2019高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程4 两条直线的交点学案 苏教版必修2
2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程4 两条直线的交点学案 苏教版必修2
两条直线的交点二、重难点提示重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题。
考点一：两条直线的交点直线1l ：1110,A x B y C ++=直线2l ：2220A x B y C ++=考点二：经过两条直线的交点的直线系过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系m （A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋n （A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（其中m 、n 为参数，220m n +≠），当1,0m n ==时，方程即为l 1的方程；当0,1m n ==时，方程即为l 2的方程。
上面的直线系可改写成A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（其中λ为参数）。
但是方程不包括直线l 2的方程，虽然这个参数方程形式在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l 2是否符合题意，否则会出现漏解情况。
【规律总结】1. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 （1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）； （2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.利用上述两组关系解决直线的平行及垂直问题，可以有效避免因字母范围引起的直线斜率问题的讨论.2.（1）三条直线共点的判断方法为：先求出两条直线的交点，再判断这个交点是否在第三条直线上。
（2）当若干直线交于一点时，只须由其中两条求其交点，其他直线均过这一点，即这一点满足其他直线方程。
【随堂练习】直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为 。
思路分析：三条直线共点问题，可用解方程组求交点或直线系解决。
答案：方法一 解方程组238010x y x y ⎧⎨⎩＋＋＝－－＝，得12x y -⎧⎨=-⎩＝所以两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点坐标为（－1，－2），又直线l 经过原点（0,0），设经过原点的直线方程为y ＝kx ，将（－1，－2）代入方程，得k ＝2，所求直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.方法二 设经过两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0交点的直线方程为（2x ＋3y ＋8）＋λ（x －y －1）＝0，又直线l 经过原点，把（0,0）代入l 的方程，得λ＝8，将λ＝8代入l 的方程并整理，得2x －y ＝0.技巧点拨：此题用直线系解决比较简单，注意掌握这种方法。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.2直线的方程第三课时直线的一般式方程课件苏教版必修2
(3)经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 x＋y
－2＝0.
( ×)
(4)过原点的直线的截距式方程不存在．
( √)
2．直线 x－3y－1＝0 在 y 轴上的截距是
()
A．－13
B．13
C．1D．ຫໍສະໝຸດ 1答案：A3．直线 x－ky－m＝0 (k>0，m<0)一定不经过第______象限． 答案：四
(4)在 x，y 轴上的截距分别是 3，－1. [解] 由截距式方程可得，所求直线方程为 x3＋－y1＝1， 化成一般式方程为 x－3y－3＝0.
(1)求直线的一般式方程，通常是根据题干条件选用点斜式、 斜截式、两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．
(2)若一般式 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不全为 0)用待定系数 法求解并不简单，两个独立的条件，①若 A，B 均不为零时，求 出 A，B，C 之间的倍数关系，再化简方程即可，②若 A，B 恰 好一个为零，求出另外两个系数的倍数关系，再化简方程即可．
(3)经过定点(x0, y0)的直线的一般式方程可以设为 A(x－x0) ＋B(y－y0)＝0(A，B 不同时为 0).
[活学活用]
设直线 l 经过点(2,4)，且 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的一般
式方程．
解：法一：由题意直线 l 的斜率一定存在且不为 0，设其方程 为 y－4＝k(x－2)， 令 x＝0，则 y＝4－2k，令 y＝0，x＝2－4k， 因为 l 在两坐标轴上截距相等， 所以 2－4k＝4－2k，解得 k＝－1 或 2， 所以所求直线的方程为 y－4＝－1(x－2)或 y－4＝2(x－2)， 所求直线的一般式方程为 x＋y－6＝0 或 2x－y＝0.
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两直线的交点课件苏教版必修2
例1：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程；L1：2x+3y+8=0，L2：x－y－1=0 x= -1 2x+3y+8=0 解：解方程组 y=-2
x－y－1=0
∴L1与L2的交点是（-1，-2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(-1,-2)代入方程,得k=2,所求方程为:y=2x
变式:求经过两直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,且和 另一直线2x+y-1=0垂直的直线方程.
想一想:两个二元一次方程所组成的方程组解的 情况与两方程表示的直线的位置关系有何联系 ?
