最新中学生数学竞赛题解 09
初三数学竞赛试题(含答案)-
初三数学竞赛试题班级 姓名一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30AB ＝8cm, 里面空 心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C s i n c B s i n b +的值是等于 。
数学竞赛 全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1D E FS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A FC B A C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b a b a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者815a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
初三数学竞赛试题及答案解析
（第7题图）BCD GFE（第5题图） 全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、902、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）A 、5-B 、5C 、9-D 、9 3、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。
若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。
初三数学竞赛题解析
初三数学竞赛题解析数学是一门智力与逻辑的结合体，对于初中生来说，参加数学竞赛是提高数学能力的绝佳途径之一。
在这篇文章中，我们将解析一些初三数学竞赛题，帮助大家理解解题思路与方法。
一、整式的运算整式的运算是数学竞赛中常见的题型之一。
下面我们以一个例题来解析整式的运算方法。
例题：计算多项式的值：P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4，当x = -2时，P(x)的值为多少？解析：将x = -2代入多项式P(x)中，得到P(-2) = 2*(-2)^3 - 3*(-2)^2 + 5*(-2) - 4 = -16 + 12 - 10 - 4 = -18。
因此，当x = -2时，P(x)的值为-18。
二、方程与不等式方程与不等式是数学竞赛中常见的题型之二。
下面我们以一个例题来解析方程与不等式的解法。
例题：求解方程：2x + 3 = 7。
解析：首先，我们将方程化简为一次方程形式，即2x = 7 - 3，得到2x = 4。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
三、几何图形的性质几何图形的性质是数学竞赛中常见的题型之三。
下面我们以一个例题来解析几何图形的性质。
例题：已知△ABC中，AB = AC，∠BAC = 40°，垂直平分线AD与BC交于点D，求∠ADC的度数。
解析：由于AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，即∠BAC = ∠BCA。
又因为垂直平分线AD将△ABC分成两个等腰三角形，所以∠BDA = ∠BAC = 40°。
又由于∠BDA是直角，所以∠ADC = 90° - ∠BDA = 90° - 40° = 50°。
因此，∠ADC的度数为50°。
四、函数与图像函数与图像是数学竞赛中常见的题型之四。
下面我们以一个例题来解析函数与图像的关系。
例题：已知函数y = f(x)的图像如下图所示，求函数f(x)的解析式。
九年级数学竞赛试题及答案
九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。
全国初中数学竞赛试题和答案解析
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正OAB CED整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
浙江初三初中数学竞赛测试带答案解析
浙江初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．2.下列式子成立的是（）A．a a=a B．（a b）= a bC．0.0081=8.1×10D．3.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( )A．，，B．，，C．32，42，52D．1，2，34.使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≤1B．x≤1且x≠－2C．x≠－2D．x＜1且x≠－25.解关于x的方程时产生增根，则m的值等于（）A．－2B．－1C．1D．26.二次函数的图象可能是（）7.如图几何体的俯视图是（）8.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（）A．8B．10C．11D．129.如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C 移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定二、填空题1.⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是 .2.规定"*"为一种运算，它满足a*b=，那么1992*(1992*1992)=____。
3.已知直角三角形的两条边x、y的长满足，则第三边长为4.有五根木条，分别为12cm，10cm，8cm，6cm，4cm，则从中任取三根能组成三角形的概率为5.如图所示，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标为、，其中、下列结论：①；②；③；④；正确的结论是 .三、解答题1.解方程：2.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案
世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案题一以下是一个等差数列，求这个数列的公差和前10项的和。
数列为：2, 5, 8, 11, …解答：这个数列的公差为3，所以可以利用等差数列的求和公式来求解。
首先计算第10项的值： a10 = a1 + (n - 1)d = 2 + (10 - 1)3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29接下来利用等差数列的求和公式计算前10项的和： Sn = n/2 * (a1 + an) = 10/2 * (2 + 29) = 5 * 31 = 155所以这个等差数列的公差为3，前10项的和为155。
题二已知三个数的和是18，且其中一个数是另外两个数之和的两倍。
求这三个数分别是多少。
解答：设三个数分别为x, y, z。
根据已知条件，可以得到以下两个等式： x + y + z = 18 (1) x = 2(y + z) (2)将(2)代入(1)中得到： 2(y + z) + y + z = 18 3y + 3z = 18 y + z = 6 (3)将(3)代入(2)中得到： x = 2(6) x = 12综上所述，三个数分别为12, 2, 4。
题三一个水桶可以装18升的水，现在已经装了12升水，还剩下多少升的空间可以继续装水？解答：水桶的总容量为18升，已经装了12升水，所以剩下的空间可以继续装水的容量为18 - 12 = 6升。
题四某班有32个学生，其中男生和女生的比例是7:5，求男生和女生的人数各是多少？解答：设男生人数为7x，女生人数为5x，根据已知条件可以得到以下等式： 7x + 5x = 32合并同类项并解方程得到： 12x = 32 x = 32/12 x = 2.67由于人数必须是整数，所以取最接近的整数，即x = 3。
男生人数 = 7x = 7 * 3 = 21 女生人数 = 5x = 5 * 3 = 15所以男生人数为21人，女生人数为15人。
2023年初三数学竞赛试卷
