Apostal—Bernoulli—Euler多项式的若干恒等式

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世界50个经典的数学难题

世界50个经典的数学难题第01题阿基米德分牛问题太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？第02题德·梅齐里亚克的法码问题一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。

问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a＆#39;头母牛将b＆#39;块地上的牧草在c＆#39;天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷* * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of th e Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

不等式高级水平必备

不等式高级水平必备目录Ch1.伯努利不等式Ch2.均值不等式Ch3.幂均不等式Ch4.柯西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch6.排序不等式Ch7.琴生不等式Ch8.波波维奇亚不等式Ch9.加权不等式Ch10.赫尔德不等式Ch11.闵可夫斯基不等式Ch12.牛顿不等式Ch13.麦克劳林不等式Ch14.定义多项式Ch15.舒尔不等式Ch16.定义序列Ch17.缪尔海德不等式Ch18.卡拉玛塔不等式Ch19.单一函数不等式Ch20. 3 个对称变量pqr法Ch21. 3 个对称变量uvw法Ch22.ABC 法Ch23.SOS 法Ch24.SMV 法Ch25.拉格朗日乘数法Ch26.三角不等式Ch27.习题与习题分析Ch1.伯努利不等式1.1 若实数x i（i1, 2,..., n ）各项符号同样，且x i1，则：(1 x1 )( 1 x2 )...(1x n )1x1 x2 ...x n( 1)(1) 式为伯努利不等式.当 x1 x2 ...x n x 时，(1)式变成： (1x)n 1 nx(2) Ch2.均值不等式2.1 若a1,a2,..., a n为正实数，记：⑴ Q n a12a22...a n2，为平方均匀数，简称平方均值；n⑵ A n a1 a2 ...a n，为算术均匀数，简称算术均值；n⑶ G n n a1a2 ...a n，为几何均匀数，简称几何均值；⑷ H nn，为调解均匀数，简称调解均值 . 111a1a2...a n则： Q n A n G n H n( 3)iff a1a2...a n时，等号建立.（注：iff if and only if 当且仅当.）( 3) 式称为均值不等式.Ch3. 幂均不等式3.1 设a(a1 , a2 ,..., a n ) 为正实数序列，实数r0 ，则记：r r r 1a2...rM r (a)a1a n(4)n(4) 式的M r(a)称为幂均匀函数.3.2 若a(a1 , a2 ,..., a n ) 为正实数序列，且实数r0 ，则：M r (a ) M s (a )(5)当 r s时，( 5)式对任何r都建立，即M r(a)对于r是单一递加函数.(5) 式称为幂均匀不等式，简称幂均不等式.设 m(m1 , m2 ,..., m n ) 为非负实数序列，且 m1m2...m n 1 ，若 a(a1 , a2 ,..., a n ) 为正实数序列，且实数 r0 ，则：1M r m ( a)(m1a1r m2a2r...m n a n r )r(6 )(6) 式称为加权幂均匀函数.3.4 若a(a1 , a2 ,..., a n ) 为正实数序列，且实数r0，对 M r m (a) 则： M r m (a)M s m (a)11即： (m1 a1r m2a2r...m n a n r ) r(m1a1s m2 a2s... m n a n s )s(7 )当 r s时，(7 )式对任何r都建立，即M r m(a)对于r是单一递加函数.(7) 式称为加权幂均匀不等式，简称加权幂均不等式.Ch4.柯西不等式4.1 若a1,a2,..., a n和b1, b2,..., b n均为实数，则：(a12a22...a n2 )(b12b22... b n 2 )(a1 b1a2b2...a n b n ) 2(8)iff a1a2...a n时，等号建立 .（注：iff if and only if 当且仅当.）b1b2b n(8) 式为柯西不等式.4.2 柯西不等式还能够表示为：a12a22... a n2b12b22... b n2a1b1a2 b2... a n b n)2(n)(n) (n(9)简称：“ 平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将a1b1a2 b2...anbn简称为积均值，记： D n n则： [Q n (a)]2[Q n (b)]2[ D n (ab)]4，即：Q n( a)Q n (b) 4.3 推论 1 ：若a, b,c, x, y, z为实数，x, y, z 0，则：a12a22...a n2(a1a2...a n )2(11)b1b2b n b1b2...b niff a1a2...an时，等号建立 .b1b2b n(11) 式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.a1b1a2b2... anbn.nD n (ab)(10)4.4 推论 2 ：若a1, a2,..., a n和b1, b2,..., b n均为实数，则：a2b2a2b2...a2 b 2(a1a... a) 2(b b... b )2( 12)1122n n2n12niff a1a2...an时，等号建立 .b1b2b n4.5 推论 3 ：若a, b,c, x, y, z为正实数，则：x y z3(ab bc ca)( 13)(b c)(c a)(a b)y z z x x yCh5.切比雪夫不等式5.1 若a1a2...a n； b1b2...b n，且均为实数.则：(a1a2... a n )( b1b2...b n ) n(a1b1 a2b2 ... a n b n )(14 ) iff a1a2... a n或 b1b2... b n时，等号建立.(12) 式为切比雪夫不等式.因为有 a1 a2... a n， b1b2...b n条件，即序列同，因此使用，常采纳 WLOG a1a2... a n⋯⋯( 注：WLOG Without Loss Of不失一般性 ) Generality5.2 切比雪夫不等式经常表示：(a1a2... an )(b1b2... bn )(a1b1a2b2... anbn)(15) n n n称：“ 切比雪夫同数，均小均” .即：切比雪夫不等式采纳同性的两个序列表示，两个序列数的均之不大于两个序列数各之均 . ：A n( a)A n(b)[ D n( ab)]2即：A n (a) A n (b) D n (ab)(16 )Ch6.排序不等式6.1 若a1a2... a n；b1b2... b n数，于 (a1 , a2 ,..., a n ) 的任何 ( x1 , x2 ,..., x n ) ，都有以下不等式：a1b1a2 b2... a n b n x1b1x2 b2... x n b n a n b1a n 1b2... a1 b n(17 )(17 ) 式称排序不等式（也称重排不等式）.此中， a1b1a2 b2... a n b n称正序和， a n b1a n 1 b2 ...a1b n称反序和，x1b1x2b2... x n b n称乱序和.故(17 )式可：正序和乱序和反序和(18 )6.2 推：若a1,a2,..., a n数，( x1, x2,..., x n)(a1 , a2 ,..., a n ) 的一个排序，：a12a22... a n2a1 x1 a2 x2... a n x n(19)Ch7. 琴生不等式7.1 定凸函数：全部x, y [ a, b]，(0,1) ，若函数 f :[ a, b]R 是向下凸函数，：f ( x (1) y) f ( x) (1) f ( y)(20 )( 20) 式是向下凸函数的定义式 .注： f :[ a, b]R 表示区间 [a, b]和函数 f ( x) 在 [a, b] 区间都是实数 .若 f : (a, b)R 对随意 x (a,b) ，存在二次导数 f ''( x)0 ，则 f ( x ) 在 ( a, b) 区间为向下凸函数； iff x (a,b) 时，若 f ''( x) 0，则 f ( x ) 在 (a, b) 区间为严格向下凸函数 .若 f 1 , f 2 ,..., f n 在 (a,b) 区间为向下凸函数，则函数 c 1 f 1 c 2 f 2 ... c n f n 在在 ( a, b) 区间对任何 c 1 , c 2 ,..., c n (0, ) 也是向下凸函数 .若 f : (a, b) R 是一个在 (a, b) 区间的向下凸函数，设 n N ，1 ,2 ,..., n (0,1) 为实数，且 12...n1 ，则对任何 x 1 , x2 ,..., x n (a, b) ，有：f ( 1 x 12x2... n x n ) 1 f ( x 1 ) 2 f ( x 2 ) ... n f ( x n )(21)( 21) 式就是加权的琴生不等式 .简称：“ 对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值 ”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1 若 f :[ a,b]R 是一个在 [ a,b] 区间的向下凸函数，则对全部 x, y, z[a,b] ，有：f (x yz )f ( x) f ( y) f ( z)2[ f (xy ) f ( yz) f (zx)] ( 22)333222( 22) 式就是波波维奇亚不等式 .8.2 波波维奇亚不等式能够写成：x y zf ( x ) f ( y) f ( z)f (x y) f (y z)f (z x)f ()3322 2(23 )23简称：“ 对于向下凸函数的三点状况，三点均值的函数与函数的均值之均匀值，不小于两点均值的函数值之均匀值 ”.8.3 若 f :[ a,b] R 是一个在 [ a,b] 区间的向下凸函数， a 1 , a 2 ,..., a n [a,b] ，则：f (a 1 ) f (a 2 ) ... f (a n ) n(n 2) f (a) (n 1)[ f (b 1 ) f (b 2 ) ... f (b n )] ( 24)此中： aa 1 a 2 ...a n， b i1 a j （对所有的 i ）nn 1 ij( 24) 式是广泛的波波维奇亚不等式 .当 ax ，ay ，az ，n 3 时， ax y z ，byz，b 2z x， b 3 x y 1 2 3 31 22 2代入 (23) 式得：f ( x)f ( y) f ( z) 3 f (xy z ) 2[ f (y z) f (zx ) f (xy)]3222即： f (xy z ) f ( x) f ( y)f (z)2[ f (xy ) f ( yz ) f (zx)] ( 25)3 33 222( 25) 式正是 (22) 式 .Ch9. 加权不等式9.1 若 a i(0, ) ， i [0, 1] （ i 1, 2,..., n ），且 12...n1 ，则：a 1 1 a 2 2 ...a nna 1 1a22... a nn(26 )( 26) 式就是加权的均值不等式，简称加权不等式 .( 26) 式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值 .Ch10. 赫尔德不等式若实数 a, b 0 ，实数 p, q 1 且11 1 ，则： aba pb q (27 )pqpqiffa pb q 时，等号建立 .( 27 ) 式称为杨氏不等式 .若 a 1 , a 2 ,... a n 和 b 1 ,b 2 ,... b n 为正实数， p,q 1 且11 1 ，则：p q11a 1b 1a 2b 2 ... a n b n (a 1 pp... p pqb 2 q... q)q(28 )a 2a n ) (b 1b n( 28) 式称为赫尔德不等式 .pppiffa 1 q a 2 q ...a nq 时，等号建立 .b b b10.3 赫尔德不等式还能够写成：( a 111a 1b 1 a 2b 2 ... a n b np a 2 p... a n p ) p ( b 1 qb 2 q ... b n q ) q( 29)nnn即： [D n (ab)]2 M p (a) M q (b) ，即：M p ( a)M q (b) D n ( ab)( 30)简称：“ 幂均值的几何均值不小于积均值 ”.（注：赫尔德与切比雪夫的不一样点：赫尔德要求是 1 11 ，切比雪夫要求是同调；p q赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）若 a 1 , a 2 ,... a n 、 b 1 ,b 2 ,... b n 和 m 1 , m 2 ,...m n 为三个正实数序列， p,q1 且11 1 ，则：pqnn1 n1pqa ib i m ia i p m ib i q m i( 31)i 1i 1i 1( 31) 式称为加权赫尔德不等式 .iffa 1 p a 2 p ...a n p 时，等号建立 .b 1q b 2 qb n q若 a ij ( i1, 2,..., m ; j1, 2,..., n )，1 ,2 ,..., n 为正实数且 12... n1 ，则：mnnm(aj)(a ) j(32)ijiji 1 j 1 j 1i 1( 32) 式称为广泛的赫尔德不等式 .10.6 推论：若 a 1 ,a 2 , a 3 N ， b 1 , b 2 , b 3 N ， c 1 ,c 2 , c 3 N ，则：(a 1 3 a 2 3 a 3 3 )( b 1 3 b 2 3 b 3 3 )( c 1 3 c 2 3 c 3 3 ) (a 1b 1 c 1 a 2b 2c 2 a 3 b 3 c 3 )3(33)简称：“ 立方和的乘积不小于乘积和的立方 ” .Ch11. 闵可夫斯基不等式11.1 若 a 1 ,a 2 ,..., a n ； b 1 , b 2 ,..., b n 为正实数，且 p 1，则：n1n1n1b ) p )pp )pb p)p((a (a((34)iiiii1i 1i 1iff a1a2...an，等号建立 .b1b2b n( 34)式称第一可夫斯基不等式 .11.2 若a1,a2,..., a n；b1, b2,..., b n正数，且p1，：n n 1n1 p(a i ) p(b i ) p( a i p b i p ) p( 35) i1i 1i 1iff a1a2...an，等号建立 .b1b2b n( 35) 式称第二可夫斯基不等式.11.3 若a1,a2,..., a n；b1, b2,..., b n；m1,m2,..., m n三个正数序列，且p 1 ，：n1n1n1((a i b i ) p m i ) p(a i p m i ) p(b i p m i ) p( 36)i 1i 1i 1iff a1a2...an，等号建立 .b1b2b n( 36) 式称第三可夫斯基不等式.Ch12. 牛不等式12.1 若a1,a2,..., a n随意数，考多式：P ( x) ( x a1 )( x a2 )...( x a n ) c0 x n c1 x n 1... c n 1 x c n( 37 )的系数 c0 , c1 ,..., c n作 a1 , a2 ,..., a n的函数可表达：c0 1 ；c1a1a2... a n；c2a1a2a1a3... a n 1a n a i a j；（i j n）c3a i a j a k；（i j k n）⋯⋯c n a1a2 ...a n.对每个 k 1, 2,..., n ，我们定义 p kc kk!( n k )!(38 )C n kc kn!则 (37 ) 式近似于二项式定理，系数为： c k C n k p k .若 a 1 ,a 2 ,..., a n 为正实数，则对每个 k 1, 2,..., n 1 有：p p1p 2( 39)k 1kkiffa 1 a 2 ... a k 时，等号建立 .( 39) 式称为牛顿不等式 .Ch13. 麦克劳林不等式若 a 1 ,a 2 ,..., a n 为正实数，按 (38) 定义，则：111p 1 p 2 2 ... p k k ...p n n(40)iffa 1 a 2... a k 时，等号建立 .(40) 称麦克劳林不等式 .Ch14. 定义多项式若 x 1 , x 2 ,..., x n 为正实数序列，并设 1 ,2 ,...,n 为随意实数 .记： F ( x 1 , x 2 ,..., x n ) x 1 1x 2 2...x nn；T[ 1 , 2 ,..., n ] 为 F ( x 1 , x 2 ,..., x n ) 所有可能的积之和，遍布1 ,2 ,..., n 的所有轮换 .举例说明⑴ T [1, 0, 0]：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 3!6 项.第 1 个参数的指数是 1 ，第 2 和第 3 个参数的指数是 0 .故： T [1, 0, 0] ( 3 1)! ( x 1 y 0 z 0 y 1 x 0 z 0 z 1 y 0 x 0 ) 2( x y z) .⑵ T [ 1, 1] ：表示共有 2 个参数的所有积之和，共有 2 ! 2 项.第 1 个和第 2 个参数的指数是 1 .故： T [1, 1] (2 1)! ( x 1 y 1 ) 2xy .⑶ T [1, 2] ：表示共有2个参数的所有积之和，共有 2 ! 2 项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是 2.故： T 1 2(2 1x1 y2y1 x 2)xy2 x 2 y .[ , ])! (⑷ T [1, 2, 1] ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数的指数是1，第 2 个参数的指数是 2 ，第3个参数的指数是 1 .故： T 1 2 1 2 xy2 z x2yz xyz2).[ , , ](即： T [1, 2, 1]T [2, 1, 1]⑸ T [2, 1, 0]：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数的指数是2，第 2 个参数的指数是 1 ，第3个参数的指数是0.故： T [ 2, 1, 0] x2 y x2 z y2 x y2 z z2 x z2 y.⑹ T [3, 0, 0]：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数的指数是3 ，第 2 个和第3个参数的指数是0.故： T [ 3, 0, 0]2( x 3y3z3 ) .⑺ T [a, b, c]：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有3! 6 项.第1个参数的指数是a，第 2 个参数的指数是b，第3个参数的指数是c.故： T [a, b, c] x a y b z c x a y c z b x b y c z a x b y a z c x c y a z b x c y b z a.因为 T [a,b, c] T [b, c, a] T [c, a, b] T [c, b, a] T[b, a,c]... 表达式比许多，因此我们规定： T [a, b, c]（ a b c ）.Ch15. 舒尔不等式15.1 若R ，且0 ，则：T [ 2 ,0,0] T [ , , ] 2T [, ,0](41)(41) 式称为舒尔不等式.分析( 41)式T [2,0,0] 2( x2y2z2) ；T [ , ,] 2( x y z x y z x y z ) ；T [, , 0] x y x y y z y z x z x z 将上式代入 (41) 式得：x2y2z2x y x y即： x2y2z2x y z x y z x y zy z y z x z x z x y z x y z x y zx y x y y z y z x z x z 0即： x ( x2y z x y x z ) y ( y2x z x y y z ) z (z2x y y z x z ) 0即： x ( x y )( x z ) y ( y z )( y x ) z ( z x )( zy ) 0 (42)(42) 式与 (41) 式等价，称为舒尔不等式.若实数 x, y, z0 ，设 t R ，则：x t ( x y)( x z)y t ( y z)( y x) z t ( z x)( z y)0(43 )iff x y z 或x y, z 0及轮换，等号建立 .依据 (41)式写法，即：t ， 1 ，则：T [t2, 0, 0]T [t ,1,1]2T[ t1, 1, 0]( 44)(43)式是我们最常有的舒尔不等式形式 .推论：设实数 x, y, z0，实数 a, b, c0 且 a b c 或 a b c ，则：a( x y)( x z)b( y z)( y x) c( z x)( z y)0(45 )(43) 式中，x t a ， y t b ， z t c ，就获得(45)式.推论：设实数 x, y, z0，则：333333 222推论：若 k (0, 3] ，则对于全部 a,b, cR ，有：2a2b2c2(3 k)k(abc)k2(abbcca)(47 )Ch16. 定义序列设存在两个序列 (i )i n1( 1, 2 ,..., n )和 ( i )i n1( 1 , 2 ,..., n ) ，当知足以下条件：⑴1 2...n 1 2...n⑵ 1 2 ... n 且1 2... n ⑶12...s12 ...s对全部 s [1, n] ，③式都建立 .①②③则： ( i )n i 1 就是 ( i )n i 1 的优化值，记作： ( i ) ( i ) .注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17. 缪尔海德不等式17.1 若 x 1 , x 2 ,..., x n 为非负实数序列，设 ( i ) 和 ( i ) 为正实数序列，且 ( i )( i ) ，则：T [ i ] T [ i ]( 48)iff( i ) ( i ) 或 x 1 x 2 ...x n 时，等号建立 .(48 ) 式就缪尔海德不等式 .17.2 分析 (48 ) 式若实数 a 1 a 2 a 3 0 ，实数 b 1 b 2 b 3 0 ，且知足 a 1 b 1 ， a 1 a 2 b 1 b 2 ，a 1 a 2 a 3b 1 b 2 b 3 ；设 x, y, z 0 ，则：知足序列 ( b 1 , b 2 ,b 3 ) (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 条件，则： T [b 1 , b 2 , b 3 ]x b 1y b 2zb3x b 1y b 3zb2x b 2y b 1zb3x b 2y b 3zb1x b 3y b 1zb2x b 3y b 2zb1T [a 1, a 2 , a 3 ] x a 1 a 2 z a 3 x a 1 a 3 a 2 a 2 a 1 z a 3 x a 2 a 3 z a 1 x a 3 a 1 a 2 x a 3 a 2 z a 1yy zx yyy zy即 ( 48) 式为： T [b 1 ,b 2 , b 3 ] T [a 1, a 2 , a 3 ]用平常的方法表达即：x a 1 a 2 z a 3 x b 1 y b 2 b 3( 49) yzsymsym(49 ) 式就缪尔海德不等式的常用形式.17.3 例题：设( x, y, z)为非负变量序列，考虑(2, 2, 1) 和 (3,1,1) .由中的序列优化得： ( 2, 2,1)( 3, 1, 1)由缪尔海德不等式 (48) 式得： T [2, 2, 1]T[3, 1, 1]①T[ 2, 2,1]2( x2 y2 z x 2 yz2xy2 z2 ) ②T[ 3,1, 1]2( x3 yz xy3 z xyz3 )③将②③代入①得： x2 y2 z x2 yz2xy2 z2x 3 yz xy3z xyz3即： xy yz zx x2y2z2④由柯西不等式：(x2y2z2)(y2z2x 2)(xy yz zx2)即：x2y2z2)2(xy yz zx 2()即： x2y2z2xy yz zx⑤⑤式④式等价，这就证了然④式是建立的，而缪尔海德不等式直接获得①式是建立的.⑤式能够用 T [ 2, 0,0] T [1, 1, 0] 来表示，这正是缪尔海德不等式的(48 ) 式.Ch18. 卡拉玛塔不等式设在实数区间I R的函数 f 为向下凸函数，且当a i,b i I （i1, 2,..., n ）两个序列(a i ) i n1和 (b i )i n1 知足( a i ) (b i ) ，则：f (a1 ) f (a2 ) ... f (a n ) f (b1 ) f ( b2 )... f ( b n )(50)(50 ) 式称为卡拉玛塔不等式.若函数 f为严格向下凸函数，即不等取等号，(a i ) (b i ) ，且 (a i )(b i ) ，则：f (a1 ) f (a2 ) ... f (a n ) f (b1 ) f ( b2 )... f ( b n )(51)若函数 f为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向 .Ch19. 单一函数不等式19.1 若实数函数 f : (a, b)R 在区间 ( a,b) 对全部 x, y (a,b) 为单一增函数，则当 x y 时，有 f ( x) f ( y) ；若 f 在区间 (a, b) 对全部 x, y (a, b) 为严格单一增函数，当x y 时，有f ( x) f ( y) .若实数函数 f : (a, b)R 在区间 ( a,b) 对全部x, y (a,b) 为单一减函数，则当 x y 时，有 f ( x) f ( y) ；若 f 在区间 (a, b) 对全部 x, y(a, b) 为严格单一减函数，当x y 时，有 f ( x) f ( y) .若实数函数 f : (a, b)R 在区间 (a,b) 为可导函数，当对全部 x( a, b) ， f '( x)0 ，则 f 在区间 (a, b) 为单一递加函数；当对全部 x ( a, b) ， f '( x)0 ，则 f 在区间 ( a,b)为单一递减函数 .设两个函数 f :[ a, b]R 和 g :[ a, b]R 知足以下条件：⑴函数 f 和g在 [ a,b] 区间是连续的，且 f (a ) g(a ) ；⑵函数 f 和g在 [ a,b] 区间可导；⑶导数 f '( x) g'( x) 对全部 x(a, b) 建立，则对全部 x (a, b) 有： f ( x) g( x)(52)(52 ) 式就是单一函数不等式.Ch20.3个对称变量pqr法20.1 设x, y, z R ，对于拥有变量对称形式的不等式，采纳以下变量代换：p x y z ； q xy yz zx ；r xyz ，则p, q, r R .代换后的不等式 f ( p, q, r ) ，很简单看出其知足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为 pqr 法.20.2 常用的代换以下：⑴x2 p2 2qcyc⑵x 3p( p23q) 3rcyc⑶x2 y2q2 2 prcyc⑷ ( x y)( y z)( z x) pq r⑸( x y)( y z) p2qcyc⑹xy( x y) pq 3rcyc⑺ (1 x)(1 y)(1 z) 1 p q r⑻( 1 x)( 1 y) 3 2 p qcyc⑼x2 ( y z)xy( x y) pq3rcyc cyc20.3 常用的pqr法的不等式若x, y, z 0 ，则：⑴p3qr 4 pq⑵pq 9r⑶p2 3q⑷p3 27r⑸ q327r 2⑹q2 3pr⑺ 2 p 39r7 pq⑻ 2 p 39r 27 pqr⑼p 2q3 pr4q2Ch21. 3个对称变量uvw法21.1 在a, b, c R 的不等式中，采纳以下变量代换：3u a b c ；3v2ab bc ca ； w3abc.上述变换激烈含有“均匀”的意味：u 对应“算术均匀值” ； v 对应“积均值”； w 对应“几何均匀值”.21.2 当a, b, c0 时，则：u v w(53)(53) 式称为傻瓜不等式.即：“算术均匀值”≥“积均值”≥“几何均匀值”.若 a, b, c 0 ，则u, v2, w30(54 )(54 ) 式称为正当定理.若 u, v2 , w3R ，任给a, b, c R ，则当且仅当u2v2，且 w3[3uv 22u 3 2 (u2v2 )3 , 3uv22u 32( u2v2 )3 ] 时，则： 3u a b c ，3v2ab bc ca， w 3abc等式建立.这称为 uvw定理.Ch22. ABC法ABC 法即Abstract ConcretenessMethod设 p x y z ； q xy yz zx ；r xyz .则函数 f ( x, y, z) 变换为 f ( r, q, p) .这与 Ch20. 3个对称变量pqr法近似 .若函数 f ( r , q, p) 是单一的，则当 ( x y)( y z)( z x)0时， f ( r, q, p) 达到极值.若函数 f ( r , q, p) 是凸函数，则当 ( x y)( y z)( z x)0时， f ( r, q, p) 达到极值.若函数 f ( r , q, p) 是r的线性函数，则当 ( x y)( y z)( z x)0 时， f ( r ,q, p) 达到极值.若函数 f (r , q, p) 是r的二次三项式，则当 ( x y)( y z)( z x) 0 时， f (r , q, p) 达到极值.Ch23. SOS法SOS 法即Sum Of Squares23.2 本法的所有思想是将给出的不等式改写成以下形式：S S a (b c)2 S b ( a c)2 S c (a b)2 (55)此中， S a , S b , S c 分别都是 a, b, c 的函数 .⑴ 若 S a , S b , S c 0 ，则 S 0 ；⑵ 若 a b c 或 abc ，且 S b , S b S a , S b S c 0 ，则 S0 ；⑶ 若 a b c 或 a b c ，且 S a , S c , S a 2S b , S c 2S b 0 ，则 S0 ；⑷ 若 abc ，且 S b , S c ,a 2 S b b 2S a0 ，则 S 0 ；⑸ 若 S a S b 0 或 S b S c 0 或 S c S a 0 ，且 S a S b S b S c S c S a 0 ，则 S 0 .常用的形式⑴a 2ab1(ab)2cyccyc2cyc⑵a 3 3abc 1a( a b) 2cyc2cyccyc⑶a 2bab 21( a b) 3cyccyc3cyc⑷a3a 2b1( 2a b)(a b)2cyccyc3cyc⑸a 3bab31(b a)3acyccyc3cyccyc⑹a4a 2b 2 2 (a b)2 (a b)2cyccyc cycCh24. SMV 法SMV 法即 Strong MixingVariables Method本法对多于 2 个变量的对称不等式特别实用.设 ( x 1 , x 2 ,..., x n ) 为随意实数序列，xx⑵ 用其均匀数 x i x j取代 x i 和 x j ，经过多次代换后各项 x i （ i 1, 2,..., n ）都趋于同样2的极限 xx 1 x 2 (x)n.n设实数空间的函数 F 是一个对称的连续函数，知足F (a 1, a 2 ,..., a n ) F (b 1 ,b 2 ,..., b n ) (56 )此中， (b 1 , b 2 ,..., b n ) 序列是由 (a 1 , a 2 ,..., a n ) 序列经过预约义变换而获得的 .预约义变换可依据目前的题目灵巧采纳，如 a ba 2b 2， ab ，等等 .22例题说明例题：设实数 a, b,c0 ，证明：ab c 3b cc aa b.2分析：采纳 SMV 法.设： f ( a b ca bc①, ,)c c a a bb则：f ( , , )t tc2t c ②t t ctc c tt tt c2t此中， tab .2由②得： f ( t,t ,c) 2t ( c 1 12t c t 11 3t c)2(2t)22t 2 t c22 2由 ( 56) 式得： f (a,b, c)f (t, t ,c)3证毕 .2Ch25. 拉格朗日乘数法25.1 设函数 f ( x 1 , x 2 ,..., x n )在实数空间的 IR 连续可导，且 g i ( x 1, x 2 ,..., x n ) 0 ，此中（ i 1, 2,.... k ），即有 k 个拘束条件，则 f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) 的极值出此刻 I 区间的界限或k）所有为零的点上 . 偏导数（函数为 Lfi gii 1这就是拉格朗日乘数法 .Ch26. 三角不等式设, ,(0, ) ，且，则, ,就是同一个三角形的内角.若, ,为同一个三角形的内角，则有以下不等式：⑴ sin sin sin 3 3 ；2⑵ cos cos cos 3 ；2⑶ sin sin sin 3 3 ；8⑷ cos cos cos 1 ；8⑸ sin2sin2sin29 ；4⑹ cos2cos2cos2 3 ；4⑺ tan tan tan3 3 （锐角三角形）；⑻ cot cot cot3；⑼ sin sin sin 3 ；2222⑽ cos cos cos3 3 ；2222⑾ sin sin sin21 ；228⑿ cos cos cos3 3 ；2228⒀ sin2sin2sin223 ；224⒁ cos2cos22cos29 ；224⒂ tan tan tan 3 ；222⒃ cotcotcot3 3 .222Ch27. 习题1 1 1设 x , x ,..., xn (0, 1] ，求证： (1 x 1 ) x 2 ( 1 x ) x 3 ...( 1 x ) x12n.1 22 n设 x 1 , x 2 ,..., x n0 ，且 x 1 x 2... x n1，求证： (1 x 1 )(1 x 2 )...( 1x n ) 1 .22设 a 1 , a 2 ,..., a n R ，且 a 1a 2 ...a n 1 ，求证： a 1a 2...a na 1 a 2... a n .设 a, b, c 0 ，且 abc1 ，求证： a 3b 3c 3 ab bc ca .设 a, b, c, d0 ，求证：a3dc b3a dc ad 2 .b 2c2d2a 3b2b 3c3设 a, b, c 0 ，求证：a 2bc b 2cac 2 ab a b c .bcc a a b设 a, b 0 ， n N ，求证： (1a n( 1 b n2 n 1 .))ba设 x 1 , x 2 ,..., x nR，且 x 12x 22 ... x n 21 ，若 n N ， n2，求x 5x 5x 5f ( x 1, x 2,..., x n )12...nn nn(x i ) x 1(x i ) x 2( x i ) x ni 1i 1i 1的最小值 .设 a, b, c R ，且 a b cabc ，求证：11b 21 c 23 .1a 2112设 a, b, c R ，求证： a2(1b)2b2(1c)2c2( 1 a)23 22 .设 a, b, c R ，且 ab bc ca3,求证： (1a 2 )( 1b 2 )( 1c 2 ) 8 .设 a, b, c 0 ，且 a b c 1，求证： 6 (a 3b 3c 3) 15 (a2b2c 2 ) .设 a, b, c 0 ，且 a bc2 ，求证： a 4b 4c 4 abc a 3 b 3c 3 .设 a, b, c 0 ，求证： 8( a 3 b 3 c 3 ) (a b)3(b c) 3 (c a)3.设 a, b, c0 ，求证： a 3b3c3abc1a b c3.7设 a, b, c0 ，且 a b c1，求证： a 2b2c23abc 4 .9设 a, a,..., a0 ，求证： (1 a )(1 a)...(1a)(1a2 a2)...(1a 2n 1 )(12n ) .1212n a2a3a1设 a,b,c,d0 ，且 abcd1，求证：1111 1 .a)2(1b)2(1c)2(1 d )2(1设 a,b,c,d0 ，且 a b c d4，求证：abc bcd cda dab (abc) 2(bcd)2(cda)2(dab) 28 .设 a,b, c0 ，且a 2b2c2 3 ，求证： a 2b2b2c2c2d 2a b c .设 a,b,c R ，求证：3 a2ab b2)(b2bc c2)(c2ca a2)a 3b3b3 c3c3 a3.(设 a,b,c,d0 ，且 a b c d abcd 5 ，求证：1111 4 .a b c d设不等式：ab(a 2b2 ) bc(b2c2 ) ca( c2 a 2 ) M (a 2b2c2 )2对一确实数 a,b, c 都建立，求 M 的最小值.设a,b, c0 ，且 a b c 3 ，求证：(a2b b2c c2a)( ab bc ca)9 .Ch27. 习题分析11127.1 设x, x,..., xn (0, 1] ，求证：(1x) x2 ( 1x2) x3 ...( 1x)x12n.121n分析：设： x n 1 x1，则：因为 x i(0, 1] ，因此1[1,) （i1, 2,..., n ）x i由伯努利不等式 ( 2) ：当x i 1 且i [1,) 时， (1x ) i1ix ①i iiff x i0 或i 1 时，①式等号建立.由均值不等式 ( 3) ：1i x i 2 i x i②iffix i 1 ，②式等号建立 .由①②式得：(1 x i ) i 2ixi③iffix i 1 ， ③式等号建立 .11x i： i，由③式得： (1x i x i12④)x ixi 11111： (1x 1 )x 22x 1； ( 1 x 2 )x 32x 2；⋯； (1 x n )x12xn .x 2x 3x 1上边各式相乘得：111x 1 x 2... x n(1 x)x2(1 x )x3...( 1 x )x12n2n12nx 2x 3 x 1 ..x 1 , x 2 ,..., x n0 ，且 x 1x 2 ... x n1，求： (1 x 1 )(1 x 2 )...( 1 x n ) 1 .22n1，因此 x [0, 1]分析：因 x 0 ， xiii 12i2y ix i ， y i1 ,0]1 [2由伯努利不等式 (1) ： (1 y 1 )( 1 y 2 )...(1 y n ) 1 ( y 1 y 2... y n ) ①将 y ix i 代入①式，并代入 x 1 x 2... x n1得：2(1 x 1 )( 1x 2 )...( 1x n ) 1 ( x 1 x 2 ... x n )11 12.2.a 1 , a 2 ,..., a n 0 ，且 a 1a 2 ...a n 1 ，求： a 1a 2...a n a 1a 2... a n .分析：因 a 1 ,a 2 ,..., a n0 ，且 a 1a 2 ...a n1 ，因此由均不等式 ( 3) ： a1a2 ...anna1a2...an nna 1a 2...a n1①即：niff a 1 a 2 ...a n 1 时，①式等号建立 .由柯西不等式 (8) ：[( a 1 )2 ( a 2 )2 ... (a n )2 ]( 12 12 ... 12 ) ( a 1a 2 ...a n ) 2即： ( a a2... a ) n( aa2 ...a )21n1n即： ( a a2... a n ) ( a 1a 2 ...a n )(aa2...a ) ②1n1niff a 1 a 2 ... a n1 时，②式等号建立 .将①式代入②式得： a 1 a 2 ... a na 1 a 2 ...a n③iff a 1a 2 ... a n 1 时， ③式等号建立 .证毕 .27.4 设 a, b, c 0 ，且 abc 1 ，求证： a 3b 3c 3 ab bc ca .分析：因为 a, b, c 0 ，且 abc1 ，因此由均值不等式 ( 3) ： a 2 b 2 c 2a 2b 2 b 2c 2c 2 a 2ab bc ca ①222iff a b c 1时，①式等号建立 .由均值不等式 ( 3) ： a b c3 3abc 3 ，即：ab c 1②3iff a b c 1 时，②式等号建立 .WLOG ，设 a bc ，则因为 a, b, c 0 ，因此 a 2 b 2 c 2由切比雪夫不等式 ( 14) ： ( a b c)(a 2 b 2c 2 ) 3(a a 2 b b 2 c c 2 )即： a 3b 3c 3a b c (a 2b 2c 2 )③3iff a b c 1时，③式等号建立 .将①②代入③式得： a 3 b 3 c 3 ab bc ca④iff a b c 1时， ④式等号建立 .证毕 .27.5 设 a, b, c, d 0 ，求证：b a3dcb 3a dc 3b ad 2 .2c2d2a 2b3c 3 分析：记 A b2c3d ， B c 2d3a ， C d2a3b ， Da 2b3c则： aA bB cC dD 4(ab ac ad bc bd cd) ①待证式为：ab c d2②A B C D 3由柯西不等式 (8) ： (ab c d)(aA bBcC dD )(a bc d)2A BCD即： a b c d(a b c d)2③A B C D aA bBcC dD由②③式，只需证明(a b cd)22 ④bB cCdD3aA 设多项式： P( x)( x a)( x b)( x c)( x d)c x 4c x 3 c x 2c x c1234则： c 1a b c d⑤c 2 ab ac ad bc bd cd代入①式得： aA bB cC dD4c 2⑥依据定义( 38) ： p kc kC nk得： pc 1c 1，即： c 4 p ； pc 2c 2 ，即： c 6 p1C 41 4 112C 42 6 22则：(a b c d)2c 1 216 p 1 2 2 p 1 2 ⑦aA bB cC dD4c 24 6 p 23 p 2由麦克劳林不等式 (40 ) ： p1p 2 1p 2 ，即：112p 2代入⑦式得：(a b c d)22，④式得证 .aA bB cC dD3iff a b cd 时，等号建立 . 证毕 .设 a, b, c0 ，求证：a 2bc b 2 ca c 2ab a b c .bc c a a b分析：不等式左侧 =a2bc b 2ca c 2abb c b c c a c a a b a b不等式右侧 = abc a(c a) b( a b) c(b c)caa bbcaca2abb 2cbc 2c a c a a b a b b c b c则不等式其实就是：a2b 2c2c2a2b2①b c c a a b b c c a a b因为是对称不等式， WLOG ，假定 ab c ，则 a 2b 2c 2②且 b c acab ，即：1 11③bccaab则有排序不等式 (18) ：a 2b 2c 2 c 2a 2b2b c c a a b b c c a a b此中， a2b 2c 2 为正序和； c 2 a 2 b 2 为乱序和 .b c c a a b b c c a a biff ab c 时，等号建立 .证毕 .设 a, b 0 ， n N 证： ( 1an(1b n2 n 1.))ba分析：当 n0 时， (1a(1b ) 02 0 12 ，不等式建立；)a ， 2b当 n1 时， (1a1( 1 b 12a b4 ， 2 1 14 ，不等式建立；))baba当 n 2 时，建立函数 f ( x)x n .则函数的导数 f '( x) nx n 1 ；二次导数 f''(x ) n n 1 x n 20 ，故在 x0 时函数为向下凸函数 .( )由琴生不等式 (20) ：f ( x 1)2 f ( x 2 ) f (x1x2)①2将 f ( x 1 ) (1an， f ( x 2 )( 1 b) n ，b) af (x1(1b)(1 a )1(b a)]n2nx2 ) [a2b ]n[122a b(1 a )n(1b)n2n，即： (1a)nb)n2n 1带入①式得：b2a( 1b a综上，当 n0 、 n 1 和 n 2 时， ( 1a n(1b n2n1都建立 , ))b a即 n N 时，( 1a n(1b n2n1建立 .证毕 .))b a27.8 设x1, x2,..., x n R ，且 x12x22...x n2 1 ，若n N ，n2，求x5x5x5f ( x1, x2,...,x n )12...nn n n(x i ) x1(x i ) x2(x i ) x ni1i1i1的最小值 .n分析：记 S x i，（ i12,.,.., n）.i1则 f ( x1 , x2 ,..., x n )x15x25...x n5①S x1S x2S x nWLOG假定 x1x2...x n，则 x14x24...x n4②n n xk因为 S x i，因此 S x k(x i )x k与 x k没关，则与 x k同单一性.S x ki 1i1x1x2...x n③即：x1S x2S x nS由切比雪夫不等式 ( 14)：若 ( a1 , a2 ,..., a n ) 与 (b1 , b2 ,..., b n ) 同单一性，则有：(a1a2...a n )( b1b2...b n )n(a1b1a2b2...a n b n )④设： a i4， b ix n，（ i12,.,.., n），则知足 {a i } 与 {b i } 同单一性. x i S xn代入④式得：4...4)(x1...x n)4x1...4x n)( x1x n n( x1x n即： f x15...x n5(x14...x n4) (x1...x n)⑤S x1S x n n S x1S x n由均值不等式 ( 3) ：Q n A n，即：x14... x n4x12...x n21 n n n故： x14...x n41⑥n建立函数： g( x)x⑦xS则导函数： g'( x)S2， g''(x )2S30 ( S x)(S x)故 g( x) 为向下凸函数.由琴生不等式 (21) ：g( 1 x1 2x2...nxn)1 g( x1 )2 g( x2 )... n g( x n )取加权i 1（ i1, 2,..., n）时，上式变成：ng(x1x2 ...xn )g( x1 )g( x2 )...g( x n )⑧n n即： g( x1 )g( x2 )...g( x n )n g(x1x2...xn )nx1x n x1x2...x n Sn即：...n n n n⑨S x1S x n S x1x2...x n S S n1n n将⑥和⑨式代入⑤式得：fx15...x n511n1S x1S x n n n n1n(n1)1故： f ( x1 , x2 ,..., x n ) 的最小值是.n(n 1)27.9 设a, b, c R，且a b c abc ，求证：111 3 .1 a2 1 b2 1 c22x2y21时，经常采纳的参数方程是：分析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：a2b2的基本关系 . 对于三角形的内角 A, B, C ，同样有关系 A B C 和tan A tan B tan Ctan A tan B tan C . 而本题初始条件 a b c abc .设 a tan A . btan B ， c tan C ，因为 a, b, c R ，因此 A, B, C(0,) ①2则当 A, B,C 为三角形的内角时， AB C，tan A tan Btan C tan A tan B tan C 知足条件 .带入不等式左侧得：1111 a 21b 2 1c 21111tan 2 A1tan 2 B1tan 2Ccos A cos BcosC②建立函数 f ( x)cosx ，则在 x(0, ) 区间函数 f ( x) 为向下凸函数，2故由琴生不等式 (21) 得：函数值的均值不小于均值的函数值 .f ( 1 x 12x2...nx n )1 f ( x 1 )2 f ( x 2 ) ...n f ( x n )③当加权12...n1时，③式变成：nf ( x 1 )f ( x 2 ) ...f ( x n )f (x1x 2 ...xn )nn即： f ( A) f ( B) f (C )f (A B C)④33即：cosA cosB cosCcos(AB C )cos13332即： cosA cosB cosC3 ⑤2将⑤式带入②式得：1 2 1213 .证毕 .1a 1b 1 22c27.10 设 a, b, c R ，求证：a2(1b)2b 2(1c)2c2( 1 a)23 2 .。

