高二数学(1.1变化率与导数(第2课时))
(完整版)选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时)
第1-3课时（周二——周四3月2日-4日）课题：选修（2-2）1.1变化率与导数三维目标：1、 知识与技能（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（5）理解导数的几何意义。
2、过程与方法（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。
教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：★前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式：⏹二次函数⏹气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。
自变量的变化引起因变量的变化。
下面我们来看这种变化的各种特点：同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆， 所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-， 即200635y x x x =-+． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习 知识点1：曲线在某点处的切线 例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线； （2）如何求曲线在某点处的切线斜率． 师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程． 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭， 则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆， 当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学新课标选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
ΔΔyx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v＝
lim
Δt→0
Δt0＋ΔΔtt－st0.
(3)f′(x0)＝ xl→imx0 fxx－－fx0x0与定义中的 f′(x0)意义本质相同．
• 题型一 求平均变化率 • 【例1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
2．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0 是指时间间隔 Δt 越来越短， 能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定的常 数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度．
第一章 导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
• 【课标要求】 • 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化
率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的 实际背景．
• 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． • 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数
．
• 【核心扫描】 • 1．求函数的平均变化率．(重点) • 2．求瞬时速度．(重点) • 3．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(
名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意 一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
变化率问题(2课时) 高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0 的瞬时速度？
l
解(1)：因为ℎ() = −4.92 + 4.8 + 11，所以运动员在时间段[2，2＋]
(或[2＋ ，2])的平均速度为ҧ =
=
ℎ(2+∆)−ℎ(2)
∆
－4.9(2+∆)2＋4.8(2+∆)＋11−(－4.9×22＋4.8×2＋11)
确定位置0 的直线称为抛物线() = 2 在
点0 (1,1)处的切线.
新知探索
问题6：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线() = 2 在点
l
0 (1,1)处的切线0 的斜率0 呢？
l
从上述切线的定义可见，抛物线() = 2 在点0 (1,1)处的切线0 的斜率与
解：
∆
=
(+∆)−()
∆
(1)：当 = 2，∆ =
=
2(+∆)2 +3−(2 2 +3)
∆
∆
0.01时，
∆
= 4 + 2∆.
= 4 × 2 + 2 × 0.01 = 8.02(/).
练习
例2.已知质点做直线运动，且位移(单位：)随时间(单位：)变化的函数为
答案：12 − − 11 = 0.
(2+∆)−(2)
∆
∆→0
解：切线的斜率为
= 12 + 3∆ = 12，
∵切线过点(2，13)，
∴所求切线方程为 − 13 = 12( − 2)，即12 − − 11 = 0.
练习
题型一：运动物体的平均速度
例1.已知() = 5 2 .
高中数学人教课标版选修2-2《变化率与导数(第2课时)》课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
点击“随堂训练”
选择“《变化率与导数(第2课时)》随堂检测”
配套课后作业：
《变化率与导数(第2课时)》基础型 《变化率与导数(第2课时)》能力型 《变化率与导数(第2课时)》探究型 《变化率与导数(第2课时)》自助餐
的切线
（2）
，
解出 ，
（3）联立方程组 （4）点斜式求方程
知识回顾 知识梳理
(1)函数 在
问题探究
课堂小结
随堂检测
处的导数
就是曲线
在点 .
处的斜率 . 即 (2)由直线的点斜式方程可知，曲线 切线方程为 . 在点
处的
知识回顾 重难点突破
（1）函数 、
问题探究
课堂小结
随堂检测
从 到 的平均变化率的几何意义是：经过两点 两点的割线的斜率. 上
2 3
得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.
若x0≠0，则交点坐标为 若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
点拨：求切线方程分两类：
1.求曲线 在某点(切点) 处的切线
步骤：（1）求
；
（2）点斜式求方程
2.求过某点(不一定是切点)
步骤：（1）设切点 ，则
变化率与导数(第2课时)
知识回顾
函数 从 到
问题探究
课堂小结
随堂检测
.