九年级数学竞赛考试卷考号姓名一、选择题（每题3分, 共24分）每题只有一种答案是对旳旳, 请在答题卡上对应题目旳答题区域内作答, 答对旳得4分, 答错、不答或答案超过一种旳一律得0分.1. 下列计算对旳旳是（）A. B. C. D.2．用配措施解一元二次方程, 下列配方对旳旳是（）A. B. C. D.3.如图，用放大镜将图形放大，应当属于.. ）A. 相似变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换4.在抛掷一枚均匀硬币旳试验中，假如没有硬币，则下列可作试验替代物旳是....）A.一颗骰子B.一种啤酒瓶盖.C.两张扑克牌（一张黑桃, 一张红桃.. D.一颗图钉5．如图, 在平面直角坐标系中, 已知点, 点,则=cos（）∠OABA. B. C. D.6．如图, 在□中, , , 是对角线上旳任意一点, 过点作∥ , 与□旳两条边分别交于点, ．设, , 则下面能大体反应与之间关系旳图像为（）B. C. D.A. B. C. D.7.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D.已知AC= , BC=2, 那么sin∠ACD＝（）A. B. C. D.8.已知函数y=x2-2x-2旳图象如图所示，根据其中提供旳信息，可求得使y≥1成立旳x旳取值范围是...）A. -1≤x≤3B. -3≤x≤1C. x≥-3D. x≤-1或x≥3二、填空题（每题3分, 共36分）在答题卡上对应题目旳答题区域内作答。
9. 化简: ；10. 一元二次方程旳二次项系数、一次项系数、常数项旳和为；11. 要使式子故意义, 旳取值范围是；12．某一种“爱心小组”有3名女生和2名男生, 现从中任选1人去参与学校组织旳“献爱心”志愿者活动, 则选中女生旳概率为____________；13. 顺次连结等腰梯形各边旳中点所得旳四边形是____________；14. 如图, 在坡度为1:2旳山坡上种树, 规定株距（相邻两树间旳水平距离）是米, 斜坡上相邻两树间旳坡面距离是米；15. 设是方程旳两个实数根, 则旳值为___________；16. 已知: 如图, 旳面积为, 中位线, 则边上旳高为；17. 在一次初三学生数学交流会上, 每两名学生握手一次, 记录共握手253次。
近三年初中数学竞赛真题及解答汇总
近三年初中数学竞赛真题及解答汇总在初中数学的学习中，参加数学竞赛是一项极具挑战性和有益的活动。
它不仅能够检验学生对数学知识的掌握程度，还能培养学生的思维能力和创新精神。
以下是近三年初中数学竞赛的部分真题及详细解答，希望能对同学们的学习有所帮助。
一、2021 年真题（1）已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，则斜边的长度为（）A 5B 7C 5 或 7D 无法确定解答：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
所以斜边的长度为√（3²＋ 4²) ＝√（9 ＋ 16) ＝√25 ＝ 5，答案选 A。
（2）若关于 x 的方程 x²＋ 2x ＋ k ＝ 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（）A 1B －1C 2D －2解答：对于一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0，当判别式△＝ b² 4ac ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根。
在方程 x²＋ 2x ＋ k ＝ 0 中，a ＝1，b ＝ 2，c ＝ k，所以△＝ 2² 4×1×k ＝ 4 4k ＝ 0，解得 k ＝ 1，答案选 A。
（3）在平行四边形 ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可能是（）A 1 ： 2 ： 3 ： 4B 1 ： 2 ： 2 ： 1C 2 ： 2 ： 1 ： 1D 2 ： 1 ：2 ： 1解答：因为平行四边形的两组对角分别相等，所以∠A ＝∠C，∠B ＝∠D。
所以∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值应该是 2 ： 1 ： 2 ：1，答案选 D。
二、2022 年真题（1）若 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 6，则 a²＋ b²的值为（）A 13B 19C 25D 28解答：因为（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²，所以 a²＋ b²＝（a ＋ b)²2ab ＝ 5² 2×6 ＝ 25 12 ＝ 13，答案选 A。
九年级数学竞赛培优专题及答案 09 特殊与一般(含答案)
专题09 特殊与一般——二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是()02≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02=++c bx ax这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>∆时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，aacb AB 42-=;2.当0=∆时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点；3.当0<∆时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是直角三角形，则ac = .（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程b x x +=+-311322有四个不同的实数根，则实数b 的取值范围为 . 解题思路：对于（1），ABC ∆为直角三角形，则A ，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．【例2】设一元二次方程0622=-++k kx x 的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k 的取值范围．解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．【例3】如果抛物线()1122++-+-=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ， （1）求m 的取值范围；（2）若1:3:=b a ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线是否存在一点P ，使得PAB ∆面积等于BCM ∆的面积的8倍？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．【例4】 设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图像与x 轴有2个不同的交点A ()0,1x ，B ()0,2x ． （1）求证：032221>++p x px ；（2）若A ，B 两点之间距离不超过32-p ，求p 的最大值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意，方程022=--p px x 有两个不同的实数根1x ，2x ，于是0>∆，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．【例5】是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k 应满足的条件，借助函数图象解题．【例6】设m ，n 为正整数，且2≠m .如果对一切实数t ，二次函数()mt x mt x y 332--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于n t +2，求m ，n 的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由()0332=--+mt x mt x ，得mt x x =-=21,3，由条件得n t mt +≥+23，因此不等式对任意实数t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．