6.4实际问题与二次函数(1)
实际问题与二次函数(1)
D
C B A
25m
实际问题与二次函数（1）
探究1：面积问题
例题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？针对训练（一）
用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？针对训练（二）
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究（二）利润问题
例题：已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
针对训练（一）
商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。
每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
针对训练（二）
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？。
6.4实际问题与二次函数(1)利润问题
y\元
6250 6000
0
5
30
x\元
问题3.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出 300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每降价一 元，每星期可多卖出20件。如何定价才 能使利润最大？
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为 6125元.
2
Байду номын сангаас
10分
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。 12分
反思感悟
通过本节课的 学习，我的收获 是．．．．．．
数学的用处还是很大的，
生活中处处有数学， 就看我们怎么用它了…… 新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！
答：当定价为57.5元时商场能获得最 大利润
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
练习：某商人若将进货单价为8元的商品按每件 10元出售，每天可销售100件。现在他为了增 加利润，提高了售价。但他发现商品每涨一元， 其销售量就减少10件。请你应用已学知识帮他 决定：将售出价定为多少时，才能使每天所赚 利润最大？并预算出最大利润。
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》说课稿
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
教材通过引入生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容安排合理，由浅入深，通过具体的实例引导学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.引导学生学会将实际问题转化为二次函数问题，提高学生的数学思维能力。
3.通过解决实际问题，巩固学生对二次函数图像和性质的理解。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.教学难点：引导学生理解实际问题与二次函数之间的联系，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图像，帮助学生更好地理解二次函数的性质。
3.通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活中的实例，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。
2.讲解实例：分析实例中的问题，将其转化为二次函数问题，讲解如何运用二次函数解决实际问题。
3.巩固知识：通过练习题，让学生巩固对二次函数解决实际问题的方法。
4.小组讨论：让学生分组讨论如何将实际问题转化为二次函数问题，并分享讨论成果。
5.总结提升：总结本节课的重点内容，强调二次函数在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
《实际问题与二次函数(1)》名师教案
22.3.2实际问题与二次函数——二次函数与销售利润最大问题(杜星兰)一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．（二）学习重点学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．（三）学习难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．二、教学设计（一）课前设计预习任务1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是x= 2b a -；二次函数的图象是一条抛物线，当a ＞0时，图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下；2.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：（1）若a >0，则当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a -；（2）若a <0，则当x =2b a -时，y 最大值=244ac b a -. 预习自测1.已知二次函数221y x x =-++，当x=______时，取得最_______值为_______；【知识点】二次函数求最值【解题过程】配方，得2(1)2y x =--+，∴当x=1时，取得最大值为2.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值【答案】1、大、2.2.已知二次函数221y x x =-++，2≤x ≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。