欧拉恒等式推导全过程

欧拉恒等式推导全过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉恒等式，也被称为欧拉公式，是数学家欧拉在18世纪提出的一个重要公式。

它是以自然对数e、圆周率π、虚数单位i和三角函数之间的关系而闻名于世。

欧拉恒等式的形式如下：e^(iπ) + 1 = 0这个看似简单的公式实际上蕴含了许多深刻的数学道理，是数学中的一块宝藏。

接下来，我们将从简单的数学概念开始，逐步推导欧拉恒等式的全过程。

我们需要了解几个基本的数学定义。

自然对数e是一个重要的常数，它是一个无穷不循环小数，约等于2.71828。

圆周率π是另一个重要的常数，它是一个无理数，约等于3.14159。

虚数单位i是一个虚数，定义为i^2 = -1。

我们知道，欧拉公式涉及到三个重要的数学常数：e、π和i。

我们回顾一下复指数函数。

复指数函数的定义如下：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)e是自然对数的底，i是虚数单位，x是一个实数，cos(x)和sin(x)分别是x的余弦和正弦函数。

现在，我们来推导欧拉恒等式。

我们让x等于π，代入上面的复指数函数公式中：根据三角函数的性质，cos(π) = -1，sin(π) = 0，所以：将上式代入欧拉恒等式中得：所以欧拉恒等式得证。

通过这个推导过程，我们可以看到欧拉公式的美妙之处。

它将自然对数e、圆周率π、虚数单位i和三角函数之间的关系巧妙地结合在一起，展现了数学的精密和美丽。

这个公式在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用，是数学家们智慧的结晶。

希望通过这篇文章，读者们能更加深入地了解欧拉恒等式的推导过程，感受数学的奥秘和魅力。

第二篇示例：欧拉恒等式是数学中著名的公式之一，它将指数函数、三角函数和虚数单位e、i和π联系在一起。

这个公式的推导过程非常有趣，充满了数学上的魅力和美感。

本文将带领读者一步一步地揭开欧拉恒等式的面纱。

我们需要了解几个重要的数学概念。

一是自然对数e，定义为极限\[\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n\]，近似值约为2.71828；二是虚数单位i，定义为\[\sqrt{-1}\]；三是圆周率π，它是一个无理数，近似为3.14159。

100个著名初等数论问题

100个著名初等数学问题数学园地第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的?第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少?第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;求出从a到c"9个数量之间的关系?第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中,被除数被除数除尽:* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻子并坐,问有多少种坐法?第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表,计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边,不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何?第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law(欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式(p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆,使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the NumberPi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德数列:a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线,作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么?第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n次截取线段f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,…,n和n,n-1,…,2,1, 0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上. 反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点23, 14,31,24,12,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交,求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线,作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份?第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的高度. 第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?第93题蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱,使所得的这一个立体有预定的容积,而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在什么部位,可见角为最大?)第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度?第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短?第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接(内切)于一个已知三角形的椭圆中,哪一个椭圆有最小(最大)的面积?第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积.反之:在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长. 第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积.在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面.。

