辛中第2学期第2次阶段高二理科数学
高二第二学期期中理科数学试卷含答案
高二级第二学期期中考试 数学科试卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2()sin(1)f x x =+是奇函数， 以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 2. “1a ＞”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列计算错误．．的是（ ）A.sin 0x xdx x =-⎰ B.4π=⎰ C.1210dx =⎰ D.2211210x dx x dx =-⎰⎰4．已知三个方程：①2x t y t=⎧⎨=⎩②2tan tan x t y t=⎧⎨=⎩③2sin sin x t y t=⎧⎨=⎩ (都是以t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(5)1f f -==，'()f x 为()f x 的导函数，且导函数'()y f x =的图象如图所示，则不等式()1f x ＜的解集是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)6． 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．47. 在极坐系中点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆 θρcos 2= 的圆心之间的距离为( )8．已知函数32()(6)3f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,6)- B.(,3)(6.)-∞-⋃+∞C.[]3,6-D.(][,36,)-∞-⋃+∞9． 用数学归纳法证明不等式()1,1111 (122)n N n n n n n *∈++++++＞＞的过程中，从n k =到1n k =+时左边需增加的代数式是 ( ) A ．122k +B ．112122k k -++ C ． 112122k k +++ D ．121k + 10.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),A B --(1,1),C -(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( ) A.23 B.13 C.16 D.1211．设函数()xxf x e e -=-，以下结论一定错误．．的是( ) A ．'()2f x ≥ B ．若21(22)e e f x x ----＜，则x 的取值范围是(2,3)-.C ． 函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增D ．函数()f x 有零点12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ＞时，'()()xf x f x ＞，若(2)0f =，则不等式0()f x x＞的解集为（ ）A ．{02x x -＜＜或}02x ＜＜B ．{2x x -＜或}2x ＞C ．{02x x -＜＜或}2x ＞D ．{2x x -＜或}02x ＜＜第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .14. 已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5p =交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.15. 已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________．16．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求直线l 和圆C 的极坐标方程；（5分）(Ⅱ)设直线l 和圆C 相交于A,B 两点，求弦AB 与其所对劣弧所围成的图形面积．（5分）18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（4分）（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．（8分）19 .（本小题满分12分）（1）若x ，y 都是正实数，且2x y =＞，求证：21xy+＜与21y x +＜中至少有一个 成立．（6分）（2)n N *∈（6分）20．（本小题满分12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元（t 为常数，且25t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元（2540x ≤≤），根据市场调查，销售量q 与xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；（6分）（Ⅱ）若5t =，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．（6分）21.（本小题满分12分）已知函数2()1(1)(0)2k f x n x x x k =+-+≥． （Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（5分） （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（7分）22.（本小题满分12分） 已知函数1()(cos )()xf x ea x a R -=-+∈.(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（5分）(Ⅱ)若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.（7分）第二学期期中考试高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准一、选择题：（每题5分，满分60分）13.n(n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135...(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯- 14. 4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ 15. -2 16.0 16.【解析】由题意得，2()'()360g x f x x x ==-=，'()660g x x =-=解得1x =，(1)0f =，因为3232(1)(1)(1)3(1)2(1)3(1)20f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2403220162018...(1)02017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0．17.解：（Ⅰ）求直线l 的普通方程为20x -= （1）……………………（1分） 将cos ,sin x p y p θθ==代入（1）得cos sin 20p θθ-= 化简得直线l 的方程为cos()13p πθ-= …………………………（3分）圆C 的极坐标方程为2p = ……………………………………………………（5分）（Ⅱ）2cos 13p p πθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩解之得：A(2,0) , B(2,32π) ……………………（6分） ∴23AOB π∠=,∴21124=?···4=2233AOB S a r ππ=扇形…………………（8分）1··sin 2AOB S OA O B a ∆==4-=3AOB AOB S S S π∆=扇形………（10分） 18. 解：（1）由已知得 当n =1时，有S a a a =-=⇒=1111112； 当n =2时，有221221126s a a a a =-=+⇒=； 同理可得 ,a a ==34111220（说明：1a ，2a ，3a ，4a 一个1分）…………4分（2）猜想：(*)()n a n N n n =∈+11…………5分证明：①当n =1时，由（1）得a ==⨯111212，等式成立 ……6分②假设当(*)n k k N =∈时，()n a k k =+11成立…………7分则 当n k =+1时，有k k k a S S ++=-11[()]()k k k a ka +=-+--1111()k k ka k a +=-+11 ……9分k k ka a k +⇒=+121·2(1)k k k k =++()[()]k k =+++1111 …………10分即 当n k =+1时，等式也成立……………………………11分综合①②可知 ()n a n n =+11对一切*n N ∈都成立………………12分19. 证明：（1）假设1x y +＜2和1y x +＜2都不成立，即1xy+≥2和1y x +≥2同时成立． ∵x ＞0且y ＞0，∴12x y +≥，且12y x +≥．两式相加得222x y x y ++≥+，∴2x y +≤．这与已知条件2x y +＞矛盾，∴1xy+＜2和1y x +＜2中至少有一个成立．……………………（6分）（2）原式子等价于2)n N *∈，两边平方得到224(1)221n n n n +++⇒+⇔+＞＞22212n n n n ⇔+++＞恒成立，得证．……………………（12分）20．解：（Ⅰ）设日销量3030,100,100x k kq k e e e==∴=则 …………………（2分）∴日销量30100x e q e =∴30100(20)(2540)xe x t y x e --=≤≤． ……（6分） （Ⅱ）当5t =时，30100(25)xe x y e-=…………………………………（7分）30100(26)'xe x y e -= …………………………………………………（8分）由'0y ≥得26x ≤，由'0y ≤得≥x 26∴y 在[]25,26上单调递增,在[]26,40上单调递减………………（10分）∴当26x =时,4max 100y e =………………………………………（11分）当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．（12分） 21．解（I ）当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . ………（2分）由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，…………………………………………………（4分）所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. …………………………………………………………（5分） （II ）f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x，x ∈(－1，＋∞)．……………………………（6分）当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )> 0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．……………（7分） 当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和(1－k k，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)（9分）当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)…………（10分）当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)（12分）22．解：(Ⅰ)由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，…………………………（1分） 若函数()f x 存在单调减区间，则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤………………（2分）即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π≤+存在取值区间………（4分）所以a <…………………………………………………………………………（5分）(Ⅱ)当0a =时，11()cos ,()(sin cos )x x f x e x f x e x x --'==-+21(1)2()cos(1)cos(1)[sin()]4x x f x f x x x e x π+-'--+⋅+=+⋅-⋅+…………………（6分）由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦，从而cos(1)0x +>，要证原不等式成立，只要证21sin()04x xe x π+--⋅+>对11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立（7分）首先令21()(22)x g x e x +=-+，由21'()22x g x e +=-，可知，当1(,)2x ∈-+∞时()g x 单调递增，当1(,)2x ∈-∞-时()g x 单调递减， 所以211()(22)()02x g x ex g +=-+≥-=，有2122x e x +≥+………………………（9分）构造函数()22)4h x x x π=+-+，11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为'()2)2(cos())424h x x x ππ=-+=-+， 可见，在[]1,0x ∈-时，'()0h x ≤，即()h x 在[]1,0-上是减函数， 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0'()h x ＞，即()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以,在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，min ()(0)0h x h ==，所以()0g x ≥.所以，)224x x π+≤+，等号成立当且仅当0=x 时，……………………（11分）综上：2122)4x e x x π+≥+≥+，由于取等条件不同，故21)04x ex π+-+>，所以原不等式成立. ………………………………（12分）。