【知识点】二次函数区间求最值【解题过程】配方，得2)1(2+--=x y ，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x 的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值【答案】2，1；5，-14.3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件售价应为____元．【知识点】二次函数的应用．【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【解题过程】解：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=2x 2525+-（﹣）， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，【答案】254.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值【解题过程】解：(1)y ＝－10x 2＋1400x －40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x 2＋1400x －40000＝8000，化简得x 2－140x ＋4800＝0，∴x 1＝60，x 2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．(二)课堂设计1.知识回顾（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：①若a >0，则当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a -；②若a <0，则当x =2b a -时，y 最大值=244ac b a -. 2.问题探究探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2 整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。
实际问题与二次函数w
二次函数与线性规划的结合
总结词
求解优化问题
详细描述
在解决优化问题时，可以将二次函数 与线性规划结合，利用线性规划的约 束条件和目标函数，求解诸如资源配 置、生产计划等优化问题。
04 解决实际问题的一般步骤
建立数学模型
01
02
03
理解问题背景
深入了解问题的实际背景， 明确问题的目标、条件和 限制。
05 实际问题的求解方法
代数法求解
代数法是求解二次函数实际问题最常用的方法之一。通过将实际问题转化为数学 方程，利用二次方程的求根公式或因式分解法求解，得到自变量和因变量的关系 式，从而解决实际问题。
例如，在求二次函数的最大值或最小值时，可以将二次函数配方为顶点式，利用 顶点的坐标来求解。
图像法求解
例如，在解决速度、加速度和位移问 题时，可以利用二次函数的导数来找 到加速度的最大值或最小值，从而确 定速度和位移的关系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
图像法是通过绘制二次函数的图像来直观地解决实际问题的 方法。通过观察图像的开口方向、顶点和对称轴等特征，可 以快速地找到函数的最大值或最小值，以及自变量和因变量 的关系。
例如，在解决最优化问题时，可以绘制二次函数的图像，找 到最优解的位置，从而得到最优的方案。
微积分法求解
微积分法是通过微积分的知识来求解 二次函数实际问题的。通过对二次函 数求导数，找到函数的极值点，从而 确定自变量和因变量的关系。
提供重要的参考依据。
最大利润问题
要点一
总结词
最大利润问题是二次函数在经济领域中的重要应用，通过 建立二次函数模型，可以解决最大化利润的问题。
要点二
详细描述
实际问题与二次函数课件
03 二次函数的应用
最大最小值问题
要点一
总结词
通过求二次函数的顶点，解决生活中的最大最小值问题。
要点二
详细描述
在二次函数中，顶点坐标可以通过公式$-frac{b}{2a}$和 $fleft(-frac{b}{2a}right)$求得。在解决实际问题时，我们 可以通过找到二次函数的顶点，来找到某个量的最大值或 最小值。例如，在建筑设计中，为了使建筑物的窗户或阳 台获得最好的视野，需要找到最佳的窗户或阳台的高度和 宽度。
02 实际问题与二次函数
生活中的二次函数问题
抛物线运动
在投掷、射箭等运动中，物体的运动 轨迹可以近似地用二次函数描述。这 是因为物体在空中的运动受到重力的 影响，形成抛物线形状。
桥梁振动
大型桥梁在风力或地震作用下会产生 振动，其振动幅度和频率与二次函数 相关，通过研究这些函数的特性，可 以预测桥梁的安全性。
04 实际问题的解决策略
建模策略
总结词
将实际问题转化为数学模型的关键步 骤
详细描述
通过理解问题的本质，将实际问题的 语言描述转化为数学表达式，构建出 反映问题内在规律的数学模型。
图像分析策略
总结词
利用二次函数的图像解决实际问题的有 效方法
VS
详细描述
通过绘制二次函数的图像，直观地展示函 数的性质和变化规律，从而解决与二次函 数相关的实际问题，如最值问题、交点问 题等。
面积问题
总结词
利用二次函数解决生活中的面积问题。
详细描述
在解决与面积相关的问题时，我们可以将面积表示为二次函数的形式。例如，在农业中，为了最大化 农作物的产量，需要找到最佳的种植密度。通过将种植密度表示为二次函数，可以找到最佳的种植密 度，从而最大化农作物的产量。
实际问题与二次函数第1课时
实际问题与二次函数
学习目标
1、懂得商品经济问题中的等量关系的寻找方法；
2、会应用二次函数的性质解决实际问题。
学法指导
一、复习
1、求下列函数的最大值或最小值：
（1）
322-+-=x x y ； （2）x x y 42+=
2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每周的利润为多少？
二、问题探究
探究：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括哪几种情况？
1、涨价
解：设每件涨价x 元，利润为y 元，则
因此， =y
自变量取值范围为：
所以，当x = ________时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________.
2、降价
解：设每件降价a元，利润为b元，则
b（）
因此，
所以，当a = ________时，b最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________.
