经济数学建模

流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入， 现金流入与现金流出之差称净现金流量。
现金流量图
经济数学模型
若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化， 用Ai表示第i阶段末的资金量(i=1,2,…n),r表示阶段的利 率，则n个阶段全部资金量的终值S为
SA1(1r)n-1+A2(1r)n-2+...+An-1(1r)+An
经济数学模型
如果投资方案获利指数大于或等于1，为可行方案； 如果获利指数小于1，则方案不可行； 如果几个方案的获利指数均大于1，那么获利指数越大， 投资方案越好。
（四）内部收益率
经济数学模型
内部收益率（IRR）指能使项目的净现值等于零时的折现率。
n
(CICO)t(1IRR)t 0
t0
IRR的决策标准：
永续年金：无限期的普通年金。
Ａ Ａ Ａ Ａ ……
A
０ １ ２ ３ ４ …… ∞
经济数学模型
普通年金终值（复利）为
经济数学模型
SA(1r)n-1+A(1r)n-2+...+A(1r)+A
n-1
A(1r)i
=A(1+r)n1
i0
r
普通年金现值为
S0=S(1+r)n=A1(1r+r)n
经济数学模型
例 假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命期为12 年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？
设每年回收A元，据普通年金现值计算公式
500=A 1(1+r)nA10.0812
r
0.08
解得A为
A=5000000×0.1327=663500（元）
因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。
二、净现值（NPV）
经济数学模型
净现值是指方案在寿命期内ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年的净现金流量按照设定的
折现率折现到期初时的现值之和，反映了方案获利能力。其
表达式为：
n
NPV (CICO)t(1ic)t t0
式中： NPV——净现值；
CI——第t年的现金流入量； CO——第t年的现金流出量；
n——该方案的计算期；
以贴现法为例分析。
一、投资回收期(动态)
经济数学模型
动态投资回收期是指在给定的基准收益率下，用方案各年 资金净流量的现值来回收全部投资的现值所需的时间。公式 ：
Pt'
(CICO )t(1ic)t 0
t0
式中 PT——动态投资回收期； CI——第t年的现金流入量；
CO——第t年的现金流出量； ic——基准收益率。
ic——设定的折现率。
经济数学模型
对单一方案而言，若NPV≥0，则认为项目可行，若 NPV < 0，则予以拒绝。对多方案比选时，净现值越 大，方案越优。
净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的 贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净 现值越大；反之，净现值越小。
净现值的优缺点
经济数学模型
St5000400t
使用该设备在t年时可使企业增加收入850－40t元，若 年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废 这台设备？此时，总利润的现值是多少？
解
T年后总收入的现值为 T85040te0.05tdt 0
T年后设备残值的现值为 5000400Te0.05T
不足的是，投资回收期没有全面地考虑投资方案整个 计算期内的现金流量，即忽略在投资回收期以后发生的数 据,对总收入没有做考虑。只考虑回收之前的效果，不能反 映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期 内的经济效果。
投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可 靠的，它只能作为辅助评价指标。
T年后总利润的现值为
经济数学模型
L T T 8 5 0 4 0 t e 0 . 0 5 t d t 5 0 0 0 4 0 0 T e 0 . 0 5 T 5 0 0 0 0
为求最大值，对T求导得 L T 2 0 0 2 0 T e 0 .0 5 T
Sn S（ 01nr）
二、复利模型（利滚利）
经济数学模型
1、离散型复利模型
每年结算一次，n年后的本利和为
S n S n （ 11 r ）n 1 ,2 ,...
Sn S（ 0 1r） n
每年结算m次，n年后的本利和为
Sn