2021年高二下学期第二次阶段测试数学(理)试题含答案
2021年高二下学期第二次阶段测试数学（理）试题含答案xx.4一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上。
1、对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期(天) 11～13 14～16 17～1920～22 个数 20 403010则这种花卉的平均花期为________天．2、执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．（第2题） （第3题）3、某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．4、已知数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2=4，则数据﹣3x 1+5，﹣3x 2+5，…，﹣3x n +5的标准差为 ．5、袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．6、设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．7、在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．8、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数为70，则a ＝________．9、已知，则= .10、如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.11、如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为________．（第10题）（第11题）12、设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a ＝____________.13、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．14、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有种．（用数字作答）二、解答题：本大题共6小题，计90 分。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
辛中第2学期第2次阶段高二文科数学
2010—2011年学年度第二学期高二年级第二次阶段考试数 学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =（A ） {}22x x -<< （B ）{}22x x x <->或 （C ）{}22x x -≤≤ (D) {}22x x x ≤-≥或 2. 复数3223ii+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i - (D) i3. 对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
图1 图2（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 4. 设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的 最小值是 （A ）23 （B ）32 （C ）43(D) 3 5. 已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 （A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=16. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列命题中 为假命题的是（A ）0,()()x R f x f x ∃∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ∃∈≥ （C ） 0,()()x R f x f x ∀∈≤ (D) 0,()()x R f x f x ∀∈≥ 7．已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 （A ）17-（B ）17 （C ）16- （D ）168. 观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（A ）()f x （B ）()f x - （C ）()g x (D) ()g x - 9．设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 （ ） （A ）0（B ）1（C ）25 (D)510. 已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC ，则球O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π (D)π 11．已知函数a axxx x f 其中,1ln )(-+=为大于零的常数，若函数),1[)(+∞在区间x f 内单调 递增，则a 的取值范围是 （A ）(,1]-∞（B ）(,1]-∞-（C ）[1,)+∞(D)[1,)-+∞12. 函数22xy x =-的图像大致是第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则=6a 14．已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 15．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则式子：151(2tan)ln lg100()43e π-⊗+⊗ 的值是 。
人教A版选修2-2高二(下)期中数学试卷(理科).docx
高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．解答：解：===，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先对函数f（x）=进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线f（x）=在点x=0处的切线斜率，进而可得到切线方程．解答：解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选A．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算．导数是由高等数学下放到高中数学的新内容，是高考的热点问题，每年必考，一定要强化复习．3．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．9考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）曲线y=x3﹣3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是（x﹣x3+3x）dx=（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）=4，根据y=x3﹣3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．∴曲线y=x3﹣3x与y=x所围成的图形的面积为2×4=8．故选B．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．4．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：假设a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，得a++b++c+≤﹣6，因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，即a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．解答：解：假设a+，b+，c+都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．6．（5分）设，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C．D．考点：函数的表示方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解答：解：根据题中所给式子，得f（n+1）﹣f（n）=﹣（）=﹣=故选C．点评：本题考查函数的表示方法，明确从n到n+1项数的变化是关键，属于基础题．7．（5分）把15个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是（）A．56 B．72 C．28 D．63考点：计数原理的应用．专题：计算题；分类讨论；概率与统计．分析：由题意知，本题限制条件较多，故应采取分类的方法，可按1号球中的小球的个数分类计数，选出正确答案解答：解：由题意，可按1号盒中小球的个数进行分类，进行计数若1号盒中小球的个数为2，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到9个，共7种放法；若1号盒中小球的个数为3，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到8个，共6种放法；若1号盒中小球的个数为4，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到7个，共5种放法；若1号盒中小球的个数为5，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到6个，共4种放法；若1号盒中小球的个数为6，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到5个，共3种放法；若1号盒中小球的个数为7，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到4个，共2种放法；若1号盒中小球的个数为8，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数只能为3个，共1种放法；综上，不同的放法种数是7+6+5+4+3+2+1=28种故选C点评：本题考查计数原理的应用，对于复杂问题的计数，找到合适的分类标准是准确计数的关键8．（5分）高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．288考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项解答：解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单独的音乐节目全排有=2第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288故选D点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解答的关键是熟练掌握计数的一些技巧及准确使用计数公式计数，本题是基础题，计算型9．（5分）的展开式中含x15的项的系数是（）A．17 B．﹣34 C．51 D．﹣18考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于15，求得r的值，即可求得展开式中的含x15的项的系数．解答：解：∵的展开式的通项公式为 T r+1=•x18﹣r•3﹣r•=•，令18﹣=15，解得 r=2，故展开式中含x15的项的系数是=17，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）（2013•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．11．（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij=2013，则i与j的和为（）A．105 B．103 C．82 D．81考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2013在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2013=2×1007﹣1，得2013为第1007个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61=961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2013在第32个奇数行内，所以i=63，且奇数从大到小排列因为第63行的第一个数为2×1024﹣1=2047，2013=2047﹣2（m﹣1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81．