∴综合以上两种情况，定价为元时，可获得最大利润为元. 牛刀小试：
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
小结：谈谈你的收获
自己的收获：
对同伴的建议：
自己的疑惑：。
实际问题与二次函数-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）实际问题与二次函数1．二次函数的定义形如 y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做x 的二次函数. 2．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质函数二次函数y=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)图象a >0a <0性质①当a >0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ②对称轴是a b x 2−=,顶点坐标是①当a <0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.②对称轴是abx 2−=,顶点坐标是（1）二者的形状相同,位置不同,y=a (x -h )2+k 是由y=ax 2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax 2的图象y=a (x -h )2的图象y=a (x -h )2+k 的图象. 4．二次函数的解析式的确定要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0);（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a (x -h )2+k (a ≠0). 5．二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x 轴有交点时，令y=0，解方程ax 2+bx+c=0就可求出与x 轴交点的横坐标.6设抛物线y=ax 2+bx+c (a>0)与x 轴交于(x 1,0),(x 2,0)两点，其中x 1<x 2,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为x>x 2或x<x 1，不等式ax 2+bx+c<0的解集为x 1<x<x 2.右左上下【考点1】图形问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，当AB=6时，40−x2=6，解得：x=28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x·40−x2=192，整理得：x2−40x+384=0，解得：x=24或x=16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y=x·40−x2=−12(x2−40x)=−12(x−20)2+200，∵−12<0，20<26，∴当x=20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴综上所述，结论②③正确，即正确的结论有2个，故选：C．设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，根据AB=6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积=192.解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．【例2】（2024·湖北模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 都一样【答案】C【解析】解：设围成的图形的面积为ym2，方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为(12−2x)米，由题意得：y=x(12−2x)=−2(x−3)2+18，当x=3时，y有最大值为18；方案二：∴等腰三角形的腰为6米，当顶角为直角时，面积最大，为：12×6×6=18；方案三：设圆的半径为r米，则：πr=12，解得：r=12π，∴y=12π(12π)2=72π≈23，∵23>18，故选：C．先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键．1.（2024·浙江模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG 交DC于K.已知AB=10，设AC=x(5<x<10)，记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2.则S1S2与x的函数关系为( )A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 反比例函数关系D. 二次函数关系【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，∴AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，S1=S△EDK=12DE⋅DK，S2=S△EAC=12AC⋅AK，∵∠EDC=∠DFG=90°，∴ED//FG，∴△EDK∽△GFK，∴KF KD =FGED=10−xx，∴KD=x10−x⋅KF，∵DK+KF+CF=CD，∴KF+x10−x⋅KF+10−x=x，∴KF=(2x−10)(10−x)10，∴DK=x(2x−10)10，∴S1=12x⋅x(2x−10)10=12x2⋅2x−1010，S2=12x2，∴S1 S2=2x−110=15x−1，∴S1S2与x的函数关系为一次函数，故选：B．根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．2.（2024·江西模拟）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系( )A. 一次函数B. 二次函数C. 反比例函数D. 其它函数【答案】B【解析】解：设图2外面正方形为正方形ABCD，里面正方形为正方形EFGH，如图：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=6，∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH，∠AEF=∠DHE=90°−∠DEH，在△AEF与△DHE中，{∠A=∠D∠AEF=∠DHE EF=EH，∴△AEF≌△DHE(AAS)，∴AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，∴S=EF2=AE2+AF2=x2+(6−x)2=2x2−12x+36，∴S与x之间是二次函数关系，故选：B．先根据正方形性质可得∠A=∠D，EF=EH，再由同角的余角相等得到∠AEF=∠DHE，就可以根据AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式，即可解答．本题考查正方形的性质、二次函数在实际生活中的应用，是中考高频考点，解题关键是证明△AEF≌△DHE．【考点2】图形运动问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·江苏模拟）如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为A →B →C ，动点Q 的运动路线为B →D.点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：(1)点P 在AB 上运动时，0<x ≤5，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发， 作QE ⊥AB 交AB 于点E ，则有AP =BQ =x ，∠EBQ =∠EQB =45∘， ∴BP =5−x ，QE =√22x ， ∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE 12×(5−x)×√22x =−√24x 2+5√24x(0<x ⩽5)，∴此时图象为抛物线开口方向向下；(2)点P 在BC 上运动时，5<x ≤5√2，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发， 作QE ⊥BC 交BC 于点E ，则有AB +BP =BQ =x ，∠QBE =∠BQE =45∘， ∴BP =x −5，QE =√22x ，∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE =12×(x −5)×√22x =√24x 2−5√24x(5<x ≤5√2)， ∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y 随x 的增大而增大； 综上，只有选项B 的图象符合， 故选B.