广义容斥原理及其应用ppt课件
广义容斥原理
点算的奥秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「点算组合学」中的一条重要原理。
但凡略为复杂、包含多种限制条件的点算问题，都要用到这条原理。
现在首先从一个点算问题说起。
例题1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？答1：我们可以把上述问题表达为下图：其中红色、绿色和蓝色圆圈分别代表选修英语、法语和德语的学生。
根据三个圆圈之间的交叉关系，可把上图分为七个区域，分别标以A至G七个字母。
如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。
现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G。
如何利用以上数据求得答案？把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。
可是这结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。
由于等式(4)－(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，得A+B+C+D+E+F = 36。
可是这么一来，本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 39，即该班共有39名学生。
□在以上例题中，给定的数据是三个集合的元素个数以及这些集合之间的交集的元素个数。
在该题的解答中，我们交替加上及减去这些给定的数据。
容斥原理
令U为全体非负整数解，A1为其中x1>5的整数解， A2为其中x2>6的整数解，A3为其中x3>7的整数解。 则|U|=C(17,2)。A1相当于求线性方程 (x1+6)+x2+x3=15
的非负整数解，其个数为|A1|=C(9+3-1,9)=C(11,2)。 类似有：|A2|=C(8+3-1,8)=C(10,2)， |A3|=C(7+3-1,8)=C(9,2)。
A B C U A BC A A C A B B B C C 871.
例6 求由abcd这4个字符构成的n位符号串中，a、b、 c都至少出现一次的数目。 令A、B、C分别表示不出现a、b、c的符号串的集合。 A中不出现a，即符号串的每一位只能取bcd之一， 有三种选择，因此|A|=3n。 类似有|B|=|C|= 3n ， |A∩B|=|B∩C|=|A∩C|= 2n，|A∩B ∩C |= 1n=1，|U|= 4n。 因此满足条件的符号串的数目为：
例10 第二类Stirling数，是指m个不同的球放到n个 相同的盒子里，且无一空盒的方案数。 先考虑盒子都不相同的情形。 令Ai (i=1,2,…,n)表示第i个盒子为空的放法的集合。 则显然有|U|=nm，|Ai|=(n-1)m。 类似有：|Ai∩Aj|=(n-2)m， |Ai∩Aj∩Ak|=(n-3)m，… 因此第二类Stirling数为： n ! S ( m, m ) A1 A2 ... An
例如60=22×3×5，所以
y( n) = 60(1 1 / 2)(1 1 / 3)(1 1 / 5) 16,
即比60小且与60互素的数有16个： 1，7，11，13， 17, 19, 23，29，31，37，41，43，47，49，53，59。
容斥定理
应用及广义下的容斥定理（一般形式）
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N对夫妇问题
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广义下的容斥定理(一般形式)
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பைடு நூலகம்
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广义容斥定理的应用
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科普一下
• 容斥原理是莫比乌斯反演(Mobius Inversion)在有限偏序集上的一个实例。 • 莫比乌斯环:公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰· 李斯丁发现： 把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具 有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的 纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种 纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面只有一个）。
再见啦(-_-!)
