北师大版数学八年级下册课件1.2.1直角三角形(共28张PPT)
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北师大版八年级数学下册.2直角三角形全等的判定课件
课堂总结
本节课你学到了什么？
判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判 定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边， 用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定． (4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
中考链接
7.【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝ 90°， (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝__2_0__°___.
证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA都是直角三角形． 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AB＝BA，BC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA.
课堂练习
5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点 O，且∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO； ③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
拓展提高
6.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点， 点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D， BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( C ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
课堂练习
4.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADC的是( C ) A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
新北师大版八年级数学初二下册1.2 直角三角形 PPT课件
三角形两直角边分别为a、b，斜 边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文 献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
a c 勾 股 弦
b
勾股定理的证明
方法一:
拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算
动手试一试 B 2.房梁的一部分如图所示,其中 B1 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是 多少？B1C1呢？ A 3 0 C C 1 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知 ∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个 ),
b
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就 把这一证法称为“总统”证法．
勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那
么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
定理与逆定理 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?
本课小结
命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分
别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
a c 勾 股 弦
b
勾股定理的证明
方法一:
拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算
动手试一试 B 2.房梁的一部分如图所示,其中 B1 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是 多少？B1C1呢？ A 3 0 C C 1 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知 ∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个 ),
b
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就 把这一证法称为“总统”证法．
勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那
么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
定理与逆定理 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?
本课小结
命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分
别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题. 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察上面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形
巩固练习： 说出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一 定是真命题吗？
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是 真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 你还能举出一些例子吗?
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
互逆定理：如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是个定理，这 两个定理称为互逆定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理.
判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题. 我们已经学习了一些互逆定理，如勾 股定理及其逆定理、“两直线平行，内错 角相等与“内错角相等，两直线平行”等 . 请你再举出一些互逆定理的例子.
2 、 在 △ ABC 中 ， 已 知 AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线 AD=12cm.求证：AB=AC.
知识拓展
已知：△ABC中，∠ C=600，AB=14，AC=10， AD是BC边上的高，求BC的长 A 解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理 计算线段的长，是勾股定理的一 C 个重要应用，在有直角三角形时， 可直接应用，在没有直角三角形 时，常作垂线构造直角三角形， 为能应用勾股定理创造条件。
D
B
独立作业
3
3.如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正 四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面 到点C1处吃食物,那么它需要爬行的 D C 最短路径是多少？ C
1 1
习题1.4
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
解：在Rt△ADC和Rt△CBA中， DA＝BC， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL) AC＝CA，
∴DC＝BA 又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠AEB＝∠CFD＝90° 在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB＝CD，
AE＝CF，
∴Rt△ABEΒιβλιοθήκη Rt△CDF(HL)课堂检测，巩固新知
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( B )
（1）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)． （2）符号表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， ∵AC＝A′C′，AB＝A′B′(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
2.布置作业：
(1)教材第20页随堂练习第1，2题． (2)教材第21页习题1.6第1，2，3题.
∠AFC＝∠BEA，
在△ACF和△BAE中， ∠FAC＝∠EBA， ∴△ACF≌△BAE(AAS) AC＝BA，
∴AF＝BE
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别
为E，F，且DE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
实践探究，交流新知
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90° ，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上， 它们全等吗？
作法： (1)画∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC； (3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线 C′N于点A′； (4)连接A′B′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形(如图)．
∴∠BFD＝∠CED＝90°
∴DC＝BA 又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠AEB＝∠CFD＝90° 在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB＝CD，
AE＝CF，
∴Rt△ABEΒιβλιοθήκη Rt△CDF(HL)课堂检测，巩固新知
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( B )
（1）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)． （2）符号表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， ∵AC＝A′C′，AB＝A′B′(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
2.布置作业：
(1)教材第20页随堂练习第1，2题． (2)教材第21页习题1.6第1，2，3题.