分两种情况：P 点在AB 上运动和P 点在BC 上运动时；分别求出解析式即可． 本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．【例2】（2024·广东模拟）如图，菱形ABCD中，∠B=60∘,AB=2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )A. B.C. D.【答案】A【答案】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60∘=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与χ之间函数关系，由二次函数的性质可求解．【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于点H，由题意得BP=AQ=x，∵菱形ABCD中，∠B=60∘，AB=2∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠D=60∘，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=2，∠BAC=∠ACD=60∘∵sin∠BAC=HQAQ，∴HQ=AQ⋅sin60∘=√ 32x，∴△APQ的面积y=12(2−x)×√ 3x2=−√ 34(x−1)2+√ 34，当2<x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于点N，由题意得AP=CQ=x−2，∵sin∠ACD=NQCQ =√ 32，∴NQ=√ 32(x−2)∴△APQ的面积y=12(x−2)×√ 32(x−2)=√ 34(x−2)2，该图象开口向上，对称轴为直线x=2∴2<x≤4时，y随为的增大而增大，∴当x=4时，y有最大值为√ 3⋅故选A．1.（2024·安徽模拟）如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的ΔCPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图像大致是 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查的是二次函数的应用、二次函数的图象及根据实际问题列二次函数关系式的知识，依据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键．先根据三角形的面积公式列出y与x的函数关系式，由y与x的函数关系式可知，函数图象是一条抛物线的一部分，且抛物线的开口向上，从而求得问题的答案．【解答】解：∵运动时间xs，则CP=xcm，CO=2xcm；∴S△CPO=12CP×CO=12x·2x=x2．∴△CPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式是：y=x2(0<x≤3)．∴根据二次函数的图象特点，C正确．故选C．2.（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm.动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2【答案】C【解析】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程(路程=时间×速度)；这类动点型问题一般情况都是把面积的最值问题，转化为函数求最值问题，求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．先根据已知点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列出S关于t的函数关系式，并求最值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=6cm，BC=8cm，由题意得：AP=t，BP=6−t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=12×BP×BQ=12×2t×(6−t)，∴S=−t2+6t=−(t2−6t+9−9)=−(t−3)2+9，∵P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．【考点3】拱桥问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·陕西模拟）某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为( )A. 13米B. 14米C. 15米D. 16米【答案】C【解析】略【例2】（2024·山西模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y=−125x2，在正常水位时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=( )A. 20米B. 15米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】解：∵AB=30米，∴当x=15时，y=−125×152=−9，当水位上升5米时，y=−4，把y=−4代入y=−125x2得，−4=−125x2，解得x=±10，此时水面宽CD=20米，故选：A．根据正常水位时水面宽AB=30米，求出当x=15时y=−9，再根据水位上升5米时y=−4，代入解析式求出x即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．1.（2024·河北模拟）如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m，水面宽6m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A. y=−13x2 B. y=13x2 C. y=−3x2 D. y=3x2【答案】A【解析】解：设出抛物线方程y=ax2(a≠0)，由图象可知该图象经过(−3,−3)点，故−3=9a，a=−13，故y=−13x2，故选：A．设出抛物线方程y=ax2(a≠0)代入坐标求得a．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．2.（2024·陕西模拟）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是( )A. 8√ 5米B. 10米C. 6√ 5米D. 8√ 3米【答案】A【解析】本题考查了二次函数的应用．由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=−140x2+10得：x=±4√ 5，即E点坐标为(−4√ 5,8)，F点坐标为(4√ 5,8)，∴EF=8√ 5(米)．3.（2024·山西模拟）小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y=−14x2+bx+c，如果AB= 8m，AD=2m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为( )A. 8mB. 7mC. 6mD. 5m【答案】C【解析】解：由题意可得：点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,8)，将点D和C代入抛物线表达式可得{2=c2=−14×82+8b+c，解得{b=2c=2，∴y=−14x2+2x+2，令x=4，可得y=−1×42+2×4+2=6．4故选：C．根据条件易有点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(8,2)，点N的横坐标为4，将点D和C代入抛物线表达式可解的b 和c的值，然后令x=4计算点N的纵坐标即为距离．本题主要考查二次函数的实际应用，能够根据条件得到对应点的坐标，解出抛物线表达式是解题的关键，然后在将实际问题转化为二次函数点的坐标问题．