多元统计检验与多元方差分析(doc 7页)
多元统计分析第三章假设检验与方差分析
多元统计分析第三章假设检验与⽅差分析第3章多元正态总体的假设检验与⽅差分析从本章开始，我们开始转⼊多元统计⽅法和统计模型的学习。
统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。
按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计⼀个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进⾏统计推断，是⾃然科学和⼯程技术领域常⽤的⼀种研究⽅法。
由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论⽅法研究的出发点。
所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要⽤概率来表明其可靠程度。
统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建⽴模型，作出推断”。
统计推断有参数估计和假设检验两⼤类问题，其统计推断⽬的不同。
参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多⼤?”之类的问题,⽽假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。
本章主要讨论多元正态总体的假设检验⽅法及其实际应⽤，我们将对⼀元正态总体情形作⼀简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的⽐较推断，多个总体均值的⽐较检验和协⽅差阵的推断等。
3.1⼀元正态总体情形的回顾⼀、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,⼀个作为原假设（或称零假设），另⼀个作为备择假设（或称对⽴假设），分别记为0H 和1H 。
1、显著性检验为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来⾃总体),(2σµN 的样本，我们要检验假设100:,:µµµµ≠=H H （3.1）原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有⼀个正确。
备择假设的意思是，⼀旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。
当2σ已知时，⽤统计量nX z σµ-=在原假设0H 成⽴下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。
统计学中的方差分析与多元分析
统计学中的方差分析与多元分析在统计学中，方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）和多元分析（Multivariate Analysis，简称MA）是两个重要的分析方法。
它们在不同场景下可以用来解释和理解数据，提供对比和相关性的信息。
本文将分别介绍方差分析和多元分析的概念、应用和计算方法，帮助读者更好地理解它们在统计学中的作用。
方差分析是一种用于比较两个或多个组间差异的统计方法。
它通常用于分析实验数据，例如通过不同处理方法获得的观测结果。
方差分析的基本原理是比较组内变异（Within-group Variation）和组间变异（Between-group Variation）。
如果组间变异远大于组内变异，即组间差异显著，则可以得出结论表明不同处理方法对观测结果有显著影响。
方差分析的计算方法包括计算平方和、自由度、均方和及F比值，并绘制方差分析表以进行比较和推断。
方差分析有多种类型，其中一元方差分析（One-way ANOVA）是最常用和基础的类型。
一元方差分析适用于只有一个自变量（或因素）和一个因变量的情况。
例如，我们想要比较不同教学方法对学生成绩的影响，可以使用一元方差分析来分析数据。
此外，如果有多个自变量和一个因变量，我们可以使用多因素方差分析（Factorial ANOVA）。
除了这些基础类型外，还有重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）和多元方差分析（MANOVA）等，它们针对特定的数据结构和问题提供更精细的分析。
多元分析是一种用于研究多个变量之间关系的统计方法。
它主要关注不同变量之间的相关性、差异和模式。
多元分析常用于降维、分类和聚类分析等领域，例如在市场调研中用于综合多个指标评估产品表现，或者在社会科学研究中用于理解不同因素对人们态度和行为的影响。
多元分析的主要技术包括主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）、因子分析（Factor Analysis）、判别分析（Discriminant Analysis）和聚类分析（Cluster Analysis）等。
《多元统计分析》目录
《多元统计分析》目录前言第一章基本知识﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·1总体，个体与样本﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·2样本数字特征与统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6 §1·3一些统计量的分布﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9 第二章统计推断﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·1参数估计﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·2假设检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍19 第三章方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·1一个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·2二个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍37 §3·3用方差分析进行地层对比﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍44 