含有Bernoulli数和Euler数的恒等式

２ｏ４１０４
立了一些关于Ｂｒｏｌ数和Ｅｌ数的恒等式，ｅｎｕｌｉｕｅｒ这些恒等式是将前有限个正奇数的偶次幂之和表示成有限项Ｂｒｏｌ数和／Ｅｌ数的ｅｕｌｎｉ或ｕｅｒ线性组合．０９年，ｈ２０Ｃｕ等口大家熟知的三角函数关系出发，用从利前文提到的四个基本的三角函数幂级数展开式，仅推广了文献不［］１的结果，１而且建立了新的正整数幂之和与Ｂｒｏｌ数和Ｅｌ数ｅｕｌｎｉｕｅｒ间的关系．注意到这两项工作都是通过对基本三角函数关系的处理获得了与经典组合数Ｂｒｏｌ数和Ｅｌｒ相关的恒等式，ｅｎｕｌｉｕｅ数本文继续
文章编号：６４７７（０２０－２５０１７－００２１）３８－０４
含有Ｂｒｏｌ数和Ｅｌ数的恒等式ｅｎｕｌｉｕｅｒ
王琛颖宗兆余
摘要
Ｂｒｏｌ数和Ｅｌｒ数是重要的经ｅｎｕｌｉｕｅ
Ｏ引言
目前，大量数学文献采用不同的方法处理与Ｂｒｏｌ数和Ｅｌ有ｅｎｕｌｉｕ－
ｅ数或者它们的多项式相关的恒等式．文献［－］重研究了卷积ｒ如３５着
公式；文献［－］门针对Ｍｋ型恒等式做了研究；６专７ｉ－ｉ文献［－］８是关于９
Ｂｒｏｌ数｛。Ｅｌｒ｛；是数学史上著名的两组ｅｕｌｎｉＢ｝；和ｕｅ数Ｅ｝。数列，们在经典分析、论以及理论物理中具有广泛的应用．与它数对

高阶Apostol-Bernoulli函数的—些恒等式

１引言和结论
分式函数。ＡＩｋｌ当＝，＝时，
，）１
就是经
设ｋ是正整数，ｋ阶Ａｏｔ — ｅｏｌ函数ｐｓｌＢｒｕｉｏｎｌ
，
典的Ｂｒｏｅｕｌｎｉ多项式，当Ａ＝，ｌ时，１后＞
，
Ａ由数成数）指生函（是
．
ｆｎｔｎ，ｄｐａｅｏｅｉｕｈｓｕｉｓＩｈｓｓｄ，ｔｅｐｏｅｔｓｏｎｌｇｅＡｐｓｌＢｅｏｌｕｃｏｓａｌｙａｋｙｒｌｎｓｃｔｄｅｎｔｉｔｙｈｒｐｒｉｆａａｏｕｏｔ — ｒｕｌｉｎｕｅｏｎｉ
ｆｎｔｎｗｒｎｅｔａｄｙｔｅｅｐｎｎｉｅｅａｎｕｃｉｓｏＡｏｔｌＢｒｏｌｎｕｅｕｃｏｅｅｉｖｓｇｔ，ｂｘｏｅｔｌｇｎｒｔｇｆｎｔｎｆｐｓ — ｅｕｌａｄＥｌｒｉｉｅｈａｉｏｏｎｉ
第２５卷第６期
２１年１０１２月
商洛学院学报
ＪｕｎｌｆＳａｇｏｒａｈｎｈｏＵｎｖｒｉｏｉｅｓｔｙ
Ｖｏ．５Ｎ．１２ｏ６
Ｄｅ．２１ｃ０１
高阶ＡｏｔＩｅｎｕｉｐｓ－ｒｏｌｏＢｌ
王念良，李复活２
，） ≠
中系定的，，既关第｝的数义【里１Ａ是于１）】这
一
，
Ａ＝，１Ａ）０ＥＪ，）ｉ
）＝
，

不等式高级水平必备

不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 3个对称变量pqr法Ch21. 3个对称变量uvw法Ch22. ABC法Ch23. SOS法Ch24. SMV法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则：12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++ 1()1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记：⑴n Q =，为平方平均数，简称平方均值；⑵ 12nn a a a A n...+++=，为算术平均数，简称算术均值；⑶n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12nnH 111a a a ...=+++，为调和平均数，简称调和均值.则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3()iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only if =当且仅当.） 3()Ch3.幂均不等式3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记：1r r rr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()4()式的r M a ()称为幂平均函数.3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：r s M a M a ()()≤ 5()当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a ()关于r 是单调递增函数.5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：1m rrr rr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++ 6()6()式称为加权幂平均函数.3.4若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，对m r M a ()则：m m r s M a M a ()()≤即：11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++ 7() 当r s ≤时，7()式对任何r 都成立，即m r M a ()关于r 是单调递增函数.7()Ch4. 柯西不等式4.1若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++ 8()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立.（注：iff if and only if =当且仅当.） 8()4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥ 9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将1122n na b a b a b n...+++简称为积均值，记：n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab ()≥ 10() 4.3推论1：若a b c x y z ,,,,,为实数，x y z 0,,>，则：2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++ 11() iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式4.4推论2：若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：...+≥12()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 4.5推论3：若a bc x y z ,,,,,为正实数，则：x y zb c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++13() Ch5. 切比雪夫不等式5.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤，且均为实数.则：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ 14()iff 12n a a a ...===或12n b b b ...===时，等号成立. 12()由于有12n a a a ...≤≤≤，12n b b b ...≤≤≤条件，即序列同调，所以使用时，常采用WLOG 12n a a a ...≤≤≤…… (注：WLOG Without Loss Of Generality =不失一般性) 5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤ 15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab ()≤ 16() Ch6. 排序不等式6.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤为实数，对于12n a a a (,,...,)的任何轮换12n x x x (,,...,)，都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++ 17()17().其中，1122n n a b a b a b ...+++称正序和，n 1n 121n a b a b a b ...-+++称反序和，1122n n x b x b x b ...+++称乱序和. 故17()式可记为：18()6.2推论：若12n a a a ,,...,为实数，设12n x x x (,,...,)为12n a a a (,,...,)的一个排序，则：22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++ 19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切x y a b ,[,]∈，01(,)α∈，若函数f a b R :[,]→是向下凸函数，则：f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+- 20() 20()式是向下凸函数的定义式.注：f a b R :[,]→表示区间a b [,]和函数f x ()在a b [,]区间都是实数.7.2若f a b R :(,)→对任意x a b (,)∈，存在二次导数f x 0''()≥，则f x ()在a b (,)区间为向下凸函数；iff x a b (,)∈时，若f x 0''()>，则f x ()在a b (,)区间为严格向下凸函数. 7.3若12n f f f ,,...,在a b (,)区间为向下凸函数，则函数1122n n c f c f c f ...+++在在a b (,)区间对任何12n c c c 0,,...,(,)∈∞也是向下凸函数.7.4若f a b R :(,)→是一个在a b (,)区间的向下凸函数，设n N ∈，12n 01,,...,(,)ααα∈为实数，且12n 1...ααα+++=，则对任何12n x x x a b ,,...,(,)∈，有：1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ 21()21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，则对一切x y z a b ,,[,]∈，有：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 22() 22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23() 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，12n a a a a b ,,...,[,]∈，则：12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++ 24()其中：12n a a a a n...+++=，i j i j 1b a n 1≠=-∑（对所有的i ）24()当1a x =，2a y =，3a z =，n 3=时，x y z a 3++=，1y z b 2+=，2z x b 2+=，3x yb 2+= 代入23()式得：x y z y z z x x yf x f y f z 3f 2f f f 3222()()()()[()()()]++++++++≥++ 即：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 25() 25()式正是22()式.Ch9. 加权不等式9.1若i a 0(,)∈∞，i 01[,]α∈（i 12n ,,...,=），且12n 1...ααα+++=，则：n 1212n 1122n n a a a a a a ......αααααα≤+++ 26()26()26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数a b 0,>，实数p q 1,>且111p q+=，则：p q a b ab p q ≤+ 27() iff p q a b =时，等号成立.27()10.2若12n a a a ,,...和12n b b b ,,...为正实数，p q 1,>且111p q+=，则： 11ppp qqq pq1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b ...(...)(...)+++≤++++++ 28()28()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成：11p p p q q q p q1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b n n n.........()()+++++++++≤ 29()即：2n p q D ab M a M b [()]()()≤n D ab ()≥ 30() 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是111p q+=，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若12n a a a ,,...、12n b b b ,,...和12n m m m ,,...为三个正实数序列，p q 1,>且111p q+=，则：11nnnpqp qi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31() 31()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.5若ij a (i 12m ,,...,=;j 12n ,,...,=)，12n ,,...,ααα为正实数且...12n 1ααα+++=，则：()()jj m mnn ij ij j 1j 1i 1i 1a a αα====≤∏∏∑∑ 32()32()10.6推论：若123a a a N ,,+∈，123b b b N ,,+∈，123c c c N ,,+∈，则：3333333333123123123111222333a a a b b b c c c a b c a b c a b c ()()()()++++++≥++ 33()简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：111nnnppppppi i i i i 1i 1i 1a b a b (())()()===+≤+∑∑∑ 34()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 34()11.2若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：11nnn pp p p p pi i i i i 1i 1i 1a b a b ()()()===⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 35()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 35()11.3若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,；12n m m m ,,...,为三个正实数序列，且p 1>，则：111nnnppppppi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m (())()()===+≤+∑∑∑ 36()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 36()Ch12.牛顿不等式12.1若12n a a a ,,...,为任意实数，考虑多项式：n n 112n 01n 1n P x x a x a x a c x c x c x c ()()()...()...--=+++=++++ 37()的系数01n c c c ,,...,作为12n a a a ,,...,的函数可表达为：0c 1=；112n c a a a ...=+++；21213n 1n i j c a a a a a a a a ...-=+++=∑；（i j n <≤） 3i j k c a a a =∑；（i j k n <<≤） ……n 12n c a a a ...=.对每个k 12n ,,...,=，我们定义k k k k n c k n k p c C n !()!!-== 38() 则37()式类似于二项式定理，系数为：kk nk c C p =. 12.2若12n a a a ,,...,为正实数，则对每个k 12n 1,,...,=-有：2k 1k 1k p p p -+≤ 39()iff 12k a a a ...===时，等号成立.39()Ch13.麦克劳林不等式13.1若12n a a a ,,...,为正实数，按38()定义，则：111kn212k n p p p p ......≥≥≥≥ 40()iff 12k a a a ...===时，等号成立.40()Ch14.定义多项式14.1若12n x x x ,,...,为正实数序列，并设12n ,,...,ααα为任意实数.记：n 1212n 12n F x x x x x x (,,...,)...ααα=；12n T [,,...,]ααα为12n F x x x (,,...,)所有可能的积之和，遍及12n ,,...,ααα的所有轮换.14.2举例说明⑴ T 100[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2和第3个参数的指数是0.故：[,,]()!()()100100100T 10031x y z y x z z y x 2x y z =-⋅++=++.⑵ T 11[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个和第2个参数的指数是1.故：[,]()!()11T 1121x y 2xy =-⋅=.⑶ T 12[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2.故：[,]()!()121222T 1221x y y x xy x y =-⋅+=+.⑷ T 121[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1.故：[,,]()222T 1212xy z x yz xyz =++. 即：[,,][,,]T 121T 211=⑸ T 210[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是2，第2个参数的指数是1，第3个参数的指数是0.故：222222T 210x y x z y x y z z x z y [,,]=+++++.⑹ T 300[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是3，第2个和第3个参数的指数是0.故：333T 3002x y z [,,]()=++.⑺ [,,]T a b c ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是a ，第2个参数的指数是b ，第3个参数的指数是c .故：[,,]a b c a c b b c a b a c c a b c b a T a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++. 由于[,,][,,][,,][,,][,,]...T a b c T b c a T c a b T c b a T b a c =====表达式比较多，所以我们规定：[,,]T a b c （a b c ≥≥）. Ch15.舒尔不等式15.1若R α∈，且0β>，则：[,,][,,][,,]T 200T 2T 0αβαββαββ++≥+ ()41()4115.2 解析()41式[,,]()222T 2002x y z αβαβαβαβ++++=++；[,,]()T 2x y z x y z x y z αβββαβββααββ=++；[,,]T 0x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββαββ+++++++=+++++ 将上式代入()41式得：222x y z x y z x y z x y z αβαβαβαβββαβββα++++++++ x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββ++++++≥+++++ 即：222y x y z z x y x z x y z αβααββαβαβββββα++++++++y x y y z x y x z 0z x z βαβββααββαβββαβαββ++++++------≥ 即：()()22x x y z x y x z y y x z x y y z αβββββββαβββββββ++--+--()2z z x y y z x z 0αβββββββ++-≥-即：()()()()()()x x y x z y y z y x z z x z y 0αββββαββββαββββ--+--+--≥ ()42()42式与()4115.3若实数,,x y z 0>，设t R ∈，则：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ()43iff x y z ==或,x y z 0==及轮换，等号成立.按照()41式写法，即：t α=，1β=，则：[,,][,,][,,]T t 200T t 112T t 110++≥+ ()44 ()43式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数,,x y z 0>，实数,,a b c 0>且a b c ≥≥或a b c ≤≤，则：()()()()()()a x y x z b y z y x c z x z y 0--+--+--≥ ()45()43式中，t x a =，t y b =，t z c =，就得到()45式.15.5推论：设实数,,x y z 0>，则：[()()()]3333332223xyz x y z 2xy yz zx +++≥++ ()4615.6推论：若(,]k 03∈，则对于一切,,a b c R +∈，有：()()()2222k3k k abc a b c 2ab bc ca -++++≥++ ()47Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列()(,,...,)n i i 112n ββββ==和()(,,...,)ni i 112n αααα==，当满足下列条件：⑴ ......12n 12n βββααα+++=+++ ① ⑵ ...12n βββ≥≥≥且...12n ααα≥≥≥ ② ⑶ ......12s 12s βββααα+++≤+++ ③ 对一切[,]s 1n ∈，③式都成立.则：()n i i 1β=就是()ni i 1α=的优化值，记作：()()i i βα<.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若,,...,12n x x x 为非负实数序列，设()i α和()i β为正实数序列，且()()i i βα<，则：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.()4817.2解析()48式若实数123a a a 0≥≥≥，实数123b b b 0≥≥≥，且满足11a b ≥，1212a a b b +≥+，123123a a a b b b ++=++；设,,x y z 0>，则：满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <条件，则：[,,]333333121221211221b b b b b b b b b b b b b b b b b b 123T b b b x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++[,,]333333121221211221a a a a a a a a a a a a a a a a a a 123T a a a x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++ 即()48式为： [,,][,,]123123T b b b T a a a ≤ 用通俗的方法表达即：331212a ba ab b symsymx y z x y z ≥∑∑ ()49()49.17.3例题：设(,,)x y z 为非负变量序列，考虑(,,)221和(,,)311.由16.1中的序列优化得：(,,)(,,)221311<由缪尔海德不等式()48式得：[,,][,,]T 221T 311< ①[,,]()222222T 2212x y z x yz xy z =++ ② [,,]()333T 3112x yz xy z xyz =++ ③将②③代入①得：222222333x y z x yz xy z x yz xy z xyz ++≤++ 即：222xy yz zx x y z ++≤++ ④由柯西不等式：()()()2222222x y z y z x xy yz zx ++++≥++ 即：()()22222x y z xy yz zx ++≥++ 即：222x y z xy yz zx ++≥++ ⑤⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用[,,][,,]T 200T 110≥来表示，这正是缪尔海德不等式的()48式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间I R ∈的函数f 为向下凸函数，且当,i i a b I ∈（,,...,i 12n =）两个序列()n i i 1a =和()n i i 1b =满足()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++≥+++ ()50()5018.2若函数f 为严格向下凸函数，即不等取等号，()()i i a b ≠，且()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++>+++ ()51若函数f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调增函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≥；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调增函数，当x y >时，有()()f x f y >.19.2若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调减函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≤；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调减函数，当x y >时，有()()f x f y <.19.3若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 为可导函数，当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≥，则f 在区间(,)a b 为单调递增函数；当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≤，则f 在区间(,)a b 为单调递减函数.19.4设两个函数:[,]f a b R →和:[,]g a b R →满足下列条件：⑴ 函数f 和g 在[,]a b 区间是连续的，且()()f a g a =； ⑵ 函数f 和g 在[,]a b 区间可导；⑶ 导数'()'()f x g x >对一切(,)x a b ∈成立，则对一切(,)x a b ∈有：()()f x g x > ()52()52Ch20.3个对称变量pqr 法20.1设,,x y z R +∈，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =，则,,p q r R +∈.代换后的不等式(,,)f p q r ，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为pqr 法. 20.2常用的代换如下：⑴ 22cycx p 2q =-∑⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑⑶ 222cycx y q 2pr =-∑⑷ ()()()x y y z z x pq r +++=- ⑸ ()()2cycx y y z p q ++=+∑⑹ ()cycxy x y pq 3r +=-∑⑺ ()()()1x 1y 1z 1p q r +++=+++ ⑻ ()()cyc1x 1y 32p q ++=++∑⑼()()2cyccycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑20.3常用的pqr 法的不等式若,,x y z 0≥，则： ⑴ 3p qr 4pq +≥ ⑵ pq 9r ≥ ⑶ 2p 3q ≥ ⑷ 3p 27r ≥⑸ 32q 27r ≥ ⑹ 2q 3pr ≥ ⑺ 32p 9r 7pq +≥ ⑻ 322p 9r 7pqr +≥ ⑼ 22p q 3pr 4q +≥Ch21.3个对称变量uvw 法21.1在,,a b c R ∈的不等式中，采用下列变量代换：3u a b c =++；23v ab bc ca =++；3w abc =. 上述变换强烈含有“平均”的意味：u 对应“算术平均值”；v 对应“积均值”；w 对应“几何平均值”.21.2当,,a b c 0≥时，则：u v w ≥≥ ()53()53即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”. 21.3若,,a b c 0≥，则,,23u v w 0≥ ()54()5421.4若,,23u v w R ∈，任给,,a b c R ∈，则当且仅当22u v ≥，且[32323w 3uv 2u 3uv 2u ∈---+时，则：3u a b c =++，23v ab bc ca =++，3w abc =等式成立.这称为uvw 定理.Ch22.ABC 法22.1 ABC 法即Abstract Concreteness Method设p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =. 则函数(,,)f x y z 变换为(,,)f r q p . 这与Ch20.3个对称变量pqr 法类似.22.2若函数(,,)f r q p 是单调的，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.3若函数(,,)f r q p 是凸函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.4若函数(,,)f r q p 是r 的线性函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值.22.5若函数(,,)f r q p 是r 的二次三项式，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值.Ch23.SOS 法23.1 SOS 法即Sum Of Squares23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：()()()222a b c S S b c S a c S a b =-+-+- ()55 其中，,,a b c S S S 分别都是,,a b c 的函数. ⑴ 若,,a b c S S S 0≥，则S 0≥；⑵ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,b b a b c S S S S S 0++≥，则S 0≥； ⑶ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,,a c a b c b S S S 2S S 2S 0++≥，则S 0≥； ⑷ 若a b c ≥≥，且,,22b c b a S S a S b S 0+≥，则S 0≥；⑸ 若a b S S 0+≥或b c S S 0+≥或c a S S 0+≥，且a b b c c a S S S S S S 0++≥，则S 0≥. 23.3 常用的形式 ⑴ ()22cyccyccyc1a ab a b 2-=-∑∑∑ ⑵ ()32cyccyc cyc1a 3abc a ab 2-=⋅-∑∑∑ ⑶ ()223cyccyccyc1a b ab a b 3-=-∑∑∑ ⑷ ()()322cyccyccyc1a ab 2a b a b 3-=+-∑∑∑ ⑸ ()333cyccyccyc cyc1a b ab a b a 3-=⋅-∑∑∑∑ ⑹ ()()42222cyccyccyca ab 2a b a b -=+-∑∑∑Ch24.SMV 法24.1 SMV 法即Strong Mixing Variables Method本法对多于2个变量的对称不等式非常有用. 24.2 设(,,...,)12n x x x 为任意实数序列，⑴ 选择,{,,...,}i j 12n ∈使min{,,...,}i 12n x x x x =，max{,,...,}j 12n x x x x =； ⑵ 用其平均数i jx x 2+代替i x 和j x ，经过多次代换后各项i x （,,...,i 12n =）都趋于相同的极限...12nx x x x n+++=.24.3 设实数空间的函数F 是一个对称的连续函数，满足(,,...,)(,,...,)12n 12n F a a a F b b b ≥ ()56其中，(,,...,)12n b b b 序列是由(,,...,)12n a a a 序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如a b2+.24.4 例题说明例题：设实数,,a b c 0>，证明：a b c 3b c c a a b 2++≥+++. 解析：采用SMV 法.设：(,,)a b cf a b c b c c a a b=+++++ ① 则：(,,)t t c 2t c f t t c t c c t t t t c 2t=++=+++++ ② 其中，a bt 2+=. 由②得：(,,)()()2t c 112t c t 113f t t c 2t c 2t 22t c 2t 222+=++-=+-≥-=++ 由()56式得：(,,)(,,)3f a b c f t t c 2≥≥证毕. Ch25.拉格朗日乘数法25.1 设函数(,,...,)12n f x x x 在实数空间的I R ∈连续可导，且(,,...,)i 12n g x x x 0=，其中（,,....i 12k =），即有k 个约束条件，则(,,...,)12n f x x x 的极值出现在I 区间的边界或偏导数（函数为ki i i 1L f g λ==-∑）全部为零的点上.Ch26.三角不等式26.1 设,,(,)0αβγπ∈，且αβγπ++=，则,,αβγ就是同一个三角形的内角.26.2 若,,αβγ为同一个三角形的内角，则有下列不等式：⑴ sin sin sin 2αβγ++≤； ⑵ cos cos cos 32αβγ++≤；⑶ sin sin sin αβγ≤ ⑷ cos cos cos 18αβγ≤； ⑸ sin sin sin 22294αβγ++≤； ⑹ cos cos cos 22234αβγ++≥；⑺ tan tan tan αβγ++≥；⑻ cot cot cot αβγ++≥； ⑼ sin sin sin32222αβγ++≤；⑽ cos coscos2222αβγ++≤； ⑾ sin sin sin12228αβγ≤；⑿ coscoscos222αβγ≤； ⒀ sin sin sin 22232224αβγ++≥； ⒁ cos cos cos 22292224αβγ++≤；⒂ tan tan tan 222αβγ++≥⒃ cotcotcot222αβγ++≥Ch27.习题27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 27.3 设,,...,12n a a a R +∈，且...12n a a a 1=......12n a a a ++≤+++. 27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b+++++≥+++++. 27.7设,a b 0>，n N ∈，求证：()()n n n 1a b112b a++++≥.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 27.10 设,,a b c R ∈2≥. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++. 27.15设,,a b c 0≥，求证：()33331a b c abc a b c 7+++≥++. 27.16设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：2224a b c 3abc 9+++≥. 27.17设,,...,12n a a a 0>，求证：()()...()()()...()222n 1212n 231a a a 1a 1a 1a 111a a a +++≤+++. 27.18设,,,a b c d 0>，且abcd 1=，求证：()()()()2222111111a 1b 1c 1d +++≥++++.27.19设,,,a b c d 0≥，且a b c d 4+++=，求证：()()()()2222abc bcd cda dab abc bcd cda dab 8+++++++≤.27.20设,,a b c 0≥，且222a b c 3++=，求证：222222a b b c c d a b c ++≤++.27.21设,,a b c R ∈，求证：()()()2222223333333a ab b b bc c c ca a a b b c c a -+-+-+≥++.27.22设,,,a b c d 0>，且a b c d abcd 5++++=，求证：11114a b c d+++≥.27.23设不等式：()()()()2222222222ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-≤++对一切实数,,a b c 都成立，求M 的最小值.27.24设,,a b c 0≥，且a b c 3++=，求证：()()222a b b c c a ab bc ca 9++++≤.Ch27.习题解析27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.解析：设：n 11x x +=，则：因为i x 01(,]∈，所以i11x [,)∈+∞ （i 12n ,,...,=）由伯努利不等式2()：当i x 1>-且i 1[,)α∈+∞时，i i i i 1x 1x ()αα+≥+ ①iff i x 0=或i 1α=时，①式等号成立.由均值不等式3()：i i 1x α+≥②iff i i x 1α=时，②式等号成立.由①②式得：i i 1x ()α+≥③iff i i x 1α==时， ③式等号成立.设：i i 11x α+=，则由③式得：i 11xi 1x ()++≥④则：21x 11x ()+≥31x 21x ()+≥11x n 1x ()+≥上面各式相乘得：321111x x x n 12n 1x 1x 1x 22()()...()+++≥=. 证毕.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 解析：因为i x 0≥，ni i 11x 2==∑，所以i 1x 02[,]∈ 设i i y x =-，则i 1y 012[,]∈->-由伯努利不等式1()：12n 12n 1y 1y 1y 1y y y ()()...()(...)+++≥++++ ① 将i i y x =-代入①式，并代入...12n 1x x x 2+++=得： 12n 12n 111x 1x 1x 1x x x 122()()...()(...)---≥-+++=-=. 证毕.27.3 设12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++. 解析：因为12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=，所以由均值不等式3()n ...+≥=1≥ ①iff 12n a a a 1...====时，①式等号成立.由柯西不等式8()：2222222111...](...)...++++++≥+即：212n a a a n (...)...+++⋅≥即：12n a a a (...)...+++≥+ ②iff 12n a a a 1...====时，②式等号成立.将①式代入②式得：12n a a a ......+++≥+③iff 12n a a a 1...====时， ③式等号成立. 证毕.27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 解析：因为,,a b c 0>，且abc 1=，所以由均值不等式3()：222222222a b b c c a a b c ab bc ca 222+++++=++≥++ ① iff a b c 1===时，①式等号成立.由均值不等式3()：a b c 3++≥=，即：a b c13++≥ ② iff a b c 1===时，②式等号成立.WLOG ，设a b c ≤≤，则因为,,a b c 0>，所以222a b c ≤≤由切比雪夫不等式14()：222222a b c a b c 3a a b b c c ()()()++++≤⋅+⋅+⋅ 即：333222a b ca b c a b c 3()++++≥⋅++ ③ iff a b c 1===时，③式等号成立.将①②代入③式得：333a b c ab bc ca ++≥++ ④iff a b c 1===时， ④式等号成立. 证毕.27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.解析：记A b 2c 3d =++，B c 2d 3a =++，C d 2a 3b =++，D a 2b 3c =++则：aA bB cC dD 4ab ac ad bc bd cd ()+++=+++++ ① 待证式为：a b c d 2A B C D 3+++≥ ② 由柯西不等式8()：2a b c daA bB cC dD a b c d A B C D()()()++++++≥+++ 即：2a b c d a b c d A B C D aA bB cC dD ()++++++≥+++ ③由②③式，只需证明2a b c d 2aA bB cC dD 3()+++≥+++ ④ 设多项式：P x x a x b x c x d ()()()()()=++++43201234c x c x c x c x c =++++则： 1c a b c d =+++ ⑤2c ab ac ad bc bd cd =+++++代入①式得：2aA bB cC dD 4c +++= ⑥ 根据定义38()：k k k nc p C =得：11114c c p C 4==，即：11c 4p =；22224c c p C 6==，即：22c 6p =则：2221112222c 16p p 24c a b cd aA bB cC 6p 3D p d 4()==⋅++⋅+++=+ ⑦ 由麦克劳林不等式40()：1212p p ≥，即：212p 1p ≥代入⑦式得：2a b c d aA bB c dD 23C ()++++≥++，④式得证. iff a b c d ===时，等号成立. 证毕.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b +++++≥+++++. 解析：不等式左边=222a b c b c c b c c b c a c a a b ba a ab +++++++++++ 不等式右边=()()()a c ab a bc b c a b c c a a b b c +++++=+++++222ab a ac b c c a b c c a a b b c ca b b =+++++++++++ 则不等式其实就是：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++ ① 由于是对称不等式，WLOG ，假设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥ ②且b c a c a b +≤+≤+，即：111b c c a a b≥≥+++ ③ 则有排序不等式()18：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 其中，222a b c b c c a a b +++++为正序和；222c a b b c c a a b+++++为乱序和. iff a b c ==时，等号成立. 证毕.27.7设,a b 0>，n N ∈证：()()n n n 1a b112b a++++≥.解析：当n 0=时，()()00a b112b a+++=，0122+=，不等式成立；当n 1=时，()()11a b a b1124b a b a+++=++≥，1124+=，不等式成立；当n 2≥时，构建函数()n f x x =. 则函数的导数'()n 1f x nx -=；二次导数''()()n 2f x n n 1x 0-=-≥，故在x 0>时函数为向下凸函数. 由琴生不等式()20：()()()1212f x f x x x f 22++≥ ①将()()n 1a f x 1b =+，()()n 2bf x 1a=+ ，()()()[][()]n n n 12b a 11x x 1b a a b f 12222a b++++==++≥ 带入①式得：()()n nn a b11b a 22+++≥，即：()()n n n 1a b 112b a ++++≥ 综上，当n 0=、n 1=和n 2≥时， ()()n n n 1a b112b a++++≥都成立,即n N ∈时，()()n n n 1a b112b a++++≥成立. 证毕.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.解析：记ni i 1S x ==∑，（,,...,i 12n =）.则(,,...,) (555)n 1212n 12nx x x f x x x S x S x S x =+++---①WLOG 假设...12n x x x ≥≥≥，则...44412n x x x ≥≥≥ ② 由于ni i 1S x ==∑，所以()nk i k i 1S x x x =-=-∑与k x 无关，则kkx S x -与k x 同单调性.即：...n 1212nx x x S x S x S x ≥≥≥--- ③ 由切比雪夫不等式14()：若(,,...,)12n a a a 与(,,...,)12n b b b 同单调性，则有：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ ④设：4i i a x =，ni nx b S x =-，（,,...,i 12n =），则满足{}i a 与{}i b 同单调性. 代入④式得：(...)(...)(...)4444n n 111n 1n 1n 1nx x x x x x n x x S x S x S x S x ++++≤⋅++⋅---- 即：......()(...)5445n 1n n 111n 1n x x x x x xf S x S x n S x S x ++=++≥⋅++---- ⑤由均值不等式()3：n n Q A ≥...221n x x 1n n ++=故：...441n 1x x n++≥ ⑥ 构建函数：()xg x S x=- ⑦ 则导函数：'()()2S g x S x =-，''()()32Sg x 0S x =>- 故()g x 为向下凸函数.由琴生不等式21()：(...)()()...()1122n n 1122n n g x x x g x g x g x αααααα+++≤+++ 取加权i 1nα=（,,...,i 12n =）时，上式变为： ...()()...()()12n 12n x x x g x g x g x g n n++++++≤ ⑧即：...()()...()()12n12n x x x g x g x g x n g n++++++≥⋅即：.........12n n 112n 1nx x x Sx x n n n n n x x x S S x S x n 1S S n n +++++≥⋅=⋅=+++-----⑨ 将⑥和⑨式代入⑤式得：...()55n 11n x x 11n 1f S x S x n n n 1n n 1=++≥⋅⋅=---- 故：(,,...,)12n f x x x 的最小值是()1n n 1-.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：2222x y 1ab+=时，常常采用的参数方程是：cos x a θ=，sin y b θ=，因为将它带入方程时满足cos sin 221θθ+=，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角,,A B C ，同样有关系A B C π++=和tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 而本题初始条件a b c abc ++=.设tan a A =.tan b B =，tan c C =，因为,,a b c R +∈，所以,,(,)A B C 02π∈ ①则当,,A B C 为三角形的内角时，A B C π++=， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=满足条件. 带入不等式左边得：+=cos cos cos A B C =++ ②构建函数()cos f x x =-，则在(,)x 02π∈区间函数()f x 为向下凸函数，故由琴生不等式21()得：函数值的均值不小于均值的函数值.1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ ③当加权...12n 1nααα====时，③式变为： ()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥即：()()()()f A f B f C A B Cf 33++++≥ ④即：cos cos cos cos()cos A B C A B C 13332π++++-≥-=-=-即：cos cos cos 3A B C 2++≤ ⑤32+≤. 证毕.27.10 设,,a b c R ∈≥解析：因为,,a b c R ∈，由柯西不等式12()式...+≥=≥2==.≥证毕. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 解析：对赫尔德不等式32()：jjm nn mijij i 1j 1j 1i 1aa ()()αα====≤∑∏∏∑ 32()当 n 4=，m 4=，123414αααα====时，32()式为： ()()()()1111444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a +++[()()()()]1411213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ≤++++++++++++即：()()()()11213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++[()()()()]11114444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ≥+++ ①设：11a 1=，221a a =，231a b =，2241a a b =；12a 1=，2222a c a =，232a c =，242a a =； 13a 1=，223a c =，2233a b c =，243a b =； 14a 1=，24a 1=，34a 1=，44a 1=.代入①式得：()()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1c b c b 1111+++⋅+++⋅+++⋅+++[()()()()]1111222222222222444441111a c a c 1b c b c 1a b a b 1≥⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()41ac bc ab =+++ ②②式就是赫尔德不等式.()()()2222221a 1b 1c +++()()()()()()2222221a 1b 1c 1a 1b 1c =++⋅++⋅++()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1b c b c =+++⋅+++⋅+++()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1b c b c 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ ()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1c b c b 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ 将②式代入上式得：(())()()2222224111a 1b 1c 4ac bc ab ++++++≤开方出来即：()()()()222211a 1b 1c 21ac bc ab ++++++≤③ 将ab bc ca 3++=代入③式得：()()(())222211a 1b 1c 8213++++=≤. iff a b c 1===时等号成立. 证毕.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 解析：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =，则：p 1=⑴ 22cyc x p 2q =-∑ ； ⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑则：2222a b c p 2q ++=-；()3332a b c p p 3q 3r 13q 3r ++=-+=-+于是，待证式变为：()()2613q 3r 15p 2q -++≥-即：28q 18r 0-+≥，即：14q 9r 0-+≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ ①⑴ 3p qr 4pq +≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ 故：①式成立，即待证式成立. 证毕.27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 解析：由舒尔不等式()43：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ① 即：()()()t 2t 2t 2x x xy xz yz y y yz xy zx z z zx yz xy 0--++--++--+≥ 即：()()()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1x x yz y y zx z z xy x y z y z x z x y ++++++++≥+++++ 即：()()()t 2t t 2t t 2t t 1t 1t 1x x yz y xy z z xyz x y z y z x z x y +++++++++++≥+++++ 即：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 1x y z x y z xyz x y z y z x z x y +++---++++++++≥+++++ 两边都加t 2t 2t 2x y z +++++得：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 12x y z x y z xyz x y z x y z +++---++++++++≥++++ ② ②式就是舒尔不等式.设t 2=，代入②式得：()()()()4443332x y z x y z xyz x y z x y z +++++≥++++ 将a b c 2++=代入上式得：()()4443332x y z 2xyz 2x y z +++≥++ 即：444333a b c abc a b c +++≥++ ③ ③式就是我们要证明的不等式. 证毕.27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++.解析：待证式化为：()()()3333332222228a b c 2a b c 3a b ab b c bc c a ca ++≥++++++++即：()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++ ① 解析1：缪尔海德不等式()48：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.由于[,,]()333T 3002a b c =++，[,,]222222a b ab b c bc c a ca T 210+++++= 满足缪尔海德不等式的条件，即：(,,)(,,)123b b b 210=，(,,)(,,)123a a a 300=，故满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <.则：[,,][,,]T 210T 300≤，即：①式成立. 证毕. 解析2：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =. 在20.2常用的代换如下：⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑， ⑼()()2cyccycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑即①式等价于：()32cyccyc2x x y z ≥+∑∑。