能力训练A 级1．已知二次函数2242m mx x y +-=的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为24，则m = .2．把抛物线()213--=x y 向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴相交于点A (1x ，0)和B (2x ，0)，已知9262221=+x x ，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3．抛物线()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示．（1）判断abc 及ac b 42-的符号：abc 0 ，ac b 42- 0； .（2）当OB OA =时，c b a ,,满足的关系式为________________ .4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a 的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）5．若关于x 的方程0322=+-m x x 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m 的取值范围是（ ）A. 89<m B.8914<<-m C. 59<<-m D. 214-<<-m （天津市竞赛试题） 6．设函数()()5412+-+-=m x m x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A ，B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则m 的值为（ ）A. 8B.-4C. 11D. -4 或117．已知二次函数c bx ax y ++=2与x 轴相交于两点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其顶点坐标为P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--44,22b c b ，AB=21x x -，若1=∆APB S ，则b 与c 的关系是（ ） A. 0142=+-c b B. 0142=--c bC. 0442=+-c bD. 0442=--c b（福州市中考试题）8．设关于x 的方程()0922=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x ，2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a的取值范围是（ ）A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D. 0112<<-a（全国初中数学竞赛试题）第4题图第3题图第6题图9．已知二次函数()()628222+++-=m x m x y ．（1）求证：不论m 取任何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴上；（2）设这个函数的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值． （徐州市中考试题）10．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A (1x ，0)，B (2x ，0)，交轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO BO AO（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）11．已知抛物线m m mx x y -++=2218381与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0) (1x ＜2x )两点，与y 轴交于点C (0，b )，O 为原点．（1）求m 的取值范围．（2）若81>m ，且OC OB OA 3=+，求抛物线的解析式及A ，B ，C 的坐标； （3）在（2）情形下，点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB ，OC 向B ，C 运动，连接PQ 与BC 交于M ，设AP =k ，问：是否存在k 值，使以P ，B ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求所有k 值；若不存在，请说明理由．（黄冈市中考试题）12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B 级1．已知抛物线722-++=m mx x y 与x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则m 的取值范围为 ____________.2．设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，则618323-+a a 的值为 ____________.（全国初中数学联赛试题）3．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则m = .（全国初中数学联赛试题）4．已知抛物线12++=kx x y 与x 轴的正方向相交于A ，B 两点，顶点为C ，△ABC 为等腰直角三角形，则k = .5．如图，已知抛物线q px x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴负半轴于C 点，∠ACB =90°，且OCOB OA 211=-，则△ABC 的外接圆的面积为 .yxCBAO6．已知抛物线12-++=k kx x y ，（1）求证：无论k 为何实数，抛物线经过x 轴上的一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)，两点，且满足：1x ＜2x ，21x x <，6=∆ABC S .问：过A ，B ，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．（武汉市中考试题）7．已知抛物线q px x y ++=2上有一点()00,y x M 位于x 轴下方.（1）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ＜2x ； （2）求证：1x ＜0x ＜2x ;（3）当点M 为（1，-2）时，求整数1x ，2x . （《学习报》公开赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？（南宁市中考试题）图2图19．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程()0)45)(1(2672=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．（绍兴市竞赛试题）10．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 周长最小？若存在，求点出C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．（深圳市中考试题）11．如图1，抛物线32++=bx ax y 经过两点A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线92+-=x y 与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使得△PEF 的内心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）12．已知二次函数c bx x y -+=2的图象经过两点P (1，a )，Q (2，10a ) （1）如果a ，b ，c 都是整数，且a b c 8<<，求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数c bx x y -+=2的图象与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程02=-+c bx x 的两个根都是整数，求△ABC 的面积．