【考点4】销售问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·广东模拟）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价( ) A. 5元 B. 15元 C. 25元 D. 35元【答案】C【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400=−(x−25)2+2025，∵−1<0，∴当x=25元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价25元．故选：C．设应降价x元，所求利润的关系式为(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．此题考查二次函数在销售利润方面的应用，利润，公式：利润=销售价−成本价；还考查求二次函数的极值方法，求极值一般有三种方法：第一种根据图象顶点坐标直接得出；第二种是配成顶点式；第三种是利用顶点坐标公式进行计算．解题关键是熟练掌握以上方法．【例2】（2024·河北模拟）农特产品展销推荐会在杨凌举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为40元.已知每千克售价不低于成本价，不超过80元.经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克.为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )A. 20B. 60C. 70D. 80【答案】C【解析】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=(x−40)[100−2(x−50)]=−2x2+280x−8000=−2(x−70)2+1800，答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元，故选：C．设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=−2(x−70)2+1800，根据二次函数的性质即可得到结论．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．1.（2024·河北模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )A. 50B. 90C. 80D. 70【答案】D【解析】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，由题意可得：w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，∴当x=70时，w取得最大值，故选：D．根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．2.（2024·天津模拟）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件.若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A. 50元B. 80元C. 90元D. 100元【答案】C【解析】略18.（2024·广东模拟）一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，每顶头盔的售价为80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每顶头盔的售价每降低1元，每月可多售出20顶.已知每顶头盔的进价为50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( ) A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元【答案】C【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元.由题意可得，w=(80−x−50)(200+20x)=−20(x−10)2+ 8000，∴当x=10时，w取得最大值，此时80−x=70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头备的售价为70元，故选C．【考点5】喷水问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·北京模拟）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图所示)，水平距离x(m)与水流喷出的高度y(m)之间的关系式为y=−29x2+43x+2，则水流喷出的最大高度是( )A. 5.5mB. 5mC. 4.5mD. 4m 【答案】D【解析】本题考查二次函数的应用，关键是把抛物线解析式化为顶点式．把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求最值．【解答】解：y=−29x2+43x+2=−29(x−3)2+4，∵−29<0，∴当x=3时，y有最大值，最大值为4，故选：D．【例2】（2024·山东模拟）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距喷水头的水平距离为8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最大水平距离OC是( )A. 20米B. 18米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】由题意可知抛物线的顶点坐标为(8,1.8)，设水流所在抛物线的表达式为y=a(x−8)2+1.8(a≠0)，将点(0,1)代入，得1=a(0−8)2+1.8，解得a=−180，∴y=−180(x−8)2+1.8.当y=0时，0=−180(x−8)2+1.8，解得x=−4(舍去)或x=20．∴水流喷射的最大水平距离OC是20米，故选A．1.（2024·广东模拟）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为2.25m，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心1m时，水柱的最高点为3m，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为( )A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m【答案】A【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．根据题意设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入求出函数解析式，再令y=0，即可得出答案．【解答】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为(1,3)，与y轴的交点坐标为(0,2.25)，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入到y=a(x−1)2+3中得：a+3=2.25，∴a=−0.75，∴抛物线解析式为y=−0.75(x−1)2+3，当y=0时，则−0.75(x−1)2+3=0，解得x=−1(舍去)或x=3，∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为3m，故选A．2.（2024·河北模拟）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4.5米B. 5米C. 6.25米D. 7米【答案】C【解析】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+6x的顶点坐标的纵坐标，∴y=−x2+5x=−(x−2.5)2+6.25，∴顶点坐标为：(2.5,6.25)，∴喷水的最大高度为6.25米，故选：C．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+5x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．本题考查了二次函数的应用，从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题是解题的关键．3.（2024·吉林模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m.则水管OA的高是A. 