Ch4广义容斥原理
广义容斥原理是一种强大的工具，用于解决组合数学中的计数问题。
广义容斥原理的定义
广义容斥原理是一种用于计算集合交并运算的定理，适用于处理含有多个集合的复杂计数问题。
核心概念
通过计算多个集合的交集和并集来确定所需计数的对象。
重叠计数
广义容斥原理可以有效处理重叠计数的情况，避免了重复计算。
广义容斥原理是组合数学中非常重要的工具，可以用于解决排列组合、概率计算、图论等领域中的复杂计数问 题。
广义容斥原理的公式推导
广义容斥原理可以通过组合数学的技巧和原理来推导得到。具体的推导过程 可以通过分析交并运算的排斥关系来完成。
广义容斥原理的示例解释
1
例子1: 骰子问题
广义容斥原理可以用来计算同时满足多个骰子点数要求的情况数。
2
例子2: 颜色问题
通过广义容斥原理，可以计算从不同颜色中选择满足一定要求的对象的方法数。
3
例子3:小球问题
广义容斥原理可以用于计算从不同形状和颜色的小球中，选取特定组合的方法数。
广义容斥原理的优缺点分析
1 优点
2 缺点
广义容斥原理是一种通用且强大的计算工具， 适用于处理多个集合的复杂计数问题。
使用广义容斥原理计算复杂问题可能需要较 大的计算量和时间。
广义容斥原理在组合数学中的应用
广义容斥原理的应用场景
生日问题
广义容斥原理可以用于计算在不 同条件下满足特定生日要求的人 数。
彩球问题
通过广义容斥原理，可以确定在 多种颜色和形状的彩球中选取特 定组合的方法数。
信封问题
用于计算在不同排列方式下，所 有信封都被装错信的概率。
广义容斥原理的基本思想
广义容斥原理的基本思想是通过减去重复计数来得到所需计数。通过适当的 组织和计算，可以得到准确的结果。
Chap3-2广义容斥原理
例1 某校有12个教师,已知教数学的有8位,教物 理的有6位,教化学的5位;数,理5位,数,化4 位,理,化3位;数理化3位.问教其他课的有几 位?只教一门的有几位?只教两门的有几位? 解: 令教数学的教师属于A1,教物理的属于A2, 教化学的属于A3. 则 a(0)=12,
a(1)=|A1 |+|A2|+|A3 |=8+6+5=19; a(2)=|A1∩A2|+ |A1∩A3|+|A2∩A3|=12; a(3)=|A1∩A2∩A3|=3;
定理(广义容斥原理): m + 1 nm n b ( m) = a ( m ) a(m + 1) + + (1) a(n) m m n k k m = ∑ (1) a (k ) k =m m 特别的,当m=0时
b(0) = a (0) a (1) + a (2) + (1) a (n)
假定n位夫人 w1 , w2 , , wn 先依次围圆桌坐下, 要求相邻两位之间留下一个空位.然后,她们的 丈夫 h1 , h2 , , hn 再找空位坐,这样保证了男女相 间而坐. 设正好有r对夫妻相邻而坐的方案数为M(n,r),则
M (n, r ) = ∑ (1)
k =r n k r
k 2n 2n k (n k )! r 2n k k
注意: A ∩ A = , i i +1
i = 1, 2, , 2n
对于n < k < 2n
Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik = 0
a(k ) = ∑ Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik = 0
对于0 < k ≤ n
a(k ) = ∑ Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik 2 n 2n k 1 = (n k )! k k 1
广义容斥原理
广义容斥原理广义容斥原理，是高等数学中比较重要的一个概念。
它可以有效地解决一些复杂的计数问题，并且在离散数学等领域也有广泛的应用。
广义容斥原理最早是由西方数学家Lucas在19世纪提出的，它是一种使用集合交、并运算的思想来求解问题的方法。
它的核心思想是采用容斥原理，在计算某个数量时，分别去除多个集合的重复算数，再将不重复的算数重新相加起来。
这样可以避免重复计算，使计算更加准确和高效。
广义容斥原理可以用一个简洁的公式来表示：$N(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_i \leq n} N(A_{j_1} \cap A_{j_2} \cap \cdots \cap A_{j_i})$广义容斥原理的表述可能比较抽象，下面我们通过一个例子来加深理解。
例子1：有一个班级，学生会征集学生参加文艺晚会，分别需要找一个唱歌的、跳舞的、朗诵的和乐器演奏的学生。