故选D点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：用列举法，由题意，14≥a≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．4解答：解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．点评：本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）若曲线y=e x+a与直线y=x相切，则a的值为﹣1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数，利用曲线y=e x+a与直线y=x相切，可知切线的斜率为1，得出切点的横坐标，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值．解答：解：设切点为（x，y），∵y=e x+a，∴y′=e x，∵直线y=x与曲线y=e x+a相切，∴e x=1，即x=0．∵切点处的函数值相等，∴e0+a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．14．（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在（x+）4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用赋值法，分别令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=﹣1可求a0﹣a1+a2﹣a3+a4），而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=﹣1可得，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=•=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项展开式中利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和（注意是各项系数之和，要区别于二项式系数之和），解饿答本题还要注意所求式子的特点：符合平方差公式．15．（5分）= ．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=+．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．解答：解：由于=+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=++=+，又=6，∴=．故答案为：．点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便．16．（5分）在等比数列{a n}中，若前n项之积为T n，则有．则在等差数列{b n}中，若前n项之和为S n，用类比的方法得到的结论是S3n=3（S2n﹣S n）．考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．解答：解：在等差数列中S=S n+（S2n﹣S n）+（S3n﹣S2n）=（a1+a2+…+a n）++（S2n﹣S n）+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）3n因为a1+a3n=a2+a 3n﹣1=…=a n+a2n+1=a n+1+a2n所以S n+（S3n﹣S2n）=2（S2n﹣S n），所以S3n=3（S2n﹣S n）．故答案为：S3n=3（S2n﹣S n）．点评：本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到结论；（2）先分组，再分给3名学生，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：（1）从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有=15种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有=6种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有16×6=90；（2）先把6本书分成3组，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三种情况，共有=90种分法，再分给3名学生有=6种方法，故共有90×6=540种分法．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．18．（12分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中项的系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得，由此解得 n的值．（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．（3）研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．解答：解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，∴，即 n2﹣9n+8=0，解得 n=8；（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为=．（3）先研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，故系数最大的项为第三项，即．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N）（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想通项公式a n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据S=2n﹣a n，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．n（II）总结出规律求出a n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．解答：解：（Ⅰ）由a=2﹣a1，得a1=1，1由a1+a2=2×2﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，得a4=，猜想a n=（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，（2）假设n=k时猜想成立，即a k=，此时S k=2k﹣a k=2k﹣，当n=k+1时，S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+a k+1=2（k+1）﹣a k+1，因此a k+1=[2（k+1）﹣S k]=k+1﹣（2k﹣）=，∴当n=k+1时也成立，∴a n=（n∈N+）．点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．20．（12分）证明：．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：利用数学归纳法的证题步骤证明即可．先证当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时不等式成立，可以分析法去证明当n=k+1时不等式也成立即可．解答：证明：（ⅰ）当n=1时，T==1，=，1＜，不等式成立；1（ⅱ）假设当n=k时，T k＜，则当n=k+1时，T k+1=T k+＜+，要证：T k+1＜，只需证：+＜，由于﹣==＜，所以：+＜，于是对于一切的自然数n∈N*，都有T n＜．点评：本题考查不等式的证明，突出考查数学归纳法，考查分析法与综合法的应用，考查推理分析与证明的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．当a＜0时，函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；当a＜0时，又g（x2）=x22﹣2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max=g（0）=2．所以，解得a＜﹣e﹣3．所以，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）．点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值．22．（12分）（2013•宁波二模）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx．a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣时求出f′（x），在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则问题等价于g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导数g′（x），按照a的范围分类进行讨论可得g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的最大值，由最大值情况即可求得a的范围；解答：解：（Ⅰ）（x＞0），，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则有g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立．求导得，①当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；②当时，，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此时不成立；③当，，则存在，有，所以不成立；综上得a≤0．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，解决（Ⅱ）问的关键是正确理解题意并能合理进行转化．。
人教A版选修2-2第二学期期中考试高二理科数学试题.docx
第二学期期中考试高二理科数学试题说明:本卷满分150分,考试时间120分钟一、选择题（每小题正确答案均唯一，每小题5分，共40分）1、设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2、下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．1()2x y =D ．1y x x=+3、下列推理正确的是（ ）A ．y x y x y x c b a a a a a log log )(log )(log )(+=+++类比，则有：与把 B. y x y x y x b a a sin sin )sin()sin()(+=+++类比，则有：与把 C. n n n nn y x y x b a ab +=++)()()(类比，则有：与把 D. )()()()(yz x z xy z xy c b a =++类比，则有：与把 4、因为指数函数x a y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）A ．推理形式错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．大前提错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 5、用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N L 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++6、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数7、已知数列 ， ， ， ， Λ112252则52是这个数列的（ ）A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项 8、已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 已（如图所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在对应题号后的横线上）9、曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 10、函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在x= _________ 处取得极小值．11、若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=12、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块.13、由曲线y=x 2与y=x 3在第一象限所围成的封闭图形面积为14、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。
高二第二学期期中考试数学试题(理科)
9、已知 的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A. 或2B. 或3C. 或1D. 或1
10、学校计划在5天里安排三节不同的选修课，且在同一天安排的选修课不超过2节，则不同的选修课安排方案有（ ）.
