数列极限存在条件

定理 2.9(单调有界定理) 在实数系中单调数列必有极限.
•定理的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者情况发生
x1 x2x3 x4x5
xn
A来自百度文库
M
1 1 1 例1 设xn 1 , n 1,2,, 2 3 n 其中实数 2.证明数列 {xn }收敛.
n sin k 例 6 利用柯西收敛准则证明数列 xn k k 1 2
收敛。
证明
存在
定理2.10 （柯西(Cauchy )收敛准则） 数列{xn }收敛 的充要条件是 : 对任给的 0, 存在正整数N , 使得 当n, m N时有 xn xm .
柯西收敛准则也可叙述为 数列 xn 收敛 0 ， N N ， n N 时，
第三节 数列极限存在的条件
一 单调有界原理
{xn } 称为单调上升的，若 x1 x2 x3 xn
{xn } 称为单调下降的，若
x1 x2 x3 xn
单调增加和单调减少数列统称为单调数列 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？
p N ，有 x n p x n 。
例5 证明 : 任一无限十进小数 0.b1b2
bn
的n位不足
b1 b1 b2 近似(n 1, 2, )所组成的数列 , 2 , , 10 10 10 bn b1 b2 2 n , 满足柯西条件(从而必收敛), 10 10 10 其中bk 为0,1, 2, ,9中的一个数, k 1, 2,
例2
a1 2 , a2 2 2 , , an 2 2 2
(n重根号),··· 证明数列 an 单调有界, 并求极限. 例3 设 S 为有界数集，证明：若 sup S a S
xn a 则存在严格递增数列{xn } S 使得 lim n
例4