S（ 0 1
r ）mn m
2、连续型复利模型
经济数学模型
-300
-100
01
23
4
5
11 12
建设期
82 82 82 82 82
用matlab计算得
202
净现值 NPV=71.97（万元），获利指数 PI=1.1881
内部收益率 IRR=12.9%
连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为
Snm li m S（ 01m r） m nS0ern
三、现值模型
已知初始资金S0，用单利或复利计算n年后资 金Sn的计算式称为终值模型；反之，已知n年后的终 值Sn，求按年利率r折算到现在时间段的资金S0的模 型称为现值模型。
在现值模型中，将年利率r也称为折现率
• 原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现 值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资 金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了 货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投 资决策方法。
• 主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较 时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因 为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。
例
项目的净现值
年 现金流量①
现值系数（10%）②
0 -1000 1 500
1 0.9091
2 400
0.8264
3 300
0.7513
4 100
0.6830
NPV
经济数学模型
单位：万元 现值=①×②
-1000 454.55 330.56 225.39 68.30 78.80
三、获利能力指数
经济数学模型
例
项目A的折现现金流量
年 项目A的现金流量 现值系数（10%） 折现的现金流量 累计折现现金流量
0 -1000
1 -1000 -1000
1 400 0.9091 363.64 -636.36
2 400 0.8264 330.56 -305.8
经济数学模型
3 400 0.7513 300.52 -5.28
五、年金
经济数学模型
若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年 金。根据资金产生时间分为
普通年金：从第一期开始每期 期末收款、付款的年金。
ＡＡＡＡ ０１ ２ ３４
预付年金：从第一期开始每期 期初收款、付款的年金。
ＡＡＡＡ ０１ ２ ３ ４
递延年金：在若干期以后收付的年金。
Ａ Ａ ＡＡ A ０１２３４ 5 6 7
获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和 与初始投资现值之和的比，表明项目单位投资的获利 能力，记为PI。表达式为：
PI=投产后现金流量的总现值/初始投资总现值
获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位 投资额的效益。与净现值指标相比，更便于投资额不等的 多个项目之间的比较和排序。
PI决策的标准是
S0
S（ n 1
r ）mn m
(Sn

S（ 0 1
r ）mn) m
连续折现,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
S0 Snern
(Sn S0ern)
四、资金流的现值与终值模型
经济数学模型
在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、 花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系 统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生 的资金流出或流入称为现金流量。
经济数学模型
若求现值，设连续折现,记其对应的现值为S0, T年资金 流量的总现值S0是
T
T
S0SerT=f(t)er(T t)erT dt=f(t)ertdt
0
0
特别，当f(t)=A时，有
S0
T
Aertdt
0
A(1erT) r
经济数学模型
例 某企业想购买一台设备，设备成本为5000元，t年 后该设备的报废价值为
先付年金终值（复利）为
1Rn1 1
F A
1
R

先付年金的现值为
11Rn1
P A
1

R

经济数学模型
永续年金无终值（∞），其现值为
1(1+r)n A
S0=lni m A r
= r
经济数学模型
3.2 连续资金流的终值与现值
若各阶段资金量是时间t的连续函数f(t)，也称为连 续资金流，若f(t)在（0，T)连续，则在时间段（ t,t+△t)内资金的近似值为f(t)△t,若按连续复利 计算，这些资金在期末的终值为
Ff(t)ter(T-t)
由定积分思想，总收入的终值为
T
S f (t) er(T -t)dt 0
4 400 0.6830 273.2 267.92
项目A的动态投资回收期=
累计净现金流量 折现值开始出现 正值的年份
-1+
上年累计净现金流量折现值 当年的净现金流量折现值
= 4-1+5.28/273.2=3.02(年)
经济数学模型
项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度 。资本周转速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈 多。
令 LT 0 得T=10
又 L10 0 T=10为唯一极大值点，就是最大值点
。 当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后 报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为
LT852.25元
3.3 简单的投资决策模型
经济数学模型
投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力 及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，最简 单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区 别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则 考虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有 回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值 法、内部收益率法和获利能力指数法三种。
n
Ai(1r)ni i1
s
A1
A2
A3
An-1
An
资金终值公式现金流量图
经济数学模型
若考虑现值，第i阶段资金的现值为 Ai(1+r)-i
则n个阶段全部资金量的现值S为
n
S0 Ai (1 r)-i i1
A1
A2
A3
An-1
An
S0
资金现值公式现金流量图
若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV
经济数学模型
第三章 金融应用模型
第一节
经济数学模型
利率模型
资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济 活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩 短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数 量和时间，提高资金的经济效益。
经济数学模型
设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn
一、单利模型 若年利率和本金都是常数，n年后的本利和为
1、将方案的内部收益率与行业基准收益率对比，如果 方案的IRR大于等于行业基准收益率，则方案可行， 否则不可行； 2、在可行的方案中，IRR最大的方案为最优方案；
IRR优点：
经济数学模型
可以直接反映投资项目的实际收益水平，可以直接与
行业基准收益率比较。计算过程不受基准收益率高低
的影响，比较客观。
例 某公司有一完整工业项目。各年的现金净流量如图所示， 假设该项目的基准折现率为10%.
1、单利现值模型
经济数学模型
若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
S0

Sn 1 nr
(SnS（ 01nr） )
2、复利现值模型
每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
S0（ 1 Snr） n S（ n1r） -n (Sn S（ 01r） n)
经济数学模型
每年折现m次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为