2017北师版从梯子的倾斜程度谈起.doc

第九课时 回顾与思考学习目标知识与能力目标能通过回顾与思考，建立起本章的知识框架图；能利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；体会到直角三角形边角关系这一数学模型在现实生活中的广泛的应用价值．过程与方法目标学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，进一步感悟三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．情感与价值观要求在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益；认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点、难点建立本章的知识结构框架图；应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教具准备多媒体演示、计算器教学过程回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系． 利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题1]举例说明，三角函数在现实生活中的应用．例1：甲、乙两楼相距30 m ，甲楼高40 m ，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30×33=40+103=57(m)， 即乙楼的高度约为57 m ．例2，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m 的P 和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T 在P 的正南方向，在Q 南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)． 解：根据题意，∠TPQ ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ ＝180 m ． 则：PT 就是所求的河宽．在Rt △TPQ 中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m ，即河宽为151 m ．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．典例1：如图．MN 表示某引水工程的一段设计路线从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°的方向上有一点A ，以A为圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB ＝400 m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA ＝60°，∠EBA ＝75°，MB=400 m ，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°． ∴∠ABN=45°． ∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝ BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MDAD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663．而 ︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现 ααcos sin ＝tan α． 这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt △ABC 中．∠C ＝90° ∵sinA ＝AB BC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA,tanA=AA cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=AB AC sin 2A+ cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解： ∵cosA ＝ .53=∠斜边的邻边A设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =- ∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [问题3]：你能应用三角函数解决哪些问题?锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ； sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．问题：是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a.又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°． (2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3) ∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝cb ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．[问题4]：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．本章内容框架：随堂练习1．计算 (1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°； (3).60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ， ① 在Rt △BDE 中．tan30°=xy 30-， ② 由①得y ＝3x ，代入②得33=x x 303-. x=153≈25．98(m)． 将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．归纳提炼本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用． 课后作业复习题A 组1，2，5，6，8 B 组2．3，4，5，6活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β③用皮尺测得AC=am ． (2)CD=αtan a , BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a .。