第四章回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·2回归方程的确定﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·3相关系数及其显着性检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍52 §4·4回归直线的精度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍55 §4·5多元回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍56 §4·6应用实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍60 第五章逐步回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·2“引入”和“剔除”变量的标准﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍66 §5·3矩阵变换法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍67 §5·4回归系数，复相关系数和剩余标准差的计算﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍69 §5·5逐步回归计算方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍70§5·6实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍74 第六章趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·2图解汉趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍81 §6·3计算法趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍83 第七章判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·2判别变量的选择﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍91 §7·3判别函数﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍92 §7·4判别方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍96 §7·5多类判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍104 第八章逐步判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·2变量的判别能力与“引入”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·3矩阵变换与“剔除”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍113 §8·4计算步聚与实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍115 第九章聚类分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 125 §9·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·2数据的规格化（标准化）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·3相似性统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍126 §9·4聚类分析方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍131 §9·5实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 §9·6最优分割法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 第十章因子分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·2因子的几何意义﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍143 §10·3因子模型﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍145§10·4初始因子载荷矩阵的求法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍147 §10·5方差极大旋围﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍152 §10·6计算步聚﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍156 §10·7实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍157 附录﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录1标准正态分布函数量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录2正态分布临界值u a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍164 附录3t分布临界值t a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍165 附录4（a）F分布临界值Fa表（a=0·1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附录4（b）F分布临界值Fa表 (a=0·05) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表4（c）F分布临界值Fa表（a=0·01）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表5 x2分布临界值xa2表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍第一章基本知识§1·1总体、个体与样本总体（母体）、个体一（样本点）和样本（子样）是统计分析中常用的名词。