有关高阶Bernoulli数的几个恒等式

第24卷第2期2005年6月延安大学学报(自然科学版)Jou rnal of Yanan U n iversity (N atu ral Science Editi on )V o l .24　N o.2June 2005有关高阶B ernou lli 数的几个恒等式Ξ傅拥军1,朱伟义2(1.浙江金华职业技术学院;2.浙江师范大学数理学院,浙江金华321004)摘　要:利用高阶B ernou lli 数第一类Stirling 数S 1(n ,k )和第二类Stirling 数S 2(n ,k )的定义,研究了其母函数的幂级数展开,揭示了高阶B ernou lli 数和第一类Stirling 数S 1(n ,k )、第二类Stirling 数S 2(n ,k )之间的内在联系,得到了几个高阶B ernou lli 数和第一类Stirling 数S 1(n ,k )、第二类Stirling 数S 2(n ,k )有趣的恒等式关键词:高阶B ernou lli 数;Stirling 数;恒等式中图分类号:O 157 文献标识码:A 文章编号:10042602X (2005)022******* 熟知,高阶B ernou lli 数B (k )n 定义[1]为t e t-1k=∑∞n =0B (k )n n !t n　其中 t <2Π,(1)特别地有B (1)n =B n ,B 0=1,B 1=-12,B 2=16,B 4=-130,……,B 2k +1=0　(k ≥1).又第一类Stirling 数S 1(n ,k )和第二类Stirling 数S 2(n ,k )分别定义[2]为(log (1+t ))k=k !∑∞n =kS 1(n ,k )tnn !(2)(e t-1)k=k !∑∞n =kS 2(n ,k )tn n !(3)高阶Bernou lli 数有许多有趣的性质,一直是许多专家、学者研究的热点,也得到了很多有益的结果.本文主要讨论了高阶B ernou lli 数与第一类Stirling 数S 1(n ,k )和第二类Stirling 数S 2(n ,k )的关系,得到了有关高阶B ernou lli 数的一组有趣的恒等式,即有下面的结论.1　主要结果定理1　设m Εk ,k 为正整数,n ,v 为非负整数,则有∑n +v =m -kS 2(n +k ,k )B (k )v(n +k )!v !=0(4)定理2　设n Ε0,k Ε1为整数,则有B(k )n=∑ni =0i !k !(i +k )!S 1(k +i ,k )S 2(n ,i )(5)定理3　设n Εk ,k 正整数,a i ,b 为非负正整数,则有∑a 1+a 2+…+a k +b =n -kB(k )b(a 1+1)!(a 2+1)!…(a k +1)!b !=0(6)定理4　设n Ε1,k Ε1为正整数,则(1)n ≠k 时有　B(k )n=k k -n ∑ni =0C i nB(k +1)i(7)(2)n =k 时有∑ni =0C i nB(k +1)i=0(8)定理5　设n Ε0,k Ε1为整数,则B(k )n=1n !∑nl =0(-1)lk -1+l k -l n +k k +ll !(n +l )!S 2(n +l ,l )(9)2　主要结果的证明定理1证明:　由高阶Bernou lli 数的定义,有x k =(e x-1)k∑∞v =0B (k )v v !x v.(10)由(3)知Ξ收稿日期:20041120基金项目:浙江省基础数学重点学科和浙江省教育厅科研基金(20040846).作者简介:傅拥军(1968),女,浙江金华人,浙江金华职业技术学院讲师.x k=k !∑∞n =kS 2(n ,k )tnn !∑∞n =0B (k )v v !x v=k !∑∞m =k ∑n +v =mn ΕkS 2(n ,k )B (k )v v !t mn !故当m Εk 时有∑n +v =m n Εk ,v Ε0S 2(n ,k )B(k )vn !v !=0,从而证明了定理1.定理2的证明:由t e t-1k=∑∞n =0B (k )n n !t n ,令e t-1=x 则有∑∞v =0B (k )v v !t v=log (1+x )xk=x-kk !∑∞n =kS 1(n ,k )xnn !=k !∑∞i =0S1(k +i ,k )xi(k +i )!=∑∞v =01v !∑vi =0i !k !(i +k )!S 1(k +i ,k )S 2(v ,k )t v(11)比较上式两边系数即有B(k )n=∑ni =0i !k !(i +k )!S 1(k +i ,k )S 2(n ,k ).这里用到了x i =(e t -1)i =k !∑∞n =iS 2(n ,i )tnn !定理3的证明:由高阶Bernou lli 数的定义有x e x-1k=∑∞n =0B (k )n n !x n　即有x k =(e x-1)k∑∞v =0B (k )v v !x v=∑∞n =1x n n !k∑∞n =0B (k )n n !x n=∑n =k ∑a 1+a 2+…+a k +b =na i Ε1,b Ε0B (k )b xna 1!a 2!…a k !b !(12)比较上式两边系数有∑a 1+a 2+…+a k +b =na i Ε1,b Ε0B (k )ba 1!a 2!…b !=0.从而证明了定理3.定理4的证明:设f (x )=x e x-,则有d (f k(x ))d x =k xf k(x )-kxf k +1(x )e x(13)x d (f k(x ))d x=kf k (x )-kfk +1(x )e x 即有∑∞n =1B(k )n(n -1)!x n=k∑∞n =0B (k )nn !-∑a +b =n B (k +1)aa !b !xn(14)比较上式两边系数有B(k )n(n -1)!=k B (k )nn !-k∑a +b =n B (k +1)aa !b !当n ≠k 时有B (k )n =kk -n ∑ni =0C i nB(k +1)i当n =k 时有∑ni =0C in B(k +1)i=0从而证明了定理4.定理5的证明:由t e t-1k=∑∞n =0B (k )n n !t n又　t e t-1k=11-1-e t-1tk=∑∞i =01-e t-1ti k=∑∞n =0∑a 1+a 2+…+a k =n1-e t-1t n=∑∞i =0k +i -1i 1-e t -1ti=∑∞i =0k +i -1i ∑il =0Cl i(-1)l e t-1tl=∑∞i =0k +i -1i∑il =0Cl i (-1)l !∑∞n =jS 2(n ,l )xn -ln !=∑∞n =0∑il =0(-1)lC l i l !S 2(n +l ,l )x n(n +l )!=∑∞n =0∑ni =0Cik -1+i∑il =0l !S 2(n +l ,l )xn(n +l )!(15)比较上式两边x n 系数有B(k )n=1n !∑nl =0(-1)lk -1+l k -1n +k k +ll !(n +l )!S 2(n +l ,l )从而证明了定理5.参考文献:[1]刘国栋.广义n 阶Eu ler 2Bernou lli 多项式[J ].数学的实践和认识,1999,29(3):510.[2]Jo rdan C .Calcu lu s of F in ite D ifferences [M ].N ew Yo rk :Chelsea ,1965.〔责任编辑　贺小林〕(下转第12页)第2期傅拥军,朱伟义:有关高阶Bernou lli 数的几个恒等式 [3]A p sto l T M.In troducti on to A nalylic N um ber T heo ry[M].N ew Yo rk:Sp ring2V erlag,1976.〔责任编辑　贺小林〕The s marandache ce il function of order k and k-throots of positive i n tergerFEN G Q iang,W AN G Rong2buo(Co llege of M athem atics and Com p u ter Science,Yanan U n iversity,Yanan716000,Ch ina) Abstract:T he m ean value p rop erties of the s m arandache ceil functi on of o rder k acting on the k2th roo ts sequences w ere studied by u sing the analytic m ethods.Tw o in teresting asym p to tic fo rm u la w ere given. Key words:s m arandache ceil functi on;k2th roo ts sequences;asym p to tic fo rm u la(上接第7页) [N -2(1-t)3-N-3(1-t)2]k将(2)式代入上式可得[∑n1+n2+…+n k=na N(n+1)t n]k=∑∞n=0∑ki=0C2k+i-1n+2k+i-1Cik(3-N)k-i(N-2)i(11)而　[∑∞n=0a N(n+1)t n]k=∑∞n=0[∑n1+n2+…+n k=na N(n1+1)a N(n2+1)…a N(n k+1)]t n(12)比较(11)及(12)式中的t n的系数便可得到定理4的结论.参考文献:[1]TOM M A po sto l.in troducti on to analytic num ber theo ry[M].N ew Yo rk:Sp ringer V erlay,1976.4[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1991.4.[3]苟素.一些有趣数列及其组合恒等式[J].纺织高校基础科学学报,2002,(4):89.〔责任编辑　贺小林〕The com bi nator i al iden tities of som e sequencesAN Gang,GAO L i(Co llege of M athem atics and Com p u ter Science,Yanan U n iversity,Yanan716000,Ch ina) Abstract:Som e p rop erties of the sequences w ere studied by u sing the elem en tary m ethods.A nd som e com b inato rial iden tities w ere ob tained.Key words:sequences;com b inato rial iden tity;elem en tary m ethods(上接第9页)The iden tical relation s about n-order Bernoulli Nu m bersFU Yong2jun1,ZHU W ei2yi2(1.Co llege of M athem atics and Physics,J inhua V ocati onal and T echn ique Co llege,2.Zhejiang N o rm al U n iversity,J inhua321004,Ch ina)Abstract:U sing the defin iti on s of n2o rder B ernou lliN um bers and the Stirling N um bers of the first k ind and second k ind,the relati on s betw eer them w ere studied,som e iden tical relati on s betw eer B ernou lli N um bers and Stirling N um bers w ere ob tained.Key words:iden tical relati on;n2o rder B ernou lli N um bers;Stirling N um bers延安大学学报(自然科学版)第24卷。

例谈三种基本的数学思维方式

例谈三种基本的数学思维方式提要：数学思维方式指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型,相对稳定的思维样式。