A.60 种 B.110种 C.40 种 D.120种
11、已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则函数 在 处的切线的方程是（ ）
12、函数 满足 ，其导函数 的图象如右图
所示，则 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A.1 B. C.2 D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若 ，则 .
14、若 有实数根， 是虚数单位，则实数 的值为.
15、若函数 有极值，则实数a的取值围是
16、函数 满足 且 在R上的导函数 ，则不等式 的解集是.
22、（1）当 时，
所以
因此 即曲线 在点 处的切线的斜率为
又 ，故所求的切线方程为 …4分
（2）因为
令 得 …5分
若 函数 在区间 上单调递增，此时函数 无最小值.……………7分
若 则当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 …………9分
若 则当 时， ，函数 在区间 上单调递减，所以当 时，函数 取得最小值 …………11分
高二第二学期期中考试数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、复数 的共轭复数的虚部为（ ）
A.1B. C. D.
2、若 ，则实数 （ ）
A.2B. C.1D.
3、化简 的结果
为（ ）
4、函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 的图象如图所示，则函数 在开区间 有极小值点（ ）
河北省辛集中学高二数学下学期第二次阶段考试试题
2017-2018学年度第二学期第二次阶段考试高二数学试题一．选择题（共8小题）1．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，若f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且f（1）=0，则f（x）在区间（0，5]上具有零点的最少个数是（）A．5 B．4 C．3 D．24．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则，f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+）=﹣f（x），则f（1）+f（2）+f（3）=（）A．0 B．﹣1 C．3 D．26．对任意的x∈R，定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+3）=﹣f（x+4），则f（1000）=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．10007．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．28．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），f（1）=2．则f（﹣2）=（）A．2 B．4 C．8 D．16二．填空题（共2小题）9．定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f （x）=2x，则f（2016）﹣f（2015）= ．10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x+4），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣17），f（27），f（64）的大小关系从小到大的排列顺序为．三．解答题（共4小题）11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]时，f（x）=．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在[0，2]上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？12．若函数f（x）对任意实数x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2；（1）求证：f（x）为奇函数：（2）求证：f（x）是R上的减函数：（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值：（4）解不等f（x﹣4）+f（2﹣x2）≤16．13．若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）为R上的减函数；（3）当时，对a∈[﹣1，1]时恒有，求实数x的取值范围．14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）（1）求证：f（）=f（x）﹣f（y）；（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a﹣1）+2，求a的取值范围．一．选择题（共8小题）1．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，若f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（﹣x）+f（3+x）=0，可得f（x）=f（3+x），所以函数的周期为3．定义在R上的奇函数f（x），可知f（0）=0，又f（﹣1）=1，∴f（2）=f（﹣1）=1，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1．f（1）+f（2）+f（3）=﹣1+1+0=0；∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=671（f（1）+f（2）+f（3））+f（1）+f（2）=0﹣1+1=0．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4）且f（3）=0，则方程f（x）=0在区间（0，10）内整数根有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】由已知函数为奇函数，求出函数的周期为4可得f（0）=0⇒f（4）=f（8）=0，由f （3）=0⇒（7）=0，又f（﹣3）=0⇒f（1）=f（5）=f（9）=0，从而可得结果．【解答】解：由已知可知f（3）=0，因为f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣3）=﹣f（3）=0，f（0）=0，又因为函数的周期为4，即f（x+4）=f（x），所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（﹣3）=f（1）=f（5）=f（9）=0，所以方程f（x）=0在x∈（0，10）的根有 1，3，4，5，7，8，9，共7个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用，解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质，还要具备一定的综合论证的解题能力．3．若定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且f（1）=0，则f（x）在区间（0，5]上具有零点的最少个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据函数的奇偶性和周期性之间的关系，即可确定函数零点的个数．【解答】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期是2．∵f（1）=0，∴f（1）=f（3）=f（5）=0，∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=f（2）=f（4）=0，∴在区间（0，5]上的零点至少有1，2，3，4，5，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则，f（2016）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，进而由f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2016）=f（4×504）=f（0），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，则有f（0）=﹣f（0），即f（0）=0，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则有f（2016）=f（4×504）=f（0）=0；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及周期性的判断与应用，关键在于利用奇函数的性质求出f（0）的值．5．对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+）=﹣f（x），则f（1）+f（2）+f（3）=（）A．0 B．﹣1 C．3 D．2【分析】由已知中f（x+）=﹣f（x），可得函数的周期为3，再由奇函数的性质可得f（3）=，f（0）=0，f（2）=﹣f（1），代入计算可得．【解答】解：∵f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数的周期为3，又函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴f（3）=（0+3）=f（0）=0，∴f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）+f（2）+f（3）=f（1）﹣f（1）+0=0故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．