2mB. 2.25mC. 2.5mD. 2.8m【答案】B【解析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解本题关键，属于基础题.可设水柱高度y 和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据待定系数法求出该二次函数解析式，然后令x=0，求出此时的y值即可．【解答】解：根据题意知喷出的抛物线形水柱的图像是二次函数，故可设水柱高度y和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据题意知函数y经过点(1,3)，(3,0)，且−b2a=1，代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=39a+3b+c=0−b2a=1，解得{a=−34b=32c=94，∴y=−34x2+32x+94，当x=0时，函数值便是水管OA的高，∴水管OA的高为94m=2.25m，【考点6】其他问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】略【例2】（2023·上海）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为( ) 第一次训练数据A. 23.20cmB. 22.75cmC. 21.40cmD. 23cm【答案】A【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，∴k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，故选：A．根据表格中数据求出顶点坐标即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．1.（2024·湖北模拟）如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+ bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 10mB. 20mC. 15mD. 22.5m【答案】C【解析】此题考查了二次函数的应用，将点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)，则{c=54.01600a+40b+c=46.2400a+20b+c=57.9，解得：{a=−0.0195b=0.585c=54.0，∴抛物线的解析式为y=−0.0195x2+0.585x+54，开口向下，对称轴为直线x=−b2a =−0.5852×(−0.0195)=15，∴当该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为15m．2.（2024·山西模拟）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系y=−116x2+58x+32，则小康这次实心球训练的成绩为( )A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米【答案】B【解析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【解答】解：当y=0时，则−116x2+58x+32=0，解得x=−2(舍去)或x=12，则小康这次实心球训练的成绩为12米．3.（2024·黑龙江模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−k)2+ℎ.已知球与O点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是( )A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定【答案】C【解析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k=6，ℎ=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点(0,2)代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=−160(x−6)2+2.6=2.45，所以球能过球网；当y=0时，−160(x−6)2+2.6=0，解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)，故会出界．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y=a(x−6)2+2.6，∵抛物线y=a(x−6)2+2.6过点(0,2)，∴2=a(0−6)2+2.6，解得：a=−1，60(x−6)2+2.6，故y与x的关系式为：y=−160(x−6)2+2.6=2.45>2.43，当x=9时，y=−160所以球能过球网；(x−6)2+2.6=0，当y=0时，−160解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)故会出界．故选C．。
23题实际问题与二次函数
实际问题与二次函数（1）1、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？2、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？3、某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：（1）直接写出y与x的函数关系式：（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？4、某商场将进价为4000元的电视以4400元售出，平均每天能售出6台．为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：这种电视的售价每降价50元，平均每天就能多售出3台．（1）现设每台电视降价x元，商场每天销售这种电视的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）（2）每台电视降价多少元时，商场每天销售这种电视的利润最高？最高利润是多少？（3）商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到更多实惠，每台电视应降价多少元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3600元？5、某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？6、某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？实际问题与二次函数（2）1、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由3、如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y=a （x-6）2+h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．4、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
《实际问题与二次函数(1)》教学设计
《实际问题与二次函数（1）》教学设计
发表时间：2015-05-13T09:51:24.980Z 来源：《教育学文摘》2015年4月总第152期供稿作者：王祝林
[导读] 为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式。
◆王祝林贵州省兴仁县屯脚中学562307
摘要：使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y=ax2的关系式；使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式；让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生应用数学的意识。
关键词：实际问题二次函数教学设计
一、创设问题情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
五、小结
二次函数的关系式有几种形式，y=ax2+bx+c就是其中一种常见的形式。
二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c。
