高二数学(1.1变化率与导数(第2课时))

3.如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数？ 一般地，求函数f(x)在x＝x0处的导数有 哪几个基本步骤？
第一步，求函数值增量：
△y＝f(x0＋△x)－f(x0)；
第二步，求平均变化率：
y x
f (x0
x) x
f (x0) ；
第三步，取极限，求导数：f (x0)
lim
x0
yx .
4：lim f (x)
1.自学教材P4
2. △t<0，在[2+△t,2]内
v h h(2) h(2 t) 4.9 t 13.1
t
t
△t>0，在[2, 2+△t]内
v
h h(2 t) h(2)
t
t
பைடு நூலகம்
4.9 t 13.1
△t
v
－0.01
－13.051
－0.001 －13.095 1
－0.000 1 －13.099 51
－0.000 01 －13.099 951
原式＝－1
小结
1.导数可以描述任何事物的瞬时变化 率，如生产效率、增长率，气球的瞬时 膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实 际问题中有着广泛的应用.
2.根据导数的定义求导数，就是求平
均变化率的极限，即求lim f (x0 ， x) f (x0)
x0
x
其中对平均变化率的恒等变形，是运算
的主要内容.
当△t趋近于0时，平均速度趋近于－ 13.1，这个数据具有什么实际意义？
－13.1是运动员在t＝2时的瞬时速度.
3.数学上，我们把定值－13.1称为
h(2 t) h(2) 当△t趋近于0时的极
t
限，并表示为
lim
h(2
t) h(2)
13.1 ，
t0
t
运动员在某一时刻t0的瞬时速度 表示为：
lim h(t0
t0
t) h(t0) t
lim(
t0
9.8t0
4.9 t
6.5)
9.8t0 6.5
探究（二）：导数的概念
1.函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的 含义是什么？用极限符号怎样表示？
含义：f(x)在x＝x0附近的平均变化率 当增量△x趋近于0时的极限.
表示：lim x0
y x
lim f (x0 x0
高中数学新课程选修2-2
第二章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念
知识回顾 1.函数平均变化率：
y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
函数平均变化率是关于△x的函数
2.函数平均变化率的几何意义：
表示曲线上两点连线(割线)的斜率
x x0
x
lim f (x0
x0
f (x0)
2x0 x)
x
,
lim x0
f (x0
f )
(x0 x) f (x0) ,
x
分别与f′(x0)有
什么关系？
lim f (x0 x0
lim f (x)
x x x 2 x) x
f (x
0
0
)
2f (x0)
f (x0) x0
f (x0)
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
x) f (x0) x
f (x0)
lim y x0 x
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
2.数学上，函数f(x)在x＝x0处的瞬时
变化率叫做函数f(x)在x＝x0处导数，
记作 f ′(x0)或y′|x=x0，即
f (x0)
lim y x0 x
lim f (x0 x0
x) f (x0) x
f′(2)＝－3，说明在第2h附近，原油温度大 约以3°C/h的速率下降；
f′(6)＝5. 说明在第6h附近，原油温度大约 以5°C/h的速率上升.
例2 求函数 f (x)
1 x
在x＝1处的导数.
f (1)
1 2
例3 已知f′(x0)＝2，
求 lim f (x0 t) f (x0) 的值.
t0
2t
－0.000 001 －13.099 995 1
……
……
△t
v
0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 001 ……
－13.149 －13.104 9 －13.100 49 －13.100 049 －13.100 004 9
……
在t＝2附近的时段内，当时间间隔 |△t|无限变小时，平均速度就无限趋 近于一个确定的值－13.1.
3.在高台跳水运动中,平均速度不能准 确反映运动员在这段时间里运动状态. 因为运动员从高台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。
用什么合适呢？ 应该是瞬时速度！
我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢?
如t=2时刻的瞬时速度
探究（一）：瞬时速度与平均变化率
在高台跳水运动中，运动员相对于水面 的高度h（单位：m）与起跳后的时间t （单位：s）存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
f (x0)
lim f (x0 x0
2 x) x
f (x0)
2f (x0)
理论迁移
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.如果在第xh时，原油的温度（单 位：°C）为f(x)＝x2－7x＋15 （0≤x≤8），计算第2h与第6h时，原油 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.