变量函数思维方式,空间想像思维方式,无穷分析思维方式是其中最基本的三种,体现了基础数学,应用数学和计算数学三大部分及其分支学科中的重要数学观念、数学思想与数学方法。

合理、科学地应用三种数学思维方式有利于数学问题的解决,有助于教学中数学思想方法的渗透。

关键词:数学思维方式;变量函数思维;空间想像思维;无穷分析思维1前言方式指处理问题,发表言论所采用的方法、手段。

如联络方式,工作方式等。

思维方式是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式,是体现一定思维方法和一定思维内容的思维模式。

数学思维方式指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型,相对稳定的思维样式。

基本的数学思维方式既应反映深刻的数学发展的背景,又应对任何数学活动,不论是高等的,初等的还是古典的,传统的或现代的数学研究及数学教育均有指导意义。

2变量函数思维方式2.1函数概念发展的过程(弱抽象的过程)(1)早期17世纪的函数概念(代数函数):指可以从一些其他的量通过一系列运算得到的函数。

(代表人物:莱布尼兹G..W.Leibnite,1646—1716)(2)18世纪的函数概念(解析函数):指由一个变量与一些常量,通过任何方式(有限或无限次运算)形成的解析表达式(包括对数函数、指数函数、三角函数等超越函数)(代表人物:贝努利J.Bernoulli,1667—1748,欧拉L.Euler,1707—1783)(3)19世纪的函数概念(变量函数):指给定区间上的每一个值,有惟一的一个值与它对应,则是的一个函数。

(代表人物:柯西A.L.Cauchy,1789—1857,狄里赫勒G.P.L.Dirichlet,1805—1859)(4)现代的函数概念(映射函数):设与是两个集合, 是个法则,若对于中的每个元素,通过总有中唯一确定元素与之对应,则是定义在上的一个函数。

关于一个广义euler多项式的恒等式

关于一个广义euler多项式的恒等式Euler多项式是一种有趣的多项式，它们有助于我们对密码学和组合数学中的某些问题进行更深入的研究。

Euler多项式的恒等式是指一类简单的多项式，它们可以用来证明一些重要的数学定理。

在本文中，我们将介绍一类特殊的广义Euler多项式的恒等式，它有助于更好地理解Euler多项式的奥秘。

Euler多项式的定义Euler多项式是一类十分特殊的多项式，它们可以表示为：$$P(x)=prod_{i=1}^n (x-a_i)$$其中n是一个正整数，a1,a2,…,an表示实数。

当所有的a1,a2,…,an都不相等时，P(x)称为原始Euler多项式；如果存在两个或两个以上的ai相等，P(x)称为广义Euler多项式。

Euler多项式的恒等式Euler多项式的恒等式是由Euler在1750年提出的数学定理，它表明对于Euler多项式P(x)，有以下关系：$$P(x)+(-1)^nprod_{i=1}^na_i sum_{k=0}^n{nchoosek}(x-a_1)^{n-k}(x-a_2)^{n-k}cdots(x-a_n)^k=0$$(这里${nchoose k}$表示组合中抽取k个元素的个数)。

当所有的a1,a2,…,an都不相等时，可以把它简化为：$$P(x)+(-1)^nx^n=0$$这就是原始Euler多项式的恒等式。

特殊的广义Euler多项式的恒等式除了原始Euler多项式的恒等式之外，还存在一类特殊的广义Euler多项式的恒等式，它可以表示为：$$P(x)+(-1)^mprod_{i=1}^ma_i sum_{k=0}^m{mchoosek}(x-a_1)^{m-k}(x-a_2)^{m-k}cdots(x-a_m)^k=0$$其中m小于n，且存在k1,k2,…,kj（1≤ki≤n）使得ai=ak1=ak2=…=akj，即存在有重复的项。

此时，前面的等式可以被简化为：$$P(x)+(-1)^mprod_{i=1}^ma_isum_{k_1=0}^{s_1}{s_1choose k_1}sum_{k_2=0}^{s_2}{s_2choose k_2}cdotssum_{k_j=0}^{s_j}{s_jchoosek_j}x^{m-k_1-k_2-cdots-k_j}=0$$这就是特殊的广义Euler多项式的恒等式。

十大数学公式之欧阳道创编之欧阳道创编

这是一个非常著名的恒等式。

它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。

许多人认为这是数学中最漂亮的公式。

一个更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b 次方，下同)。

当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。

由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。

2. 欧拉乘积公式等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。

这个公式也是欧拉首先发现的。

它联系了出现在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与出现在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。

而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。

欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。

3. 高斯积分函数e^(-x²)本身在积分中是很难对付的。

可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。

至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。

由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。

4. 连续统的基数上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。

这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。

值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N > N。

一个相关的假设是连续统假设。

这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。

有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。

5. 阶乘函数的解析延拓阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。

但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。

6. 勾股定理勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。

它给出了直角三角形三边的联系，其中a和b是直角边长，而c是斜边长。

这个公式还将三角形和正方形联系了起来。

7. 斐波那契数列的通项这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。

关于广义 Bernoulli 数的一些恒等式

关于广义 Bernoulli 数的一些恒等式王念良【摘要】The generalized Bernoulli number B n,χ has the closed relationship to the Euler numbers and Dirichlet L functions,for example,one has L(1-n,χ)=-B n,χn (n≥1).The main purpose of this note is by the properties of generalized Bernoulli number B n,χ and the Cauchy product formula of absolutely conver-gent power series,some identities and congruence involving generalized Bernoulli numbers are obtained.%广义Bernoulli 数B n,χ与 Euler 数、Dirichlet L 函数有密切的联系,如 L(1-n,χ)=-B n,χn (n≥1)等。

应用绝对收敛幂级数的 Cauchy 乘积公式和B n,χ的性质,得到了关于广义 Bernoulli 数的一些恒等式和同余式。

【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5页(P403-407)【关键词】Bernoulli 数;广义 Bernoulli 数;恒等式【作者】王念良【作者单位】商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000【正文语种】中文【中图分类】O156.4设q是大于1的正整数,χ是模q的Dirichlet特征.广义Bernoulli数、广义Bernoulli多项式定义[1]为显然特别地,当χ=χ0是模q的Dirichlet主特征时和即为经典的Bernoulli数Bn 和Bernoulli多项式Bn(1+x);当χ是模4的本原特征时,著名的Euler数En和Euler多项式En(x)可以用和表示[1]为设表示以特征χ为模q的Dirichlet L函数,则广义Bernoulli数可用来表示L(s,χ)在0和负整数处的值[2]Bernoulli数、Bernoulli多项式及其推广形式,在解析数论、组合数学中发挥着十分重要的作用,许多学者对Bernoulli数、Bernoulli多项式及其各种推广形式的算术性质进行了深入地研究[1-17].关于Bernoulli数、Bernoulli多项式及推广的Bernoulli数的同余性质,也有很多优美的结果,例如,G.Voronoi[3]证明了Bernoulli 数的一些同余式,其中之一是:当p是大于3的素数且p≡3(mod 4)时,有这里表示Legendre符号经典的Kum mer同余式[3-4]是当素数p≥5,n≥1,k,l为大于等于零的偶数,且满足p-1不能整除k,k≡l(modφ(pn))时,有对于模q的Dirichlet特征χ,记[5]则(4)式可表示为其中的含义与(4)式相同.本文应用解析方法,对Bernoulli数、广义Bernoulli数的算术性质进行研究,得到下列结论.定理1 设n,k是整数,且n≥1,k≥0,则推论1 设n,k是整数,且n≥1,k≥0,B2j(x)表示关于变量x下标为2j的Bernoulli多项式,则定理2 设n,k是任意的正整数,则是2k+1的倍数.定理3 设[x]表示不超过实数x的最大整数,p是一个大于3的奇素数,a是与p互素的整数,n≥1, χ是模pn的Dirichelet特征,则有引理1 对任意的实数x,有证明见文献[6]中的引理2.引理2 对任意正整数是整数.证明见文献[5].引理3 设χ是模q的Dirichlet特征,记是对应于χ的和式,则证明在(2)式中取x=q并减去(1)式,可得注意到于是有比较(11)式两边的系数,应用有这就证明了引理3.定理1的证明对任意整数k≥1,取m=1,2,…,k,由于则注意到应用引理1,有当n≥1时,比较等式两边的系数,得整理即得(6)式,定理1证毕.推论1的证明注意到对任意m≥0,应用关系式由(13)式即得(7)式. 定理2的证明由(13)式有由引理2知是整数,因而是2k+1的倍数,所以有即能被2k+1整除.定理3的证明设1≤j＜pn,(a,p)=1,由带余数除法有因此即应用引理3,令q=pn,有即由(14)式和(15)式即完成了定理3的证明.【相关文献】[1] Chen K W.Sums of products of Generalized Bernoulli polynomials[J].Pacific Journal of Mathematics,2003,208(1): 39-52.[2] Szmidt J,Urbanowicz J,Zagier D.Congruences among generalized Bernoulli numbers[J].ACTA ARITHMETICA, LXXI,1995(3):273-278.[3] Ireland K,Rosen M.A Classical Introduction to Modern Number Theory[M]//2thed.Graduate Texts in Mathematics,Vol.84.New York:Springer,1990:237.[4] Kummer E E.Uber eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen[J].J Reine Angew Math,185(41):368-372.[5] Pan H,Zhang Y.Stern's type congruences for L(-k,χ)[J].ar Xiv:1101.4806v2[math.NT]29 Apr 2013.[6] Yuan Y.Some identities involving Bernoulli numbers and Euler numbers[J].Scientia Magna,2006,2(1):102-107.[7] Rademacher H.Topics in Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1973:12.[8] Tom M Apostol.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976:265.[9] Liu G,Luo H.Some identities involving Bernoulli numbers[J].The Fibonacci Quarterly,2005,43(3):208-212.[10] Liu G.On congruences of Euler numbers modulo an square[J].The Fibonacci Quarterly,2005,43(2):132-136.[11] 王念良,李复活.高阶Apostol-Bernoulli函数的—些恒等式[J].商洛学院学报,2011,25(6):3-6.[12] Kanebo M.A recurrence formula for the Bernoulli numbers[J].Proc Japan Acad Ser A Math Sci,1995,71:192-193.[13] Lehmer E.On Congruences Involving Bernoulli Numbers and the quotients of Fermat and Wilson[J].Annals of Math, 1938,39:350-360.[14] Kanemitsu S,Ubanowicz J,Wang N.On some new congruences for generalized Bernoulli numbers[J].Acta Arith, 2012,155(3):247-258.[15] 何园,张文鹏.关于一个多项式序列的对称关系[J].西南师范大学学报:自然科学版,2013,38(4):28-30.[16] 巫朝霞,何园.关于Bernoulli和Euler多项式的一个注记[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2012,41(6): 604-606.[17] Wang N,Li C,Li H.Some identities on the Generalized Higher-order Euler and Bernoulli Numbers[J].Ars Combinatoria,2011,2:517-528.[18] 雒秋明.广义Bernoulli数和广义高阶Bernoulli数[J].纯粹数学与应用数学,2002,18(4):305-308.。

广义Apostal-Bernoulli-Euler多项式之间的几个恒等式

广义Apostal-Bernoulli-Euler多项式之间的几个恒等式韩艺兵;祝清顺;贾利新【摘要】给出了广义Apostol-Bernoulli多项式，广义Apostol-Euler多项式之间的有趣的恒等式，多个参数的组合数出现在了等式中，非常漂亮，从而深化和推广了相关文献中的相关结果。

%Some new intresting combination identitiesare are given in this paper,which involve the generalized Apostol-Bernoulli polynomial and the generalized Apostol-Euler polynomial. Many parameter combination numbers appear in the equality,which are extremely attractive,also deepen and generalize the corresponding literature.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】3页(P265-267)【关键词】广义Apostol-Bernoulli多项式;广义Apostol-Euler多项式;组合恒等式;生成函数【作者】韩艺兵;祝清顺;贾利新【作者单位】信息工程大学理学院，郑州 450000;信息工程大学理学院，郑州450000;信息工程大学第三学院，郑州 450004【正文语种】中文【中图分类】O174.56文献［1-2］研究了广义Apostal-Bernoulli多项式、广义Apostal-Euler多项式及其性质，它们是对Apostal-Bernoulli多项式和Apostal-Euler多项式的一种推广.本文主要给出广义Apostol-Bernoulli多项式与广义Apostol-Euler多项式的几个漂亮的组合恒等式.【相关文献】［1］ Luo Q M，Srivastava H M.Some relationships between the Apostol－Bernoulli and Apostol－Euler polynomials［J］.Computers and Mathematics with Application，2006（51）：631－642.［2］ Luo Q M.Apostol－Euler polynomials of higher order and gaussian hypergeometric functions［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2006，10（4）：917－925.［3］韩艺兵，祝清顺，贾利新.Apostol－Bernoulli－Euler多项式的几个组合恒等式［J］.河南科学，2011，29（4）：388－390.。

关于第一类Chebyshev多项式与Euler数的一个恒等式

设 x 为任意复数 , 著名的第一类和第二类 Che 2
byshev 多项式 T ( x ) = { T n ( x ) } 和 U ( x ) = { U n ( x ) }
同时 , Euler 数也可由如下函数所定义[ 8 ] :
sec x =
n=0
分别由如下递推公式给出 : T n+2 ( x ) = 2 x T n+1 ( x ) - T n ( x ) , U n+2 ( x ) = 2 xU n+1 ( x ) - U n ( x ) , 式中 n ≥ 0 , T0 ( x ) = 1 , T1 ( x ) = x , U 0 ( x ) = 1 , U 1 ( x ) = 2 x. 这些多项式在函数的正交性研究中起着非常重要的作用 . 不仅如此 , 它们还与著名的 L ucas 数及 Fibo nacci 数密切相关 , 具体表现为
L a L b L c Ed Ee Ef a+ b+ c+ d+ e+ f = n a ! b ! c ! d ! e ! f !
6
5
d+e+ f
=
β )n 8 (3 ′
n!
,
式中 n 为任意非负整数 . 下面给出定理 1 的证明过程 . 由于 [ 12 ] 1 ( 2 n 2 n T n ( x) = [ x + x - 1) + ( x x - 1) ] , 2 可作生成函数 ∞ ∞ n n α T n ( x) n 1 +β n T ( t , x) = 6 t = t , ( 3) 6 n! 2 n=0 n! n=0 式中α= x +
…
×