由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。
六、第一课时作业优化设计
略。
实际问题与二次函数(一)
26．3 实际问题与二次函数（一）基础训练1.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac-b 2的化简结果是（ ）A.aB.-aC.0D.12.抛物线y=-2x 2-8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________．3.两数之和为6，则之积最大为．____________强化训练1.抛物线y=x 2+2x+1的顶点是（ ）A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,0)D.(-1,1)2.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ．3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？巩固训练1.已知二次函数y=x 2-6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．2.抛物线y=21x 2-6x+21，当x=_________，y 最大=____________． 3.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t-21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h 与t 的函数图象.（1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图26-3-1-14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y（吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W（万元），请写出W与x之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？6.某经营商购进一种商品原料7 000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．问：（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利多？多多少？7.(2010山东青岛模拟，22)在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x…25242322…（元/千克）销售量y… 2 000 2 500 3 000 3 500…（千克）（1）在如图26-3-1-2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？图26-3-1-2。
实际问题与二次函数的公式
实际问题与二次函数的公式在咱们学习数学的这个大“乐园”里，有一个非常重要的“小伙伴”，那就是二次函数。
而二次函数在解决实际问题的时候，那可真是一把“利器”！先来说说啥是二次函数。
简单点讲，形如 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）的函数就是二次函数。
这里的 a、b、c 都是常数，a 决定了函数图像的开口方向和大小。
比如说，咱在卖东西的时候。
有一次我去逛集市，看到一个卖水果的摊主。
他卖的是苹果，进价每个 2 块钱，他想定个价格，既要保证能赚钱，又不能太贵把客人吓跑。
这时候二次函数就派上用场啦。
假设他定的价格是 x 元每个，每天能卖出的数量是 y 个。
经过观察和分析，发现销量 y 和价格 x 之间有这样的关系：y = 100 - 10x。
那他每天的利润 z 就等于单个利润乘以销量，也就是 z = (x - 2)(100 - 10x)。
这就是一个二次函数！对这个函数进行整理，z = -10x² + 120x - 200。
接下来就是通过求这个二次函数的顶点，来找到利润最大时的价格。
再比如投篮问题。
咱打篮球投篮的时候，篮球在空中的轨迹其实就可以用二次函数来模拟。
假设篮球出手时的高度是 h 米，水平速度是 v 米/秒，垂直速度是 u 米/秒。
经过时间 t 秒后，篮球的高度 y 就可以用二次函数 y = h + ut - 5t²来表示。
通过这个公式，咱就能算出在啥时候篮球能达到最高点，或者判断能不能投进篮筐。
还有建桥的问题。
假如要在一条河上建一座拱桥，为了让船能顺利通过，拱桥得有一定的高度和跨度。
这时候就可以用二次函数来设计拱桥的形状。
比如说拱桥的形状可以用 y = ax² + bx + c 来表示，通过给定桥的跨度和最大高度等条件，就能确定 a、b、c 的值，从而设计出合适的拱桥。
在实际生活中，二次函数的应用真的是无处不在。
就像咱们找最优方案，比如怎样用有限的材料围出最大面积的场地；或者算喷泉能喷多高、多远；甚至是算火箭的飞行轨迹，都能用到二次函数。
实际问题与二次函数优质课教案设计
实际问题与二次函数（第一课时）教学目标：1、初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。
2、在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。
3、通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。
教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。
教具准备：多媒体课件，实物投影仪。
教学过程：一、创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课。
在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。
你们的父母中有做生意的举手示意一下（师清点人数），在外务工的举手示意一下，（好的，谢谢！）。
那么我想问一下，务工也好，做生意也好，目的都是干什么？生答：“挣钱”。
师：“不仅挣钱而且都想挣更多的钱，一是靠我们辛勤的劳动，二是靠我们的智慧和科学文化知识”。
我们班的小红的爸爸是个文盲，他有一个问题想请大家帮帮忙。
（引处例1）二、试一试，我能行例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？分析：1、如何确定函数关系式？2、每件的利润=售价—进价总利润=每件的利润×卖出的总件数3、变量x有范围要求吗？解:调整价格包括涨价和降价两种情况(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30)∴当x=5时，y最大=6250元所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。
(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20)∴当x=2.5时，y最大=6125元所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。
实际问题与二次函数课件
1 建模和解决
通过实际问题的建模和解决过程，理解如何 将问题转化为二次函数模型。
2 例子：抛物线运动问题
通过具体的抛物线运动问题，展示如何运用 二次函数对实际情况进行建模和解决。
3 应用
探索二次函数在经济学中的应用，揭示二次 函数的实际应用领域和其重要性。
4 例子：二次函数在经济学中的应用
通过实际例子，展示二次函数在经济学中的 应用场景，如市场需求曲线等。
实际问题与二次函数ppt 课件
本课程将探讨实际问题如何使用二次函数进行建模和解决，通过丰富的实例， 深入了解二次函数的定义、性质以及实际应用。
引入
1 研究实际问题
实际问题是数学和科学的重要应用之一，可以通过二次函数进行建模和解决。
2 重要的数学工具
二次函数是解决实际问题的重要数学工具，在多个领域中得到广泛应用。
实践演习
1 编写二次函数程序
通过编写二次函数程序，模拟实际问题，加深对二次函数应用的理解。
2 利用数学工具求解
利用数学工具或编程语言，运用二次函数相关知识，求解实际问题，加深应用能力。
总结
1 实际问题与二次函数关系
通过本课程的学习，加深对实际问题与二次函数之间关系的理解和把握。
2 二次函数的基本性质和应用
二次函数
1 定义和一般式
了解二次函数的定义和一般式，掌握其基本 形式和常见表示方法。
2 性质
• 对称性：探讨二次函数的对称轴和对 称性质。
• 开口方向：了解二次函数的开口方向 和相关概念。
• 零点和交点：掌握二次函数零点、交 点和相关解析方法。