（全国初中数学联赛试题）图2图1专题09特殊与一般 ——二次函数与二次方程例1（1）-1 提示：BO AO OC•=2，即.212ac x x c == (2)令,31,132221b x y x x y +=+-=当01=y 时，01322=+-x x ，∴23±=x∴()().0,23,0,23+-Q P①若直线1l 过P 点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=(),2331b +-则;363--=b ②若直线2l 与抛物线PQ 部分相切，恰有三个交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=,31,132221b x y x x y 整理得 (),014335,0133522=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=++-b b x x 则.1213336,1213<<-∴=b b 例2（1）如图1，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⨯->≥--=∆-++==,1122,01,0644,6222kf k k k kx x x f y ∴.37-≤<-k(2)如图2，(),01<f 则.7-<k（3）如图3，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>>∆,4221,04,010kf f ，则.3722-≤<-k322++-=x x y ，1=S点存在,P 点的坐标是:(1,4),(221±，一4). 例4提示:.,2,04421212p x x p x x p p -==+>+=∆(1)原式=()().0444232222121>+=++=+++p p p x x p p p px px(2)()3244422122112-≤+=-+=-=p p p x x x x x x AB 两边平方，解得169≤p . 169=p 符合题意，故p 的最大值为169. 例5这样的k 值不存在，理由如下:设()()()23122+--+==k x k x x f y 并作出如图所示的图象，则()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=-<>+--+=>+--+=≥++-=∆.42122,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，这个不等式组无解. 例6 由,23n t mt +≥+得()(),2322n t mt +≥+即()().09464222≥-+-+-n t n m t m 由题意知，,042≠-m 且上式对一切实数t 恒成立，故()()()⎩⎨⎧≤----=∆>-,094446042222n m n m m 即()⎩⎨⎧≤->,064,22mn m 得⎩⎨⎧==2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m A 级1.2± 2.35632-+-=x x y 提示:设平移后的抛物线的解析式为().132k x y +--= 3.（1）< > (2)ac -b +1=0 4.0<a <1 提示:当x =1时,y <0. 5. C 提示:设(),322m x x x f +-=，由已知画出y = f (x )的大致图象，知()(),01,02<->-f f ()(),03,02><f f 联立解得.59-<<-m 6.C 7.D 8.D 提示：,09212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x a x 记,9212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a x y 则这个抛物线开口向上，由题意得x =1时, y <0. 9. (1)证明略 (2)2±=m 10.(1)m =1,223212--=x x y (2) 存在这样的P 点，其横坐标为0x ，使∠APB 为锐角.提示:A (一1,0),B (4,0),C (0，一2). ,222AB BC AC =+△ABC 为直角三角形，过A ，B ，C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径，C 点关于直线23=x 的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一交点，M （3，-2），.300<<x 11.(1)181>m (2)()()().4,0,0,4,0,8.423812C B A x x y --++= (3)当PQ ∥AC 时，则,QO CO PO AP =即,48k k k k -=-解得;38=k 当PQ ∥AC 时，∠CAB =∠PMB 时，同理可求得,2=k 故存在k 符合题目条件，38=k 或2时，所得三角形与△ABC 相似.12.（1）()()2100110104050102102++-=-+-=x x x x y （150≤<x 且x 为整数）（2）()∴<-=+--=,010.5.24025.5102a x y 当x =5.5时，y 有最大值2402.5.∵150≤<x 且x 为整数，当x =5时，50+x =55,y =2400（元）；当x =6时，50+x =56,y =2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2 400元.(3)当y =2 200时，,2200210011010-2=++x x 解得∴==.10,121x x 当x =1时，50+x =51；当x =10时，50+x =60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2 200元; 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．1．m ＜2 提示：f (1)＜0.2. 5 796 提示：a 2－a －1＝0，a 4＝(a ＋1)2＝3a ＋2，a 8 ＝(3a ＋2)2 ＝21a ＋13，a 16＝(21a ＋13)2 ＝987a ＋610，a 18＝（987a ＋ 610）（a ＋1）＝987a 2＋1597a ＋610＝2584a ＋1597，a －6＝1a 4•a 2＝18a ＋5.3. 4 提示：由题意得3×（－95）2＋m （－95）－2＞0，3×（37）2＋m （37）－2＞0，－95＜－m 6＜37.解得3821＜m ＜41345． 4．－2 25. 2π 提示：设A (x 1,0)，B (x 2,0),OA ＝―x 1，OB ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－q ＝q 2－p q 2＝2|q | ,解得⎩⎨⎧q ＝－1p ＝－2.y ＝x 2－2x －1,AB ＝|x 2―x 1|＝2 2.6．(1)抛物线恒过x 轴上一定点(－1，0)． (2)过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵|x 1|＜| x 2|，C 点在y 轴上，C 不是抛物线顶点，x 1＝－1,x 2＞1，即x 2＝1－k ＞1，得k ＜0，由S △ABC ＝6得k ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1，根据对称性，D 点坐标(2，－3）．， 7．(1)由y 0＝x 02＋Px 0＋q ＝（x 0＋p 2）2－p 2－4q 4，得p 2－4q ＝4 (x 0＋p 2）2－4 y 0≥―4y 0＞0. (2)将p ＝－（x 1＋x 2）,q ＝x 1•x 2,代入y 0＝x 02＋Px 0＋q ＜0,得x 02－(x 1＋x 2)x 0＋x 1x 2＜0,即（x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0.证得x 1＜x 0＜x 2. (3)⎩⎨⎧x 1＝0x 2＝3或⎩⎨⎧x 1＝－1x 2＝2. 8.(1)y 1＝2x ,y 2＝12x 2.(2)设种植树木的资金投入为x 万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元，依题意，得y ＝y 1＋y 2＝2x ＋12（8－x ）2＝12x 2－6x ＋32＝12(x －6)2＋14.∴当x ＝6时，y 最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x ＝6，当0≤x ＜6时，y 随x 的增大而减小，所以x ＝0时，y 最大＝32；当6≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x ＝8时，y 最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。