多元统计实验四多元方差分析
多元统计实验四多元方差分析多元方差分析（MANOVA，Multivariate Analysis of Variance）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间在多个连续性因变量上的平均差异。
它是单因素方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）在多个因变量上的扩展。
多元方差分析可以通过比较组间和组内的变异来评估组间差异的显著性。
与单因素方差分析相比，多元方差分析更加全面和准确，因为它考虑了多个因变量之间的关系。
多元方差分析有两种基本形式：一元多元方差分析和多元多元方差分析。
一元多元方差分析适用于只有一个自变量（组别）和多个连续性因变量的情况。
它的目的是确定组别（自变量）对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量对组别之间的差异起到重要作用。
多元多元方差分析适用于有多个自变量和多个连续性因变量的情况。
它的目的是通过考虑多个自变量之间的交互作用，确定自变量对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量和自变量之间的交互作用对差异起到重要作用。
在进行多元方差分析之前，需要验证几个假设：1.因变量在组内是正态分布的。
2.因变量在不同组别的方差相等。
3.因变量之间不存在相关关系。
4.因变量和自变量之间存在线性关系。
如果上述假设不成立，可以考虑进行数据转换，或者使用非参数方法。
在进行多元方差分析时，可以使用Wilks' Lambda检验、Roy's Largest Root检验、Pillai's Trace检验或Hotelling-Lawley Trace检验来判断组别之间的差异是否显著。
多元方差分析的优点是可以同时考虑多个因变量之间的关系，并且可以检验不同组别在多个因变量上的平均差异。
然而，它也有一些限制，比如对样本量要求较高，对实验设计的要求较高，以及对数据的假设有一定的要求。
总而言之，多元方差分析是一种强大的统计方法，能够有效比较多个组别在多个因变量上的差异，为研究者提供了更全面和准确的数据分析工具。
多元统计分析
多元统计分析的定义多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广。
多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。
多元统计分析的内容和方法1、简化数据结构（降维问题）将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。
（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等2、分类与判别（归类问题）对所考察的变量按相似程度进行分类。
（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。
（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。
3、变量间的相互联系一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖另一些变量的变化。
（回归分析）二是：两组变量间的相互关系（典型相关分析）多元统计分析的理论基础1、矩阵2、多元正态分布欧氏距离和马氏距离1、欧氏距离（直线距离）（1）优点（2）缺陷：权重被忽略和量纲不一致时处理不当2、马氏距离（1）优点：克服量纲、克服指标间相关性影响（2）缺点：确定协方差矩阵困难假设检验的基本原理小概率事件原理小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。
反证法思想是先提出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立；反之，则认为假设成立。
假设检验的步骤（1）提出一个原假设和备择假设（2）确定检验统计量（3）确定显著性水平α（4）计算检验统计量的值并进行判断均值向量的检验正态总体均值检验的类型1）根据样本对其总体均值大小进行检验（One-Sample T Test ）：如妇女身高的检验。
2）根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验（Indepent Two-Sample T Test ）：如两个班平均成绩的检验。
3）配对样本的检验（Pair-Sample T Test ）：如减肥效果的检验。
统计学中的方差分析和多元统计方法
统计学中的方差分析和多元统计方法统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
方差分析和多元统计方法是统计学中两个重要的技术工具，它们在数据分析和研究中发挥着重要的作用。
本文将分别介绍方差分析和多元统计方法的基本概念和应用，并对其在实际研究中的意义进行讨论。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本平均值差异的统计方法。
它的基本思想是通过比较组间方差和组内方差来判断不同样本之间的平均值是否有显著差异。
方差分析通常用于分析实验数据和观察数据，常见的有单因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个因素对观测结果的影响，例如研究不同教育水平对学生成绩的影响。
我们将样本按照教育水平分组，并通过计算组间方差和组内方差来判断教育水平对学生成绩的影响是否显著。
而在多因素方差分析中，我们考虑多个因素对观测结果的影响，例如研究不同教育水平和不同性别对学生成绩的综合影响。
我们除了计算组间方差和组内方差外，还需要考虑不同因素之间的交互作用，以综合判断各个因素对学生成绩的影响程度。
方差分析的结果通常通过计算F值和p值进行判断，其中F值表示组间方差与组内方差之比，而p值则表示差异的显著性程度。
通过方差分析，我们可以得出结论，确定不同因素对观测结果的影响是否具有统计学意义。
二、多元统计方法多元统计方法是一种处理多个变量间相互关系的统计方法，它能够同时考虑多个变量对观测结果的综合影响。
多元统计方法包括相关分析、回归分析、主成分分析等多种技术手段，它们在统计学和实际研究中被广泛应用。
相关分析是研究变量间线性相关关系的方法，通过计算相关系数来描述变量之间的相关性强度和方向。