结论: 设两直线的方程是
l1:A1x+B1y+C1=0;
l2:A2x+B2y+C2=0.
A1 x B1 y C1 0 方程组 有惟一解 A2 x B2 y C2 0 A1 x B1 y C1 0 方程组 无实数解 A2 x B2 y C2 0 A1 x B1 y C1 0 方程组 有无数多个解 A2 x B2 y C2 0
l1与l2相交 l1与l2平行 l1与l2重合
方程组有惟一解 方程组无解 方程组有无数多个解
A1 B1 C1 (2) A2 B2 C2 A1 B1 C1 (3) A2 B2 C2
想一想:对于有斜率的两直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2, 如何判定两直线的位置关系?
例题:
练习: 1.判断下列各组直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (2)l1:2x-6y+4=0; (3)l1:4x+2y+4=0; (1)l1:2x-y=7; 若要求三条直线 l2:y=-2x+3 l2:3x+2y-7=0 l2:4x-12y+8=0 2. 与直线2x-y-3=0相交的直线方程是( A.4x-2y-6=0 B.y=2x C.y=2x+5
2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.4 两条直线的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(链接教材 P95 练习 T4)
[解]
法一：由x＋3y－3＝0 x－y＋1＝0
，得x＝0 y＝1
.
∴直线 l1 与 l2 的交点坐标为(0,1)， 又由与直线 2x＋y－3＝0 平行，可得斜率为 k＝－2.代入点斜
式方程得 y－1＝－2x，即 2x＋y－1＝0，
故所求的直线方程为 2x＋y－1＝0. 法二：设过直线 l1、l2 交点的直线方程为 x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)， 即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0， 由题意可知，λλ＋ －13＝－2，解得 λ＝53， 所以所求直线方程为83x＋43y－43＝0， 即 2x＋y－1＝0.
1．直线 3x＋5y－1＝0 与 4x＋3y－5＝0 的交点是_(_2_，__－__1_)．
解析：因为方程组3x＋5y－1＝0 的解为x＝2，
4x＋3y－5＝0
y＝－1.
所以两条直线 3x＋5y－1＝0 和 4x＋3y－5＝0 的交点坐标为(2，
－1)
2．过点(－1,1)和两直线x＋3y－10＝0，y＝3x的交点的直线 方程为_______x_－__y_＋__2_＝__0_______． 解析：设所求直线方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，整理得(1 ＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0. 又直线过点(－1,1)，所以(1＋3λ)×(－1)＋(3－λ)×1－10＝0. 解得λ＝－2，得所求直线方程为[1＋3×(－2)]x＋[3－(－2)]·y －10＝0，即x－y＋2＝0.
两条直线位置关系的判断
判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点 的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝x3＋23； (3)l1：( 2－1)x＋y＝3，l2：x＋( 2＋1)y＝2. (链接教材 P93 例 1)
两条直线的交点-PPT课件
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.2直线的方程第一课时直线的点斜式方程课件苏教版必修2
故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案：C
3．经过点(－1,1)，斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方
程是
()
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝ 2(x＋1)
D．y－1＝2 2(x＋1)
解析：由方程知，已知直线的斜率为 22，所以所求直线的斜 率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为 y－1＝ 2(x＋1)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过点(2,1)的所有直线都可以表示为 y－1＝k(x－2)，k∈
R.
( ×)
(2)直线的截距式方程与一次函数的解析式意义相同. ( × )
(3)直线的点斜式方程也可写成xy－－yx00＝k.
(×)
(4)无论实数 k 如何变化，直线 kx＋y－1＝0 始终经过定点
(0,1)．
( √)
2．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则
()
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1 解析：直线方程 y＋2＝－x－1 可化为 y－(－2)＝－[x－(－1)]，
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
图形
不适合 与 x 轴垂直
适用范围
不适合 与 x 轴垂直 的直线
的直线
[点睛] (1)直线的点斜式方程的前提条件是： ①已知一点 P(x0，y0)和斜率 k； ②斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式
方程． (2)若直线的斜率不存在，则过定点 P(x0，y0)的直线应为 x
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.2直线的方程2两点式课件苏教版必修
O
x y 1 a b
x B(0,b)
叫做直线的截Βιβλιοθήκη 式方程适用范围:与两坐标轴都有交点,且不过原点.