数学奥林匹克初中训练题(九)含答案
数学奥林匹克初中训练题(九)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.设222)(2005200520042004)M =-⨯+,则下列结论中,正确的是: (A) 0M (B) 1M (C) 0M = (D) 020052004M ⨯( )2.设2a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是: (A) c a b (B) a b c (C) ab c (D) a c b ( )3. []x 表示不大于x 的最大整数,则方程[]2870x x -+=的所有实数解的个数是:(A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )4.如图1,在梯形ABCD 中, 3,,2AB DC AB BC AD AC ====,E,F 分别是CD,AB 的中点,则EF 的长为:(A) (B) (C)(D) ( )5.设k 为实数, ,αβ是方程210x kx +-=的两个根,若()()1αββα--≥,则k 的取值范围是:(A) k ≥(B) k ≤(C) k ≤k ≥ (D) k ≤( )6.如图2, ⊙O 是正方形ABCD 的外接圆,点P 在劣弧AB上,DP 交AO 于点Q,若PQ=QO,则QC AQ等于:(A) 1 (B) 2 (C) (D) 二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.如图3,在梯形ABCD 中,AB ∥CD, ,()AB a CD b ab ==∠C=60O ,∠D=45O ,则梯形ABCD 的面积等于 .2.设k 是实数,关于x 的一元二次方程210x kx k +++=的两个实根分别为12,x x .若2122x x k +=,则k = .3.使得22x x +-是一个整数的平方的整数x 共有 个.4.如图4,在ΔABC 中, ,,BC a CA b AB ===⊥AB.若ΔACD,ΔBCD 的内心分别为I 1,I 2,则I 1I 2= .(用关于,a b 的代数式表示).第 二 试一.(20分)求出所有的实数k ,使得关于x 的一元二次方程22(31)910kx k x k --+-=的两个根都是整数.二.(25分)如图5,在ΔABC 中,∠C=90O ,D 是BC 边上一点,∠ADC=45O ,作DE ⊥AB 于点E,且AE:BE=10:3,若试求∠C 的平分线CF 的长.三.(25分)试求出所有的整数n ,使得221n +能整除355n n -+。
完整word版新人教版九年级数学竞赛试题详解
一、选择题〔每题3分，共１８分〕1．以下说法中，正确的选项是〔〕．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等2．如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图〔不添加辅助线〕可以说明以下哪一个命题是假命题？〔〕．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组对边平行的四边形是梯形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0４．如图，点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，那么PC的最小值为〔〕A．2B．2C．4D．4５．点A、B分别在反比例函数y=〔x＞0〕，y=〔x＞0〕的图象上，且∠AOB=90°，那么∠B=30°，那么k的取值为〔〕第1页〔共21页〕A ．B ．C ．﹣2D ．﹣3６．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有以下结论：△ABD =AB 2①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S 其中正确的结论有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题〔每题 3分，共18分〕 ７．点 C 为线段AB 的黄金分割点，且 AC=1cm ，那么线段AB 的长为８．有三张正面分别写有数字﹣ 1，1，﹣2，的卡片，它们反面完全相同，现将这三张卡片 反面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 m 的值，将抽出的卡片放回去，随机再 抽一张，以其正面的数字作为 n 的值，那么点〔 m ，n 〕在第二象限的概率为 ． ９．甲乙丙三家超市为了促销一种定价为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20%；乙超市 一次性降价 40%；丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要购置这种商品， 最划算的超市是 ． 1０． AB 是半⊙O 的直径，∠D=50°，AD 切⊙O 于点A ，连接DO 交半⊙O 于点E ， 作EC ∥AB 交半⊙O 于C 点，连接 AC ，那么∠CAB 的度数为 ．11．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为 D 〔﹣1，2〕，与x 轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论： b 2﹣4ac ＜0；②当x ＞﹣1时y 随x 增大而减小； a+b+c ＜0；④假设方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，那么 m ＞2； 3a+c ＜0．其中，正确结论的序号是．第2页〔共21页〕12．如图，在矩形ABCD 中，AD=6，CD=4，AD 的中点为E ，点F 是AB 边上一点〔不与A 、B 重合〕，连接EF ，把∠A 沿EF 折叠，使点A 落在点G 处，连接CG ．那么线段CG 的 取值范围是 ．三、解答题〔本大题共７个小题，总分值６４分〕13．〔6分〕x 是一元二次方程 x 2﹣2x+1=0的根，求代数式的值．14．〔9分〕在2021年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就 A 互联网+、B 民生底线、C 中国制造、D 能耗强度等四个热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注〞的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： 〔1〕本次调查中，一共调查了 名同学； 〔2〕条形统计图中， m= ，n= ；〔3〕扇形统计图中，热词B 所在扇形的圆心角的度数是 ； 〔4〕从该校学生中随机抽取一个最关注热词D 的学生的概率是多少？第3页〔共21页〕15．〔9分〕如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．〔1〕利用尺规∠EAC的平分线AD〔保存作图痕迹，不写作法〕；〔2〕假设点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，假设P、Q同时运动．①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；②填空：当t=秒时四边形APCQ一定是矩形；③填空：当t=秒时四边形APCQ一定是菱形．16．〔9分〕如图，函数y=﹣x+4的图象与函数y=〔x＞0〕的图象交于A〔3a，2b﹣9〕、12B〔a，b﹣2〕两点．