不等式高级水平必备

不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 3个对称变量pqr法Ch21. 3个对称变量uvw法Ch22. ABC法Ch23. SOS法Ch24. SMV法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则：12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++ 1()1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记：⑴n Q =，为平方平均数，简称平方均值；⑵ 12nn a a a A n...+++=，为算术平均数，简称算术均值；⑶n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12nnH 111a a a ...=+++，为调和平均数，简称调和均值.则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3()iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only if =当且仅当.） 3()Ch3.幂均不等式3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记：1r r rr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()4()式的r M a ()称为幂平均函数.3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：r s M a M a ()()≤ 5()当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a ()关于r 是单调递增函数.5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：1m r r rrr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++ 6()6()式称为加权幂平均函数.3.4若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，对m r M a ()则：m m r s M a M a ()()≤即：11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++ 7() 当r s ≤时，7()式对任何r 都成立，即m r M a ()关于r 是单调递增函数.7()Ch4. 柯西不等式4.1若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++ 8()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立.（注：iff if and only if =当且仅当.） 8()4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥ 9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将1122n na b a b a b n...+++简称为积均值，记：n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab () 10() 4.3推论1：若a b c x y z ,,,,,为实数，x y z 0,,>，则：2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++ 11() iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式4.4推论2：若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：...+≥12()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立.4.5推论3：若a b c x y z ,,,,,为正实数，则：x y zb c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++13() Ch5. 切比雪夫不等式5.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤，且均为实数.则：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ 14()iff 12n a a a ...===或12n b b b ...===时，等号成立.12()由于有12n a a a ...≤≤≤，12n b b b ...≤≤≤条件，即序列同调，所以使用时，常采用WLOG 12n a a a ...≤≤≤…… (注：WLOG Without Loss Of Generality =不失一般性) 5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤ 15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.于两个序列数各积之均值. 则：2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab () 16() Ch6. 排序不等式6.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤为实数，对于12n a a a (,,...,)的任何轮换12n x x x (,,...,)，都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++ 17()17().其中，1122n n a b a b a b ...+++称正序和，n 1n 121n a b a b a b ...-+++称反序和，1122n n x b x b x b ...+++称乱序和. 故17()式可记为：18()6.2推论：若12n a a a ,,...,为实数，设12n x x x (,,...,)为12n a a a (,,...,)的一个排序，则：22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++ 19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切x y a b ,[,]∈，01(,)α∈，若函数f a b R :[,]→是向下凸函数，则：f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+- 20() 20()式是向下凸函数的定义式.注：f a b R :[,]→表示区间a b [,]和函数f x ()在a b [,]区间都是实数.7.2若f a b R :(,)→对任意x a b (,)∈，存在二次导数f x 0''()≥，则f x ()在a b (,)区间为向下凸函数；iff x a b (,)∈时，若f x 0''()>，则f x ()在a b (,)区间为严格向下凸函数. 7.3若12n f f f ,,...,在a b (,)区间为向下凸函数，则函数1122n n c f c f c f ...+++在在a b (,)区间对任何12n c c c 0,,...,(,)∈∞也是向下凸函数.7.4若f a b R :(,)→是一个在a b (,)区间的向下凸函数，设n N ∈，12n 01,,...,(,)ααα∈为实数，且12n 1...ααα+++=，则对任何12n x x x a b ,,...,(,)∈，有：1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ 21()21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，则对一切x y z a b ,,[,]∈，有：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 22() 22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23() 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，12n a a a a b ,,...,[,]∈，则：12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++ 24()其中：12n a a a a n ...+++=，i j i j1b a n 1≠=-∑（对所有的i ） 24()当1a x =，2a y =，3a z =，n 3=时，x y z a 3++=，1y z b 2+=，2z x b 2+=，3x yb 2+=代入23()式得：x y z y z z x x yf x f y f z 3f 2f f f 3222()()()()[()()()]++++++++≥++ 即：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 25() 25()式正是22()式.Ch9. 加权不等式9.1若i a 0(,)∈∞，i 01[,]α∈（i 12n ,,...,=），且12n 1...ααα+++=，则：n 1212n 1122n n a a a a a a ......αααααα≤+++ 26()26()26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数a b 0,>，实数p q 1,>且111p q+=，则：p q a b ab p q ≤+ 27() iff p q a b =时，等号成立. 27()10.2若12n a a a ,,...和12n b b b ,,...为正实数，p q 1,>且111p q+=，则： 11ppp qqq pq1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b ...(...)(...)+++≤++++++ 28()28()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成：11p p p q q q p q1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b n n n.........()()+++++++++≤ 29()即：2n p q D ab M a M b [()]()()≤n D ab ()≥ 30() 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”. （注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是111p q+=，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若12n a a a ,,...、12n b b b ,,...和12n m m m ,,...为三个正实数序列，p q 1,>且111p q+=，则：11nnnpqp qi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31() 31()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.5若ij a (i 12m ,,...,=;j 12n ,,...,=)，12n ,,...,ααα为正实数且...12n 1ααα+++=，则：()()jj m mnn ijij j 1j 1i 1i 1aa αα====≤∏∏∑∑ 32()32()10.6推论：若123a a a N ,,+∈，123b b b N ,,+∈，123c c c N ,,+∈，则：3333333333123123123111222333a a a b b b c c c a b c a b c a b c ()()()()++++++≥++ 33()简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：111nnnppppppi i i i i 1i 1i 1a b a b (())()()===+≤+∑∑∑ 34()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 34()11.2若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：11nnn pp p p p pi i i i i 1i 1i 1a b a b ()()()===⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 35()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 35()11.3若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,；12n m m m ,,...,为三个正实数序列，且p 1>，则：111nnnp p p pppi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m (())()()===+≤+∑∑∑ 36()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 36()Ch12.牛顿不等式12.1若12n a a a ,,...,为任意实数，考虑多项式：n n 112n 01n 1n P x x a x a x a c x c x c x c ()()()...()...--=+++=++++ 37()的系数01n c c c ,,...,作为12n a a a ,,...,的函数可表达为：0c 1=；112n c a a a ...=+++；21213n 1n i j c a a a a a a a a ...-=+++=∑；（i j n <≤） 3i j k c a a a =∑；（i j k n <<≤） ……n 12n c a a a ...=.对每个k 12n ,,...,=，我们定义k k k k n c k n k p c C n !()!!-== 38() 则37()式类似于二项式定理，系数为：kk nk c C p =. 12.2若12n a a a ,,...,为正实数，则对每个k 12n 1,,...,=-有：2k 1k 1k p p p -+≤ 39()iff 12k a a a ...===时，等号成立. 39()Ch13.麦克劳林不等式13.1若12n a a a ,,...,为正实数，按38()定义，则：111kn212k n p p p p ......≥≥≥≥ 40()iff 12k a a a ...===时，等号成立. 40()Ch14.定义多项式14.1若12n x x x ,,...,为正实数序列，并设12n ,,...,ααα为任意实数.记：n 1212n 12n F x x x x x x (,,...,)...ααα=；12n T [,,...,]ααα为12n F x x x (,,...,)所有可能的积之和，遍及12n ,,...,ααα的所有轮换.14.2举例说明⑴ T 100[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2和第3个参数的指数是0.故：[,,]()!()()100100100T 10031x y z y x z z y x 2x y z =-⋅++=++.⑵ T 11[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个和第2个参数的指数是1.故：[,]()!()11T 1121x y 2xy =-⋅=.⑶ T 12[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2.故：[,]()!()121222T 1221x y y x xy x y =-⋅+=+.⑷ T 121[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1.故：[,,]()222T 1212xy z x yz xyz =++. 即：[,,][,,]T 121T 211=⑸ T 210[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是2，第2个参数的指数是1，第3个参数的指数是0.故：222222T 210x y x z y x y z z x z y [,,]=+++++.⑹ T 300[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是3，第2个和第3个参数的指数是0.故：333T 3002x y z [,,]()=++.⑺ [,,]T a b c ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是a ，第2个参数的指数是b ，第3个参数的指数是c .故：[,,]a b c a c b b c a b a c c a b c b a T a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++. 由于[,,][,,][,,][,,][,,]...T a b c T b c a T c a b T c b a T b a c =====表达式比较多，所以我们规定：[,,]T a b c （a b c ≥≥）. Ch15.舒尔不等式15.1若R α∈，且0β>，则：[,,][,,][,,]T 200T 2T 0αβαββαββ++≥+ ()41()4115.2 解析()41式[,,]()222T 2002x y z αβαβαβαβ++++=++； [,,]()T 2x y z x y z x y z αβββαβββααββ=++；[,,]T 0x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββαββ+++++++=+++++ 将上式代入()41式得：222x y z x y z x y z x y z αβαβαβαβββαβββα++++++++x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββ++++++≥+++++ 即：222y x y z z x y x z x y z αβααββαβαβββββα++++++++y x y y z x y x z 0z x z βαβββααββαβββαβαββ++++++------≥ 即：()()22x x y z x y x z y y x z x y y z αβββββββαβββββββ++--+--()2z z x y y z x z 0αβββββββ++-≥-即：()()()()()()x x y x z y y z y x z z x z y 0αββββαββββαββββ--+--+--≥ ()42()42式与()4115.3若实数,,x y z 0>，设t R ∈，则：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ()43iff x y z ==或,x y z 0==及轮换，等号成立.按照()41式写法，即：t α=，1β=，则：[,,][,,][,,]T t 200T t 112T t 110++≥+ ()44 ()43式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数,,x y z 0>，实数,,a b c 0>且a b c ≥≥或a b c ≤≤，则：()()()()()()a x y x z b y z y x c z x z y 0--+--+--≥ ()45 ()43式中，t x a =，t y b =，t z c =，就得到()45式.15.5推论：设实数,,x y z 0>，则：[()()()]3333332223xyz x y z 2xy yz zx +++≥++ ()4615.6推论：若(,]k 03∈，则对于一切,,a b c R +∈，有：()()()2222k3k k abc a b c 2ab bc ca -++++≥++ ()47Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列()(,,...,)n i i 112n ββββ==和()(,,...,)ni i 112n αααα==，当满足下列条件：⑴ ......12n 12n βββααα+++=+++ ① ⑵ ...12n βββ≥≥≥且...12n ααα≥≥≥ ② ⑶ ......12s 12s βββααα+++≤+++ ③ 对一切[,]s 1n ∈，③式都成立.则：()n i i 1β=就是()ni i 1α=的优化值，记作：()()i i βα<.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若,,...,12n x x x 为非负实数序列，设()i α和()i β为正实数序列，且()()i i βα<，则：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.()4817.2解析()48式若实数123a a a 0≥≥≥，实数123b b b 0≥≥≥，且满足11a b ≥，1212a a b b +≥+，123123a a a b b b ++=++；设,,x y z 0>，则：满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <条件，则：[,,]333333121221211221b b b b b b b b b b b b b b b b b b 123T b b b x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++[,,]333333121221211221a a a a a a a a a a a a a a a a a a 123T a a a x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++ 即()48式为： [,,][,,]123123T b b b T a a a ≤ 用通俗的方法表达即：331212a ba ab b symsymx y z x y z ≥∑∑ ()49()49.17.3例题：设(,,)x y z 为非负变量序列，考虑(,,)221和(,,)311.由16.1中的序列优化得：(,,)(,,)221311<由缪尔海德不等式()48式得：[,,][,,]T 221T 311< ①[,,]()222222T 2212x y z x yz xy z =++ ② [,,]()333T 3112x yz xy z xyz =++ ③将②③代入①得：222222333x y z x yz xy z x yz xy z xyz ++≤++ 即：222xy yz zx x y z ++≤++ ④由柯西不等式：()()()2222222x y z y z x xy yz zx ++++≥++ 即：()()22222x y z xy yz zx ++≥++ 即：222x y z xy yz zx ++≥++ ⑤⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用[,,][,,]T 200T 110≥来表示，这正是缪尔海德不等式的()48式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间I R ∈的函数f 为向下凸函数，且当,i i a b I ∈（,,...,i 12n =）两个序列()n i i 1a =和()n i i 1b =满足()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++≥+++ ()50()5018.2若函数f 为严格向下凸函数，即不等取等号，()()i i a b ≠，且()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++>+++ ()51若函数f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调增函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≥；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调增函数，当x y >时，有()()f x f y >.19.2若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调减函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≤；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调减函数，当x y >时，有()()f x f y <.19.3若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 为可导函数，当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≥，则f 在区间(,)a b 为单调递增函数；当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≤，则f 在区间(,)a b 为单调递减函数.19.4设两个函数:[,]f a b R →和:[,]g a b R →满足下列条件：⑴ 函数f 和g 在[,]a b 区间是连续的，且()()f a g a =； ⑵ 函数f 和g 在[,]a b 区间可导；⑶ 导数'()'()f x g x >对一切(,)x a b ∈成立，则对一切(,)x a b ∈有：()()f x g x > ()52()52Ch20.3个对称变量pqr 法20.1设,,x y z R +∈，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =，则,,p q r R +∈.代换后的不等式(,,)f p q r ，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为pqr 法. 20.2常用的代换如下：⑴ 22cycx p 2q =-∑⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑⑶ 222cycx y q 2pr =-∑⑷ ()()()x y y z z x pq r +++=- ⑸ ()()2cycx y y z p q ++=+∑⑹ ()cycxy x y pq 3r +=-∑⑺ ()()()1x 1y 1z 1p q r +++=+++ ⑻ ()()cyc1x 1y 32p q ++=++∑⑼()()2cyccycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑20.3常用的pqr 法的不等式若,,x y z 0≥，则： ⑴ 3p qr 4pq +≥ ⑵ pq 9r ≥ ⑶ 2p 3q ≥ ⑷ 3p 27r ≥⑸ 32q 27r ≥ ⑹ 2q 3pr ≥ ⑺ 32p 9r 7pq +≥ ⑻ 322p 9r 7pqr +≥ ⑼ 22p q 3pr 4q +≥Ch21.3个对称变量uvw 法21.1在,,a b c R ∈的不等式中，采用下列变量代换：3u a b c =++；23v ab bc ca =++；3w abc =. 上述变换强烈含有“平均”的意味：u 对应“算术平均值”；v 对应“积均值”；w 对应“几何平均值”.21.2当,,a b c 0≥时，则：u v w ≥≥ ()53()53即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”. 21.3若,,a b c 0≥，则,,23u v w 0≥ ()54()5421.4若,,23u v w R ∈，任给,,a b c R ∈，则当且仅当22u v ≥，且[32323w 3uv 2u 3uv 2u ∈---+时，则：3u a b c =++，23v ab bc ca =++，3w abc =等式成立.这称为uvw 定理.Ch22.ABC 法22.1 ABC 法即Abstract Concreteness Method设p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =. 则函数(,,)f x y z 变换为(,,)f r q p . 这与Ch20.3个对称变量pqr 法类似.22.2若函数(,,)f r q p 是单调的，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.3若函数(,,)f r q p 是凸函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.4若函数(,,)f r q p 是r 的线性函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.5若函数(,,)f r q p 是r 的二次三项式，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值.Ch23.SOS 法23.1 SOS 法即Sum Of Squares23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：()()()222a b c S S b c S a c S a b =-+-+- ()55 其中，,,a b c S S S 分别都是,,a b c 的函数. ⑴ 若,,a b c S S S 0≥，则S 0≥；⑵ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,b b a b c S S S S S 0++≥，则S 0≥； ⑶ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,,a c a b c b S S S 2S S 2S 0++≥，则S 0≥； ⑷ 若a b c ≥≥，且,,22b c b a S S a S b S 0+≥，则S 0≥；⑸ 若a b S S 0+≥或b c S S 0+≥或c a S S 0+≥，且a b b c c a S S S S S S 0++≥，则S 0≥. 23.3 常用的形式 ⑴ ()22cyccyccyc1a ab a b 2-=-∑∑∑ ⑵ ()32cyccyc cyc1a 3abc a a b 2-=⋅-∑∑∑ ⑶ ()223cyccyccyc1a b ab a b 3-=-∑∑∑ ⑷ ()()322cyccyccyc1a ab 2a b a b 3-=+-∑∑∑ ⑸ ()333cyccyccyc cyc1a b ab a b a 3-=⋅-∑∑∑∑ ⑹ ()()42222cyccyccyca ab 2a b a b -=+-∑∑∑Ch24.SMV 法24.1 SMV 法即Strong Mixing Variables Method本法对多于2个变量的对称不等式非常有用. 24.2 设(,,...,)12n x x x 为任意实数序列，⑴ 选择,{,,...,}i j 12n ∈使min{,,...,}i 12n x x x x =，max{,,...,}j 12n x x x x =；⑵ 用其平均数i jx x 2+代替i x 和j x ，经过多次代换后各项i x （,,...,i 12n =）都趋于相同的极限...12nx x x x n+++=.24.3 设实数空间的函数F 是一个对称的连续函数，满足(,,...,)(,,...,)12n 12n F a a a F b b b ≥ ()56其中，(,,...,)12n b b b 序列是由(,,...,)12n a a a 序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如a b2+.24.4 例题说明例题：设实数,,a b c 0>，证明：a b c 3b c c a a b 2++≥+++. 解析：采用SMV 法.设：(,,)a b cf a b c b c c a a b=+++++ ① 则：(,,)t t c 2t c f t t c t c c t t t t c 2t=++=+++++ ② 其中，a bt 2+=. 由②得：(,,)()()2t c 112t c t 113f t t c 2t c 2t 22t c 2t 222+=++-=+-≥-=++ 由()56式得：(,,)(,,)3f a b c f t t c 2≥≥证毕. Ch25.拉格朗日乘数法25.1 设函数(,,...,)12n f x x x 在实数空间的I R ∈连续可导，且(,,...,)i 12n g x x x 0=，其中（,,....i 12k =），即有k 个约束条件，则(,,...,)12n f x x x 的极值出现在I 区间的边界或偏导数（函数为ki i i 1L f g λ==-∑）全部为零的点上.Ch26.三角不等式26.1 设,,(,)0αβγπ∈，且αβγπ++=，则,,αβγ就是同一个三角形的内角. 26.2 若,,αβγ为同一个三角形的内角，则有下列不等式：⑴ sin sin sin αβγ++≤； ⑵ cos cos cos 32αβγ++≤；⑶ sin sin sin αβγ≤； ⑷ cos cos cos 18αβγ≤； ⑸ sin sin sin 22294αβγ++≤； ⑹ cos cos cos 22234αβγ++≥；⑺ tan tan tan αβγ++≥；⑻ cot cot cot αβγ++≥ ⑼ sin sin sin32222αβγ++≤；⑽ cos coscos222αβγ++≤； ⑾ sin sin sin12228αβγ≤；⑿ coscoscos2228αβγ≤； ⒀ sin sin sin 22232224αβγ++≥； ⒁ cos cos cos 22292224αβγ++≤；⒂ tan tan tan 222αβγ++≥⒃ cotcotcot222αβγ++≥Ch27.习题27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥.27.3 设,,...,12n a a a R +∈，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++. 27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b+++++≥+++++.27.7设,a b 0>，n N ∈，求证：()()n n n 1a b112b a++++≥.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 27.10 设,,a b c R ∈，求证：2≥. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++. 27.15设,,a b c 0≥，求证：()33331a b c abc a b c 7+++≥++. 27.16设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：2224a b c 3abc 9+++≥. 27.17设,,...,12n a a a 0>，求证：()()...()()()...()222n 1212n 231a a a 1a 1a 1a 111a a a +++≤+++.27.18设,,,a b c d 0>，且abcd 1=，求证：()()()()2222111111a 1b 1c 1d +++≥++++.27.19设,,,a b c d 0≥，且a b c d 4+++=，求证：()()()()2222abc bcd cda dab abc bcd cda dab 8+++++++≤.27.20设,,a b c 0≥，且222a b c 3++=，求证：222222a b b c c d a b c ++≤++.27.21设,,a b c R ∈，求证：()()()2222223333333a ab b b bc c c ca a a b b c c a -+-+-+≥++.27.22设,,,a b c d 0>，且a b c d abcd 5++++=，求证：11114a b c d+++≥.27.23设不等式：()()()()2222222222ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-≤++对一切实数,,a b c 都成立，求M 的最小值.27.24设,,a b c 0≥，且a b c 3++=，求证：()()222a b b c c a ab bc ca 9++++≤.Ch27.习题解析27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.解析：设：n 11x x +=，则：因为i x 01(,]∈，所以i11x [,)∈+∞ （i 12n ,,...,=）由伯努利不等式2()：当i x 1>-且i 1[,)α∈+∞时，i i i i 1x 1x ()αα+≥+ ①iff i x 0=或i 1α=时，①式等号成立.由均值不等式3()：i i 1x α+≥②iff i i x 1α=时，②式等号成立.由①②式得：i i 1x ()α+≥③iff i i x 1α==时， ③式等号成立.设：i i 11x α+=，则由③式得：i 11x i1x ()++≥④则：21x 11x ()+≥31x 21x ()+≥11x n 1x ()+≥上面各式相乘得：321111x x x n 12n 1x 1x 1x 22()()...()+++≥=. 证毕.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 解析：因为i x 0≥，ni i 11x 2==∑，所以i 1x 02[,]∈ 设i i y x =-，则i 1y 012[,]∈->-由伯努利不等式1()：12n 12n 1y 1y 1y 1y y y ()()...()(...)+++≥++++ ① 将i i y x =-代入①式，并代入...12n 1x x x 2+++=得： 12n 12n 111x 1x 1x 1x x x 122()()...()(...)---≥-+++=-=. 证毕.27.3 设12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=，求证：......12n a a a +≤+++. 解析：因为12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=，所以由均值不等式3()n ...+≥=1≥ ①iff 12n a a a 1...====时，①式等号成立.由柯西不等式8()：2222222111...](...)...++++++≥+即：212n a a a n (...)...+++⋅≥+即：12n a a a (...)...+++≥+ ②iff 12n a a a 1...====时，②式等号成立.将①式代入②式得：12n a a a ......+++≥+③iff 12n a a a 1...====时， ③式等号成立. 证毕.27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 解析：因为,,a b c 0>，且abc 1=，所以由均值不等式3()：222222222a b b c c a a b c ab bc ca 222+++++=++≥++ ① iff a b c 1===时，①式等号成立.由均值不等式3()：a b c 3++≥=，即：a b c13++≥ ② iff a b c 1===时，②式等号成立.WLOG ，设a b c ≤≤，则因为,,a b c 0>，所以222a b c ≤≤由切比雪夫不等式14()：222222a b c a b c 3a a b b c c ()()()++++≤⋅+⋅+⋅ 即：333222a b ca b c a b c 3()++++≥⋅++ ③ iff a b c 1===时，③式等号成立.将①②代入③式得：333a b c ab bc ca ++≥++ ④iff a b c 1===时， ④式等号成立. 证毕.27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.解析：记A b 2c 3d =++，B c 2d 3a =++，C d 2a 3b =++，D a 2b 3c =++则：aA bB cC dD 4ab ac ad bc bd cd ()+++=+++++ ① 待证式为：a b c d 2A B C D 3+++≥ ② 由柯西不等式8()：2a b c daA bB cC dD a b c d A B C D()()()++++++≥+++ 即：2a b c d a b c d A B C D aA bB cC dD ()++++++≥+++ ③由②③式，只需证明2a b c d 2aA bB cC dD 3()+++≥+++ ④ 设多项式：P x x a x b x c x d ()()()()()=++++43201234c x c x c x c x c =++++则： 1c a b c d =+++ ⑤2c ab ac ad bc bd cd =+++++代入①式得：2aA bB cC dD 4c +++= ⑥ 根据定义38()：k k k nc p C =得：11114c c p C 4==，即：11c 4p =；22224c c p C 6==，即：22c 6p =则：2221112222c 16p p 24c a b cd aA bB cC 6p 3D p d 4()==⋅++⋅+++=+ ⑦ 由麦克劳林不等式40()：1212p p ≥，即：212p 1p ≥代入⑦式得：2a b c d aA bB c dD 23C ()++++≥++，④式得证. iff a b c d ===时，等号成立. 证毕.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b +++++≥+++++. 解析：不等式左边=222a b c b c c b c c b c a c a a b ba a ab +++++++++++ 不等式右边=()()()a c ab a bc b c a b c c a a b b c +++++=+++++222ab a ac b c c a b c c a a b b c ca b b =+++++++++++ 则不等式其实就是：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++ ① 由于是对称不等式，WLOG ，假设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥ ②且b c a c a b +≤+≤+，即：111b c c a a b≥≥+++ ③ 则有排序不等式()18：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 其中，222a b c b c c a a b +++++为正序和；222c a b b c c a a b+++++为乱序和. iff a b c ==时，等号成立. 证毕.27.7设,a b 0>，n N ∈证：()()n n n 1a b112b a++++≥.解析：当n 0=时，()()00a b112b a+++=，0122+=，不等式成立；当n 1=时，()()11a b a b1124b a b a+++=++≥，1124+=，不等式成立；当n 2≥时，构建函数()n f x x =. 则函数的导数'()n 1f x nx -=；二次导数''()()n 2f x n n 1x 0-=-≥，故在x 0>时函数为向下凸函数.由琴生不等式()20：()()()1212f x f x x x f 22++≥ ①将()()n 1a f x 1b =+，()()n 2bf x 1a=+ ，()()()[][()]n n n 12b a 11x x 1b a a b f 12222a b++++==++≥ 带入①式得：()()n nn a b11b a 22+++≥，即：()()n n n 1a b 112b a ++++≥ 综上，当n 0=、n 1=和n 2≥时， ()()n n n 1a b112b a++++≥都成立,即n N ∈时，()()n n n 1a b112b a++++≥成立. 证毕.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.解析：记ni i 1S x ==∑，（,,...,i 12n =）.则(,,...,) (555)n 1212n 12nx x x f x x x S x S x S x =+++---①WLOG 假设...12n x x x ≥≥≥，则...44412n x x x ≥≥≥ ② 由于n i i 1S x ==∑，所以()nk i k i 1S x x x =-=-∑与k x 无关，则kkx S x -与k x 同单调性. 即：...n 1212nx x x S x S x S x ≥≥≥--- ③ 由切比雪夫不等式14()：若(,,...,)12n a a a 与(,,...,)12n b b b 同单调性，则有：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ ④设：4i i a x =，ni nx b S x =-，（,,...,i 12n =），则满足{}i a 与{}i b 同单调性. 代入④式得：(...)(...)(...)4444n n 111n 1n 1n 1nx x x x x x n x x S x S x S x S x ++++≤⋅++⋅---- 即：......()(...)5445n 1n n 111n 1n x x x x x xf S x S x n S x S x ++=++≥⋅++---- ⑤由均值不等式()3：n n Q A ≥...221n x x 1n n ++≥=故：...441n 1x x n++≥ ⑥ 构建函数：()xg x S x=- ⑦ 则导函数：'()()2S g x S x =-，''()()32Sg x 0S x =>- 故()g x 为向下凸函数.由琴生不等式21()：(...)()()...()1122n n 1122n n g x x x g x g x g x αααααα+++≤+++ 取加权i 1nα=（,,...,i 12n =）时，上式变为： ...()()...()()12n 12n x x x g x g x g x g n n++++++≤⑧ 即：...()()...()()12n12n x x x g x g x g x n g n++++++≥⋅即：.........12n n 112n 1nx x x Sx x n n n n n x x x S S x S x n 1S S n n +++++≥⋅=⋅=+++-----⑨ 将⑥和⑨式代入⑤式得：...()55n 11n x x 11n 1f S x S x n n n 1n n 1=++≥⋅⋅=---- 故：(,,...,)12n f x x x 的最小值是()1n n 1-.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32++≤. 解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：2222x y 1ab+=时，常常采用的参数方程是：cos x a θ=，sin y b θ=，因为将它带入方程时满足cos sin 221θθ+=，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角,,A B C ，同样有关系A B C π++=和tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 而本题初始条件a b c abc ++=.设tan a A =.tan b B =，tan c C =，因为,,a b c R +∈，所以,,(,)A B C 02π∈ ①则当,,A B C 为三角形的内角时，A B C π++=， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=满足条件. 带入不等式左边得：++=++cos cos cos A B C =++ ②构建函数()cos f x x =-，则在(,)x 02π∈区间函数()f x 为向下凸函数，故由琴生不等式21()得：函数值的均值不小于均值的函数值.1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ ③当加权...12n 1nααα====时，③式变为： ()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥即：()()()()f A f B f C A B Cf 33++++≥ ④即：cos cos cos cos()cos A B C A B C 13332π++++-≥-=-=-即：cos cos cos 3A B C 2++≤ ⑤32+≤. 证毕.27.10 设,,a b c R ∈2. 解析：因为,,a b c R ∈，由柯西不等式12()式...+≥=≥==.++≥. 证毕. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 解析：对赫尔德不等式32()：jjm nn mijij i 1j 1j 1i 1aa ()()αα====≤∑∏∏∑ 32()当 n 4=，m 4=，123414αααα====时，32()式为： ()()()()1111444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a +++[()()()()]1411213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ≤++++++++++++即：()()()()11213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++[()()()()]11114444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ≥+++ ①设：11a 1=，221a a =，231a b =，2241a a b =；12a 1=，2222a c a =，232a c =，242a a =； 13a 1=，223a c =，2233a b c =，243a b =； 14a 1=，24a 1=，34a 1=，44a 1=.代入①式得：()()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1c b c b 1111+++⋅+++⋅+++⋅+++[()()()()]1111222222222222444441111a c a c 1b c b c 1a b a b 1≥⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()41ac bc ab =+++ ②②式就是赫尔德不等式.()()()2222221a 1b 1c +++()()()()()()2222221a 1b 1c 1a 1b 1c =++⋅++⋅++()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1b c b c =+++⋅+++⋅+++()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1b c b c 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ ()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1c b c b 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ 将②式代入上式得：(())()()2222224111a 1b 1c 4ac bc ab ++++++≤开方出来即：()()()()222211a 1b 1c 21ac bc ab ++++++≤③ 将ab bc ca 3++=代入③式得：()()(())222211a 1b 1c 8213++++=≤. iff a b c 1===时等号成立. 证毕.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 解析：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =，则：p 1=⑴ 22cyc x p 2q =-∑ ； ⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑则：2222a b c p 2q ++=-；()3332a b c p p 3q 3r 13q 3r ++=-+=-+于是，待证式变为：()()2613q 3r 15p 2q -++≥-即：28q 18r 0-+≥，即：14q 9r 0-+≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ ①⑴ 3p qr 4pq +≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ 故：①式成立，即待证式成立. 证毕.27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 解析：由舒尔不等式()43：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ① 即：()()()t 2t 2t 2x x xy xz yz y y yz xy zx z z zx yz xy 0--++--++--+≥ 即：()()()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1x x yz y y zx z z xy x y z y z x z x y ++++++++≥+++++ 即：()()()t 2t t 2t t 2t t 1t 1t 1x x yz y xy z z xyz x y z y z x z x y +++++++++++≥+++++ 即：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 1x y z x y z xyz x y z y z x z x y +++---++++++++≥+++++ 两边都加t 2t 2t 2x y z +++++得：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 12x y z x y z xyz x y z x y z +++---++++++++≥++++ ② ②式就是舒尔不等式.设t 2=，代入②式得：()()()()4443332x y z x y z xyz x y z x y z +++++≥++++ 将a b c 2++=代入上式得：()()4443332x y z 2xyz 2x y z +++≥++ 即：444333a b c abc a b c +++≥++ ③ ③式就是我们要证明的不等式. 证毕.27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++.解析：待证式化为：()()()3333332222228a b c 2a b c 3a b ab b c bc c a ca ++≥++++++++即：()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++ ① 解析1：缪尔海德不等式()48：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.由于[,,]()333T 3002a b c =++，[,,]222222a b ab b c bc c a ca T 210+++++= 满足缪尔海德不等式的条件，即：(,,)(,,)123b b b 210=，(,,)(,,)123a a a 300=，故满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <.则：[,,][,,]T 210T 300≤，即：①式成立. 证毕. 解析2：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =. 在20.2常用的代换如下：⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑， ⑼()()2cyccycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑即①式等价于：()32cyccyc2x x y z ≥+∑∑。