例如，我们可以通过相关分析来探究身高和体重之间的关系，以及年龄和工作经验之间的关系。
回归分析是一种用于建立变量之间数学关系的方法，它能够通过一组自变量预测因变量的数值。
统计学中的多元回归与方差分析
统计学中的多元回归与方差分析多元回归是指多个自变量（影响因素）对一个因变量（效果）的影响进行定量分析的方法。
方差分析则是一种用于分析因变量被一些分类变量影响的方法。
虽然两种方法的应用场景不尽相同，但是它们都很重要，是统计学中的基础知识之一。
一、多元回归多元回归分析常用于解释因变量如何受到多个自变量的影响。
例如，一个经济学家可能想要知道一个人购买食品的数量与哪些因素有关。
他可能会考虑许多不同的自变量，如收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄、偏好等。
他可能会尝试研究这些变量与购买食品数量之间的关系，并尝试建立一个数学模型来预测购买食品数量。
这就是多元回归分析所涵盖的内容。
在这个例子中，我们将购买的食品数量称为因变量，自变量包括收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄和偏好等。
我们假设这些自变量互相独立，不会相互影响。
我们还假设它们与因变量之间的关系是线性的。
在多元回归分析中，我们尝试建立一个包含所有自变量的方程来解释因变量的变化。
二、方差分析方差分析也称为变量分析或ANOVA，是用于分析因变量受到一些分类变量影响的方法。
例如，在一组实验中，我们可能会测试不同的肥料品牌对玉米的产量是否有影响。
我们还可能想比较不同的播种密度，田间间隔以及其他因素的影响。
我们可以使用方差分析来确定这些因素对玉米产量的影响程度。
在执行方差分析时，我们首先要将数据分成不同的组，然后计算每组的平均值。
接下来，我们将计算每组的平均值，以确定这些差异是否达到了统计上的显著性。
如果这些差异是显著的，我们可以确定哪些因素是造成差异的原因。
三、多元方差分析有时，我们需要同时考虑多个因素对因变量的影响。
在这种情况下，我们使用多元方差分析。
这种方法可以确定每个因素对因变量的影响大小，并确定这些差异是否具有统计学意义。
总体而言，多元回归和方差分析都是统计学家经常使用的方法。
多元回归允许我们探究因变量与多个自变量的关系，而方差分析则允许我们了解因变量受到分类变量的影响程度。
多元方差分析
精品文档
ANOVA的SS计算示例
例：3个营养梯度下一枝黄花(Solidago spp.)的生物量是否有显著差异，每个营 养梯度下有5棵植株
营养
生物量(g)
均值
高5
4
8
6
7
6
中1
3
1
3
2
2
低 10 13 7
9 11 10
total
6
精品文档
SSerror =
2.Hotelling-Lawley’s trace Hotelling-Lawley’s trace = trace(HE-1)
3.Wilk’s lambda Wilk’s lambda = |E|/|H+E|
4.Roy’s largest root Roy’s largest root = max(λi) or the maximum eigenvalue of HE-1
当模型建立的前提条件不满足时，Pillai’s迹最为稳 健。
精品文档
小结
MANOVA原理讲解
t-Test
ANOVA MAVOVA
目的
检验两组均值 是否差异
检验k组(k>2) 以上均值是 否有差异
检验k组间在 两个以上响 应变量间是 否有差异
自变量
响应变 量
一个 一个
一个或多个 一个或多个
一个
多个
精品文档
Ag10 Bg10 Cg10
ANOVA的原假设
H0：u1=u2=u3=u4 Ui 代表什么？
MANOVA的原假设
： = uA1
H0
uB1
uC1
多元方差分析
区组 1 2 3 4 5 6 7 8
疗前 X 120 116 140 140 167 160 140 172 Y 81 68 80 84 89 100 84 82
溶后10分钟 溶后20分钟 X Y X Y 120 81 120 80 138 84 108 70 140 80 135 80 130 82 120 59 168 106 173 84 155 95 160 95 130 82 120 59 172 82 159 96 148 150 139.3
医用多元统计分析方法
血压平均值随时间变化
医用多元统计分析方法
区组设计的SSCP矩阵及自由度分解表
变异来源 区组 处理
SSCP
自由度
误差
总
SSBlock SSTreatmet SSError SSTotal
10-1 3-1 18 30-1
医用多元统计分析方法
区组设计的SSCP矩阵及自由度的分解
对方差-协方差(离均差平方和-离均差积和)阵的 分解。
医用多元统计分析方法
检验假设
1 1 1 H 0 : 2 ＝ 2 ＝ 2 3 A 3 B 3 C 1 H1 : 2 , 3 A 1 2 , 3 B 1 2 不 等 或 不 全 相 等 3 C
合计 X 360 362 415 390 508 475 390 503 Y 242 222 240 225 279 290 225 260 311 262
9 176 10 148 平均 147.9
医用多元统计分析方法
119 150 100 94 153 83 88.1 145.6 87.5
多元统计分析的重点和内容和方法
一、什么是多元统计分析❖多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广。
❖多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。
二、多元统计分析的内容和方法❖1、简化数据结构（降维问题）将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。
（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等❖2、分类与判别（归类问题）对所考察的变量按相似程度进行分类。
（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。
（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。
例5：根据信息基础设施的发展状况，对世界20个国家和地区进行分类。
考察指标有6个：1、X1：每千居民拥有固定电话数目2、X2：每千人拥有移动电话数目3、X3：高峰时期每三分钟国际电话的成本4、X4：每千人拥有电脑的数目5、X5：每千人中电脑使用率6、X6：每千人中开通互联网的人数❖3、变量间的相互联系一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖另一些变量的变化。