〔1〕求函数y2的表达式；〔2〕过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥y轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PBD=2S△PAC？假设存在请求出P点坐标；假设不存在请说明理由．第4页〔共21页〕17．〔10分〕如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕．店主将本次销售数据绘制成函数图象．如图1，日销售量y〔千克〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系；如图2，销售单价 p〔元/千克〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系．〔1〕求y关于x和p关于x的函数关系式；〔2〕假设日销售量不低于36千克的时间段为“最正确销售期〞，那么此次销售过程中“最正确销售期〞共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？18．〔10分〕平移、旋转、翻折是几何图形的最根本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以到达解决问题的目的．〔1〕探究发现如图〔1〕，P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度数．解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，那么△APP′是三角形．∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，222∴P'P+PB=P'B∴△BPP′为三角形．∴∠APB的度数为．在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，假设PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；〔3〕拓展迁移如图〔3〕，在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且∠AOD=60°，比拟AD+BC与a的大小关系，并说明理由．第5页〔共21页〕19．〔11分〕如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A 〔﹣2，0〕、B 〔5，0〕两点，与y 交于点C ，点P 〔m ，n 〕为x 轴下方抛物线上一动点．（ 〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，D 、E 为垂足，用含有m 的代数式表示四边形OEPD 的周长l ，并求出周长l 的最大值；3〕作直线BC 、OP ，两直线交于点Q ，试问是否存在点P ，使得△QOC 是等腰三角形？假设存在，请直接写出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由．第6页〔共21页〕参考答案一、选择题〔每题 3分，共24分〕1．〔3分〕〔2005?四川〕以下说法中，正确的选项是〔 〕 A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等【解答】解：A 、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等；B 、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等；C 、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合ASA ；D 、面积相等的两个三角形不一定全等． 应选C ．2．〔3分〕〔2021?资阳〕如图，△ABC 是等腰三角形，点D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，∠ADE=∠DAC ，DE=AC ．运用这个图〔不添加辅助线〕可以说明以下哪一个命题是 假命题？〔 〕．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B ．有一组对边平行的四边形是梯形C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．对角线相等的平行四边形是矩形【解答】解：∵△ABC 是等腰三角形， AB=AC ，∠B=∠C ， 在△ADE 与△DAC 中，∵ ，∴△ADE ≌△DAC ， ∴∠E=∠C ，∴∠B=∠E ，AB=DE ，但是四边形ABDE 不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形说法错误； 应选：C ．3.〔3分〕〔2021?襄阳〕如果关于 x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是〔〕A ．k ＜B ．k ＜且k ≠0第7页〔共21页〕C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．应选：D．4．〔3分〕〔2021?西华县校级模拟〕如图，点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，那么PC的最小值为〔〕A．2B．2C．4D．4【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8，∴PD= OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．应选C．5．〔3分〕点A、B分别在反比例函数y=〔x＞0〕，y=〔x＞0〕的图象上，且∠AOB=90°，那么∠B=30°，那么k的取值为〔〕A．B．C．﹣2 D．﹣3【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，第8页〔共21页〕∴△AOC∽△OBD，∵点A、B分别在反比例函数y=〔x＞0〕，y=〔x＞0〕的图象上，∴S△AOC=，S△OBD=||，∴S△AOC：S△OBD=1：|k|，∴〔〕2=1：|k|，那么在Rt△AOB中，tanB==，1：|k|=1：3，|k|=3∵y=〔x＞0〕的图象在第四象限，k=﹣3．应选D．6．〔3分〕〔2021?孝感〕如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有以下结论：△ABD=AB2①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S其中正确的结论有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG= CG〔30°角所对直角边等于斜边一半〕、BG= CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；第9页〔共21页〕△ABD=AB?DE=AB?BE=AB?AB=AB 2，即④正确．④S综上可得①②④正确，共3个．应选C．二、填空题〔每题3分，共21分〕7．〔3分〕〔2021?高新区校级模拟〕点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，那么线段AB的长为或．【解答】解：①假设AC是较长的线段，∵AC=1cm，∴AB?=AC=1，解得AB=，②假设AC是较短的线段，∵AC=1cm，∴AB?〔1﹣〕=AC=1，解得AB=，综上所述，AB的长是或．故答案为：或8．〔3分〕〔2021?郑州校级三模〕有三张正面分别写有数字﹣1，1，﹣2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片反面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为m的值，将抽出的卡片放回去，随机再抽一张，以其正面的数字作为n的值，那么点〔m，n〕在第二象限的概率为．【解答】解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有〔﹣1，1〕〔﹣1，2〕共2个，所以，P=．故答案为：．9．〔3分〕〔2021?绥化〕甲乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购置这种商品，最划算的超市是乙．