无网格法中节点非均匀自动布置及背景网格生成_刘红生

第28卷第1期 岩 土 力 学 V ol.28 No.1 2007年1月 Rock and Soil Mechanics Jan. 2007收稿日期：2005-03-15作者简介：刘红生，男，1976年生，博士研究生，主要从事无网格法方面的研究。

E-mail:hs_liu_hit@文章编号：1000－7598－(2007) 01－0201－05无网格法中节点非均匀自动布置及背景网格生成刘红生，杨玉英，李 晶（哈尔滨工业大学 材料科学与工程学院，哈尔滨 150001）摘 要：针对形状复杂的区域，提出了一种基于节点间距函数的非均匀节点自动布置和背景网格的生成算法。

该算法对不规则区域适应能力强，节点可任意加密，无需人工干预，且有实现简单、耗时少等特点。

这些自动布置的离散节点可直接用于无网格数值计算。

用所布置的节点进一步生成背景网格简单易行且高效，生成的背景网格还可直接用来进行后置处理。

关 键 词：无网格法；节点间距函数；背景网格；数值计算 中图分类号：O 241.82 文献标识码：AAutomatic nonuniform arrangement of nodes and generation ofbackground cell in meshless methodLIU Hong-sheng, YANG Yu-ying, LI Jing(School of Materials Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)Abstract: An algorithm based on node space function for nonuniformly arranging the nodes automatically and for generating background cells is presented regarding to the shape with irregular boundary. This algorithm has the advantages of perfect adaptability to regions with irregular shape and arbitrary densification of nodes, easy implementation and less time consumption. These auto-arranged discrete nodes can be adopted to implement the numerical computation by meshless method directly and can also be used to generate background cells easily and efficiently. Furthermore, the generated background cells can also be applied to numerical result datum of posttreatment.Key words: meshless method; node space function; background cell; numerical computation1 引 言现代工程分析计算如岩土及地下工程分析计算中最常用的数值方法是有限元法[1, 2]。

但有限元法需要进行大量复杂的前处理过程，比如需要进行费时的网格划分。

近年来,人们提出了无网格计算方法。

该方法将整个求解域离散为独立的节点,而无须将节点连成单元,这样可完全抛开网格生成或网格重划，基本场变量的近似采用了基于节点的函数拟合，可以保证基本场变量在整个求解域内连续，从而提高了计算精度和解题效率[3, 4]。

由于无网格方法不需网格，所以前处理比较简单，但由此也使得数值积分难以实现。

因此，众多学者提出了多种积分方案，例如Stephen B 等人提出了节点积分(Nodal Integration) 法[5]，基于节点积分的无网格法是种真正意义上的无网格法，但是节点积分会带来解的不稳定性[6]。

Liu G R 等人提出的LPIM [7](Local Point Interpola- tion Method)和LRPIM [8](Local Radial Point Interpolation Method)也是两种真正的无网格法，但都会破坏系统刚度矩阵的对称性[9]。

Belytschko T 等人提出的背景网格积分法[10]，基于背景网格积分的无网格法虽没有彻底抛弃网格，但背景网格积分能很好地解决数值积分问题[3]，Liu G R 等人提出的PIM [11](point interpolation method)和Wang J G 等人提出的RPIM [12](Radial Point Interpolation Method)都是利用背景网格实现数值积分，并取得了满意的数值结果。

根据背景网格的布置结构可分为两种类型[3]：Octree 型和单元型。

Octree 型背景网格需要判断积分点是否在分析域内，而单元型背景网格避免了这种判断。

虽然无网格法不用生成有限元法中的网格，但是节点的布置还是必须的。

因此，合理布置节点和生成用于积分的背景网格一直是工程数岩 土 力 学 2007年值计算中倍受关注的问题。

近年来，在有限元法里，节点自动布置及网格自动生成[13, 14]取得了快速发展。

但是有限元法中生成的节点是用来生成具有近似作用的网格，所以对节点的布置有严格要求，因此，也就使得节点的分布很费时，由于无网格节点无需连接成有限元网格，所以布置无网格节点要比布置有限元节点更简单更省时。