的平均变化率是
函数
在
处的瞬时变化率是
函数
在
处的导数的步骤分为“一差、二比、三趋近”.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.2 导数的概念
栏 目 链 接
∴4 s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
题型2
利用导数的定义求导数
例2 利用导数的定义解下列各题：
1 (1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6， 求a 的值．
－Δx 1 1 Δy 解析： (1)因为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ － ＝ ， 所以 Δx 2＋Δx 2 22＋Δx 1 Δy 1 ＝－ ，于是 f(x)在 x＝1 处的导数 f′(1)＝Δ lim ＝－ . x→0 Δx 4 22＋Δx
1 2 2． 已知物体做自由落体运动的方程为 s(t)＝ gt ， 若 Δt→0 时， 2 s1＋Δt－s1 无限趋近于 9.8 m/s，则正确的说法是( Δt A．9.8 m/s 是物体在 0～1 s 这段时间内的速度 B．9.8 m/s 是物体在 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的速度 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速度 D．9.8 m/s 是物体从 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的平均速度
栏 目 链 接
点评：由导数的定义求导数，是求导数的基本方法， 必须严格按以下三个步骤进行： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim . x→0 Δx
例：设函数 y＝f(x)＝3x2，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) Δy Δy 2 6Δ x ＋ 3(Δ x ) 6 ＋ 3Δ x ＝________________， ＝______________，Δ lim x→0 Δx Δx
6 6 ＝______________ ；f′(1)＝______________.
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
高二数学变化率问题
1.1.1变化率问题
问题1 气球膨胀率
很 多 人 都 吹 过 气 球.回 忆 一 下 吹 气 球 的 过 程,
可 以 发 现, 随 着 气 球 内 空 气 容 量 的增 加, 气 球
的 半 径 增 加 得 越 来 越 慢.从 数 学 的 角 度, 如 何
描 述 这 种 现 象 呢?
我们知道,气球的体积V 单位 : L与半径 r(单
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m
/
s;
在1 t 2这段时间里,
x
x2 x1
表示什么?
； 军服专卖 ；
芥の年代,想起老人の境况过于危急惨重,想得有些魔怔来不及回神已把人背起就走,险些酿成灾端...第二天,朱氏夫妇早起晨运时路过陆宅,与婷玉说明情况.原来,白姨家年前出了一点状况,藏在心里一直很烦躁,加上最近忙碌,陆羽正好撞到枪口上被迁怒了.朱婶有意做和事佬,委婉地代 她向陆宅两个女孩道歉,大家一场街坊邻居,希望以后见面还能和睦共处.陆羽笑了笑,没说什么.婷玉则让她转告白姨日后不能再操劳,若再次复发她将无能为力,然后送朱氏夫妻离开.朱婶看出陆羽有些介意,本想多劝几句,却被婷玉の逐客令打断心思.“她们还年轻,慢慢来.”朱叔劝妻子 稍安勿躁.“可白姐不年轻了.”朱婶忧心.白姨年纪不小了,中老年人独住一处,心里藏着事,万一钻牛角尖会影响健康の.“欲速则不达,这事先搁置,日后你和几位姐妹常去白姐家聊聊天.等她放宽心,那些年轻人或许已经忘了.”朱叔甚是乐观.
高二数学人教A版选修2-2课件：1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、求函数的平均变化率
1.对平均变化率的四点说明
(1)函数f(x)在x1处有定义. (2)Δx为自变量的改变量,所以Δx≠0,可正、可负.
Δy为函数值的改变量,所以Δy可正、可负、可为零,即Δy∈R.
(3)注意自变量与函数值的对应关系.公式中Δx=x2-x1,则
目标导航
预的定义 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 处的导数.
lim
Δ ������ →0
������ ������
=
Δl���i���m →0称������它(������为0函+数ΔΔy=������������f()x-)���在���(x���=���0x0)
������ +2
化率.
思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或表达式.
解:f(x)= 1 在区间[-1,0]上的平均变化率为
������ +2
������ = ������(0)-������(-1) = 12-1=-1;
Δ ������
0-(-1)
12
f(x)= 1 在区间[1,3]上的平均变化率为
Δ ������
Δ ������
因此 lim ������s
Δ ������→0 ������t
=
������������������ (4a+aΔt)=4a,
������t →0
依题意有 4a=12,∴a=3.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
吉林省吉林市长岭县第四中学高二数学 1.1.1变化率问题课件 新人教版
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r 1
(1)
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
练习：
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为(A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动, 求在4s附近的平均变化率.
x
x2 x1
y
f(x2)
表示什么?
f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB的斜 率
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( )D
人教版2017高中数学(选修2-2)1.1变化率与导数PPT课件
解: f'(5)= lim
f(5+������x)-f(5) ������x Δ������ →0
= ������������������
3(5+Δ������)-2-13 Δ������ ������x →0
1.1 变化率与导数
-1-
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课前预习案
课堂探究案
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解函数平均变 化率的意义,会求 函数的平均变化 率. 2.了解函数瞬时变 变化率与导数 平均变化率——瞬时变化率 化率的意义,理解 函数导数的概念, 导数的概念 会求函数在某一 导数的几何意义——曲线在某点处的切线 点处的导数. 3.理解函数导数的 几何意义及其应 用.