欧拉公式等人类十大公式

三种证明欧拉恒等式的方法（3 methods of proving Euler's Formula ）注：如下证明我是随便贴上来的，大家不要见怪觉得诶怎么这么简单的东西你也往上弄，我就是要贴These proofs are pasted here only for fun.Don't be so surprise as it's too simple to be proved.如下证明来自维基百科，本文属于转载如有版权涉及问题，概不负责。

These proofs followling was original state in WIKI.FROM:/wiki/Euler_formulaProofs[edit] Using Taylor seriesHere is a proof of Euler's formula using Taylor series expansions as well as basic facts about the powers of i:and so on. The functions e x, cos(x) and sin(x) (assuming x is real) can be expressed using their Taylor expansions around zero:For complex z we define each of these functions by the above series, replacing x with z. This is possible because the radius of convergence of each series is infinite. We then find thatThe rearrangement of terms is justified because each series is absolutely convergent. Taking z = x to be a real number gives the original identity as Euler discovered it.[edit] Using calculusDefine the (possibly complex) function f(x), of real variable x, asDivision by zero is precluded since the equationimplies that is never zero.The derivative of f(x), according to the quotient rule, is:Therefore, f(x) must be a constant function in x. Because f(0) is known, the constant that f(x) equals for all real x is also known. Thus,Rearranging, it follows thatQ.E.D.[edit] Using ordinary differential equationsDefine the function g(x) byConsidering that i is constant, the first and second derivatives of g(x) arebecause i2 = ?1 by definition. From this the following 2nd-order linear ordinary differential equation is constructed:orBeing a 2nd-order differential equation, there are two linearly independent solutions that satisfy it:Both cos(x) and sin(x) are real functions in which the 2nd derivative is identical to the negative of that function. Any linear combination of solutions to a homogeneous differential equation is also a solution. Then, in general, the solution to the differential equation isfor any constants A and B. But not all values of these two constants satisfy the known initial conditions for g(x):.However these same initial conditions (applied to the general solution) areresulting inand, finally,如此美丽的公式2009-04-06 20:38英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1 1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式……从什么时候起我们开始喜欢数学？这些东西原本如此美丽，如此精妙。

不等式高级水平必备(1)

不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 3个对称变量pqr法Ch21. 3个对称变量uvw法Ch22. ABC法Ch23. SOS 法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则：12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++++ 1()1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记：⑴n Q =，为平方平均数，简称平方均值；⑵ 12nn a a a A n...+++=，为算术平均数，简称算术均值；⑶n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12nnH 111a a a ...=+++，为调和平均数，简称调和均值.则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3()iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only if =当且仅当.） 3()Ch3.幂均不等式3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记：1r r rr12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭4()4()式的r M a ()称为幂平均函数.3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：r s M a M a ()()≤ 5()当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a ()关于r 是单调递增函数.5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：1m rrr rr1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++ 6()6()式称为加权幂平均函数.3.4若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，对m r M a ()则：m m r s M a M a ()()≤即：11rrr sss sr1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++ 7()当r s ≤时，7()式对任何r 都成立，即m r M a ()关于r 是单调递增函数.7()Ch4. 柯西不等式4.1若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++ 8()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立.（注：iff if and only if =当且仅当.） 8()4.2柯西不等式还可以表示为：222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≥ 9()简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将1122n na b a b a b n...+++简称为积均值，记：n D =则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥n D ab ()≥ 10() 4.3推论1：若a b c x y z ,,,,,为实数，x y z 0,,>，则：2222n 12n 1212n 12na a a a a ab b b b b b (...)......++++++≥+++ 11() iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式4.4推论2：若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：...+≥12()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 4.5推论3：若a bc x y z ,,,,,为正实数，则：x y zb c c a a b y z z x x y()()()+++++≥+++ 13() Ch5. 切比雪夫不等式5.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤，且均为实数.则：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ 14()iff 12n a a a ...===或12n b b b ...===时，等号成立.12()由于有12n a a a ...≤≤≤，12n b b b ...≤≤≤条件，即序列同调，所以使用时，常采用WLOG 12n a a a ...≤≤≤……(注：WLOG Without Loss Of Generality =不失一般性) 5.2切比雪夫不等式常常表示为：12n 12n 1122n na a ab b b a b a b a b n n n.........()()()+++++++++≤ 15()简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：2n n n A a A b D ab ()()[()]≤n D ab ()≤ 16() Ch6. 排序不等式6.1若12n a a a ...≤≤≤；12n b b b ...≤≤≤为实数，对于12n a a a (,,...,)的任何轮换12n x x x (,,...,)，都有下列不等式：1122n n 1122n n n 1n 121n a b a b a b x b x b x b a b a b a b .........-+++≥+++≥+++ 17()17().其中，1122n n a b a b a b ...+++称正序和，n 1n 121n a b a b a b ...-+++称反序和，1122n n x b x b x b ...+++称乱序和. 故17()式可记为：18()6.2推论：若12n a a a ,,...,为实数，设12n x x x (,,...,)为12n a a a (,,...,)的一个排序，则：22212n 1122n n a a a a x a x a x ......+++≥+++ 19()Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切x y a b ,[,]∈，01(,)α∈，若函数f a b R :[,]→是向下凸函数，则：f x 1y f x 1f y (())()()()ααα+-≤+- 20()20()式是向下凸函数的定义式.注：f a b R :[,]→表示区间a b [,]和函数f x ()在a b [,]区间都是实数.7.2若f a b R :(,)→对任意x a b (,)∈，存在二次导数f x 0''()≥，则f x ()在a b (,)区间为向下凸函数；iff x a b (,)∈时，若f x 0''()>，则f x ()在a b (,)区间为严格向下凸函数. 7.3若12n f f f ,,...,在a b (,)区间为向下凸函数，则函数1122n n c f c f c f ...+++在在a b (,)区间对任何12n c c c 0,,...,(,)∈∞也是向下凸函数.7.4若f a b R :(,)→是一个在a b (,)区间的向下凸函数，设n N ∈，12n 01,,...,(,)ααα∈为实数，且12n 1...ααα+++=，则对任何12n x x x a b ,,...,(,)∈，有：1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ 21()21()简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，则对一切x y z a b ,,[,]∈，有：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 22() 22()8.2波波维奇亚不等式可以写成：x y z f x f y f z x y y z z xf f f f 3322223()()()()()()()++++++++++≥23() 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若f a b R :[,]→是一个在a b [,]区间的向下凸函数，12n a a a a b ,,...,[,]∈，则：12n 12n f a f a f a n n 2f a n 1f b f b f b ()()...()()()()[()()...()]++++-≥-+++ 24()其中：12n a a a a n...+++=，i j i j 1b a n 1≠=-∑（对所有的i ）24()当1a x =，2a y =，3a z =，n 3=时，x y z a 3++=，1y z b 2+=，2z x b 2+=，3x yb 2+=代入23()式得：x y z y z z x x yf x f y f z 3f 2f f f 3222()()()()[()()()]++++++++≥++ 即：x y z f x f y f z 2x y y z z xf f f f 333222()()()()[()()()]++++++++≥++ 25() 25()式正是22()式.Ch9. 加权不等式9.1若i a 0(,)∈∞，i 01[,]α∈（i 12n ,,...,=），且12n 1...ααα+++=，则：n 1212n 1122n n a a a a a a ......αααααα≤+++ 26()26()26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数a b 0,>，实数p q 1,>且111p q+=，则：p q a b ab p q ≤+ 27() iff p q a b =时，等号成立.27()10.2若12n a a a ,,...和12n b b b ,,...为正实数，p q 1,>且111p q+=，则： 11p p p q q q pq1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b ...(...)(...)+++≤++++++ 28()28()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成：11p p p q q q p q1122n n 12n 12n a b a b a b a a a b b b n n n.........()()+++++++++≤ 29()即：2n p q D ab M a M b [()]()()≤n D ab ()≥ 30()简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”. （注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是111p q+=，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若12n a a a ,,...、12n b b b ,,...和12n m m m ,,...为三个正实数序列，p q 1,>且111p q+=，则：11nnnpqp qi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31() 31()iff p p pn 12q q q 12na a ab b b ...===时，等号成立.10.5若ij a (i 12m ,,...,=;j 12n ,,...,=)，12n ,,...,ααα为正实数且...12n 1ααα+++=，则：()()jj m mnn ijij j 1j 1i 1i 1aa αα====≤∏∏∑∑ 32()32()10.6推论：若123a a a N ,,+∈，123b b b N ,,+∈，123c c c N ,,+∈，则：3333333333123123123111222333a a a b b b c c c a b c a b c a b c ()()()()++++++≥++ 33()简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：111nnnppppppi i i i i 1i 1i 1a b a b (())()()===+≤+∑∑∑ 34()iff n 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 34()11.2若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,为正实数，且p 1>，则：11n nnpp p p p pi i i i i 1i 1i 1a b a b ()()()===⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 35()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 35()11.3若12n a a a ,,...,；12n b b b ,,...,；12n m m m ,,...,为三个正实数序列，且p 1>，则：111nnnppppppi i i i i i i i 1i 1i 1a b m a m b m (())()()===+≤+∑∑∑ 36()iffn 1212na a ab b b ...===时，等号成立. 36()Ch12.牛顿不等式12.1若12n a a a ,,...,为任意实数，考虑多项式：n n 112n 01n 1n P x x a x a x a c x c x c x c ()()()...()...--=+++=++++ 37()的系数01n c c c ,,...,作为12n a a a ,,...,的函数可表达为：0c 1=；112n c a a a ...=+++；21213n 1n i j c a a a a a a a a ...-=+++=∑；（i j n <≤） 3i j k c a a a =∑；（i j k n <<≤） ……n 12n c a a a ...=.对每个k 12n ,,...,=，我们定义k k k k n c k n k p c C n !()!!-== 38() 则37()式类似于二项式定理，系数为：kk nk c C p =. 12.2若12n a a a ,,...,为正实数，则对每个k 12n 1,,...,=-有：2k 1k 1k p p p -+≤ 39()iff 12k a a a ...===时，等号成立.39()Ch13.麦克劳林不等式13.1若12n a a a ,,...,为正实数，按38()定义，则：111kn212k n p p p p ......≥≥≥≥ 40()iff 12k a a a ...===时，等号成立.40()Ch14.定义多项式14.1若12n x x x ,,...,为正实数序列，并设12n ,,...,ααα为任意实数.记：n 1212n 12n F x x x x x x (,,...,)...ααα=；12n T [,,...,]ααα为12n F x x x (,,...,)所有可能的积之和，遍及12n ,,...,ααα的所有轮换.14.2举例说明⑴ T 100[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2和第3个参数的指数是0.故：[,,]()!()()100100100T 10031x y z y x z z y x 2x y z =-⋅++=++.⑵ T 11[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个和第2个参数的指数是1.故：[,]()!()11T 1121x y 2xy =-⋅=.⑶ T 12[,]：表示共有2个参数的所有积之和，共有22!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2.故：[,]()!()121222T 1221x y y x xy x y =-⋅+=+.⑷ T 121[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是1，第2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1.故：[,,]()222T 1212xy z x yz xyz =++.即：[,,][,,]T 121T 211=⑸ T 210[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是2，第2个参数的指数是1，第3个参数的指数是0.故：222222T 210x y x z y x y z z x z y [,,]=+++++.⑹ T 300[,,]：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是3，第2个和第3个参数的指数是0.故：333T 3002x y z [,,]()=++.⑺ [,,]T a b c ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!=项.第1个参数的指数是a ，第2个参数的指数是b ，第3个参数的指数是c .故：[,,]a b c a c b b c a b a c c a b c b a T a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++.由于[,,][,,][,,][,,][,,]...T a b c T b c a T c a b T c b a T b a c =====表达式比较多，所以我们规定：[,,]T a b c （a b c ≥≥）.Ch15.舒尔不等式15.1若R α∈，且0β>，则：[,,][,,][,,]T 200T 2T 0αβαββαββ++≥+ ()41()4115.2 解析()41式[,,]()222T 2002x y z αβαβαβαβ++++=++；[,,]()T 2x y z x y z x y z αβββαβββααββ=++；[,,]T 0x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββαββ+++++++=+++++将上式代入()41式得：222x y z x y z x y z x y z αβαβαβαβββαβββα++++++++x y x y y z y z x z x z αβββαβαβββαββαβαββ++++++≥+++++即：222y x y z z x y x z x y z αβααββαβαβββββα++++++++y x y y z x y x z 0z x z βαβββααββαβββαβαββ++++++------≥即：()()22x x y z x y x z y y x z x y y z αβββββββαβββββββ++--+--()2z z x y y z x z 0αβββββββ++-≥-即：()()()()()()x x y x z y y z y x z z x z y 0αββββαββββαββββ--+--+--≥ ()42()42式与()4115.3若实数,,x y z 0>，设t R ∈，则：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ()43iff x y z ==或,x y z 0==及轮换，等号成立.按照()41式写法，即：t α=，1β=，则：[,,][,,][,,]T t 200T t 112T t 110++≥+ ()44()43式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数,,x y z 0>，实数,,a b c 0>且a b c ≥≥或a b c ≤≤，则：()()()()()()a x y x z b y z y x c z x z y 0--+--+--≥ ()45()43式中，t x a =，t y b =，t z c =，就得到()45式.15.5推论：设实数,,x y z 0>，则：[()()()]3333332223xyz x y z 2xy yz zx +++≥++ ()4615.6推论：若(,]k 03∈，则对于一切,,a b c R +∈，有：()()()2222k 3k k abc a b c 2ab bc ca -++++≥++ ()47Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列()(,,...,)n i i 112n ββββ==和()(,,...,)n i i 112n αααα==，当满足下列条件：⑴ ......12n 12n βββααα+++=+++ ①⑵ ...12n βββ≥≥≥且...12n ααα≥≥≥ ②⑶ ......12s 12s βββααα+++≤+++ ③对一切[,]s 1n ∈，③式都成立.则：()n i i 1β=就是()n i i 1α=的优化值，记作：()()i i βα<.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若,,...,12n x x x 为非负实数序列，设()i α和()i β为正实数序列，且()()i i βα<，则：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.()4817.2解析()48式若实数123a a a 0≥≥≥，实数123b b b 0≥≥≥，且满足11a b ≥，1212a a b b +≥+，123123a a a b b b ++=++；设,,x y z 0>，则：满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <条件，则：[,,]333333121221211221b b b b b b b b b b b b b b b b b b 123T b b b x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++[,,]333333121221211221a a a a a a a a a a a a a a a a a a 123T a a a x y z x y z x y z x y z x y z x y z =+++++ 即()48式为： [,,][,,]123123T b b b T a a a ≤用通俗的方法表达即：331212a b a a b b sym sym x y z x y z ≥∑∑ ()49()49.17.3例题：设(,,)x y z 为非负变量序列，考虑(,,)221和(,,)311.由16.1中的序列优化得：(,,)(,,)221311<由缪尔海德不等式()48式得：[,,][,,]T 221T 311< ①[,,]()222222T 2212x y z x yz xy z =++ ②[,,]()333T 3112x yz xy z xyz =++ ③将②③代入①得：222222333x y z x yz xy z x yz xy z xyz ++≤++即：222xy yz zx x y z ++≤++ ④由柯西不等式：()()()2222222x y z y z x xy yz zx ++++≥++即：()()22222x y z xy yz zx ++≥++即：222x y z xy yz zx ++≥++ ⑤⑤式④式等价，这就证明了④式是成立的，而缪尔海德不等式直接得到①式是成立的. ⑤式可以用[,,][,,]T 200T 110≥来表示，这正是缪尔海德不等式的()48式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间I R ∈的函数f 为向下凸函数，且当,i i a b I ∈（,,...,i 12n =）两个序列()n i i 1a =和()n i i 1b =满足()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++≥+++ ()50()5018.2若函数f 为严格向下凸函数，即不等取等号，()()i i a b ≠，且()()i i a b >，则：()()...()()()...()12n 12n f a f a f a f b f b f b +++>+++ ()51若函数f 为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调增函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≥；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调增函数，当x y >时，有()()f x f y >.19.2若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为单调减函数，则当x y ≥时，有()()f x f y ≤；若f 在区间(,)a b 对一切,(,)x y a b ∈为严格单调减函数，当x y >时，有()()f x f y <.19.3若实数函数:(,)f a b R →在区间(,)a b 为可导函数，当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≥，则f 在区间(,)a b 为单调递增函数；当对一切(,)x a b ∈，'()f x 0≤，则f 在区间(,)a b 为单调递减函数.19.4设两个函数:[,]f a b R →和:[,]g a b R →满足下列条件：⑴ 函数f 和g 在[,]a b 区间是连续的，且()()f a g a =；⑵ 函数f 和g 在[,]a b 区间可导；⑶ 导数'()'()f x g x >对一切(,)x a b ∈成立，则对一切(,)x a b ∈有：()()f x g x > ()52()52Ch20.3个对称变量pqr 法20.1设,,x y z R +∈，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =，则,,p q r R +∈.代换后的不等式(,,)f p q r ，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为pqr 法.20.2常用的代换如下：⑴22cyc x p 2q =-∑ ⑵()32cyc x p p 3q 3r =-+∑ ⑶ 222cycx y q 2pr =-∑⑷ ()()()x y y z z x pq r +++=-⑸()()2cyc x y y z p q ++=+∑ ⑹ ()cycxy x y pq 3r +=-∑⑺ ()()()1x 1y 1z 1p q r +++=+++⑻ ()()cyc1x 1y 32p q ++=++∑⑼()()2cyc cycx y z xy x y pq 3r +=+=-∑∑20.3常用的pqr 法的不等式若,,x y z 0≥，则：⑴ 3p qr 4pq +≥⑵ pq 9r ≥⑶ 2p 3q ≥⑷ 3p 27r ≥⑸ 32q 27r ≥⑹ 2q 3pr ≥⑺ 32p 9r 7pq +≥⑻ 322p 9r 7pqr +≥⑼ 22p q 3pr 4q +≥Ch21.3个对称变量uvw 法21.1在,,a b c R ∈的不等式中，采用下列变量代换：3u a b c =++；23v ab bc ca =++；3w abc =.上述变换强烈含有“平均”的意味：u 对应“算术平均值”；v 对应“积均值”；w 对应“几何平均值”. 21.2当,,a b c 0≥时，则：u v w ≥≥ ()53()53即：“算术平均值”≥“积均值”≥“几何平均值”.21.3若,,a b c 0≥，则,,23u v w 0≥ ()54()5421.4若,,23u v w R ∈，任给,,a b c R ∈，则当且仅当22u v ≥，且[32323w 3uv 2u 3uv 2u ∈---+时，则：3u a b c =++，23v ab bc ca =++，3w abc =等式成立.这称为uvw 定理.Ch22.ABC 法22.1 ABC 法即Abstract Concreteness Method设p x y z =++；q xy yz zx =++；r xyz =.则函数(,,)f x y z 变换为(,,)f r q p .这与Ch20.3个对称变量pqr 法类似.22.2若函数(,,)f r q p 是单调的，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.3若函数(,,)f r q p 是凸函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.4若函数(,,)f r q p 是r 的线性函数，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值. 22.5若函数(,,)f r q p 是r 的二次三项式，则当()()()x y y z z x 0---=时，(,,)f r q p 达到极值.Ch23.SOS 法23.1 SOS 法即Sum Of Squares23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式：()()()222a b c S S b c S a c S a b =-+-+- ()55其中，,,a b c S S S 分别都是,,a b c 的函数.⑴ 若,,a b c S S S 0≥，则S 0≥；⑵ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,b b a b c S S S S S 0++≥，则S 0≥； ⑶ 若a b c ≥≥或a b c ≤≤，且,,,a c a b c b S S S 2S S 2S 0++≥，则S 0≥；⑷ 若a b c ≥≥，且,,22b c b a S S a S b S 0+≥，则S 0≥；⑸ 若a b S S 0+≥或b c S S 0+≥或c a S S 0+≥，且a b b c c a S S S S S S 0++≥，则S 0≥. 23.3 常用的形式⑴ ()22cyc cyc cyc 1a ab a b 2-=-∑∑∑⑵ ()32cyc cyc cyc1a 3abc a a b 2-=⋅-∑∑∑ ⑶ ()223cyc cyccyc 1a b ab a b 3-=-∑∑∑ ⑷ ()()322cyc cyc cyc1a a b 2a b a b 3-=+-∑∑∑ ⑸()333cyc cyccyc cyc 1a b ab a b a 3-=⋅-∑∑∑∑ ⑹ ()()42222cyc cyc cyca ab 2a b a b -=+-∑∑∑ Ch24.SMV 法24.1 SMV 法即Strong Mixing Variables Method本法对多于2个变量的对称不等式非常有用.24.2 设(,,...,)12n x x x 为任意实数序列，⑴ 选择,{,,...,}i j 12n ∈使min{,,...,}i 12n x x x x =，max{,,...,}j 12n x x x x =； ⑵ 用其平均数i j x x 2+代替i x 和j x ，经过多次代换后各项i x （,,...,i 12n =）都趋于相同的极限...12n x x x x n+++=. 24.3 设实数空间的函数F 是一个对称的连续函数，满足(,,...,)(,,...,)12n 12n F a a a F b b b ≥ ()56其中，(,,...,)12n b b b 序列是由(,,...,)12n a a a 序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如a b2+. 24.4 例题说明例题：设实数,,a b c 0>，证明：a b c 3b c c a a b 2++≥+++. 解析：采用SMV 法. 设：(,,)a b c f a b c b c c a a b =+++++ ① 则：(,,)t t c 2t c f t t c t c c t t t t c 2t =++=+++++ ② 其中，a b t 2+=. 由②得：(,,)()()2t c 112t c t 113f t t c 2t c 2t 22t c 2t 222+=++-=+-≥-=++ 由()56式得：(,,)(,,)3f a b c f t t c 2≥≥证毕. Ch25.拉格朗日乘数法 25.1 设函数(,,...,)12n f x x x 在实数空间的I R ∈连续可导，且(,,...,)i 12n g x x x 0=，其中（,,....i 12k =），即有k 个约束条件，则(,,...,)12n f x x x 的极值出现在I 区间的边界或偏导数（函数为ki i i 1L f g λ==-∑）全部为零的点上.Ch26.三角不等式26.1 设,,(,)0αβγπ∈，且αβγπ++=，则,,αβγ就是同一个三角形的内角. 26.2 若,,αβγ为同一个三角形的内角，则有下列不等式：⑴ sin sin sin 2αβγ++≤； ⑵ cos cos cos 32αβγ++≤；⑶ sin sin sin αβγ≤； ⑷ cos cos cos 18αβγ≤； ⑸ sin sin sin 22294αβγ++≤； ⑹ cos cos cos 22234αβγ++≥； ⑺ tan tan tan αβγ++≥；⑻ cot cot cot αβγ++≥；⑼ sinsin sin 32222αβγ++≤；⑽ coscos cos 222αβγ++≤； ⑾ sinsin sin 12228αβγ≤；⑿ cos cos cos 2228αβγ≤； ⒀ sin sin sin 22232224αβγ++≥； ⒁ cos cos cos 22292224αβγ++≤； ⒂ tantan tan222αβγ++≥ ⒃ cot cot cot222αβγ++≥Ch27.习题27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥. 27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 27.3 设,,...,12n a a a R +∈，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++.27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b+++++≥+++++.27.7设,a b 0>，n N ∈，求证：()()n n n 1a b112b a++++≥.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32≤. 27.10 设,,a b c R ∈. 27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++. 27.15设,,a b c 0≥，求证：()33331a b c abc a b c 7+++≥++. 27.16设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：2224a b c 3abc 9+++≥. 27.17设,,...,12n a a a 0>，求证：()()...()()()...()222n 1212n 231a a a 1a 1a 1a 111a a a +++≤+++. 27.18设,,,a b c d 0>，且abcd 1=，求证：()()()()2222111111a 1b 1c 1d +++≥++++.27.19设,,,a b c d 0≥，且a b c d 4+++=，求证：()()()()2222abc bcd cda dab abc bcd cda dab 8+++++++≤.27.20设,,a b c 0≥，且222a b c 3++=，求证：222222a b b c c d a b c ++≤++.27.21设,,a b c R ∈，求证：()()()2222223333333a ab b b bc c c ca a a b b c c a -+-+-+≥++.27.22设,,,a b c d 0>，且a b c d abcd 5++++=，求证：11114a b c d+++≥.27.23设不等式：()()()()2222222222ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-≤++对一切实数,,a b c 都成立，求M 的最小值.27.24设,,a b c 0≥，且a b c 3++=，求证：()()222a b b c c a ab bc ca 9++++≤.Ch27.习题解析27.1 设,,...,(,]12n x x x 01∈，求证：()()...()321111x x x n 12n 1x 1x 1x 2+++≥.解析：设：n 11x x +=，则：因为i x 01(,]∈，所以i11x [,)∈+∞ （i 12n ,,...,=）由伯努利不等式2()：当i x 1>-且i 1[,)α∈+∞时，i i i i 1x 1x ()αα+≥+ ①iff i x 0=或i 1α=时，①式等号成立.由均值不等式3()：i i 1x α+≥ ②iff i i x 1α=时，②式等号成立.由①②式得：i i 1x ()α+≥ ③iff i i x 1α==时， ③式等号成立.设：i i 11x α+=，则由③式得：i 11x i 1x ()++≥ ④则：21x 11x ()+≥31x 21x ()+≥11x n 1x ()+≥上面各式相乘得：321111x x x n 12n 1x 1x 1x 22()()...()+++≥=. 证毕.27.2 设,,...,12n x x x 0≥，且...12n 1x x x 2+++=，求证：()()...()12n 11x 1x 1x 2---≥. 解析：因为i x 0≥，ni i 11x 2==∑，所以i 1x 02[,]∈ 设i i y x =-，则i 1y 012[,]∈->-由伯努利不等式1()：12n 12n 1y 1y 1y 1y y y ()()...()(...)+++≥++++ ① 将i i y x =-代入①式，并代入...12n 1x x x 2+++=得： 12n 12n 111x 1x 1x 1x x x 122()()...()(...)---≥-+++=-=. 证毕.27.3 设12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=......12n a a a +≤+++. 解析：因为12n a a a 0,,...,>，且...12n a a a 1=，所以由均值不等式3()n ...+≥=1≥ ①iff 12n a a a 1...====时，①式等号成立.由柯西不等式8()：2222222111...](...)...++++++≥+即：212n a a a n (...)...+++⋅≥即：12n a a a (...)...+++≥+ ②iff 12n a a a 1...====时，②式等号成立.将①式代入②式得：12n a a a ......+++≥+ ③iff 12n a a a 1...====时， ③式等号成立. 证毕.27.4 设,,a b c 0>，且abc 1=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++. 解析：因为,,a b c 0>，且abc 1=，所以由均值不等式3()：222222222a b b c c a a b c ab bc ca 222+++++=++≥++ ① iff a b c 1===时，①式等号成立.由均值不等式3()：a b c 3++≥=，即：a b c13++≥ ② iff a b c 1===时，②式等号成立.WLOG ，设a b c ≤≤，则因为,,a b c 0>，所以222a b c ≤≤由切比雪夫不等式14()：222222a b c a b c 3a a b b c c ()()()++++≤⋅+⋅+⋅ 即：333222a b ca b c a b c 3()++++≥⋅++ ③ iff a b c 1===时，③式等号成立.将①②代入③式得：333a b c ab bc ca ++≥++ ④iff a b c 1===时， ④式等号成立. 证毕.27.5 设,,,a b c d 0>，求证：a b c d 2b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3+++≥++++++++.解析：记A b 2c 3d =++，B c 2d 3a =++，C d 2a 3b =++，D a 2b 3c =++则：aA bB cC dD 4ab ac ad bc bd cd ()+++=+++++ ① 待证式为：a b c d 2A B C D 3+++≥ ② 由柯西不等式8()：2a b c daA bB cC dD a b c d A B C D()()()++++++≥+++ 即：2a b c d a b c d A B C D aA bB cC dD ()++++++≥+++ ③由②③式，只需证明2a b c d 2aA bB cC dD 3()+++≥+++ ④设多项式：P x x a x b x c x d ()()()()()=++++43201234c x c x c x c x c =++++则： 1c a b c d =+++ ⑤2c ab ac ad bc bd cd =+++++代入①式得：2aA bB cC dD 4c +++= ⑥ 根据定义38()：k k k nc p C =得：11114c c p C 4==，即：11c 4p =；22224c c p C 6==，即：22c 6p = 则：2221112222c 16p p 24c a b cd aA bB cC 6p 3D p d 4()==⋅++⋅+++=+ ⑦ 由麦克劳林不等式40()：1212p p ≥，即：212p 1p ≥代入⑦式得：2a b c d aA bB c dD 23C ()++++≥++，④式得证. iff a b c d ===时，等号成立. 证毕.27.6 设,,a b c 0>，求证：222a bc b ca c aba b c b c c a a b +++++≥+++++. 解析：不等式左边=222a b c b c c b c c b c a c a a b ba a ab +++++++++++ 不等式右边=()()()a c ab a bc b c a b c c a a b b c +++++=+++++222ab a ac b c c a b c c a a b b c ca b b =+++++++++++ 则不等式其实就是：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++ ① 由于是对称不等式，WLOG ，假设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥ ②且b c a c a b +≤+≤+，即：111b c c a a b ≥≥+++③则有排序不等式()18：222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 其中，222a b c b c c a a b +++++为正序和；222c a b b c c a a b+++++为乱序和. iff a b c ==时，等号成立. 证毕.27.7设,a b 0>，n N ∈证：()()n n n 1a b112b a++++≥.解析：当n 0=时，()()00a b112b a+++=，0122+=，不等式成立；当n 1=时，()()11a b a b1124b a b a+++=++≥，1124+=，不等式成立；当n 2≥时，构建函数()n f x x =. 则函数的导数'()n 1f x nx -=；二次导数''()()n 2f x n n 1x 0-=-≥，故在x 0>时函数为向下凸函数. 由琴生不等式()20：()()()1212f x f x x x f 22++≥ ①将()()n 1a f x 1b =+，()()n 2bf x 1a=+ ，()()()[][()]n n n 12b a 11x x 1b a a b f 12222a b++++==++≥ 带入①式得：()()n nn a b11b a 22+++≥，即：()()n n n 1a b 112b a ++++≥ 综上，当n 0=、n 1=和n 2≥时， ()()n n n 1a b112b a ++++≥都成立,即n N ∈时，()()n n n 1a b112b a++++≥成立. 证毕.27.8 设,,...,12n x x x R +∈，且...22212n x x x 1+++=，若n N ∈，n 2≥，求(,,...,)...()()()555n 1212n nnni 1i 2i ni 1i 1i 1x x x f x x x x x x x x x ====+++---∑∑∑的最小值.解析：记ni i 1S x ==∑，（,,...,i 12n =）.则(,,...,) (555)n 1212n 12nx x x f x x x S x S x S x =+++---①WLOG 假设...12n x x x ≥≥≥，则...44412n x x x ≥≥≥ ② 由于ni i 1S x ==∑，所以()nk i k i 1S x x x =-=-∑与k x 无关，则kkx S x -与k x 同单调性. 即：...n 1212nx x x S x S x S x ≥≥≥--- ③ 由切比雪夫不等式14()：若(,,...,)12n a a a 与(,,...,)12n b b b 同单调性，则有：12n 12n 1122n n a a a b b b n a b a b a b (...)(...)(...)++++++≤+++ ④设：4i i a x =，ni nx b S x =-，（,,...,i 12n =），则满足{}i a 与{}i b 同单调性. 代入④式得：(...)(...)(...)4444n n 111n 1n 1n 1nx x x x x x n x x S x S x S x S x ++++≤⋅++⋅---- 即：......()(...)5445n 1n n 111n 1n x x x x x xf S x S x n S x S x ++=++≥⋅++---- ⑤由均值不等式()3：n n Q A ≥...221n x x 1n n ++=故：...441n 1x x n++≥ ⑥ 构建函数：()xg x S x=- ⑦ 则导函数：'()()2S g x S x =-，''()()32Sg x 0S x =>- 故()g x 为向下凸函数.由琴生不等式21()：(...)()()...()1122n n 1122n n g x x x g x g x g x αααααα+++≤+++ 取加权i 1nα=（,,...,i 12n =）时，上式变为：...()()...()()12n 12n x x x g x g x g x g n n++++++≤⑧ 即：...()()...()()12n12n x x x g x g x g x n g n++++++≥⋅即：.........12n n 112n1n x x x Sx x n n n n n x x x S S x S x n 1S S n n +++++≥⋅=⋅=+++----- ⑨ 将⑥和⑨式代入⑤式得：...()55n 11n x x 11n 1f S x S x n n n 1n n 1=++≥⋅⋅=---- 故：(,,...,)12n f x x x 的最小值是()1n n 1-.27.9 设,,a b c R +∈，且a b c abc ++=32≤. 解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为：2222x y 1ab+=时，常常采用的参数方程是：cos x a θ=，sin y b θ=，因为将它带入方程时满足cos sin 221θθ+=，这个三角函数的基本关系. 对于三角形的内角,,A B C ，同样有关系A B C π++=和tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 而本题初始条件a b c abc ++=.设tan a A =.tan b B =，tan c C =，因为,,a b c R +∈，所以,,(,)A B C 02π∈ ①则当,,A B C 为三角形的内角时，A B C π++=， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=满足条件. 带入不等式左边得：+=+cos cos cos A B C =++ ②构建函数()cos f x x =-，则在(,)x 02π∈区间函数()f x 为向下凸函数，故由琴生不等式21()得：函数值的均值不小于均值的函数值.1122n n 1122n n f x x x f x f x f x (...)()()...()αααααα+++≤+++ ③当加权...12n 1nααα====时，③式变为： ()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥即：()()()()f A f B f C A B Cf 33++++≥ ④即：cos cos cos cos()cos A B C A B C 13332π++++-≥-=-=-即：cos cos cos 3A B C 2++≤ ⑤32≤. 证毕.27.10 设,,a b c R ∈2+≥. 解析：因为,,a b c R ∈，由柯西不等式12()式...+≥=≥2==.≥证毕.27.11设,,a b c R +∈，且ab bc ca 3++=,求证：()()()2221a 1b 1c 8+++≥. 解析：对赫尔德不等式32()：jjm nn mijij i 1j 1j 1i 1aa ()()αα====≤∑∏∏∑ 32()当 n 4=，m 4=，123414αααα====时，32()式为： ()()()()1111444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a +++[()()()()]1411213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ≤++++++++++++即：()()()()11213141122232421323334314243444a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++[()()()()]11114444411121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ≥+++ ①设：11a 1=，221a a =，231a b =，2241a a b =；12a 1=，2222a c a =，232a c =，242a a =； 13a 1=，223a c =，2233a b c =，243a b =； 14a 1=，24a 1=，34a 1=，44a 1=.代入①式得：()()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1c b c b 1111+++⋅+++⋅+++⋅+++[()()()()]1111222222222222444441111a c a c 1b c b c 1a b a b 1≥⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()41ac bc ab =+++ ②②式就是赫尔德不等式.()()()2222221a 1b 1c +++()()()()()()2222221a 1b 1c 1a 1b 1c =++⋅++⋅++()()()2222222222221a b a b 1c a c a 1b c b c =+++⋅+++⋅+++()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1b c b c 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++()()()()222222222222222211a b a b 1c a c a 1c b c b 11114=+++⋅+++⋅+++⋅+++ 将②式代入上式得：(())()()2222224111a 1b 1c 4ac bc ab ++++++≤开方出来即：()()()()222211a 1b 1c 21ac bc ab ++++++≤③ 将ab bc ca 3++=代入③式得：()()(())222211a 1b 1c 8213++++=≤. iff a b c 1===时等号成立. 证毕.27.12设,,a b c 0>，且a b c 1++=，求证：()()3332226a b c 15a b c +++≥++. 解析：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =，则：p 1=⑴22cycx p 2q=-∑； ⑵ ()32cycx p p 3q 3r =-+∑则：2222a b c p 2q ++=-；()3332a b c p p 3q 3r 13q 3r ++=-+=-+于是，待证式变为：()()2613q 3r 15p 2q -++≥-即：28q 18r 0-+≥，即：14q 9r 0-+≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ ①⑴ 3p qr 4pq +≥，即：3p 4pq 9r 0-+≥ 故：①式成立，即待证式成立. 证毕.27.13设,,a b c 0≥，且a b c 2++=，求证：444333a b c abc a b c +++≥++. 解析：由舒尔不等式()43：()()()()()()t t t x x y x z y y z y x z z x z y 0--+--+--≥ ①即：()()()t 2t 2t 2x x xy xz yz y y yz xy zx z z zx yz xy 0--++--++--+≥ 即：()()()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1x x yz y y zx z z xy x y z y z x z x y ++++++++≥+++++ 即：()()()t 2t t 2t t 2t t 1t 1t 1x x yz y xy z z xyz x y z y z x z x y +++++++++++≥+++++ 即：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 1x y z x y z xyz x y z y z x z x y +++---++++++++≥+++++ 两边都加t 2t 2t 2x y z +++++得：()()()()t 2t 2t 2t 1t 1t 1t 1t 1t 12x y z x y z xyz x y z x y z +++---++++++++≥++++ ② ②式就是舒尔不等式.设t 2=，代入②式得：()()()()4443332x y z x y z xyz x y z x y z +++++≥++++ 将a b c 2++=代入上式得：()()4443332x y z 2xyz 2x y z +++≥++ 即：444333a b c abc a b c +++≥++ ③ ③式就是我们要证明的不等式. 证毕.27.14设,,a b c 0>，求证：()()()()3333338a b c a b b c c a ++≥+++++.解析：待证式化为：()()()3333332222228a b c 2a b c 3a b ab b c bc c a ca ++≥++++++++即：()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++ ① 解析1：缪尔海德不等式()48：[][]i i T T βα≤ ()48iff ()()i i αβ=或...12n x x x ===时，等号成立.由于[,,]()333T 3002a b c =++，[,,]222222a b ab b c bc c a ca T 210+++++= 满足缪尔海德不等式的条件，即：(,,)(,,)123b b b 210=，(,,)(,,)123a a a 300=，故满足序列(,,)(,,)123123b b b a a a <.则：[,,][,,]T 210T 300≤，即：①式成立. 证毕. 解析2：采用pqr 法.设：p a b c =++，q ab bc ca =++，r abc =. 在20.2常用的代换如下：。