∠AFC＝∠BEA，
在△ACF和△BAE中， ∠FAC＝∠EBA， ∴△ACF≌△BAE(AAS) AC＝BA，
∴AF＝BE
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别
为E，F，且DE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
实践探究，交流新知
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90° ，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上， 它们全等吗？
作法： (1)画∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC； (3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线 C′N于点A′； (4)连接A′B′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形(如图)．
∴∠BFD＝∠CED＝90°
北师大版八年级数学(下)课件：1.2.1直角三角形
我掌握的概念_______：
我学会了_______；
我还知道了_______．
当堂检测
A组：
1．下列命题中，其逆命题成立的___________．（只填 写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角 形是直角三角形．
6，CB＝24，AB＝26．则四边形ABCD
的面积为
．
4．已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，
BC＝15，DB＝9．
C
3题图
（1）求DC的长；
（2）求AB的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． A
DB
4题图
这节课大家通过自己的努力和小组的合 作，相信每个同学都有所收获．整理一下本 节课的所学，写下来．
DE=AB，DF=AC(如图)，
则 DE2 DF 2 EF 2 .(勾股定理)．
B
C
∵AB2 AC2 BC2, DE=AB，DF=AC,
∴ BC 2 EF 2.
∴BC= EF
D
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
定理2证明：
a bc
c a
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
1 2
a2
1 2
b2
ab.
c
a
s2
1 2
我学会了_______；
我还知道了_______．
当堂检测
A组：
1．下列命题中，其逆命题成立的___________．（只填 写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角 形是直角三角形．
6，CB＝24，AB＝26．则四边形ABCD
的面积为
．
4．已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，
BC＝15，DB＝9．
C
3题图
（1）求DC的长；
（2）求AB的长； （3）求证：△ABC是直角三角形． A
DB
4题图
这节课大家通过自己的努力和小组的合 作，相信每个同学都有所收获．整理一下本 节课的所学，写下来．
DE=AB，DF=AC(如图)，
则 DE2 DF 2 EF 2 .(勾股定理)．
B
C
∵AB2 AC2 BC2, DE=AB，DF=AC,
∴ BC 2 EF 2.
∴BC= EF
D
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
定理2证明：
a bc
c a
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
1 2
a2
1 2
b2
ab.
c
a
s2
1 2
北师大版八年级数学下册1.2 《直角三角形 》 课件 1 (共18张PPT)
请证明你的结论.
我能行
1
命题的证明
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等. 证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′
A
●
C A′ (1)
●
(2)
C′ A′
●
(3) C′
由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; 因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形 不一定全等.
我能行
2
命题的证明
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900. 求证:△ABC≌△A′B′C′. B B′
分析: 要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只 要能满足基本事实 (SSS),(SAS),(ASA)和推论 (AAS)中的一个即可.由已知 C 和根据勾股定理易知,第三条 边也对应相等.
C
A C′
A′
做一做
1
作直角三角形
议一议
蓄势待发
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来. 增加AC=BD; C D O 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ; B A 增加∠CAB=∠DBA ; 你能分别写出它们的证明过程吗?
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?
你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?
北师大版八年级数学下册第一章《直角三角形》精品课件
w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;真
w两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 真
w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的
两个直角三角形全等. 真
A
E
C
D
BG
H
F
2、如图，两根长度为12m的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木 桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 说明理由。 解：相等。
用HL可证Rt△ACD≌Rt△AED； 证明Rt△ACD≌Rt△AED
（3）不能
•
你们得到的三角形全等吗？你能得到什么样的结论呢？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简述为：“斜边、直角边”或“HL”
你能证明它吗？
合作探究
w已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
BC=B′C ′, AB=A′B′
w求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
测试评价 l1、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF， 求证：△ABC是等腰三角形
l证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
l∴BD=CD
l∵ DE⊥AC，DF⊥AB
l∴∠1=∠2=90° l∵BD=CD,DE=DF
1
2
l∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
A′
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
AB=A′B′B′
C
A C′
A′
证明： ∵在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理) ∵ AB=A'B'，BC=B'C'，∴AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
1.2.2直角三角形-北师大版八年级数学下册课件
重难点
重点
掌握直角三角形“HL”全等判定定理， 运用直角三角形全等解决简单的实际问题．
难点
证明“HL”定理的思路的探究和分析．
温故知新
1.之前我们学习了判断两个三角形全等的 ④连接AB，得到Rt△ABC.