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做一做2 如果质点M按照规律s(t)=2t2+1做直线运动(位移单 位:m.时间单位:s),则该质点在t=3 s时的瞬时速度等于 . 解析:因为Δs=s(3+Δt)-s(3)=2(3+Δt)2+1-19=12Δt+2Δt2,所以质点 在t=3 s时的瞬时速度为
������s v= lim Δ������ →0 ������t
=
12Δ������+2(Δ������) ������������������ Δ������ ������t →0
2
= lim (12+2Δt)=12(m/s).
Δ������ →0
答案:12 m/s
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3.导数的概念 导数的定义:一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
人教版A版高中数学选修2-2：1.1变化率与导数第2课时(平行班)
f ' x0 或 y ，即 xx0
f (x0)
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
思想方法:“以已知探求未知”、 逼近、类比、从特殊到一般
作业
必做：课本P10习题1.1A组1 选做：一直线运动的物体，从时间到时，
物体的位移为，那么为（ ） Ａ．从时间到时，物体的平均速度； Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为时物体的速度； Ｄ．从时间到时物体的平均速度
（2）你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题吗？
瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度
探索、解决问题
如何求运动员的瞬时速度，如 t=2时刻的瞬时速度？
Δt是时间改变量，可正，可负， 但不为0。当时，计算区间内的 平均速度；当时，计算区间内 的平均速度，填写下表。
探索、解决问题
（3）如果将这两个变化率问题
中的函数用f (x)来表示，那么函
数在 呢？
x
x
0
处的瞬时变化率如何
归纳总结
导数的概念
函数 f (x)在x x 0 处的瞬时变化率
lim f (x0 x) f (x0) lim f
x0
x
x0 x
即 y f (x) 在x x 0处的导数，记作
1.1.2导数的概念(1)
广州市第九十七中学 张莹莹
回顾跳水问题
在高台跳水运动中，运动员相对水面 的高度h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h（t）=－ 4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在这段 时间里的平均速度，并思考下面的问 题：
（1）运动员在这段时间里是静止的 吗？
高二数学选修2-2课件：1.1 变化率与导数3
lim x0
y
x.
4.导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的
瞬时变化率，这是导数的代数意义。
第三页，编辑于星期一：一点 二十三分。
5.平均变化率及几何意义
函数y=f(x)的定义域D，x1，x2∈D，f(x)
从x1到x2平均变化率为:
y
y=f(x)
y f (x2 ) f (x1) f(x2)
x
x2 x1
B
f(x2)-f(x1)=△y
表示割线AB 的斜率
f(x1) O
A
x
x1 x2
x2-x1=△x
第四页，编辑于星期一：一点 二十三分。
1、导数的几何意义
y
y=f(x)
Q
割 QP
线
T x 0
切线
P
PQ PT
割
切
线
线
o
x
f (x0 )表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )处)
的切线的斜率. 第五页，编辑于星期一：一点 二十三分。
例1、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处 的切线方程.
切线方程为y-2=2(x-1) 即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的步骤: ①利用导数求切线的斜率; ②利用点斜式求切线方程.
第六页，编辑于星期一：一点 二十三分。
练习:如图已知曲线 y 1上x3点 3
（1）求曲线在点P处的切线方程;
练习： 已知直线l1为抛物线y＝x2＋x－2
在点A(1，0)处的切线，l2为该抛物线的另 一条切线，且l1⊥l2，求直线l1和l2的方程.
l1：y＝3x－3.