讨 论:
下列命题: (1)过定点P0(x0,y0)的直线都可表示为:y-y0=k(x-x0) 的形式;
(2)过不同两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)的直线都可表示 为:(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)的形式; x y (3)不过原点的直线都可表示为: 1 的形式; a b (4) 过定点(0,b)的直线都可表示为:y=kx+b 的形式. 其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
例 题:
2.已知三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求这个三角形三边所在的直线方程.
3.求过点A(-2,3)且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.
回顾反思
有斜率:点斜式
特直 线 殊方 形程 式的
y-y1=k(x-x1) 无斜率:x=x1
问 题: 已知P1(x1，y1) 、 P2(x2，y2)(x1 ≠x2)是直线l上 y 不同两点，求直线l的方程. l P2 (x ,y ) 2 2 (x1,y1)
P1
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
叫做直线的两点式方程 适用范围:直线有斜率且斜率不为零
4.填空: (1)直线y=kx-3(k为常数,k∈R)经过的定点是 (2)直线y=k(x-3)(k为常数,k∈R)经过的定点是 (3)直线kx-y+1+2k=0(k为常数,k∈R)经过的定点是
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高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直讲义苏教版必修2
2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。
高中数学教材目录(苏教版)
第1章集合1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念分数指数幂指数函数对数对数函数二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步第6章统计第7章概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度第9章平面向量第10章三角恒等变换10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两条直线的交点课件苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解 有唯一解 有无数组解
0个 1个 无数 个
平行 相交 重合
[点睛] 过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)(不包括直线 l2).
法二：因为所求直线经过直线 l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y －3＝0 的交点，故可设所求直线方程为 2x＋3y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 整理得(2＋3λ)x＋(3－2λ)y－5－3λ＝0.(*) 因为所求直线平行于直线 2x＋y－3＝0， 故2＋23λ＝3－12λ， 解得 λ＝47，代入(*)式，得276x＋173y－477＝0. 化简得 26x＋13y－47＝0.
交点的直线系方程，解出交点坐标即可．
3．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值 为________． 答案：23
4．直线 (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0(a∈R)始终经过一个定点，则 该定点的坐标为________．
答案：(1,1)
两直线的位置关系及交点问题
[典例] 分别判断下列直线 l1 与 l2 的位置关系，若相交，求 出它们的交点坐标．
直线经过定点问题的三种求法 (1)特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同 直线，联立其中两条便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定
点．(用于客观题) (2)恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，
根据恒等式的性质，由参数的系数和常数项均为零，就可以求
得该定点坐标． (3)直线系方程法：先按照参数整理，看成经过两条直线的
高中数学第2章平面解析几何初步2.1-2.1.2直线的方程课件苏教版必修2
因此，直线 l 的斜率为12，在 x 轴上的截距为－6，在 y 轴上的截距为 3.
直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0， 3)，如图所示，过点 A，B 作直线，就得直线 l.
f（－3）≥0， 故需满足
f（3）≥0， －3k＋2k＋1≥0， 所以 3k＋2k＋1≥0， 解得－15≤k≤1. 所以实数 k 的取值范围是－15≤k≤1.
同学们在学习中要注意以下三点：①点斜式方程 y－ y0＝k(x－x0)是由 k＝xy－－yx00变形而得到的，但二者是有区 别的，其区别是前者包括点(x0，y0)，而后者不包括点(x0， y0)，即前者的轨迹上比后者的轨迹上多了一个点；
பைடு நூலகம்
题型 1 直线的点斜式、斜截式方程 [典例 1] (1)直线 y＝x＋1 绕着其上一点 P(3，4)逆 时针旋转 90°后得直线 l，求直线 l 的点斜式方程； (2)已知两点 A(－1，2)，B(m，3)，求直线 AB 的点 斜式方程． 分析：(1)由一点和斜率可直接代入点斜式方程求解；
第2章 平面解析几何初步
1．如果直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k.设点 P(x，y)是直线 l 上的任意一点，则 y－y0＝k(x－x0)(*)， 我们称(*)式叫作直线的点斜式方程，简称点斜式．
一、直线的点斜式方程 若直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则直线的点 斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
又点 A15，35在第一象限(如图所示)． 故不论 a 为何值，l 恒过第一象限． (2)解：要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距 不大于零，
a－3 令 x＝0，则 y＝－ 5 ≤0，所以 a≥3.