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＝
ｔ０￣ｌ＋ｌ／＝
１；）＠（Ａｙ
（’ ６
证明 ∑ ＠ｘｙ）＋；ｘａ
ｋ＝０
多项式之间的组合恒等式．
￣－（，ｘｃｎｋ，毫
ｆ＝０
ｋ＝ｌ＼Ｚ／
定理２１如果ｎ为正整数，为实或复参数，．
熹Ｉ２）ｒ（［＋－ｋ？＿ｒ＿Ａｋ－ｙｊ
证 ’ 明． ‘ ‘号＝・［２１丢０叭（ｋ）］ ● ｌ＝ｋ４・ｔ）
＝
和推论４．
定理２６如果ｋ为非负整数，为实或复参．
关键词：ｐｓｌｅｎｕｌ多项式；ｐｓｌｕｅ多项式；成函数Ａｏｔ —ＢｒｏｌｏｉＡｏｔ —Ｅｌｒｏ生
中图分类号：Ｏ７．６１４５
收稿日期：００— ９— ５２１０２
文献标识码：Ａ
文章编号：０９—４７（００）５—０４—０１０９０２１００１３
（）１
ｃ
＝
ｋ＝１
ｃ（ｙ毫；（Ｔ毫（１１（ｎｋ－－￣；－ｋ１）ｙｋ（ｔ
一
ｎ－ｋ
）
∑ ＠
ｎ
＝
Ⅲ ）
：：
１＝１
ｆ
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ｋ
、
一
－
Ｏ
ｎ
！・
ห้องสมุดไป่ตู้
１；警）
（＋ｌｈ＜７；Ｉ￡ｏｒ１：＝１２ｇ１）
证明
ｋ＝ｌ
＝
ｋ
／＝１
ｆ）几
ｌ
“日一ｚ＋
（５）
ｅ多项式＠（Ａ）以用生成函数定义为ｒ；可
（） ‘ｘｅｔ．，Ａ）
＝
ｋ＝ｌ
窆
．
＝
（＋ｌｇ＜２ｒ：＝１１ｏＡＩ７；１ｔ）
（）。ｘｅｔ＝
ｎ
＋Ｉ
Ｅ（ｘ＋ｙｘ＝）
￣（）・Ｅｙｘ
．
）刊＝（砉。ｋ－１（）
毫，Ｔ．＝）０（ｇ、Ｊ
＝
＝１１，０、１＋
［２＋ｒ一ｒ］，ＥＡ（）ｋ
（）３
Ａ
（；）＝ ∞（Ａ＝．ｘＡ；）
（）４
＝
＋
２组合恒等式
下面我们用发生函数理论结合某些运算技巧，
建立一些Ａｏｔ —Ｂｒｏｌ多项式、ｐｓｌｕｅｐｓｌｅｕｌｏｎｉＡｏｔ —Ｅｌｏｒ
显然，我们可得
（）２
＝
窆（）
／１＝
一日．＋
∑ （ｙＡ＋；）
ｋ＝Ｏ
定理２２如果ｎ为正整数，为实或复参数，．那么我们有
（）＝（；）（）＝Ａ．Ａ：０Ａ，Ａ：２＠（１；）
韩艺兵
（信息工程大学理学院数理系，河南郑州４００）５００
摘要：本文主要用生成函数理论结合某些运算技巧得到了Ａｏｔｌｅｕｌ多项式、Ａｏｔｌｕｅ多项式ｐｓ —Ｂｍｏｔｏｉｐｓ —Ｅｌｏｒ之间的一系列漂亮的组合恒等式．在等式中适当的选取参数，以得到已有的著名的关于Ｂｒｏｌ多项式、可ｅｕｌｎｉＥｌｒｕｅ多项式之间的组合恒等式．
注当入＝１时，定理２３推论２４和推论．、．
２５即为关于Ｂｒｏｌ数Ｂ．ｅｕｌｎｉ和Ｅｌｕｅｒ数Ｅ的组合恒等式
ｋ－Ｉ
Ｅ（的组合恒等式）
耋
ｋ＝０
ｘ＝｛＇ｘ＋ｘ “ Ｌ．（“ Ｈ一。ｎ．一ｎｋ：，Ｙ】ｎ／）、－Ｂ
那么我们有
＝
１
洛阳师范学院学报２１第５期００年
・５・ｌ
＝
（ｎ，ｆ１＋／＋￣
＝２
主Ａ２一］（）［（Ａ）
＝０、１／
（８）
注当＝１时，定理２１和定理２２即为如．．下关于Ｂｒｏｌ多项式Ｂ（和关于Ｅｌｒｅｕｌｎｉ）ｕｅ多项式
作者简介：艺兵（９２一）女，韩１８，河南洛阳人，信息工程大学理学院文职人员．
ｎ
１基本概念及性质
在文献［］文献［］，义了Ａｏｔ —Ｂｒ１和２中定ｐｓｌｅ．ａ
ｎｕｉｏｌ多项式，ｐｓｌｕｅｌＡｏｔ —Ｅｌａｒ多项式及其性质如下．定义１１．对于任意的实数ａ或复数，Ａｏｔｌｅｎｕｌ多项式孵（Ａ与ＡｏｔｌＥｌｐｓ —Ｂｒｏｌａｉ；）ｐｓ — ｕ— ａ
２１００年１Ｏ月
洛阳师范学院学报
ＪｕａｏｕｙｎｒｌＵｎｖｒｉｏｒｌｆＬｏａｇＮｏｍａｉｅｓｔｎｙ
０ｃ．．０１ｔ２０Ｖｏ．Ｎｏ５】２９．
第２９卷第５期
Ａｏｔｌｅｎｕｌ—Ｅｌｐｓａ —Ｂｒｏｌｉｕｅｒ多项式的若干恒等式
＝
这两个等式即为文献［］中的引理３２３．．
定理２３如果ｋ为正整数，．入为实或复参数，
薹（
２
那么我们有
后Ｉ一１一）－（）ｋ，ｋ￣ｚ ∑ｆ（１－Ａ：－ｊ
这三个等式即为文献［４］中的定理１、推论１