如果用有限元网格生成技术如DT 技术[15]生成单元型背景网格，但这种网格生成技术非常费时[10]。

由于背景网格只用来积分，没有近似作用，因此，对网格的质量要求不高，这就为更快地生成背景网格提供了便利。

在有限元网格生成方面，Frey W H 提出了节点间距函数[16]的概念，本文利用节点间距函数在边界上布置节点并对布置的节点人工设置节点间距函数值，从而可在分析域内快速地生成非均匀无网格节点，进而基于这些节点生成背景网格，该方法简单易行且具高效性。

2 边界的离散和间距函数常见的岩土及地下工程有边坡、隧洞、地下厂房和基坑等，图1为常见的隧道几何模型。

其平面图形的几何边界一般由直线段、圆、圆弧段及样条曲线等组成，布置节点和生成背景网格前，须把边界曲线离散成若干条直线段，不失一般性，以直线段为例（可将圆弧段等近似为直线段），如图1所示。

图1 隧道模型的几何描述Fig.1 The geometric description of the tunnel model令某条直线段的长度为L ，直线段内应布置的间隔数I 可由下式[13]确定I ≥ 0 02111d d d()()L L s s s d d L=−∫∫ （1） 式中：1d 和2d 分别为直线段两端的间距函数值；d s 为该直线段上间距函数。

式（1）的几何意义可理解为线段的节点密度与其间距函数互为倒数。

求得间隔数I 后，可采用下列方法计算新节点的位置：首先在线段内均匀布置1I −个新节点，然后由式（2）[13]迭代求解1I −个新节点的最佳近似位置，迭代次数取新节点个数1I −的1～2倍即可。

111111()()()()22()()i i i i i i i i i Z Z Z Z d m d m Z d m d m +−+−−++−−=++ （2） 式中：1, 2,, 1i I =−"；i Z 为第i 个新节点的坐标值；0Z 和1Z 分别为直线段两端点的坐标值；i m 为第i 个间隔中点；()i d m 为中点i m 的间距函数值。

式（2）右边第1项为第1i −个节点和第1i +个节点的中点坐标值；右边第2项可看作间距函数对节点位置的影响，使插入新节点更靠近间距函数值较小的节点，两端点的间距函数值愈大，这种趋势更明显。

3 节点布置算法3.1 初始节点的布置设定边界直线段L （见图2）上的两个节点k 和1k +的间距函数值，每个节点分别在x 和y 方向设定两个间距函数值，节点k 和1k +的间距函数值分别为,x k d ，,y k d ，,1x k d +和,1y k d +。

,x k d 和,1x k d +可控制x 方向的节点密度，,y k d 和,1y k d +可控制y 方向上的节点密度。

设定,,x k y k d hd =,,1,1x k y k d hd ++=,h 为系数，通过调节系数h ，可控制节点在x 方向和y 方向的密度比。

通过式（1）和式（2）求解得到直线段L 上的节点和间隔分布，如图3所示。

图2 边界线段两端具有间距函数值的节点Fig.2 Two nodes with the values of space node function atends of line L图3 直线段L 上的间隔和节点分布Fig.3 Arrangement of intervals and nodes on the line L为确定y 方向的节点密度，把图1边界节点投影到某条直线x r =上，r 可任意，如图4所示。

xyNode k +1Line LNode kNode k +1Line LNode kInterval202第1期 刘红生等：无网格法中节点非均匀自动布置及背景网格生成图4 边界节点在直线x =r 的投影Fig .4 The projections of nodes on the line x =r因此，直线x r =就被多个间隔和节点投影离散，根据每个节点的节点间距函数值可以进一步离散每个间隔，间隔数由间距函数值,y k d ,,1y k d +确定，假设x r =上的某个间隔需要细分，类似地，该间隔内的间隔数y N 可由式（1）表达为y N ≥0 0,1,11d d ()()L L y k y k s s s d s d d L+=−∫∫ （3） 在间隔内新节点的位置坐标由式（2）确定。

每个间隔细分后，直线x r =上的间隔和节点的分布如图5所示。

x 方向的节点布置可由如下程序得到：由线x r =上的投影画一条与x 平行的直线，直线与分析域边界的两交点作为节点，分别为node1和node2，如图6所示。

x 方向上，两节点的间距函数值分别为,1x d 和,2x d 。

类似地，两节点之间的间隔数x N 可由式（1）表达为x N ≥ 0 0,2,111d d ()()L L x x s s s d s d d L=−∫∫ （4） node1和node2两节点间布置的节点位置坐标由式（2）确定。