6．对任意的x∈R，定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+3）=﹣f（x+4），则f（1000）=（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1000【分析】由题意可得，f（x）=﹣f（x+1），故 f（x）=f（x+2），即函数 f（x）是周期等于2的周期函数，故有f（1000）=f（0）=0．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+3）=﹣f（x+4），∴f（x）=﹣f（x+1），f（x）=f（x+2），即函数f（x）是周期等于2的周期函数．∴f（1000）=f（0）=0，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，求函数的值，属于中档题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．2【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f （x）=f（2+x），∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）=504×（﹣2+0+2+0）+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，故选：C．【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），f（1）=2．则f（﹣2）=（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】先计算f（0）=0，再得出f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，令g（x）=f（x）﹣2x2，则g （x）为奇函数，通过计算g（﹣2）得出f（﹣2）的值．【解答】解：令x=y=0得f（0）=2f（0），∴f（0）=0，再令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，令g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣4x2=0，∴g（x）=f（x）﹣2x2是奇函数，∵f（2）=2f（1）+4=8，∴g（2）=f（2）﹣8=0，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣8=0，∴f（﹣2）=8．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的性质应用，奇函数的判断与性质，属于中档题．二．填空题（共2小题）9．定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f （x）=2x，则f（2016）﹣f（2015）= ﹣．【分析】求出函数的周期，利用函数的周期以及函数的奇偶性，转化求解函数值即可．【解答】解：对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可知函数的周期为：4．当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，在R上的奇函数f（x），f（0）=0，则f（2016）﹣f（2015）=f（0）﹣f（﹣1）=0﹣2﹣1=﹣．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．10．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=﹣f（x+4），且在区间[0，2]上是增函数，则f（﹣17），f（27），f（64）的大小关系从小到大的排列顺序为f（﹣17），f（64），f（27）．【分析】先由f（x）是奇函数且f（x+4）=﹣f（x）转化得到f（x+8）=f（x），然后按照条件，将问题转化到区间[0，2]上应用函数的单调性进行比较．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+4）∴f（x+8）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0∴f（﹣17）=f（﹣9）=f（﹣1）=﹣f（1）f（27）=f（19）=f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）f（64）=f（0）=0∵f（x）在区间[0，2]上是增函数∴f（1）＞0，﹣f（1）＜0∴f（27）＞f（64）＞f（﹣17）故答案为：f（﹣17），f（64），f（27）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，综合性较强，条件间结合与转化较大，属中档题．三．解答题（共6小题）11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]时，f（x）=．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在[0，2]上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？【分析】（1）由条件可得函数的周期为4，设x∈[﹣2，0），则﹣x∈（0，2]，根据f（﹣x）===﹣f（x），求得f（x）=．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，从而求得可得，f（x）在[﹣2，2]上的解析式．（2）根据f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）=1﹣＞0，且f（x）随着x的增大而增大，可得f（x）在[0，2]上是增函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[﹣2，2]上的值域，再利用函数的单调性求得函数f（x）在[﹣2，2]上的值域．【解答】解：（1）∵奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），故函数的周期为4．由于x∈（0，2]时，f（x）=，设x∈[﹣2，0），则﹣x∈（0，2]，故 f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）=．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，可得，f（x）在[﹣2，2]上的解析式为f（x）=．（2）在[0，2]上，f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）==1﹣＞0，且f（x）随着x的增大而增大，故f（x）在[0，2]上是增函数．证明：设0≤x1＜x2≤2，则由f（x1）﹣f（x2）=[1﹣]﹣[1﹣]=＜0，可得f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，2]上是增函数．（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[﹣2，2]上的值域．利用函数的单调性求得函数f（x）在[﹣2，2]上的值域为 {λ|y=0，或＜λ≤，或﹣≤λ＜﹣}，故λ的范围为：{λ|y=0，或＜λ≤，或﹣≤λ＜﹣}．【点评】本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式和函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．12．若函数f（x）对任意实数x．y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2；（1）求证：f（x）为奇函数：（2）求证：f（x）是R上的减函数：（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值：（4）解不等f（x﹣4）+f（2﹣x2）≤16．【分析】（1）先令x=y=0得f（0）=0，再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x）；（2）直接运用函数单调性的定义和作差法证明；（3）运用单调性求函数的最值；（4）应用函数的奇偶性和单调性解不等式．【解答】解：（1）因为实数x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），所以，f（0）=0，再令y=﹣x得，f（0）=f（x）+f（﹣x），所以，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+（x2）]﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）因为x1﹣x2＞0，所以f（x1﹣x2）＜0，因此，f（x1）＜f（x2），故f（x）为R上的单调减函数；（3）因为函数f（x）在R上单调递减，所以，f（x）min=f（4），f（x）max=f（﹣3），又因为f（1）=﹣2，所以f（4）=f（2）+f（2）=4f（1）=﹣8，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣[f（1）+f（1）+f（1）]=6，所以，函数在[﹣3，4]上的最大值为6，最小值为﹣8；（4）因为f（8）=f（4）+f（4）=﹣16，所以，f（﹣8）=16，所以，原不等式可化为：f[（x﹣4）+（2﹣x2）]≤f（﹣8），即，（x﹣4）+（2﹣x2）≥﹣8，即x2﹣x﹣6≤0，解得x∈[﹣2，3]，即该不等式的解集为：[﹣2，3]．