2019版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 第1课时 两条直线相交
第一课时两条直线相交、平行与重合的条件1.下列说法正确的是( C )(A)若两条直线平行,则它们斜率相等(B)若两直线斜率相等,则它们互相平行(C)若两条直线一条直线斜率不存在,另一条斜率存在,则它们一定不平行(D)若两条直线的斜率都不存在,则它们互相平行解析:由两直线位置关系:平行,重合,相交可知,B,D都不正确.而A中可能斜率不存在,故A不正确,故选C.2.直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( D )(A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合解析:当mn≠0时,l1与l2重合;当m=n=0时,l1与l2可能相交,也可能重合,故选D.3.l1经过点A(m,1)、B(-3,4),l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,则m的值为( A )(A)3 (B)-1 (C)-3 (D)1解析:显然m≠-3,k AB==,k CD==-.又因为l1∥l2,所以=-,即m=3.故选A.4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( D )(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0(C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0解析:由中心对称知识可知:所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可设所求直线为2x+3y+c=0.在2x+3y-6=0上任取一点(3,0),则(3,0)关于点(1,-1)的对称点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(-1)+3× (-2)+c=0,即c=8,故选D.5.满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是( D )①l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8);②l1经过点P(3,3), Q(-5,3), l2平行于x轴,但不经过P点;③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③解析:①由l1斜率k1=2,l2斜率k2==2,则l1∥l2;②由k1==0,k2=0,则l1∥l2;③k1==,k2==,则l1∥l2.故选D.6.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0.求:(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.解:(1)设与l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0,将A(-2,1)代入,得-4-3+c=0,解得c=7,故所求直线方程是2x-3y+7=0.(2)因为A(-2,1),B(4,3),所以线段AB的中点是M(1,2),设两直线的交点为N,联立解得交点N(2,1),则k MN==-1,故所求直线的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.7.已知集合A={(x,y)|x+a2y+6=0},集合B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若A∩B=∅,则a的值是( D )(A)3 (B)0 (C)-1 (D)0或-1解析:A∩B=∅,即直线l1:x+a2y+6=0与l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行,令1×3a=a2(a-2),解得a=0或a=-1或a=3.a=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2.a=-1时,l1:x+y+6=0,l2:-3x-3y-2=0.l1∥l2.a=3时,l1:x+9y+6=0,l2:x+9y+6=0,l1与l2重合,不合题意.所以a=0或a=-1.8.如果直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0相交于第一象限,则实数a的取值范围是( A )(A)-1<a<2 (B)a>-1(C)a<2 (D)a<-1或a>2解析:法一将直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的方程联立解得(a+1)x=6,要使交点在第一象限,则应使a+1>0,所以a>-1,再由(a+1)y+2a-4=0,y=>0,解得-1<a<2,所以-1<a<2.法二如图由y-4=-ax可知:直线ax+y-4=0表示经过定点(0,4),且斜率k=-a的直线,当直线ax+y-4=0与x-y-2=0在第一象限相交时,即过点(0,4)的直线,从直线l1的位置(过点(2,0)),沿逆时针旋转到直线l2的位置.(平行于x-y-2=0)此时直线的斜率k的取值范围是-2<k<1,又k=-a,所以-2<-a<1,即-1<a<2,故选A.9.P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线与l的关系是( B )(A)重合(B)平行(C)垂直(D)位置关系不定解析:因为P1点在直线l上,所以f(x1,y1)=0,又因为P2点不在直线l上,所以f(x2,y2)≠0,所以f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0,即f(x,y)+f(x2,y2)=0,所以直线l与方程表示的直线平行.10.已知两直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),则过两点P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程是.解析:因为直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),所以故过P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程为2x+3y+3=0.答案:2x+3y+3=011.