假设有 $20$ 名学生，其中有 $5$ 名会唱歌，$6$ 名会跳舞，$4$ 名会朗诵，$3$ 名可以演奏乐器，$2$ 名既能唱歌又会跳舞，$1$ 名既能唱歌又会朗诵，$1$ 名既能唱歌又能演奏乐器，$1$ 名既能跳舞又会朗诵，$1$ 名既能跳舞又能演奏乐器，$1$ 名既能朗诵又能演奏乐器，$1$ 名既会唱歌、跳舞又会朗诵，$1$ 名既会唱歌、朗诵又会演奏乐器，$1$ 名既会唱歌、跳舞又会演奏乐器，$1$ 名既会跳舞、朗诵又会演奏乐器。
问共有多少名学生可以参加这个文艺晚会？解：根据题目可以得到：参加唱歌的学生数为 $5$ 人，同时知道：1. 既能唱歌又会跳舞的学生有 $2$ 人；现在需要计算至少符合其中一个条件的学生数目。
假设 $A_1$ 表示所有会唱歌的学生, $A_2$ 表示所有会跳舞的学生，$A_3$ 表示所有会朗诵的学生，$A_4$ 表示所有会演奏乐器的学生，那么符合条件的学生数目就是：$N(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)$。
组合数学课件第三章第三节广义的容斥原理
A2为其中x2≥7的解；
y2=x2-7≥0的解；
A3为其中x3≥8的解。
y3=x3-8≥0的解。
A1的个数，相当于对（y1+6）+x2+x3=15求非负 整数解的个数。
C(3+9-1,9)=C(11,2)
3.7 广义容斥原理的若干应用
A2的个数，相当于对x1+(y2+7)+x3=15求非 负整 数解的个数。 C(3+8-1,8)=C(10,2) A3的个数，相当于对x1+x2+(y3+8)=15求非 负整 数解的个数。 C(3+7-1,7)=C(9,2)A1A2A3A4A1A2A3A4
A1A2A3A4A1A2A3A4 13004
(2)A 1 A 2 A 3 A 4A 1 A 2 A 3 A 4A 1 A 2 A 3 A 4
4 A 1 A 2 A 3 A 4A 1 A 2 A 3 A 4A 1 A 2 A 3 A 4
M PC
3.6 广义的容斥原理
MPC (M P ) (M C )
关于M互为补集
因此：只参加数学课 学习的人数有
M
P
C
M P C M (M P ) (M C ) M ( M P ) ( M C ) ( M P C ) 17 (4 0 52)0 3108
3.6 广义的容斥原理
(m ) A i1 A i2 . ..A im
设a包含在t个集合中,A1,A2,...,At，t>m,
a在(m)中计算了多少?次 C(t,m) a在(m1)中计算多少 ？次 C(t,m1)
.. .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .
广义容斥原理的应用
广义容斥原理的应用什么是广义容斥原理广义容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，用于解决多重集合的计数问题。
它是容斥原理的一种推广形式，可以帮助我们计算包含多个集合的交集或并集的元素个数，从而解决一些复杂的计数问题。
广义容斥原理的表述方式广义容斥原理可以用以下的数学表达式来描述：$$ \\left| A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots \\cup A_n \\right| = \\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \\left( \\sum_{1 \\leq i_1 < i_2 < \\ldots < i_k \\leq n} \\left| A_{i_1}\\cap A_{i_2} \\cap \\ldots \\cap A_{i_k} \\right| \\right) $$其中，$A_1, A_2, \\ldots, A_n$ 是 n 个集合的集合，|A|表示集合 A 的元素个数，$A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots \\cup A_n$ 表示 n 个集合的并集。
广义容斥原理的应用场景广义容斥原理在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们来看一些常见的应用场景。
1. 事件概率的计算广义容斥原理可以用于事件概率的计算，特别适用于计算多个事件的交集概率或并集概率。
例如，考虑一个有限样本空间 $\\Omega$，有 n 个事件 $A_1, A_2, \\ldots,A_n$，其中 $A_i \\subset \\Omega$ 表示事件 i。