【点评】本题主要考查了抽象函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式，属于中档题．14．若非零函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且当x＜0时f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）为R上的减函数；（3）当时，对a∈[﹣1，1]时恒有，求实数x的取值范围．【分析】（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f（x）＞0；（2）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．【解答】解：（1）证法一：f（0）•f（x）=f（x），即f（x）[f（0）﹣1]=0，又f（x）≠0，∴f（0）=1当x＜0时，f（x）＞1，则﹣x＞0，∴f（x）•f（﹣x）=f（0）=1，则．故对于x∈R恒有f（x）＞0．证法二：，∵f（x）为非零函数，∴f（x）＞0（2）令x1＞x2且x1，x2∈R，有f（x1）•f（x2﹣x1）=f（x2），又x2﹣x1＜0，即f（x2﹣x1）＞1故，又f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）故f（x）为R上的减函数．（3）故，则原不等式可变形为f（x2﹣2ax+2）≤f（2）依题意有 x2﹣2ax≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，∴或x≤﹣2或x=0故实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）（1）求证：f（）=f（x）﹣f（y）；（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a﹣1）+2，求a的取值范围．【分析】（1）需要特别注意构造方法，x=y•即可．（2）抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法，构造出∈（0，1），可应用已知得f （）＞0，进而根据函数单调性的定义得到结论．（3）根据若f（3）=1，f（9）=2，根据运算法以及单调性求得a的范围．【解答】解：（1）证明：由题意得：f（x）=f（y•）=f（y）+f（），故f（）=f（x）﹣f（y）．（2）证明：设0＜x1＜x2，∴f（x1）=f（）=f（x2）+f（），∵当x∈（0，1）时f（x）＞0，∵∈（0，1），∴f（）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；（3）若f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（a）＜f（a﹣1）+f（9）=f（9（a﹣1）），∴a＞9（a﹣1），∴1＜a＜．【点评】本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式．。
2021-2022年高二下学期第二次段考(数学理)
2021年高二下学期第二次段考（数学理）一、选择题：（10×5=50分）1 ．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2 ．函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为（）A．0 B．1 C．2 D．43 ．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案；则第n个图案中有白色地面砖为( )块. （）A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+24．对于任意非零实数a、b、c、d,命题①;② ③;④;⑤.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45 ．的展开式中x2的系数是（）A．-6 B．-3 C．0 D．36 ．已知不等式，对任意恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，5）D．（2，5）7 ．在一次英语单词测验中,某同学不小心将英语单词的字母顺序写错了,则他所有错误可能情况的种数为（）A．59 B．119 C．60 D．1208 ．随机变量，记，则下列式子中错误的是．．．．（）A．B．C．D．9．已知与的等差中项为且的最小值是9,则正数a的值是（）A．1 B．2 C．8 D．2或810 ．已知都是定义在R上的函数, g(x)≠0,,，，在有穷数列(n=1,2,…,10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（5×5=25分）11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.12．用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.13．由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:14．研究某新药的疗效，给男女各50个患者服用此药，跟踪调查后得如右表的数据。
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)
高二下学期期中考试数学（理）一、 选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C 1D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞ D ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．54 4. 设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（ ） A. 31 B. 41 C. 61 D. 21 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（ ）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（ ） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D.8 9. dx x ⎰421等于（ ）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D. 2ln 10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y)(xf'的图象） A B C D 11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线xxy43-=在点(1,3)-处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=xxxy的单调递增区间是_________________________ 15．设点P是双曲线x2－23y=1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+21|PF|有最小值时，则点P的坐标是．16. 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622=+yx所截得的线段的中点，则直线l的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bxaxxf+=，当1x=时，有极大值3；（1）求,a b的值；（2）求函数)(xf的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+yx有相同的焦点，与双曲线1222=-yx有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为4π的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．20. 已知a为实数，()()2()4f x x x a=--。
2021-2022年高二下学期第二学段段中考试数学(理)试题 含答案
2021-2022年高二下学期第二学段段中考试数学（理）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1、在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、设集合,，则等于（ ）3、执行如图所示的程序框图，输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74、设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．5、已知向量(sin ,cos ),(3,4)a b θθ==，若，则等于 （ ）A ．B ．C ．D ．6、若，，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、的二项展开式中，常数项是（）A．10 B．15 C．20 D．308、某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，剩余的个车位连在一起的概率为A．B．C．D．9、已知，，，若，，，，成等比数列，则的值为A．B．C．D．10、函数y=sinxcosx+的图象的一个对称中心是（）A．B． C．D．11、已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为A． B． C． D．112、设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且则的值为（）A．2 B． C．3 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、曲线与直线及轴所围成的图形的面积为．14、已知，且，则的最小值为。