（回归分析）二是：两组变量间的相互关系（典型相关分析）❖4、多元数据的统计推断点估计参数估计区间估计统 u检验计参数 t检验推 F检验断假设相关与回归检验卡方检验非参秩和检验秩相关检验❖1、假设检验的基本原理小概率事件原理❖ 小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。
反证法思想是先提出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立；反之，则认为假设成立。
❖ 2、假设检验的步骤 （1）提出一个原假设和备择假设❖ 例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以先假设妇女身高的均值等于 160 cm （u=160cm ）。
这种原假设也称为零假设（ null hypothesis ），记为 H 0 。
综合评价的多元统计分析方法
综合评价的多元统计分析方法随着信息时代的到来，人们面临着越来越多的数据和信息。
在这些数据和信息中，文本信息占据了很大的比例。
如何对这些文本信息进行有效的综合评价，从而帮助我们更好地理解和利用这些信息，成为了一个重要的问题。
传统的文本综合评价方法主要基于人工阅读和主观评价，但是这种方法存在着主观性强、效率低下等缺点。
因此，本文提出了一种基于多元统计分析方法的文本综合评价方法，旨在提高文本综合评价的客观性和准确性。
近年来，多元统计分析方法在文本综合评价方面得到了广泛的应用。
这些方法主要包括：主题建模、文本分类、情感分析、聚类分析、主成分分析、多维尺度分析等。
这些方法在不同程度上解决了文本综合评价的问题，但是也都存在着一定的局限性。
例如，主题建模和文本分类主要文本的内容，情感分析主要文本的情感倾向，聚类分析主要文本的相似性等。
因此，本文提出了一种基于多元统计分析方法的文本综合评价方法，旨在整合不同的方法，提高文本综合评价的客观性和准确性。
本文提出了一种基于多元统计分析方法的文本综合评价方法。
该方法包括以下步骤：建立指标体系：根据文本综合评价的目标和实际需求，建立一套全面的指标体系，包括文本的内容、情感、语言等多个方面。
数据选择：然后，从大量的文本数据中选取具有代表性的数据作为样本，以保证分析结果的客观性和准确性。
数据处理：在选取数据后，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、文本分词、停用词去除等步骤，以保证数据的准确性和有效性。
分析方法：采用多元统计分析方法对处理后的数据进行深入分析。
这包括因子分析、主成分分析、聚类分析等多个步骤，以全面评估文本的综合价值。
本文选取了一组包含500篇新闻文章的语料库作为样本。
我们对语料库中的数据进行预处理，包括数据清洗、文本分词、停用词去除等步骤。
然后，我们采用多元统计分析方法对处理后的数据进行深入分析。
具体来说，我们采用了因子分析和主成分分析等方法对数据进行了降维处理，并进一步采用了聚类分析等方法将文本聚集到不同的类别中。
多元统计分析大纲
多元统计分析大纲多元统计分析是指将多个自变量同时考虑进入统计模型中，以分析它们对因变量的联合影响。
多元统计分析旨在寻找多个自变量与因变量之间的关联关系，并通过建立合适的模型来解释这种关系。
在多元统计分析中，常用的方法包括多元方差分析、多元回归分析和主成分分析等。
一、多元方差分析多元方差分析是对多个自变量对因变量的影响进行分析的一种统计方法。
它可以同时考虑多个自变量之间的交互作用，并通过分析方差的差异来验证因变量的差异是否是由于自变量的不同水平而引起的。
在进行多元方差分析时，需要注意选择适当的方差分析模型、检验假设并进行方差分析表的解读。
二、多元回归分析多元回归分析是用于分析多个自变量对因变量的影响程度的一种统计方法。
它可以通过建立线性回归方程来描述自变量与因变量之间的关系，并通过回归系数的显著性检验来判断自变量对因变量的影响是否显著。
在进行多元回归分析时，需要注意自变量间的相关性、模型的拟合度以及假设的验证等问题。
三、主成分分析主成分分析是一种用于降维和提取主要信息的多元分析方法。
它通过线性变换将多个相关的自变量转化为少数几个无关的主成分，并根据主成分的方差大小来解释原始数据的方差贡献。
主成分分析可以帮助研究者分析多个自变量之间的关系、减少冗余信息和简化模型等方面。
在进行主成分分析时，需要注意选择适当的主成分数量、解读主成分的含义和解释数据的方差贡献等问题。
四、多元判别分析多元判别分析是一种用于分类和判别的多元分析方法。
它通过建立判别函数来将多个自变量分为不同的类别，并根据自变量的线性组合确定每个类别的特征。
多元判别分析可以帮助研究者预测新观测值的类别、区分不同群体之间的差异和评估判别函数的准确性等。
在进行多元判别分析时，需要注意选择适当的判别函数、评估模型的准确性和解读变量的判别效果等问题。
总结：多元统计分析是研究多个自变量对因变量关系的重要方法。
在进行多元统计分析时，需要注意选择适当的统计方法、控制变量的选择和方差分析的假设检验等问题。
多元方差分析
多元方差分析导入：在一元统计中，关于正态总体)(2,N μσ的均值μ和方差2σ的各种检验，已经给出了μ检验﹑t 检验﹑F 检验和2χ检验等。
在多元统计中，对于多个指标的正态总体(,)P N μ∑,各种实际问题同样要求对μ和∑进行统计推断。
本章我们主要讨论多元正态总体(,)P N μ∑的均值向量μ的检验，把一元统计中的单个正态总体，两个正态总体，多个正态总体均值μ的检验（一元方差分析）方法类比推广到单个多元正态总体，两个多元正态总体，多个多元正态总体的均值向量μ的检验（多元方差分析）。
1. 预备知识1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布 1.1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布的定义 在一元统计中，若(0,1)X N , 2()Y n χ 且X 和Y 相互独立，则随机变量()t t n=下面把221()X YT X X Y n n-'==的分布推广到p 元总体，设(0,)P X N ∑ ,随机矩阵(,)P W W n ∑ ，我们来讨论21()W T X X n-'=的分布。
定义1 设(0,)P X N ∑ ，随机矩阵(,)P W W n ∑ (0,)n p ∑>≥，且X 和W 相互独立,则称统计量21()W T X X n-'=为霍特林（Hotelling ）2T 统计量，其分布称为服从自由度为n 的2T 的分布，记为22(,)T T p n 。