人教版九年级上册数学课件：实际问题与二次函数1
小结：
1、这节课你学习了用什么方法解决哪类问题？ 2、解决此类问题的一般步骤是什么？
3、对你以后生活（买卖东西）有什么指导？
老师 提醒：
确定二次函数关系式后，应该写出相 应的自变量取值范围，这对于最后定
最值有指导意义。
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
课后训练
已知某商品的进价为每件40元，售价 是每件60元，每星期可卖出300件。市场调 查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期 要少卖出10件。该商品应定价为多少元时， 商场能获得最大利润？
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
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问题三：
该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星 期要少卖10件，则此时该如何定价，才能使每周获得 利润最大？
分
析
用二
（1）、你准备用哪一个知识点解决这个问 题？为什么？
次函 （2）、找出自变量、因变量。
数解 决实
（3）、列出对应的函数关系式。
分 析 （1）、这个题用什么方法解决？
（2）、函数中，什么是自变量，什么是因变量呢？ （3）、你能列出它们之间的函数关系吗？ （4）、这里，自变量x的取值范围是多少？为什么？ （5）、如何求函数最大值呢？
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
人教版九年级上册数学课件：22.4 实际问题与二次函数
当x
2
100
20
5时，
y最大
4 10 6000 100 2 4 10
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（1）设此一次函数解析式为 y kx b 。
1分
15k b 25 则 20 k b 20
解得：k=－1，b＝40。 所以一次函数解析为 y x 40。 5分 6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润 为 w 元。则 7分
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : 求出函数解析式和自变量的取值范围 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
练一练
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价 为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元 销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1 元，平均每天多销售25箱 。如何定价才能使 得利润最大？
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
y x800 10x 30
10 x 2 1100 x
10x 55 30250.
2
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住 满。当每个房间每天的定价每增加10元时， 就会有一个房间空闲。如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 房价定为多少时，宾馆利润最大？
y \ 元(月利润）
2250
2000
0
5
20
x \ 元(每件涨价）
（三）销售问题
2.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件 的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。
（1）.写出商场卖这种服装每天销售利润 y（元）与每件的销售价x（元）间的函 数关系式；
（2）.通过对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销 售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润， （利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
解：①由题意知:P=30+x.
驶向胜 利的彼 ②由题意知：死蟹的销售额为200x元， 岸
活蟹的销售额为（30+x）（1000-10x)元。 ∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x= -10x2+900x+30000 ③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250 元。
解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元 Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10) Y=-1/10x2+34x+8000
（三）销售问题
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬 衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈 利最多？
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： 15 20 30 … x(元) 25 20 10 … y(件)
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函 数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件。已知商品的进 价为每件40元，如何定价才能使利润最 大？
分析:
设每件定价x元，则每星期售出商品的总利润为y元，我 们先来确定y与x的函数关系式。定价x元时，则每星期实 际卖10 (x-60) 件，每件商品的利润 (x-40) 元，所 得总利润为 y=(x-40)〔10 (x-60) 〕 元
某个商店的老板，他最近进了价格为30元的 书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售 出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包 的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在 请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？
某个商店的老板，他最近进了价格为30元的 书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售出 200个。后来，根据市场调查发现：这种书包的 售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在请 你帮帮他，如何定价才使他的利润达到2160元？
w x 10 x 40 x 2 50x 400 x 25 225
2
10分
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。 12分
旅行社何时营业额最大
1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当 旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
求函数的最值问题，应注意什么?
6 4 2
0
-4 -2 2
x
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3;
⑵ y=x2＋4x
y
2、图中所示的二次函数图像的 解析式为： 2 y 2x 8x 13 ⑴若－3≤x≤3，该函数的最 大值、最小值分别为 （ 55 ）、（ 5 ）。 ⑵又若0≤x≤3，该函数的 最大值、最小值分别为 （ 55 ）、（ 13 ）。
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数 关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的 销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。