15、函数的零点个数为 . 16、设，是两个非零向量 ①若，则；②若，则 ③若，则存在实数，使得；④若存在实数，使得，则，以上为真命题的序号为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17、（本小题满分13分）在中，角，，所对应的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面积.18、若图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD 平面ABCD ，EC//PD ，且PD=2EC 。
2021-2022年高二上学期第二次段考(数学理)
图12021年高二上学期第二次段考（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．双曲线的焦点坐标为（ ) A ． B ． C ． D ． 2．不等式的解集是A ．B ．C ．D ． 3．函数的一个单调递增区间为 A ． B ． C ． D ．4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A ．－2B ．2C ．－4D ．45．已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．1D ．36．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份 是闰年的为 （ ） A ．1996年 B ．xx 年 C ．xx 年 D ．2100年 7．已知，是平面，，是直线，给出下列命题 ①若，，则．②若，，，，则．③如果、n 是异面直线，那么相交． ④若，∥，且，则∥且∥． 其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 8．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，为坐标原点，则（ ） A .2 B. 3 C .10 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．10．已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．11．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 12．命题p ：的否定是13． 设22)1(,3005,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足约束条件的最大值为 ————14.以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是____ __.三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程及 演算步骤.15（本小题满分12分）在△中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）求的值．16（本小题满分12分）已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.17.（本小题满分14分）如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点. (Ⅰ)求三棱锥的体积; (Ⅱ)求证://平面;(Ⅲ)求异面直线与所成的角.18．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。
2021-2022年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
2021-2022年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案数学 (理科) 学科试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷,共2页。
满分150分，考试110分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷选择题（共 60分）一、选择题：（四个选项中只有一个正确答案，每小题5分，共计60分）1.已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=2n-1，n∈A｝，则A∩B=( )A｛1，3｝ B｛2，4｝ C{1，4} D｛2，3}2.在极坐标系下，极坐标方程(ρ－3)(θ－)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( )A 两个圆 B一个圆和一条射线 C两条直线 D一条直线和一条射线3.若直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为 ( )A 30°B 150°C 60°D 120°4.联欢会有歌曲节目4个，舞蹈节目2个，小品节目2个，其中小品节目不能连着演出，舞蹈必须在开头和结尾，有多少种不同的出场顺序 （ ） A 480 B 960 C 720 D 180 5. 已知，，，试比较的大小 （ ）A B C D6. 函数的定义域 ( )A B C D7.求函数，的值域 （ ） A B C D8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=)0()21()0()(4x x x x x f ，则f(f(-1))= ( )A B C D 49.已知，求 （ ） A B C D10．下列哪个函数是奇函数 （ ） A BC D 11. 已知函数在上单调，则的取值范围为 （ ）A B C D12.已知函数满足，且，当时，，求 （ ） A -1 B 0 C 1 D 2第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥-41032202y y x y x 则的最大值为14.展开式中的系数为15.已知数列中)2(,12,211≥-==-n a a a n n 由此归纳16.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2log 22)(21x xx x f x则函数的最大值为三、解答题：17. (本题12分)已知函数 （1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式解集为，求的取值范围. 18. (本题12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：已知在全部的80人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为 （1） 请将列联表补充完整；（2） 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(，其中）19. (本题12分)某次考试，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为，每次考B 科合格的概率均为.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．(1)求甲恰好3次考试通过的概率；(2)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.20.(本题10分)已知： 求证：中至少有一个不大于.21. (本题12分)定义在上函数，且,当时，1)21(8)41()(-⨯-=x x x f（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值.22. (本题12分)定义在上的函数，总有，且，当时， （1）求的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明；（3）判断函数在上的单调性,并证明.长春外国语学校xx高二下学期期中考试数学理科答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题：（每题5分，共20分）13. ； 14. 60； 15.； 16. 4三、解答题：17.（本题12分）解：（1）当时，，或或（2分）或或或或（4分）不等式的解集为：（6分）关于的不等式解集为，就是求函数的最大值（8分）（2）a+a+≤a-+x（当且仅当取）xaxx)2()22(2-+=--=（10分）或 解得 （12分）18.（本题12分）（6分）024.5599.6297196044363248)32201216(8022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K （11分）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 （12分）19.（本题12分）（1）P=18521323121)211(32=⨯⨯+⨯-⨯ (2分) （2）9431312132)2(=⨯+⨯==ξP （4分）94)211()211(3221323121)211(32)3(=-⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯==ξP (6分)91)211()211(323121)211(3231)2(=-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯==ξP （8分）（10分）38914943942)(=⨯+⨯+⨯=ξE（12分）20.