【解答】解：降价后三家超市的售价是：2第10页〔共21页〕乙为〔1﹣40%〕，丙为〔1﹣30%〕〔1﹣10%〕， 因为＜＜，所以此时顾客要购置这种商品最划算应到的超市是乙． 故答案为：乙．10．〔3分〕〔2021?郑州校级三模〕AB 是半⊙O 的直径，∠D=50°，AD 切⊙O 于点A ，连接DO 交半⊙O 于点E ，作EC ∥AB 交半⊙O 于C 点，连接AC ，那么∠CAB 的度数为20°．【解答】解：∵AD 切⊙O 于点A ， ∴AD ⊥OA ，∴∠DAO=90°，∴∠AOD=90°﹣∠D=90°﹣50°=40°， ∴∠ECA= ∠AOE=20°，∵CE ∥AB ，∴∠CAB=∠ECA=20°． 故答案为 20°．11．〔3分〕〔2021?郑州校级三模〕抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D 〔﹣1，2〕，与x 轴的一个交点A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论： b 2﹣4ac ＜0；②当x ＞﹣1时y 随x 增大而减小； a+b+c ＜0；④假设方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，那么 m ＞2； 3a+c ＜0．其中，正确结论的序号是 ②③④⑤ ．【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点， b 2﹣4ac ＞0，∴结论①不正确．第11页〔共21页〕∵抛物线的对称轴 x=﹣1，∴当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小， ∴结论②正确．∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0，0〕和〔1，0〕之间，∴当x=1时，y ＜0， a+b+c ＜0，∴结论③正确． ∵y=ax 2+bx+c 的最大值是 2， ∴方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，那么 m ＞2， ∴结论④正确．∵抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣1，b=2a ，a+b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，∴3a+c ＜0， ∴结论⑤正确．综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤． 故答案为：②③④⑤．12．〔3分〕〔2021?郑州校级三模〕如图，在矩形ABCD 中，AD=6，CD=4，AD 的中点为E ， 点F 是AB 边上一点〔不与A 、B 重合〕，连接EF ，把∠A 沿EF 折叠，使点A 落在点G 处， 连接CG ．那么线段 CG 的取值范围是 ＜CG ＜2 ．【解答】解：如下图，在 RT △A ，DC 中，AD=6，CD=4，∴AC==2，把∠A 沿EB 折叠，使点 A 落在点G 处，连接 AG ，DG ， ∴∠EAG=∠EGA ，AE=EG ， AE=DE ，∴EG=ED ， ∴∠ADG=∠EGD ，∴∠AGD=∠AGE+∠EGD=∠DAG+∠ADG=90°，第12页〔共21页〕AE=3，AB=4，∴BE==5，AG?BE=AE?AB，∴AG=，在RT△ADG中，DG===，过G点作MN⊥AD，∴∠AMG=∠AGD=90°，∵∠MAG=∠GAD，∴△AMG∽△AGD，∴==，即==，∴AM=，MG=，∵BN=AM=，MN=CD=4，∴CN=6﹣=，GN=4﹣=，在RT△CNG中，CG==，∴线段CG的取值范围是＜CG＜2，故答案为＜CG＜2．三、解答题〔本大题共8个小题，总分值75分〕13．〔6分〕〔2021?兰州〕x是一元二次方程x 2﹣2x+1=0的根，求代数式的值．第13页〔共21页〕【解答】解：∵x 2﹣2x+1=0， x 1=x 2=1，原式=÷=?=，∴当x=1时，原式= ．14．〔9分〕〔2021?乌审旗模拟〕在2021年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就A 互联网+、B 民生底线、C 中国制造、D 能耗强度等四个热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注〞的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： 1〕本次调查中，一共调查了300名同学； 2〕条形统计图中，m=60，n=90；〔3〕扇形统计图中，热词 B 所在扇形的圆心角的度数是 72°； 〔4〕从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是多少？ 【解答】解：〔1〕105÷35%=300〔人〕． 故答案为：300；2〕n=300×30%=90〔人〕，m=300﹣105﹣90﹣45=60〔人〕．故答案为：60，90； 3〕×360°=72°．故答案为：72°； 〔4〕 ．答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是．15．〔9分〕〔2021?郑州校级三模〕如图，在△ ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，E 是BA 延长线的一点．〔1〕利用尺规∠EAC 的平分线AD 〔保存作图痕迹，不写作法〕 ；〔2〕假设点P 在射线AD 上从点A 开始运动，点 Q 在线段CB 上从点C 向点点B 运动，运动的速度均为1cm/s ，运动时间为t ，假设P 、Q 同时运动．① 连接PQ 交AC 于点O ．求证：AO=CO ；② 填空：当t=6 秒时四边形APCQ 一定是矩形；③ 填空：当t=秒时四边形APCQ 一定是菱形．第14页〔共21页〕【解答】解：〔1〕作图如下：2〕①∵AP 平分∠EAC ，∠EAC=2∠B=2∠C ，∴∠PAC=∠C ， ∴AP ∥BC ，∵点P 和点Q 的速度均为1cm/s ， ∴AP=CQ ，∴AO=CO ；②∵当∠AQC=90°时，四边形AQCP 为矩形， 此时AQ ⊥BC ，CQ= BC=6，∴当t=6时，四边形 AQCP 为矩形；③如图3：当四边形 APCQ 是菱形时，AQ=CQ ， 作AD ⊥CQ 于点D ， 那么CD=BC=6，CQ=AQ=t ，QD=t ﹣6， 在Rt △AQD 中，AQ 2=QD 2+AD 2，即：t 2=〔t ﹣6〕2+82， 解得：t= ，∴当t= 时，四边形 AQCP 为菱形．第15页〔共21页〕16．〔9分〕〔2021?郑州校级三模〕如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=〔x＞0〕的图象交于A〔3a，2b﹣9〕、B〔a，b﹣2〕两点．〔1〕求函数y2的表达式；〔2〕过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥y轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PBD=2S △PAC？假设存在请求出P点坐标；假设不存在请说明理由．【解答】解：〔1〕∵函数y1的图象过A、B两点，∴把A、B两点分别代入函数y1的解析式可得，解得，∴A〔3，1〕，B〔1，3〕，∵函数y2的图象过A点，1=，解得k=3，y2=；〔2〕由〔1〕知A〔3，1〕，B〔1，3〕，第16页〔共21页〕BD=AC=1，∵P点在线段AB上，∴设P点坐标为〔x，﹣x+4〕，其中1≤x≤3，那么P到AC的距离为h A=3﹣x，P到BD的距离为h B=3﹣〔﹣x+4〕=x﹣1，∴S△PBD= BD?h B=×1×〔x﹣1〕=〔x﹣1〕，S△PAC=AC?h A=×1×〔3﹣x〕=〔3﹣x〕，∵S△PBD=2S△PAC，∴〔x﹣1〕=3﹣x，解得x=，且1≤≤3，符合条件，此时﹣x+4=，∴P〔，〕，综上可知存在满足条件的点P，其坐标为〔，〕．17．〔10分〕〔2021?郑州校级三模〕如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕．店主将本次销售数据绘制成函数图象．如图1，日销售量y〔千克〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系；如图2，销售单价p〔元/千克〕与销售时间x〔天〕之间的函数关系．