2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷及答案(理科)

2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．（5分）已知复数z=﹣，则z=（）A．i B．C．﹣D．﹣i3．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．44．（5分）设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．125．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．456．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③B．①②C．②③④D．①④10．（5分）已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15πB．C． D．7π12．（5分）已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f （x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R 上递增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）的展开式中，常数项为20，则实数a的值为．14．（5分）设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．18．（12分）某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．20．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C 上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，∁Z A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣1≤x≤3，x∈Z}={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x＞0}，则集合（∁Z A）∩B={1，2，3}，可得集合（∁Z A）∩B的子集个数为23=8，故选：D．2．（5分）已知复数z=﹣，则z=（）A．i B．C．﹣D．﹣i【解答】解：∵==，===．∴z=﹣=﹣=﹣．故选：C．3．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为（）A．1 B．2 C．0 D．4【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，得，即A（4，0）代入目标函数z=x﹣2y，得z=4，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是4．故选：D．4．（5分）设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12【解答】解：f（27）=log927==，f（﹣log43）=+=3+，则f（27）+f（﹣log43）=+3+=6，故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（a1+3×2）2=（a1+2）（a1+7×2），解得a1=2，设S n是数列{a n}的前n项和，则S10=10a1+=10×2+=110．故选：A．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2﹣=1；故选：B．7．（5分）若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对【解答】解：f（x）的定义域为R，f（x）=x（1﹣）=x•f（﹣x）=﹣x•=﹣x•=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，S=1，i=1执行循环体，S=6，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，S=4，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，S=，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（）①φ=②函数f（x）在区间[﹣π，π]上递减；③把g（x）=sin的图象向左平移得到f（x）的图象；④函数f（x+）是偶函数．A．①③B．①②C．②③④D．①④【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为4π，∴T==4π，∴ω=；又对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，∴x=时，函数f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，①正确；∴f（x）=sin（x+），当x∈[﹣π，π]时，x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函数f（x）不是单调递减函数，②错误；把g（x）=sin的图象向左平移，得y=sin（x+）=sin（x+）的图象，即为f（x）的图象，③正确；函数f（x+）=sin[（x+）+]=sin（x+），它不是偶函数，④错误．综上，正确的命题是①③．故选：A．10．（5分）已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y那么就会有：0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，∴至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：D．11．（5分）已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A．15πB．C． D．7π【解答】解：菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，三角形ABD的外接圆的半径为：=，内切圆的半径为：，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的半径为：=．外接球的表面积为：4=15π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f （x）的单调情况一定是（）A．在（﹣∞，0）上递增B．在（﹣∞，0）上递减C．在R上递减D．在R 上递增【解答】解：∵函数f（x）在定义域R内是增函数∴f'（x）＞0在定义域R上恒成立∵g（x）=x2f（x）∴g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）当x＜0时，而f（x）＜0，则2xf（x）＞0，x2f'（x）＞0所以g'（x）＞0即g（x）=x2f（x）在（﹣∞，0）上递增当x＞0时，2xf（x）＜0，x2f'（x）＞0，则g'（x）的符号不确定，从而单调性不确定故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）的展开式中，常数项为20，则实数a的值为1．【解答】解：的通项公式为：T r==a r x6﹣2r．+1令6﹣2r=0，或6﹣2r=﹣1，解得r=3，r=（舍去）．∴a3=20，解得a=1．故答案为：1．14．（5分）设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为﹣5．【解答】解：∵，∴||=2∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，即•=﹣4，∴（﹣）•=•﹣=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积S=4×8=32，高h=4，故体积V==，故答案为：16．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为y2=8x．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），由=3，则﹣x1=3（x2﹣），则3x2+x1=2p，①，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，②x1x2=，③由①②解得：x1=，x2=，代入③，解得：k2=3，则x==，M到准线的距离d=x+=，∴=，解得：p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=即2sinAcosB=，∵sinA≠0，∴．sinB=由余弦定理得：⇒…①=，∴ac=6…②又∵s△ABC由①②解得∵a＞c，∴a=3，c=2（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=．18．（12分）某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P（A）=0.52=0.25，∴在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×=．（II）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件C，则P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75，∴该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为P（C|B）==（III）ξ的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，﹣4000，ξ的分布列为：E（ξ）=8000×+7000×+6000×+2000×+1000×+（﹣4000）×=6000．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，∴OD∥A1B，∵A1B⊄平面B1DC，OD⊂平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A 1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣3，0，1），设平面B1CC1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（），设二面角D﹣B1C﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值为．20．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F 为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【解答】解：（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．则S==2≠3，舍去．△AMN②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．==3×=3，解得m=±1．则S△AMN∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C 上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+．∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，∴函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．∴1+a=1，得a=0．则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．由f′（x）=lnx+1=0，得x=．∴当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0．∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．．由f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得1+ln==，整理得：，令（t＞1），则．令g（t）=（t＞1），则g′（t）=，令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣=1﹣lnt﹣，再令r（t）=1﹣lnt﹣，则r′（t）=＜0，∴r（t）单调递减，由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）单调递减，又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．可得g（t）在（1，+∞）上单调递减，则g（t）＜g（1）=﹣ln2．∴不成立，故假设错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的值．【解答】解：（Ⅰ）将y=t，代入x=1+t，整理得x﹣y﹣1=0，则曲线C1的普通方x﹣y﹣1=0；曲线，则1=+ρ2sin2θ．由，则曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）由，整理得：3x2﹣4x=0，解得：x=0或x=，则A（0，﹣1），B（，），∴丨MA丨==，丨MB丨==，∴丨AB丨==，∴==，∴的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤时，原不等式可化为﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此时﹣1≤x≤；当＜x≤2时，原不等式可化为3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此时＜x ≤2；当x＞2时，原不等式可化为3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此时2＜x≤3．综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）•|x|恒成立，则不等式可化为：m2﹣m+2≤|3﹣|+|1﹣|恒成立．因为|3﹣|+|1﹣|≥|3﹣+﹣1|=2，所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．解得0≤m≤1．。