可以利用广义容斥原理计算这 n个事件的交集的概率或并集的概率。
2. 数值问题的计数广义容斥原理还可以用于解决数值问题的计数，尤其适用于计算满足特定条件的元素个数。
例如，考虑一个集合S，其元素满足一定的条件。
我们可以利用广义容斥原理计算满足这些条件的元素个数。
3. 排列组合问题的计数广义容斥原理也可以用于排列组合问题的计数，帮助我们计算满足一定条件的排列或组合的个数。
最新第六章 容斥原理及应用6.4 带有禁止位置的排列【共享精品-】教学讲义PPT课件
例： 令 X1={1, 4}, X2 ={3}, X3= , X4={1, 5},
X5={2, 5}则P(X1, X2 , X3 , X4 , X5 )中的排列 一一对应具有下图所示禁止位置。
也可以这样讲：
i1 1 , 4； i2 3 ； i4 1 , 5； i5 2 , 5；
1 2 34 5
通过例题我们看出，运用定理6.4.1仅仅计算 ri , 比直接将n个非攻击型车放到禁放位置的n行 n列棋盘上的方法数更容易，但ri的求法与禁止 位置数量有关，禁止位置数太多时求ri就困难。
22
例：讨论对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1≠３， P２≠１、４， P３≠2、４， P4≠2。
解：这样的排列对应于有禁区的放车。如下图
１不干B; ２不干B、C; ３不干C、D; ４不干D。 问有多少种可行方案？
解 A B C D 由题意，可得如左棋盘：
1 其中有影线的格子表示 2 禁区。 r1 =6， 3 r2=1+1+3×2+1×2=10
4
25
r3=(1×2)+(2×1)=4 ； r4= 0 故方案数为：
n!－r1(n－1)!+r2(n－2)!－…..+(-1)nrn =4!－6(4－1)!+10(4－2)!－4(4－3)! +0(4－4)!=4
故：P(X1,X2,X3,X4)={3412，4123}= 2
3
同时出现yyy ， zz的排列的集合为A2∩A3 ，
A2 A3
6! 30 4!1!1!
同时出现xxxx, yyy, zz的排列的集合为:
A 1A 2A 3 1 !1 3 ! ! 1 !6
利用容斥原理：
容斥原理讲课讲稿PPT共27页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Hale Waihona Puke 谢谢！51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
容斥原理及应用
| A2 | T * 的至少有5 个 b的10组 合 数 5 3 1 7 7 6 T 的 5 组合数 5 2 2 21； 将 6 个 c 加到T * 的 4 组 合得到至少有6 个 c 的10组 合，
*
| A3 | T * 的至少有6 个 c 的10组 合 数 4 3 1 6 6 5 T 的 4 组合数 4 2 2 15。
A2 为至少有 5 个 b 的 T * 中 10 组合的集合， A3 为至少有 6 个 c 的 T * 中 10 组合的集合。
10 3 1 12 1211 | S | 10 2 2 66
将 4 个 a 加到T * 的 6 组 合得到至少有4 个 a 的10组 合， | A1 | T * 的至少有4 个 a 的10组 合 数 6 3 1 8 8 7 T 的 6 组合数 6 2 2 28； * 将 5 个 b 加到T 的 5 组 合得到至少有5 个 b的10组 合，
A1 : y1 5 z1 y1 5
A2 : y2 7 z 2 y2 7
A3 : y3 6
A4 : y4 7
z1 z 2 y3 y4 4
4 4 1 7 7 6 5 | A1 A2 | 35 3 3 6 z1 y1 5 z 3 y3 6 z1 y2 z3 y4 5 5 4 1 8 8 7 6 | A1 A3 | 56 3 3 6 z1 y1 5 z 4 y4 7 z1 y2 y3 z 4 4 4 4 1 7 7 6 5 | A1 A4 | 35 3 3 6
组合数学幻灯片31容斥原理
p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子
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a(0) N mn
a(1)
A1
A2
...
Am
m 1
(m
1)
n
m
a(2)
i 1
j i
Ai
Aj
m 2
(m
2)
n
…………
m
a(k)
...
