断地发生变化，因而可据此识别减数分裂的各个时期。
人教版高中数学必修三课件：2.2.1第二课时茎 叶 图
(3)用茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情 况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太 方便了．
茎叶图有什么统计意义？
答：(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用其分析单 组数据，也可以对两组数据进行比较． (2)茎叶图反映数据的大致集中趋势，并能直接得到中位数， 对数据的稳定性作出判断．
(2)甲、乙两组数据用茎叶图表示如图，中间一列的数字表 示该数据的十位数，两边的数字表示该数据的个位数，则甲组 数据的平均数是________，乙组数据的中位数是________．
18＋19＋20＋22＋23＋21＋20＋35＋31×2 － 【解析】 x 甲＝ 10 ＝24，又乙组数据中间两位是 24，22，故中位数是 23. 【答案】 24 23
【解析】 由给定的茎叶图可知，这10名学生身高数据的 161＋163 中位数为 ＝162. 2 【答案】 B
(2)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两 块地种植的同一种树苗的长势情况，从两 块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表 示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数 － x 甲， － x 乙 和中位数y甲， y乙进行比较，下面结论正确的是( A. － x 甲>－ x 乙，y甲>y乙 C.－ x 甲<－ x 乙，y甲 >y乙 )
2.2.1
用样本的频率分布估计总体分布 第2课时 茎 叶 图
1．理解茎叶图． 2．会画茎叶图． 3．理解平均数与中位数的概念． 4．应用茎叶图解决简单问题．
1．重点：茎叶图的画法及理解． 2．难点：用茎叶图解决问题．
要点 茎叶图 (1)统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是 指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．一般情况下 茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶同行列出．
课件6：2.2.1 第2课时 对数的运算
n loga
M＝
1 nlogaM
(a>0且a≠1，M>0，n∈R，n≠0)；
alogaN＝ N (a>0且a≠1，N>0)．
1．loga(M·N)＝logaM＋logaN成立的条件是什么？
答：当M>0，N>0时才成立； 当M，N中有一个小于零就不成立．
2．下列错误的是________． ①log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)； ②log2(M±N)＝logaM±logaN； ③logaMN ＝llooggaaMN .
答：①②③
3．如何用lg2表示lg5? 答：lg5＝1－lg2
题型一 对数的运算性质
例1 若a＞0且a≠1，则下列各式中正确的个数是( )
①logax·logay＝loga(xy)；
②llooggaaxy＝logaxy；
③logax2＝2logax；
④logax＋logay＝loga(x＋y)．
题型二 带有附加条件的对数式求值 例3 已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45. 【解析】 lg 45＝12lg45＝12lg920 ＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2) ＝lg3＋12－12lg2 ＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.2.1 第2课时 对数的运算
1．对数的运算法则
(a>0且a≠1，M>0，N>0) (1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN ；
(2)logaMN＝ logaM－logaN
；
(3)logaMn＝ nlogaM .
2．对数运算性质
学案7：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1第2课时 对数的运算[学习目标]1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝ ；(2)log a M N＝ ； (3)log a M n ＝ (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c b log c a. [基础自测]1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )(3)log 2(－3)2＝2log 2(－3)．( )2．计算log 84＋log 82等于( )A ．log 86B ．8C ．6D ．13．计算log 510－log 52等于( )A ．log 58B ．lg 5C ．1D ．2 4．log 23·log 32＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]类型一 对数运算性质的应用计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟踪训练]1．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.类型二 对数的换底公式计算：(1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52).[规律方法] 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.2.常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m ＝m n log a b ，log a b ＝1log b a等. [跟踪训练]2．求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．类型三 对数运算性质的综合应用[探究问题]1． 若2a ＝3b ，则a ，b 间存在怎样的等量关系？2．若log 23＝a ，log 25＝b ，你能用a ，b 表示log 415吗？已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求c 的值.[规律方法] 应用换底公式应注意的两个方面化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式1．计算：log 153－log 62＋log 155－log 63＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．计算log 92·log 43＝( )A ．4B ．2 C.12 D.143．设10a ＝2，lg 3＝b ，则log 26＝( )A.b aB.a ＋b aC ．abD ．a ＋b 4．log 816＝________.5．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)log 2748＋log 212－12log 242－1.【参考答案】[自 主 预 习·探 新 知]1．(1) log a M ＋log a N (2) log a M －log a N (3) n log a M 思考：[提示] 不一定．[基础自测]1． (1)√ (2)× (3)×2．D 【解析】log 84＋log 82＝log 88＝1.3．C 【解析】log 510－log 52＝log 55＝1.4．1 【解析】log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1. [合 作 探 究·攻 重 难] 解 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12. [跟踪训练]1．解 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2. (2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13. [跟踪训练]2．解 (1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.[探究问题]1．提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴a b＝log 23. 2．提示：log 415＝log 215log 24＝log 23＋log 252＝a ＋b 2. 解 ∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5， ∴1a ＋1b＝log c 15. 由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.[当 堂 达 标·固 双 基]1．B 【解析】原式＝log 15(3×5)－log 6(2×3)＝1－1＝0.2．D 【解析】log 92·log 43＝lg 2lg 9·lg 3lg 4＝14. 3．B 【解析】∵10a ＝2，∴lg 2＝a ，∴log 26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a ＋b a. 4．43 【解析】log 816＝log 2324＝43. 5．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32＝－32.。
2018高中数学必修1课件：2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数的运算 探究导学课型 精品
【深度思考】 结合教材P65例4，你认为应怎样利用对数的运算性质 计算对数式的值？ 第一步：_______________________________________ _______. 将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性 第质二转步化：_________________________.