（本题10分） 证明：假设中没有一个不大于 （2分）即：，， （4分）所以有222)1()1()1(--->+++++ac c b b a即6)1()1()1(->+++++cc b b a a （6分）又因为，则所以有2)1)((2)1()(=--≥-+-aa a a ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-bb b b ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-cc c c ，（当且仅当即时取等号） 所以 ，， （8分）所以6)1()1()1(-≤+++++cc b b a a （当且仅当2时取等号 与6)1()1()1(->+++++cc b b a a 矛盾 所以假设错误，原命题正确所以中至少有一个不大于 （10分）21.（本题12分）（1）解：，则函数是奇函数则 （2分 ）当时，，则1)21(8)41()(-⨯-=---x x x f12841)21(8)41()()(+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--=--=--x x x x x f x f （5分）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯+-=<-⨯-=012840001)21(8)41()(x x x x f x x x x（6分）（1） 解：令则 （10分） 对称轴为 当，即 1713216)(max =++-=x f （11分）当，即 116464)(min =++-=x f （12分）22.（本题12分） （1）令，则有 ，又则 （2分） 令，则有 ， 又，则 （4分） （2）证明：定义域为令，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-所以为偶函数 （7分） （3）证明：，且 （8分）精品文档实用文档 令，则所以，又，由，则，而当时，所以，即，又所以函数在上是增函数 （12分）x37130 910A 鄊36152 8D38 贸921587 5453 呓27222 6A56 橖429901 74CD 瓍26945 6941 楁33642 836A 荪36768 8FA0 辠28646 6FE6 濦@24712 6088 悈。
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2010—2011年学年度第二学期高二年级第二次阶段考试
数 学 试 卷
第I 卷（选择题共70分）
一、选择题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的.）
1．已知全集U =R 及集合{|2,}{|2,}n
A x x n N
B x x n n N ==∈==∈与，则正确表示集合
A 、
B 关系的韦恩（Venn)图是
（ ）
2．设a,b 为实数，若复数
i bi
a i
+=++121，则 A ． 3,1a b == B ．31,22a b =
= C ．13
,22
a b == D ． 1,3a b == 3．已知一7, a 1, a 2 , 一1四个实数成等差数列，-4, b 1 b 2, b 3 —1五个实数成等比
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．土 1
4．设A=33336
73
4
75
2
77
⋅+⋅+⋅+C C C ，13332
5
74
3
76
1
7+⋅+⋅+⋅=C C C B ，则A －B =
（ ）
A ．128
B ．129
C ．47
D ．0
5．已知a =)sin ,(cos x x ，b =)cos ,(sin x x ，记b a x f ⋅=)(，要得到函数22
cos sin y x x =-
的图像，只需将函数()
y f x =的图像
（ ）
D
C
B
A '
D C
B
A
6. 设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,2
1
)1(f f x f x f f 则 （ ）
A ．0
B ．1
C ．
25
D ．5
7．定义在区间[0,]a 上的函数f(x)的图象如右下图所示，记以(0,(0))A f ,(,())B a f a ,
(,())C x f x 为顶点的三角形的面积为()S x ，则函数()S x 的导函数/()S x 的图象大致是
8.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒 乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A ．12 B ．48种 C ．90种 D ．96种 9.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，02=++AC AB OA =，则向量CA 在
方向上的投影为
A ．32-
B ．2
C ．3
2
D ．2-
10. 已知点P 在曲线y=4
1x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
A [0,4
π
) B [,)42ππ C ．3(,]24ππ D 3[,)4ππ
11.辛集中学高二学生要用鲜花布置花圃中ABCDE 五个不同区域，要求同一区域上用同一种
颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．恰有两个区域用红色鲜花 的概率
A ．358
B ．356
C ．354
D ．35
2
12.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，
CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体 BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体 BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为
A.π23
B.π3
C.π3
2
D.π2
13．若函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(2)f x -，且当1x ≠时其导函数()f x '满
足(1)()(),x f x f x ''->若12,a <<则
A ．2(log )(2)(2)a
f a f f << B ．2(2)(lo
g )(2)a
f f a f << C ．2(2)(2)(lo
g )a
f f f a << D ．2(lo
g )(2)(2)a
f a f f <<
14．已知函数|lg |,010,()16,10.2
x x f x x x <≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的
取值范围是
A. (1,10)
B. (5,6)
C.(10,12)
D.(20,24)
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 15.如果对于任意实数a,b(a<b),随机变量X 满足)(b X a P ≤<=dx x b
a
)(,
⎰σμϕ,称随机变量X 服
从正态分布,记为),(2
σμN ,若X ～N （1，1）,则
dx x )(1
1
,⎰
-σμϕ=_________
16．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则式子：
151
(2tan
)ln lg100()43
e π-⊗+⊗ 的值是 。
17．在区间[1，4]上任取实数a ，在区间[0，3]上任取实数b ，
使函数b x ax x f ++=2
)(有两个相异零点的概率是
18. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，若目标函数
by ax Z +=（a>0，b>0）的最大值为12，则
b
a 3
2+的最 小值.
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分12分）
（II ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c
若,cos
cos )2(C b B c a =-记N =)12
2(
cos 2)2
(32
π
++A A
f 求N 的取值范围。
已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足22(N n n S a n n *
=-∈⋅）
（I ）设n b =2n a +，求数列}{n b 的通项公式； （II ）若数列{}n c 满足=n c 2log ,n b 求数列{
}n
n
c b 的前n 项和n T . 22．（本小题满分12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视
图为直角梯形（尺寸如图所示） （1）求证：AE//平面DCF ； （2）当AB 的长为
2
9，
90=∠CEF 时，求二面角A —EF —C 的大小
23.(本小题满分l2分）
已知函数)0(
2ln 2
)(>-+=
a x a x
x f . （1）若曲线(x )y f =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单
调区间；
（2）若对于),0(∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求实数a 的取值范围；
（3）记b x x f x g -+=)()(（R b ∈）.当1=a 时，函数)(x g 在区间[
]
e e ,1
-上有两个零点，
求实数b 的取值范围.。