若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能构成三角形,求m的值.解:显然l1与l3不平行,当l1∥l2或l2∥l3时不能构成三角形,此时对应m的值分别为m=4,m=-1;当直线l1,l2,l3经过同一点时,也不能构成三角形.由得代入l2的方程得-m+1=0,即m=1.综上可知,m=4或m=-1或m=1.12.已知直线l1:(m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+3=0,当m为何值时,满足下列条件(1)l1与l2相交;(2)l1∥l2;(3)l1与l2重合.解:(1)A1B2-A2B1=(m-2)(m-2)-2×2=(m-2)2-4≠0,得m≠4且m≠0,所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交.(2)由A1B2-A2B1=0得m=0或m=4,当m=0时,两直线方程分别为-2x+2y-2=0,2x-2y+3=0,此时l1∥l2;当m=4时,两直线方程为2x+2y+2=0,2x+2y+3=0,此时l1∥l2,故m=0或m=4,两直线l1∥l2.(3)由(2)知:直线l1与l2不可能重合.。
高中数学苏教版必修二《第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程4》课件
7 (3) 2 52
1 6
, k CD
43 42
1 6
,
k AB k CD 从而，ＡＢ∥ＣＤ．
7
又kBC
3( ) 2
25
13 6 ,k AD
34 2 (4)
7 6
,
k BC k DA 从而，ＢＣ∥ＡＤ．
因此，四边形ＡＢＣＤ是梯形．
求过点 A(2,3) 且与直线 2x y 5 0 平行的直
直线 2x y k 0(k R) 和 直线 4x 2y 1 0 的位置关
系是( D ).
A平行 B相交 C重合 D平行或重合
已知 A(4,2),B(1,1),
C(5,5), D( 1 , 7 ) 32
求证：四边形 ABCD 是梯 形.
1 2 1
51 3
kAB
1 4
5 , kBC
苏教版 高中数学
两条直线的平 行与垂直(一)
一、知识与技能
掌控两条直线平行的判定方法，理解刻画直线方向的量 可以刻画两直线的平行关系. 二、进程与方法 1、用代数方法处理几何问题中的平行问题。 2、启示引导，合作讨论。 三、情感态度与价值观 1、培营养类讨论的思想及全面摸索问题的思维方式。 2、通过学生之间的相互交流，增强数学交流能力和数学 地分析问题、解决问题的能力。
设法 证明
y
B
l1 E
l2
A
C
D
F
O
x
l1 B
y
E l2
A
C
F
O
D
x
图1-1
图1-2
当两直线斜率都存在时, L1∥L2 K1 K2
K1 K2
L1∥L2
l1
高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点8高一数学
12/12/2021
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方 程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线的斜率及截距的关系．
解
(1)解方程组3x－x＋y＝3y－0 10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1与l2相交，交点是M53，35.
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(2)方程组42xx－－162y＋y＋4＝ 8＝00 有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
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两条直线的交点
二、重难点提示
重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题。
考点一：两条直线的交点
直线1l ：1110,A x B y C ++=直线2l ：2220A x B y C ++=
考点二：经过两条直线的交点的直线系
过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系m （A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋
n （A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（其中m 、n 为参数，220m n +≠），当1,0m n ==时，方程即为
l 1的方程；当0,1m n ==时，方程即为l 2的方程。
上面的直线系可改写成A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（其中λ为参数）。
但是方程不包括直线l 2的方程，虽然这个参数方程形式在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l 2
是否符合题意，否则会出现漏解情况。
【规律总结】
1. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 （1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）； （2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
利用上述两组关系解决直线的平行及垂直问题，可以有效避免因字母范围引起的直线斜率问题的讨论.
2.（1）三条直线共点的判断方法为：先求出两条直线的交点，再判断这个交点是否在第三条直线上。
（2）当若干直线交于一点时，只须由其中两条求其交点，其他直线均过这一点，即这一点满足其他直线方程。
【随堂练习】直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为 。
思路分析：三条直线共点问题，可用解方程组求交点或直线系解决。
答案：方法一 解方程组238010x y x y ⎧⎨
⎩＋＋＝－－＝，得1
2
x y -⎧⎨=-⎩＝
所以两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点坐标为（－1，－2），又直线l 经过原点（0,0），设经过原点的直线方程为y ＝kx ，将（－1，－2）代入方程，得k ＝2，所求直线
l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.