1.1.2霍特林（Hotelling ）2T 分布的性质性质1 设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，则统计量 21()()T n X S X μμ-'=--证明：因为1(,)p X N nμ∑ )(0,)p X N μ-∑ 又(1)(1,)p n S W n --∑ 且X 和S 相互独立，那么2112()()()][(1)])](,1)T n X S X n X n S X T p n μμμμ--''=--=-----性质 2 （2T 和F 分布的关系）设(0,)P X N ∑ ,22(,)T T p n ，则21(,1)n p T F p n p p n-+⋅-+ 证明：1211111(,1)1n p n p X X p T X S X F p n p X X np pn p X S X----'-+-+∑'==-+'∑-+' 其中 12()X X p χ-'∑ ，1211(1)X X n p n p X S Xχ--'∑-+-+' 性质 3设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，统计量21()()T n X S X μμ-'=--则2(,)1n p T F p n p p n -⋅--证明：见性质2性质 4 2T 统计量对非退化的线性变换保持不变证明：设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，给定观测值(1,2,,)j x j n = 及变换式111p p p p p C X d Y ⨯⨯⨯⨯=+,C 为非奇异矩阵，则y Cx d =+及11()()1ny j j j S y y y y CSC n =''=--=-∑ 又()()()()Y E Y E CX d E CX E d C d μμ==+=+=+因此，从y 与假设值00Y C d μμ=+算出的2T 为 2100()()Y Y Y T n y S y μμ-'=-- = 100(())()(())n C x CSC C x μμ-''-- =00()()()n x C CSC C x μμ'''-- =11100()()()n x C C S C C x μμ---'''-- =100()()n x S x μμ-'--威尔克斯（Wilks ）分布1.2.1威尔克斯（Wilks ）分布的定义定义：设112(n ,) P p W W W W ∑∑ 2，（n ）10,n ∑>≥（p ），且1W 和2W 独立，则称 112=W W W Λ+为威尔克斯统计量，其分布称为威尔克斯分布，记为ΛΛ 12（p,n ,n ）。
统计学中的方差分析与多元分析
统计学中的方差分析与多元分析统计学中的方差分析和多元分析是两种常用的数据分析方法。
方差分析主要用于比较三个或更多组之间的差异，而多元分析则用于研究多个变量之间的相互关系。
本文将对方差分析和多元分析进行详细介绍。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或更多组之间差异的统计分析方法。
它通过对总变异进行分解，将总变异分为组内变异和组间变异两部分。
方差分析的基本原理是检验组间平均值之间的差异是否显著。
方差分析通常包括以下几个步骤：1. 建立假设：设立一个空假设和一个对立假设，用于描述组间差异是否显著。
2. 计算平均值：计算每个组的平均值，并计算总体的平均值。
3. 计算组内变异：计算每个组内观测值与组内平均值之间的离差平方和。
4. 计算组间变异：计算每个组平均值与总体平均值之间的离差平方和。
5. 计算F值：通过计算组间均方与组内均方之比得到F值。
6. 假设检验：根据F值进行假设检验，判断组间差异是否显著。
方差分析有不同的类型，如单因素方差分析、多因素方差分析等，适用于不同的研究问题。
二、多元分析多元分析（Multivariate Analysis）是一种用于研究多个变量之间相互关系的统计分析方法。
它主要通过降维和变量转换来揭示不同变量之间的关联性。
多元分析通常包括以下几个步骤：1. 数据准备：收集研究对象的多个变量数据，并对数据进行清洗和整理。
2. 变量选择：根据研究目的和数据特点，选择需要分析的变量。
3. 变量转换：对所选变量进行数据转换，使其满足多元分析的要求，如标准化、对数化等。
4. 模型选择：选择合适的多元分析模型，如因子分析、聚类分析等。
5. 解释结果：根据模型结果，解释不同变量之间的关系，并得出结论。
多元分析可以帮助研究人员揭示多个变量之间的关联性、发现变量之间的结构关系，从而更好地理解研究对象的性质和规律。
总结方差分析和多元分析是统计学中常用的数据分析方法。
多元方差分析
多元方差分析
多元方差分析（Multivariate Analysis of Variance，MANOVA）是一项统计学分析方法，用
于检验两组或多组变量（有时也叫因子）间是否存在显著性差异。
它比单变量分析更具体，能够检验事实，如变量之间的相关性，并跟踪新变量。
多元方差分析非常有用，因为它可
以检验数据中多个变量与结果之间是否存在关系，从而更好地理解什么变量影响了结果。
多元方差分析是通过检查组间变量的分布差异和组间关系来达到这一目的的。
它能够确定
两组或多组间，及其自变量之间是否存在显著性差异。
MANOVA比单元方差分析更有力，可以同时检验多个变量，这些变量可以是连续变量也可以是分类变量。
MANOVA分析经常用于处理简单到复杂的研究项目。
例如，它可以用来测试企业的行业
绩效是否受到某个专业背景的影响。
MANOVA也被广泛用于实验心理学，常用于进行实
验中的多维测量，可以跟踪数据识别出多个变量的相关性。
一般来说，MANOVA可以检
测方法之间的显著性差异，比如测试不同教育水平，学习方法及性别是否对学生的学习表现有显著影响。
MANOVA也可以有助于决策者分析不同投资组合或组合要素是否对投资回报有显著影响，帮助他们做出更好的决策。
此外，它也可以用来帮助开发新的产品或商务服务，并识别出
相关的潜在变量并可以在某些情况下，MANOVA也可以用于进行预测性分析。
总之，多元方差分析是一个强大的统计分析工具，能有效地测试和分析复杂变量之间的关系，帮助作出更明智的研究和决策。
其优点在于可以分析多个变量，比单变量分析更具体，可以有效地进行数据正确性分析，帮助作出合理决策。
统计学中的方差分析与多元回归分析比较研究
统计学中的方差分析与多元回归分析比较研究在统计学中，方差分析和多元回归分析是两种常用的方法。
它们都用来解析变量间的关系，但在具体应用中存在一些差异。
方差分析是一种用于检测几个因素是否对其它变量产生显著影响的统计分析方法，适用于因变量为连续性变量的情形。
如果有两个甚至更多的因素（也称作处理或因素水平）对因变量造成的影响需要被研究，那么方差分析就是一个比较好的工具。
例如，Coke和Pepsi这两种可口的品牌，它们的价格、促销策略、发行渠道等诸多因素都会影响到它们的销售量。
结合方差分析方法，我们可以探究这些因素与销售量之间的关系。
同样地，多元回归分析也是一种用于研究变量关系的常用统计方法。