“HL”定理解决°，AB＝A′B′，BC＝B′C′．
达标检测
4.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别 为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
能力提升
5.如图①，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线
且点B,C在AE的异侧，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E. （1）求证：BD=DE+CE； （2）将直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD<CE),其它条件不变，
第一章 三角形的证明
1.2.2直角三角形
学习目标
1.经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索 过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用
“HL”定理解决实际问题． 2.能用尺规完成作图： 已知一条直角边和斜边作直角三角形. 3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理 能力，培养学生思维的灵活性与开放性．
合作探究，获取新知
∵∠DEF+∠F＝90°，
（3）将直线AE绕A点旋转到图③位置时(BD>CE),其它条件不变，
已知：如图，线段a，c（a<c），直角α． 如果其中一组等边的对角是直角，它们还全等吗？
①作∠MCN＝∠α=90° 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
∴∠B+∠F＝90°.
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c． （2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
直角三角形(第一课时)-八年级数学下册课件(北师大版)
巩固练习 拓展提高
判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 2，b = 3，c = 4. （2）a = 9，b = 7，c = 12. （3）a = 25，b = 20，c = 15.
（×） （×） （ √）
典例探究 深化新知
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还 有类似的命题吗？
1·BD·BC 2
1 4 3 1 512 36 dm2 .
2
2
布置作业 减负增效
习题1.5第1、3题
行动是成功的阶梯，
教学 分析
典例 探究
巩固 提高
归纳 总结
行动越多，登得越高。
主讲：XXX
归纳总结 认知升华
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命 题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为： 条件为：两直线平行； 结论为：内错角相等． 因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
巩固练习 拓展提高
1. 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0.
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假. （2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真. （3）如果那么 a = 0，b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
北师大版数学年八级下册1.2 直角三角形课件(共28张PPT)
探究新知
问题（一）：如图所示，小明有一个三角形，有 一个角被挡住了，已知未被挡住的两个角互余，你知 道这是一个什么三角形吗？
直角三角形 因为三角形的内角和是 180°，知道其中两个角互余， 就是它们的和是90°，所以 另一个角是180°-90°=90°.
探究新知
问题（二）：古埃及人用下面方法画直角：把一 根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉 成一个三角形，用量角器度量三个角，你发现了什么？ 你能说明其中的道理吗？ (1) (13) 猜想：按这种方法可 (12) 以得到一个直角三角形. (2) (11) 探究证明：这个三角 (10) 形的三边长分别为3，4， (3) (9) 5，我们知道32+42=52，并 且量得最大角为90°. (4) (8) (5) (6) (7) 理论证明：阅读教材 第16~17页“读一读” 内容.
探究新知
观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类 似的关系吗？与同伴交流.
注意：任何一个命题都有逆命题， 但并不是所有的定理都有逆定理.
探究新知
两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形全等吗？
由全等三角形的判定方法 SSS，SAS，ASA，AAS知没有 SSA，故三角形不一定全等. 当对角为直角时，这两个三 角形全等.
探究新知
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中， ∠C= ∠C′ = 90°， AB=A′B′ ， AC=A′C ′. C 求证： △ABC≌ △ A′B′C′ . 证明：在△ABC 中， ∠C= 90°， ∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）. 同理， B′C′ 2=A′B′ 2-A′C′ 2. ∵ AB=A′B′ ， AC=A′C′ ， ∴ BC=B′C′ ， ∴ △ABC≌ △ A′B′C′ （SSS）. B
1.2.1直角三角形-北师大版八年级数学下册课件
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
探究发现一
观察上面我们得到的两组定理，它们的条件和 结论之间有怎样的关系？
两个命题中一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件.
那么这两个命题称为互逆命题.
其中一个命题称为另一个命题的逆命题， 相对于逆命题来说，另一个就为原命题.
6.已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；
②若a＞0，则 |a| = a ； ③对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ C ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
达标检测
定理：两直线7平.行如，同位图角相，等. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
重难点
重点
1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2.结合具体例子了解逆命题的概念，识别两 个 互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一 定成立．
难点
勾股定理及其逆定理的证明方法．
温故知新
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质 和判定方法？与同伴交流.
从角出发：
性质定理：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余. 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究发现一
你能说出“对顶角相等”的逆命题吗?
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
原命题是真命题吗？它的逆命题呢?
原命题是真命题，逆命题是假命题. 结论：若原命题是真命题，那么逆命题不一定是真命题.
探究发现二
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是 一个定理,这两个定理称为互逆定理. 其中一个定理称另一个定理的逆定理.