利用对数的性质化简、求值
logaMn=nlogaM
主题2:换底公式
1.假设 log25 =x,则log25=xlog23，即log25=log23x， 从而有3lxo=g52 3，将其化为对数式，进一步可得到什么
结论？
提示：由3x=5知x=log35,即log35= log2 5 . log 2 3
2.同样由 提示：由
log356 log3(23 7) 3log32 log37 3b a . log314 log3(27) log32 log37 a b
【规律总结】换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同 底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常 用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变 形应用.
【规律总结】对数的运算性质在解题中的两种应用
提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适 用于同底的对数的化简.
【巩固训练】(2016·长春高一检测)已知x，y，z都是 大于1的正数，m>0，m≠1，且logmx=24，logmy=40， logm(xyz)=80，则logmz的值为 ( )
A. 1
B.16
C. 200
D. 3
60
3
20
【解析】选B.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+ logmz=80， 而logmx=24，logmy=40，故logmz=80-2440=16.
2019-2020学年苏教版必修一 第2章 2.2 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值 课件(48张)
【例 3】 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值． 思路点拨：f(x)的对称轴是 x＝a，a 是运动变化的，故求最值时， 应该讨论 a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．
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[解] ∵函数图象的对称轴是 x＝a，∴当 a<2 时，f(x)在[2,4]上 是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
(2)函数 f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2
的最大值是________．
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(1)1 (2)3 [(1)f(x)＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1) ＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.
(2)作出 f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.
]
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利用单调性求函数的最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x－x 1. (1)用函数单调性定义证明 f(x)＝x－x 1在(1，＋∞)上是单调减函 数； (2)求函数 f(x)＝x－x 1在区间[3,4]上的最大值与最小值．
(－∞，0)∪12，2 [函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋ ∞)上也是减函数，而 x∈(－∞，1)∪[2,5)，
所以 y∈(－∞，0)∪12，2.]
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3．函数 y＝x2－2x－1 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ________．
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[提示] (1)×.因为在定义域内找不到 x 使得 x2＝－1 成立． (2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确． (3)×.“＋∞”不是一个具体数．
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2.函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是 _________．
最新2024人教版七年级数学上册2.2.1 第2课时 有理数乘法的运算律及运用--教案
2.2.1 有理数的乘法思考：几个不为0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？师生活动：第一步：学生先独立完成.第二步：小组探讨(1)有序交流：组长主持，组内交流，及时指导.(2) 汇总意见：组内总结得到的结论.(3) 展学准备：组长分工，做好展讲准备.第三步：展学方式：抽一小组做展讲要求：声音洪亮，语言流畅，分工合理，各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价. 带领学生归纳总结多个有理数相乘的积的符号法则.归纳总结：几个不是0 的数相乘，负因数的个数是_____时，积为正；负因数的个数是_____时，积为负.简而言之：奇负偶正例1 计算：师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．7.8×(－8.1)×0×(－19.6)归纳总结：几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于____.知识点二：有理数的乘法运算律思考：对于例1 (2) 有没有简便的方法计算.想一想：我们学过的非负有理数的乘法运算律有哪些？追问：在有理数运算过程中，这些运算律也是成立的吗？探究2 结合非负有理数运算律的探究过程，请大家“依葫芦画瓢”，完成以下几个任务.(1) 在以下图案中任意填写一个有理数(至少有个数是负数)，相同图案中所填写的数字相同.好的促进作用.(2) 计算各式，观察左右两个式子的结果有什么特点？预设结果1：生：设定为5，为－6 .5×(－6)＝－30 (－6)×5＝－30师：通过以上计算过程，可以获得怎样的结论？生：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.师：用含字母的式子表示乘法交换律呢？生：乘法交换律：ab＝ba预设结果2：生：设定为3，为－4，为－5.[3×(－4)]×(－5)＝60 3×[(－4)×(－5)]＝60师：通过以上计算过程，可以获得怎样的结论？生：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.师：用含字母的式子表示乘法交换律呢？生：乘法结合律：(ab)c = a(bc)预设结果3：生：设定为3，为－7，为 5.5×[3＋(－7 )]＝－20 5×3＋5×(－7 )＝－20师：通过以上计算过程，可以获得怎样的结论？生：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.师：用含字母的式子表示乘法交换律呢？生：分配律：a(b + c) = ab + ac例2 用两种方法计算师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析.例3 用两种方法计算师生活动：1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题.2小组内批阅.3.对板演的内容进行评价纠错.三、当堂练习，巩固所学1. 计算：教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.。
2.2.1++无脊椎动物(第2课时)课件-2024-2025学年人教版生物七年级上册
课堂练习 1.下列关于无脊椎动物的叙述，正确的是（ D ） A.节肢动物都能飞行 B.环节动物由许多差别较大的体节组成 C.软体动物体表都有贝壳 D.环节、软体、节肢动物都是无脊椎动物
课堂练习 解析：A.节肢动物中的昆虫一般具有翅，能在空中飞行；而其它节肢动物 如甲壳纲、蛛形纲、多足纲，没有翅，不能在空中飞行，故A错误；B.环 节动物身体细长，由许多相似的环状体节组成，故B错误；C.软体动物的身 体柔软，有外套膜，一般具有贝壳，但有的贝壳退化，如乌贼，故C错误； D.脊椎动物包括鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳类动物，无脊椎动物
包括刺胞动物、扁形动物、线虫动物、环节动物、软体动物、节肢动物等。
故D正确。故选D。
课堂练习 2.无脊椎动物与人类的关系非常密切，下列叙述中不正确的是（ D ） A.蚯蚓能够疏松土壤，提高土壤肥力 B.蝴蝶、蝇在仿生学方面发挥了重要作用 C.海蜇、扇贝含有丰富的营养物质，可以食用 D.华枝睾吸虫、蛔虫、秀丽隐杆线虫都寄生在人体内，对人体有害
知识讲解 知识点二 无脊椎动物与人类生活的关系
蛭会吸附在人的皮肤上吸取血 液，它的唾液中有防止血液凝固的 物质—─-蛭素。在医学上可以利 用提取的蛭素生产抗血栓药物。