l2 : y
1 x 22 39
(完整版)选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时)
65
这段时间里的平均速度为
49
0( s / m) ，但实际情况是运动员仍
然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
【引出平均变化率的概念 】 一般地，函数 f(x) 在区间 x1 , x2 上的平均变化率为
f ( x2 ) x2
f (x1) x1
①本质：如果函数的自变量的“增量”为 x ,且 x x2 x1 ,相应的函数值
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当 t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是 t 从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均 速度都趋近于一个确定的值 -13.1 m / s 。
3． 靠近 -13.1 且比 -13.1 大的任何一个数都可以是某一段 2 t ,2 上的平均速度；
4． 靠近 -13.1 且比 -13.1 小的任何一个数都可以是某一段 2,2 t 上的平均速度；
在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度
h （单位： m ）与起跳后
的时间 t （单位： s ）存在关系 h t
4.9t 2 6.5t 10 ，那么我们就会计算任意一段的平
均速度 v ，通过平均速度 v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时
刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？
【首先来探究上面所提出的问题 】
我们已经提问过了气球的体积
V( 单位 :L) 与半径
V(r) 4 r 3 3
r ( 单位 :dm) 之间的函数关系是
现将半径 r 表示为体积 V 的函数 ,那么 r (V ) 3 3V 4
【分析 】 r (V ) 3 3V ， 4
⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时 ,气球半径增加了 r (1) r (0)
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2. △t<0，在[2+△t,2]内
v h h(2) h(2 t) 4.9 t 13.1
t
t
△t>0，在[2, 2+△t]内
v
h h(2 t) h(2)
t
t
4.9 t 13.1
△t
v
－0.01
－13.051
－0.001 －13.095 1
－0.000 1 －13.099 51
－0.000 01 －13.099 951
当△t趋近于0时，平均速度趋近于－ 13.1，这个数据具有什么实际意义？
－13.1是运动员在t＝2时的瞬时速度.
3.数学上，我们把定值－13.1称为
h(2 t) h(2) 当△t趋近于0时的极
t
限，并表示为
lim
h(2
t) h(2)
13.1 ，
t0
t
运动员在某一时刻t0的瞬时速度 表示为：
lim h(t0
原式＝－1
小结
1.导数可以描述任何事物的瞬时变化 率，如生产效率、增长率，气球的瞬时 膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实 际问题中有着广泛的应用.
2.根据导数的定义求导数，就是求平
均变化率的极限，即求lim f (x0 ， x) f (x0)
x0
x
其中对平均变化率的恒等变形，是运算
的主要内容.
高中数学新课程选修2-2
第二章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念
知识回顾 1.函数平均变化率：
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
函数平均变化率是关于△x的函数
2.函数平均变化率的几何意义：
表示曲线上两点连线(割线)的斜率
x) f (x0) x
f (x0)
lim y x0 x
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
2.数学上，函数f(x)在x＝x0处的瞬时
变化率叫做函数f(x)在x＝x0处导数，
记作 f ′(x0)或y′|x=x0，即
f (x0)
lim y x0 x
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
－0.000 001 －13.099 995 1
……
……
△t
v
0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 001 ……
－13.149 －13.104 9 －13.100 49 －13.100 049 －13.100 004 9
……
在t＝2附近的时段内，当时间间隔 .1.
f (x0)
lim f (x0 x0
2 x) x
f (x0)
2f (x0)
理论迁移
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.如果在第xh时，原油的温度（单 位：°C）为f(x)＝x2－7x＋15 （0≤x≤8），计算第2h与第6h时，原油 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
x x0
x
lim f (x0
x0
f (x0)
2x0 x)
x
,
lim x0
f (x0
f )
(x0 x) f (x0) ,
x
分别与f′(x0)有
什么关系？
lim f (x0 x0
lim f (x)
x x x 2 x) x
f (x
0
0
)
2f (x0)
f (x0) x0
f (x0)
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
3.在高台跳水运动中,平均速度不能准 确反映运动员在这段时间里运动状态. 因为运动员从高台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。
用什么合适呢？ 应该是瞬时速度！
我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢?
如t=2时刻的瞬时速度
探究（一）：瞬时速度与平均变化率
在高台跳水运动中，运动员相对于水面 的高度h（单位：m）与起跳后的时间t （单位：s）存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
3.如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数？ 一般地，求函数f(x)在x＝x0处的导数有 哪几个基本步骤？
第一步，求函数值增量：
△y＝f(x0＋△x)－f(x0)；
第二步，求平均变化率：
y x
f (x0
x) x
f (x0) ；
第三步，取极限，求导数：f (x0)
lim
x0
yx .
4：lim f (x)
f′(2)＝－3，说明在第2h附近，原油温度大 约以3°C/h的速率下降；
f′(6)＝5. 说明在第6h附近，原油温度大约 以5°C/h的速率上升.
例2 求函数 f (x)
1 x
在x＝1处的导数.
f (1)
1 2
例3 已知f′(x0)＝2，
求 lim f (x0 t) f (x0) 的值.
t0
2t
t0
t) h(t0) t
lim(
t0
9.8t0
4.9 t
6.5)
9.8t0 6.5
探究（二）：导数的概念
1.函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的 含义是什么？用极限符号怎样表示？
含义：f(x)在x＝x0附近的平均变化率 当增量△x趋近于0时的极限.
表示：lim x0
y x
lim f (x0 x0