不同于方差分析，多元回归分析是用于研究一个或多个自变量与一系列连续型因变量之间的关系。
例如，在一次调查中，人们希望研究祖宗居住的地区、教育水平、职业体面度、月收入、婚姻状态等变量与其健康状况的关系。
这时，多元回归分析也是一个比较好的方法。
在实际应用中，方差分析和多元回归分析的应用场景略有不同。
方差分析常用于一个或几个自变量，一项被研究的因变量的研究。
例如，在药物研究中，药物剂量是唯一一个自变量，而药效是唯一一个因变量。
在这种情况下，方差分析是一种比较好的选择。
另一方面，多元回归分析通常用于探究多个自变量与多个因变量的关系。
例如，研究一个人的身体健康状况可能会涉及到多个指标，如生活习惯、心理状况、饮食习惯等，这时，多元回归分析就比较合适。
虽然方差分析和多元回归分析之间存在区别，但它们有一个共同的特点，就是都要求数据符合一定的假设条件。
例如，方差分析通常要求数据满足正态性、独立性、方差齐性等假设。
而多元回归分析则要求数据满足线性假设、同方差假设等。
对于数据不满足假设条件的情况，需要进行数据处理或采用其他方法来分析数据。
总之，方差分析与多元回归分析都是在统计学中常用的分析方法，它们分别适用于处理不同类型的问题。
在实际工作中，需要根据具体问题的性质来选择合适的方法，并注意数据符合假设条件。
多元统计分析-均值向量和协方差阵检验
当假设成立时，
实例
3.独立样本检验
即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有显著的差异。与单一样本T检验的原理相同，采用小概率反证法。 首先假设：H0两个样本来自同一总体,u1=u2 独立样本t检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件 （３）比较的两个样本有实际意义 如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比较无意义。
பைடு நூலகம்
3、两个p维正态总体均值的检验
（2）协方差不相等的情况（见书P25）
当假设
0
H
成立时，
2
T
～
2
1
,
-
-
+
p
m
n
p
T
，从而
2
)
2
(
1
T
p
m
n
p
m
n
-
+
-
-
+
～
1
,
-
-
+
p
m
n
p
F
如在医学研究中，分析几中药物对某种疾病的疗效；
进行两组及多组间样本平均数的比较
B
A
4.方差分析
已知某校大三学生的平均身高是163cm。现从某院大三学生中随机抽取20个测量出其身高。检验该院大三学生的身高与该校大三学生的身高平均值是否相等。
建立一个原假设：H0：假设该院大三学生的身高与该校大三学生的平均身高相等。
这属于单个变量的均值与已知常数的比较
01
02
03
2.单一样本检验
统计量 基本性质：在一元统计中， 若统计量t ～t(n-1)分布，当假设为真时，统计量t2～F1,n-1分布，其否定域为 t2 F1,n-1（） 在多元统计中T2也具有类似的性质。
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多元统计检验与多元方差分析(doc 7页)第8章多元统计检验科学试验处理对象的观察指标往往有多个。
如除草剂药效试验中，一种除草剂防治对象有几种杂草，并需同时评价除草剂对几种杂草的防治效果，则需要应用多元统计检验技术。
同样，在作物栽培试验中，某项增产措施对作物的多个产量性状的影响也是多指标的。
这类评价多指标的统计分析即为多元方差分析技术。
第1节多个协方差阵齐性检验1.概述多个方差阵的齐性检验可以推断多个协方差阵是否完全相等。
当我们从多个总体抽取样本进行统计分析之前，希望检验各个样本的协方差阵是否相等，如为了对比两个矿的某些特性，将两矿的超基性岩体中的5种元素含量测出，每矿测10个岩体，我们需要了解这两个矿的协方差阵是否相等。
2．DPS操作若一个试验有且有n 个变量，a 个处理，每处理有m 个观察样本，则整个试验共有amn 个指标。
分析数据按下图（图中含2个变量，2个处理，两处理分别有8个观察值）方式编辑。
经计算得到结果如图8-1。
图8－1 方差齐性检验根据卡方检验的显著水平(0.13337)，推断两个处理的协方差阵差异不显著。
第2节 多元均值检验1．概述当我们从多元总体中抽取1组样本，希望检验该样本是否和总体没有差异。
可用多元分析中的T 2检验。
式中n 样本容量, A 为样本的协方差阵。
同时T 2检验可以转换为等价的F 检验其自由度为(p ,n-p )。
从而我们可利用F 统计量进行检验。
)())(1(12μμ-'--=-x A x n n T 2)1()(Tpn p n F --=2．DPS操作若一个试验有且有n个变量，m个观察样本的检验，分析数据按下图（第一行放总体的各个指标，以下逐个放入各个样本观察值）方式编辑。
经计算结果如图8－2。
图8－2 多元均值检验界面从分析结果可以看出，F统计量等于11.3341，其显著水平等于0.00065(小于0.01)。
大于0.01的极显著水平。
因此推断样本的均值与总体不相等。
第3节两总体均值比较1．概述如果我们从两总体中分别抽取样本容量为n和m的样本，检验两样本是否相等。
在多元分析中，同样可以采用T2检验方法进行检验。
式中S=(A x+A y)/(n+m-2)。
同样T2统计量可以转换为F统计量：其自由度为(p,n+m-p-1)。
从而我们可利用F统计量进行检验。
2.DPS 操作若一个试验有n 个变量，每处理有m 个观察样本，分析数据按下图（图中含2个变量，两处理分别有4个观察值）方式编辑。
经计算得到结果如图8－3。
图8－3 两总体均值比较界面从分析结果可以看出，F 统计量等于48.63，其显著水平等于0.00053。
大于0.01的极显著水平。
因此推断两组样本均值不相等。
第4节 成对试验的统计检验在两组样本的比较分析中，有时两总体的样品必须成对地出现才能作比较。
这时统计检验的T 2统计量的构成为：令 则同样，可以将T 2统计量转换为F 统计量进行统计检验。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑+=∑ii m ij ij ij n j k i N X ,,1;,,1,0),,0(~, αεεμ相互独立2．DPS 操作在进行配对检验之前，须先在电子表格中计算出样品中各个变量两两配对时的差值（d i ）。
然后将差值定义成数据块进行分析（如图）。
得到结果如图8－4。
图8－4成对试验的统计检验界面从分析结果可以看出，F 统计量等于14.075，其显著水平等于0.0054。
大于0.01的极显著水平。
因此推断两组样本均值不相等。
第5节 多元方差分析基本原理前面介绍的是两样本的统计检验。
但在实际工作中，常遇到多组样本的统计检验问题。
在多元方差分析中，我们观察的如果不是一个指标（性状）。