〔1〕求y关于x和p关于x的函数关系式；〔2〕假设日销售量不低于36千克的时间段为“最正确销售期〞，那么此次销售过程中“最正确销售期〞共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【解答】解：〔1〕分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点〔15，45〕，∴15k1=45，解得k1=3，∴y=3x〔0≤x≤15〕；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k 2x+b，∵点〔15，45〕，〔20，0〕在y=k2x+b的图象上，∴解得：y=﹣9x+180〔15＜x≤20〕；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=．〔2〕∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，第17页〔共21页〕∴当10≤x ≤20时，设销售单价p 〔元/千克〕与销售时间x 〔天〕之间的函数解析式为p=mx+n ，∵点〔10，25〕，〔20，15〕在p=mx+n 的图象上， ∴解得： y=﹣x+35〔10≤x ≤20〕， 假设日销售量不低于36千克，那么y ≥36． 当0≤x ≤15时，y=2x ， 解不等式：2x ≥36，得，x ≥13； 当15＜x ≤20时，y=﹣9x+180， 解不等式：﹣9x+180≥36， 得x ≤16， ∴13≤x ≤16，∴“最正确销售期〞共有：16﹣13+1=4〔天〕；∵p=﹣x+35〔10≤x ≤20〕，k=﹣1＜0， ∴p 随x 的增大而减小，∴当13≤x ≤16时，x 取13时，p 有最大值，此时 p=﹣13+35=22〔元/千克〕．答：此次销售过程中“最正确销售期〞共有4天，在此期间销售金额最高是第 13天．18．〔10分〕〔2021?郑州校级三模〕平移、旋转、翻折是几何图形的最根本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以到达解决问题的目的．〔1〕探究发现如图〔1〕，P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB 的度数．解：将△APC 绕点A 旋转到△APB ′的位置，连接PP ′，那么△APP ′是 等边三角形．∵PP ′=PA=3，PB=4，PB ′=PC=5，∴P'P 2+PB 2=P'B 2∴△BPP ′为直角三角形．∴∠APB 的度数为150°．〔2〕类比延伸在正方形ABCD 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，假设PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长； 〔3〕拓展迁移如图〔3〕，在四边形ABCD 中，线段AD 与BC 不平行，AC=BD=a ，AC 与BD 交于点O ，且∠AOD=60°，比拟AD+BC 与a 的大小关系，并说明理由．【解答】解：将△APC 绕点A 旋转到△APB ′的位置，连接 PP ′，那么△APP ′是等边三角形． ∵PP ′=PA=3，PB=4，PB ′=PC=5，第18页〔共21页〕P'P 2+PB 2=P'B 2，∴△BPP ′为直角三角形，∴∠APB 的度数为90°+60°=150° 故答案为：等边；直角； 150°〔2〕如图1，把△ABP 绕点B 顺时针旋转 90°得到△BCP ′，那么P ′B=PB=4，P ′C=PA=2，∵旋转角是90°，∴∠PBP ′=90°，∴△BPP ′是等腰直角三角形， ∴PP ′= PB=4 ，∠PP ′B=45°， ∵∠APB=135°，∴∠CP ′B=∠APB=135°，∴∠PP ′C=135°﹣45°=90°，在Rt △PP ′C 中，由勾股定理得， PC= =6；〔3〕AD+BC ＞a ，理由如下：如图2所示，以 AC 为边向左做等边三角形 PAC ，连接PB ，那么PA=PC=AC=BD=a ，∠PAC=60°，∵∠AOD=60°， ∴PA ∥BD ，∴四边形APBD 是平行四边形，∴AD=PB ，在△PBC 中，可得：PB+BC ＞PC ，即AD+BC ＞a ．19．〔11分〕〔2021?郑州校级三模〕如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A 〔﹣2，0〕、B 〔5，0〕两点，与y 交于点C ，点P 〔m ，n 〕为x 轴下方抛物线上一动点．第19页〔共21页〕〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，D 、E 为垂足，用含有m 的代数式表示四边形OEPD 的周长l ，并求出周长l 的最大值；3〕作直线BC 、OP ，两直线交于点Q ，试问是否存在点P ，使得△QOC 是等腰三角形？假设存在，请直接写出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由．【解答】解：〔1〕根据题意得：，解得：，那么抛物线的解析式是： y=x 2﹣ x ﹣5；〔2〕P 〔m ，n 〕在抛物线上，那么 n= m 2﹣ m ﹣5，那么l=2m ﹣2〔 m 2﹣ m ﹣5〕，即l=﹣m 2+5m+10=﹣〔m ﹣〕2+ ．l ≤，即l 的最大值为 ．〔3〕在y= x 2﹣ x ﹣5中，令x=0，解得y=﹣5，那么C 的坐标是〔0，﹣5〕，那么OC=OB=5． 设线段BC 的解析式是 y=kx+b ， 那么 ，解得： ，那么线段BC 的解析式是 y=x ﹣5〔0＜x ＜5〕． 当OC 时等腰三角形的底边时，即 OQ=CQ 时，那么Q 的坐标是﹣ ，把y=﹣ 代入y=x ﹣5得：x= ，那么Q 的坐标是〔 ，﹣ 〕；当CQ 是等腰三角形的底边，即OC=OQ 时，此时Q 和B 重合，不符合题意；当OQ 是等腰三角形的底边，即OC=CQ 时，CQ=5，且∠OCQ=45°，作QF ⊥y 轴于点F ．第20页〔共21页〕完整word版新人教版九年级数学竞赛试题详解那么CF=QF=，那么OF=5﹣=，那么Q的坐标是〔，〕．总之，Q的坐标是：〔，﹣〕或〔，〕．第21页〔共21页〕21 / 2121。
中学生数学竞赛试题与解析
中学生数学竞赛试题与解析1. 概述这份文档旨在提供中学生数学竞赛试题的解析。
我们将提供一系列数学竞赛试题，并为每道题目提供详细的解析和解题思路，帮助中学生更好地理解和掌握相关数学知识。
2. 试题与解析以下是一些常见的数学竞赛试题类型及其解析：2.1. 几何题问题：在平面直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(6, 7)分别是直线y = mx的两个不同的点，求实数m的值。
解析：根据题意，我们可以得到以下两个条件：1. 直线过点A(2, 3)，所以3 = m * 2。
2. 直线过点B(6, 7)，所以7 = m * 6。
解以上两个方程，可以求得m的值。
2.2. 代数题问题：已知a + b = 5，a^2 + b^2 = 13，求a和b的值。
解析：根据题意，我们可以得到以下两个方程：1. a + b = 52. a^2 + b^2 = 13我们可以使用代数方法解此方程组，通过将第一个方程的平方展开，然后代入第二个方程，可以求得a和b的值。
2.3. 概率题问题：从一副标准扑克牌中随机抽取两张牌，求这两张牌都是红心的概率。
解析：一副标准扑克牌共有52张牌，其中有26张红心牌。
我们需要求出随机抽取两张牌都是红心的概率。
首先，第一张牌是红心的概率为26/52，即1/2。
然后，在第一张牌已经是红心的条件下，第二张牌还是红心的概率为25/51。
因此，两张牌都是红心的概率为(1/2) * (25/51)。
2.4. 数列题问题：已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an + 1，求an的通项公式。
解析：根据题意，数列{an}满足递推关系式：an+1 = 3an + 1。
我们可以通过观察前几项数列的值，发现数列的公差为3，且首项为2。
因此，我们可以猜测数列的通项公式为an = 3^(n-1) + 1。
为了验证我们的猜测，可以使用数学归纳法进行证明。
3. 结论本文档提供了中学生数学竞赛试题的解析，涵盖了几何题、代数题、概率题和数列题等常见题型。