Ai1
Ai2 ...
Aik
m k
(m
k
)
n
i1 1 i2 i1 ik ik1
2020/3/21
12
第二类Stirling数的展开式
m!S(n, m） A1 A2 ... Am b(0) a(0) a(1) a(2) ... (1)n a(n)
a(m) Ai1 I Ai2 L I Aim
b(m)是正好具有m个性质的元素的个数。
__ __
__
b(0) | A1 A2 An |
__
__
b(m) | Ai1 Ai2 Aim Aim1 Ain |
2020/3/21
6
广义容斥原理
例如，对于n=3,m=2
a(2) A1 I A2 A1 I A3 A2 I A3
问：本月借了这三本书的共有多少人？
2020/3/21
2
文氏图简单解决问题
A:借《组合数学》 B:借《西游记》 C:借《算法导论》
同时借这三本书的人数设为M M=|A∩B∩C|
A
20
24 3
15
B
15
7
C8
2020/3/21
3
若将问题修改成“只借《组合数学》的人数Y？”，“只借一本 书的人数Z？”
n m
a(n)
k
n m
(1)k
m
k m
a(k
)
推论：当m=0时
b(0) a(0) a(1) a(2) L (1)n a(n)
2020/3/21
8
广义容斥原理一个应用
第二类Stirling数的展开式
在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法 数目S(n,k)。换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺 序围圈的分组方法的数目。 第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目S(n,k)。换个较生活化 的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。
2020/3/21
广义容斥原理及其应用
主讲人： 09013408 黄颖 第11组小组成员： 09013302 蔡萌
09013304 景昕蕊 09013406 周1宇池
例：
院系图书借记表统计了一个月内《组合数学》、《西游记》、 《算法导论》三本书的借记统计情况，借这三本书的人数分别 是62、45、33，同时借了《组合数学》、《西游记》的有23人， 同时借了《组合数学》、《算法导论》的有18人，同时借了 《西游记》、《算法导论》的有10人，同时借了三本书的有3人。
2020/3/21
s(4,2)=11
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第二类Stirling数的展开式
n个有区别的球放到m个相同的盒子中（n>m），要求无一空盒， 其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。即S(n,m)也 就是将n个数拆分成非空的m个部分的方案数。
S(n, m) 1
m
(1)k C(m, k )(m k)n
m
(1)k C(m, k )(m k )n k 0
n个有标志的球，放进m个无区别的盒子，无一空盒的方案数为：
S(n, m) 1
m
(1)k C(m, k )(m k )n
m! k 0
2020/3/21
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Y= AI B I C A AI B AI C A I B I C
同理：记
Y1= AI B I C B B I A B I C A I B I C Y2= AI B I C C C I A C I B A I B I C
Z=Y+Y1+Y2
2020/3/21
4
容斥原理与广义容斥原理
m! k 0
2020/3/21
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第二类Stirling数的展开式
Ai表示第i个盒为空,其它盒任意的方案数（i=1,2,…,m）。考虑n个 有标志的球，放进m个有区别的盒子，得到无一空盒的方案数为
m!S(n, m） A1 A2 ... Am
2020/3/21
11
第二类Stirling数的展开式
容斥原理解 决的问题：
| _A_1 _A_ 2 A_n_ |
| A1 A2 An |
广义容斥原理解决的问题：
__
__
| A1 A2 Ai Ai1 An |
2020/3/21
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广义容斥原理
设有与性质１,2,···,n相关的元素N个，Ai为有第 i 种性质的元 素的集合.i=1,2,…,n
定义a(0)=n；当m>1时
b(2) A1 I A2 I A3 A1 I A2 I A3 A1 I A2 I A3
利用这些记号
b(1)=a(1)-2a(2)+3a(3) b(2)=a(2)-3a(3)
2020/3/21
7
广义容斥原理
定理（广义容斥原理）：
m 1
b(m) a(m)
m
a(m 1) L
(1)nm