方法二 设经过两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0交点的直线方程为（2x ＋3y ＋8）＋λ（x －y －1）＝0，又直线l 经过原点，把（0,0）代入l 的方程，得λ＝8，
将λ＝8代入l 的方程并整理，得2x －y ＝0.
技巧点拨：此题用直线系解决比较简单，注意掌握这种方法。
例题1 （利用方程组判断两条直线的位置关系） 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标。
（1）l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； （2）l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； （3）l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0.
思路分析：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断。
答案：（1）解方程组230210x y x y ⎧⎨
⎩＋＋
＝－－
＝得11x y =-⎧⎨=-⎩ ∴直线l 1与l 2相交，交点坐标为（－1，－1）。
（2）解方程组⎩⎨
⎧=++=++②
①0
32202y x y x
①×2－②得：1＝0，矛盾， ∴方程组无解。
∴两直线无公共点，l 1∥l 2. （3）解方程组⎩⎨
⎧=+-=+-②
①0
10640532y x y x
①×2得4x －6y ＋10＝0， ∴①和②可以化为同一方程， 即l 1与l 2是同一直线，l 1与l 2重合。
技巧点拨：判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情况。
若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合。
例题2 （直线经过定点问题）
已知（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0为直线l的方程。
求证：不论k取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点坐标。
思路分析：令k＝0,1→两特殊直线方程构成方程组→交点坐标→验证。
答案：证明：方法一对于方程（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0，令k＝0得x＋y＝0；令k＝1得2x－2＝0。
解方程组
220
x y
x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
得两直线的交点为（1，－1）。
将交点（1，－1）代入已知直线方程的左边，
得（k＋1）－（k－1）（－1）－2k＝0。
这表明不论k取何实数，直线l必过定点（1，－1）。
方法二整理直线l的方程，得（x＋y）＋k（x－y－2）＝0，不论k取何实数，直线
l的方程为直线系l1＋λl2＝0的形式，因此必过定点。
定点坐标可由方程组
20 x y
x y
+=
⎧
⎨
--=⎩
解得
1
1 x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
∴直线l经过的定点是M（1，－1）。
方法三由直线l的方程得（k＋1）x＝（k－1）y＋2k，变形为（k＋1）x－（k＋1）＝（k－1）y＋（k－1），
即（k＋1）（x－1）＋（1－k）（y＋1）＝0.
直线l的方程为过定点（x0，y0）的直线系方程A（x－x0）＋B（y－y0）＝0的形式，所以直线l必过定点。
定点坐标可由方程组
10
10
x
y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴不论k取何实数，直线l必过定点（1，－1）。
技巧点拨：解答此类问题常有两种方式。
1. 特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同直线，联立其中两条直线的方程便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定点。
2. 恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，根据恒等式的性质，由k的一次项系数和常数项均为零，就可以求得该定点坐标。
解析法在几何证明中的应用
【满分训练】如图，以Rt△ABC的两条直角边AB、BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连接EC、AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
思路分析：建立适当的直角坐标系，设点的坐标加以证明。
答案：证明：以两条直角边AB、BC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系。
设正方形ABDE 和正方形BCFG的边长分别为a和b，则A（0，a），C（b,0），B（0,0），E（－a，a），F（b，－b）。
直线AF的方程是y b
a b
+
+
＝
x b
b
-
-
，即（a＋b）x＋by－ab＝0。
直线EC的方程是
y
a
-
-
＝
x b
a b
-
--
，即ax＋（a＋b）y－ab＝0。
解方程组
()0
()0
a b x by ab
ax a b y ab
++-=
⎧
⎨
++-=
⎩
得
2
22
2
22
a b
x
a a
b b
ab
y
a a
b b
⎧
=
⎪⎪++
⎨
⎪=
⎪++
⎩
即M点的坐标为（
2
22
a b
a a
b b
++
，
2
22
ab
a a
b b
++
）
故k BM＝b
a
，又k AC＝
a
b
-
-
＝－
a
b
，
所以k BM·k AC＝－1。
因此BM⊥AC。
技巧点拨：本题是用代数的方法证明几何问题，这就是解析法。
具体来说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题。