而是m 个指标，记为向量形式X ＝（x 1,x 2,…，x m ）’,(m <n ),那么第i 水平的第j 次重复观察值可以表示为全试验共有knm 个数据.并假定X ij 满足线性模型或nj k i x x x X ijm ij ij ij ,,1;,,1,)',,,(21 ===统计假设为H0：μ1=μ2=…μk或α1=α2=…=αk=0。
为了构造H0的测验量，我们采用类似于一无方差分析的作法，把反映全试验变异的总离差阵，按变异来源分解成水平间离差阵H与水平内离差阵E之和，即并有W=H+E，当H0成立时，W服从于自由度df w=kn-1的W m(kn-1,∑)分布；E是个独立样本离差阵之和，服从于自由度df E=kn-k的W m(kn-k,∑)分布。
而H是k个独立均值向量的离差阵，其自由度df H=k-1,于是，根据广义Cochran分解定理得知H~W m(k-1 ，∑)，且与E相互独立。
按照Λ统计量的定义,如果∧<∧α,则在显（m,kn-k,k-1 ）著水平α下否定H0，即认为各水平均值向量差异显著。
多重比较在多元方差分析中，如果∧<∧α.仅仅表现（m,kn-k,k-1）诸μi不全相等，不能排除其中部分总体均值向量相等的情形。
因此，有必要测验两个水平的差异，即测验H0ij:μI=j(I<j,i,j=1,2,…,k)。
为此将k个样本均值向量X1，X2，…，X k 两两配对，分别计算它们的T2。
服从于T2（m,kn-k），或直接计算F量。
如果F ij>Fα(m,kn-k-m+1)，在显著水平α下否定H0ij。
不难看出，T2法相当于一元统计中的最小显著差数法（LSD），一般只适用于未看数大测验H0的α的水平。
为了确保测验H0的显著水平α。
根据Bonferroni区间法,可以采用α/（k-1）的临界值T2ba=T2α(k )(m,kn-k)或F ba/(k-1),(kn-k-m+1)作为含k个水平两两比较的公共显著临界值，如果F ij>F ba,则在α下否定H0ij。
第6节多元方差分析数据编辑、整理格式1．单向分组试验数据编辑格式若一个试验有且有n个变量，a个处理，每处理有m个观察样本，则整个试验共有amn个指标。
分析数据按下述方式编辑如图8－5：处理观察样本指标1 1 x111x112 x113x11.x11n2 x121x122 x123x12.x12n... x1.1x1.2 x1.3x1.. x1.nm x1m1x1m2x1m3x1m.x1mn 2 1 x211x212x213 ...x21n2 x221x222x223...x22n... ...............m x2m1x2m2x2m3 ...x2mn... 1 ...............2 .................. ...............m ...............a 1 x a11x a12x a13...x k1n2 x a21x a22 x a23...x k2n... ...............m x am1x am2x am3...x amn图8－5 单向分组试验数据编辑格式如a只有2个处理，则可以进行2处理的均值检验。
对完全随机设计试验，每个处理的区组个数可以不相等。
这时，分析系统提示您输入处理组数或各组的样本(观察值)个数时，依次输入各个处理的区组（观察样本）数目。
2．双向分组完全随机试验统计分析对双向分组试验设计资料，DPS系统要求按处理A、处理B、观察样本（区组）及每个样本各个指标(性状)顺序输入,并定义数据块。
输入格式见图8－6。
处理A 处理B 观察值指标1 1 1 x1111x1112x1113x111.x111n2 x1121x1122x1123x112. x112n... x11.1x11.2x11.3x11.. x11.nm x11m1x11m2x11m3x11m.x11mn2 1 x1211x1212x1213... x121n2 x1221x1222x1223... x122n... ... ... ... ... ...m x12m1x12m2x12m3... x12mn... 1 .….…... ... ...2 .…... ... ... ... ... .…... ... ... ... m .…... ... ... ...b 1 x1b11x1b12x1b13... x1b1n2 x1b21x1b22x1b23... x1b2n... ... ... ... ... ...m x1bm1x1bm2x1bm3... x1bmn 2 1 1 x2111x112x113x11. x11n2 x2121x122x123x12. x12n... x21.1x1.2x1.3x1.. x1.nm x21m1x1m2x1m3x1m.x1mn... 1 ... ... ... ... ...2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m ... ... ... ... ...b 1 x2b11x2b12x2b13... x2b1n2 x2b21x2b22x2b23... x2b2n... ... ... ... ... ...m x2bm1x2bm2x2bm3... x2bmn … 1 1 x.111x.112x.113x.11.x.11n2 x.121x.122x.123x.12.x.12n... x.1.1x.1.2x.1.3x.1..x.1.nm x.1m1x.1m2x.1m3x.1m.x.1mn. .. 1 ... ... ... ... ...2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m ... ... ... ... ...b 1 x.b11x.b12x.b13... x.b1n2 x.b21x.b22x.b23... x.b2n... ... ... ... ... ...m x.bm1x.bm2x.bm3... x.bamna 1 1 x a111x a112x a113x a11.x a11n2 x a121x a122x a123x a12.x a12n... x a1.1x a1.2x a1.3x a1..x a1.nm x a1m1x a1m2x a1m3x a1m.x a1mn ... 1 ... ... ... ... ...2 ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...m ... ... ... ... ...b 1 x ab11x ab12x ab13... x ab1n2 x ab21x ab22x ab23... x ab2n... ... ... ... ... ...m x abm1x abm2x abm3... x abmn各种类型的多元方差分析所要求的数据编辑、排列方式见系统提供的示范样本数据文件。