知识讲解 知识点二 无脊椎动物与人类生活的关系
蝗虫啃食农作物，可引 发蝗灾，会降低农作物产量 甚至造成绝收。
知识讲解 知识点二 无脊椎动物与人类生活的关系
蜜蜂为植物传播花粉， 还可以生产蜂蜜。
果蝇是经典的实验动物，许多重 要的科研成果都与它分不开。
知识讲解 知识点二 无脊椎动物与人类生活的关系
蛾的幼虫取食植物，是农业害虫，但是它们的成虫可以协助 植物传播花粉。
知识讲解 知识点二 无脊椎动物与人类生活的关系
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第2课时 对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝____________________；
(2)log a M
N
＝____________________；
(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式
log a b ＝log c b
log c a
(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；
特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) B ．(log a x )n ＝n log a x
C.log a x n ＝log a n x
D.log a x log a y
＝log a x －log a y 2．计算：log 916·log 881的值为( )
A ．18 B.118 C.83 D.3
8
3．若log 51
3
·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )
A ．9 B.19 C ．25 D.1
25
4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1
b
＝2，则A 等于( )
A ．15 B.15 C ．±15 D ．225
5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )
A.a b －1
B.32(b －1)
C.3a
2(b ＋1)
D.3(a －1)2b
6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a
b
)2的值等于( )
A ．2 B.12 C ．4 D.1
4
二、填空题
7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷4
25＝_____________________________________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定
的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝2
3
lg E －3.2，其中E (焦
耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题
10．(1)计算：lg 12－lg 5
8
＋lg 12.5－log 89·log 34；
(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1
b
的值．
11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
能力提升
12．下列给出了x 与10x 的七组近似对应值：
A ．二
B ．四
C ．五
D ．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，
估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1
3
？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301
0，lg 3≈0.477 1)
第2课时 对数的运算
知识梳理
1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C
2．C [log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝8
3.]
3．D [由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x
lg 6＝2，
lg x ＝－2lg 5，x ＝5－
2＝125
.]
4．B [∵3a ＝5b
＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 由1a ＋1
b
＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15.]
5．C [∵log 89＝a ，∴lg 9
lg 8
＝a .
∴log 23＝3
2a .
lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1)
.]
6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2，
lg a lg b ＝1
2.
于是(lg a
b
)2＝(lg a －lg b )2
＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×1
2＝2.]
7.6
5－3
解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(
3
254
25
－
125425
) ＝2log 5(10×0.5)＋213132
22
5
5
---
＝2＋16
5－5＝6
5－3. 8．1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，
则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2
E 1
＝3.
∴E 2
E 1
＝103＝1 000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg 12－lg 5
8
＋lg 12.5－log 89·log 34
＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13
.
方法二 lg 12－lg 5
8＋lg 12.5－log 89·log 34
＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2
lg 3
＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－1
3.
(2)方法一 由3a ＝4b
＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，
所以2a ＋1
b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.
方法二 因为3a
＝4b
＝36，所以136a
＝3, 136b
＝4，
所以(136a )2·
136b
＝32×4， 即21
36
a b
+＝36，故2a ＋1b
＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，
∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1
2
.
又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，
即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1
2
.
∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a
lg b )
＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2
lg a ·lg b
＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b
lg a ·lg b
＝2×22－2×
1
2
12
＝12，
即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ，
∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1， ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，
∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．
∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．]
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .
依题意，得1
3＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75
＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3
＝0.477 1
2×0.301 0－0.477 1
≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1
3.。