江苏省盐城中学2019届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析

江苏省盐城中学2019届上学期期末考试高三数学试题一、填空题1. 已知集合，则__________．【答案】【解析】因为，，所以，故填．点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．2. 复数，其中为虚数单位，则的虚部为__________．【答案】5【解析】因为，所以的虚部为5.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为__________．【答案】10【解析】由双曲线方程知，所以，即焦距为10.4. 某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的男生数是__________．【答案】630【解析】每层的抽样比为，女生抽了95人，所以男生抽取105人，因此共有男生人，故填630.5. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果为__________．【答案】9【解析】运行程序一次，，第二次运行后，第三次运行后，第四次运行后，不满足条件，跳出循环，输出，故填9.点睛：处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有，，，，，个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于10的概率为__________．【答案】【解析】先后抛掷一颗骰子，共得到基本事件个，其中向上点数之和不小于10的基本事件有，共6个，所以其发生的概率为，故填.7. 在等差数列中，若，则其前9项和的值为__________．【答案】27【解析】根据等差数列的性质知，，所以，又,故填27.8. 若，则的最小值是__________．【答案】9【解析】因为，所以，化简得，所以，当且仅当时等号成立，故填9.点睛：解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件，构造研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.9. 已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，由点向圆所作的两条切线，且，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以,在RT 中，由得，由点在椭圆上知，，所以，解得，又知，故填.10. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______．①若则②若，则③若，则；④若，则【答案】①②【解析】对于①，则正确；②若，则正确；③若，可能，故错误；④若，则也可相交，故错误，综上填①②.11. 已知，，且，则______．【答案】-2【解析】因为，，所以，由得：，所以，故填.12. 已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时，令有一解即可，设，令得，即当时，有极小值，故当时有一公共点，故填或.13. 已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由，当时，无解，适合题意；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得；当时，的解为，此时只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得，综上知，故填.14. 已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为成等比数列，所以，从而，所以，又，即，解得，故.二、解答题15. 如图，在四棱锥中，底面，，是以为斜边的等腰直角三角形，是上的点求证：（1）平面（2）平面平面【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）由可得线面平行；（2）要证面面垂直，找线面垂直，AC可证与PC、CD垂直，其中利用勾股定理逆定理可证得......................试题解析：（1）∵，平面，平面，∴平面.（2）底面，底面由题意可知，且是等腰直角三角形,即又平面平面平面平面16. 如图，在点在边上,为垂足.（1）若的面积为，求的长（2）若，求角的大小【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意，根据三角形的面积公式，求出，再根据余弦定理得，求出的值，由，求得的值；（2）由题意，根据角的正弦值，得，由题意，又根据正弦定理，即，从而可求得角的值.试题解析：（1）∵的面积为，，∴，∴.在中，由余弦定理可得由题意可得. ∴.（2）∵，∴，在中，由正弦定理可得.∵，∴，∴.∴.点睛：此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.17. 我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数;（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）【答案】(1) (2) 选取的长为12米或18米时总造价最低【解析】试题分析：（1）在中，显然，,根据面积公式写出矩形面积；（2）矩形健身场地造价，又的面积为,即草坪造价，写出总造价即可；（3）根据均值不等式即可求出造价的最小值.试题解析：（1）在中，显然，，矩形的面积于是为所求（2）矩形健身场地造价又的面积为,即草坪造价,由总造价(3)当且仅当即时等号成立，此时，解得或答：选取的长为12米或18米时总造价最低.18. 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。

【答案】(1) (2)过原点【解析】试题分析：（1）分析直线的斜率是否存在，若不存在不符合题意，当存在时设直线，根据直线与圆的关系中弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形求解即可；（2）设直线的方程分别为，设点，联立得得同理，计算，同理因为，可得，从而可证.试题解析：（1）因为点是椭圆上的点.即椭圆伴随圆得同理，计算当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得由直线与椭圆有且只有一个公共点得解得，由对称性取直线即圆心到直线的距离为直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长（2）设直线的方程分别为设点联立得则得同理斜率同理因为所以三点共线点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．19. 已经函数的定义域为，设（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数（2）求证（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）【答案】(1) (2)6（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数导数，令得或，所以在上递增，所以要使在为单调函数，则；（2）由（1）知在处取得权小值，又，所以在的最小值为，从而当时，，即；（3）等价于即，记，则，由导数知在上单调递减，在上单调递增，所以，对任意正实数恒成立，等价于，即，再利用导数研究即可.试题解析：（1）因为令得或；令，得所以在上递增，在上递减要使在为单调函数，则所以的取值范围为（2）证：因为在上递增，在上递减，所以在处取得权小值又，所以在的最小值为从而当时，，即（3）等价于即记，则由得，所以在上单调递减，在上单调递增所以对任意正实数恒成立，等价于，即记，则所以在上单调递减，又所以的最大值为6点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.20. 已知数列满足，其中为非零常数（1）若，求证：为等比数列，并求数列的通项公式：（2）若数列是公差不等于零的等差数列①求实数的值②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)①②为全部满足条件的四元子列【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找与比例关系：利用代入化简可得.最后说明各项非零.（2）①令，2，3，根据等差数列性质得，列出关于，的二元一次方程组，解得，的值；再验证满足题意. ②先求数列的前项和，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.试题解析：解：（1）当，时，，.又，不然，这与矛盾，为2为首项，3为公比的等比数列，，.（2）①设，由得，，对任意恒成立.令，2，3，解得，，，.经检验，满足题意.综上，，，.②由①知.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，.由504为偶数知，，，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设，，，则，这与251为奇数矛盾.2）若，，均为偶数，不妨设，，，则，继续奇偶分析知，，中两奇数一个偶数，不妨设，，，则.因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，当时，，，检验得，，，当时，，，检验得，，，当时，，，检验得，，，即，，，或者，，，或者，，，满足条件，综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.21. 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由可解得；（2）矩阵的特征多项式为，令，得矩阵的特征值为与，再分别求其相应的特征向量.试题解析：（1）由（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与当时，矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为；当时，矩阵的属于特征值4的一个特征向量为.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)；圆的参数方程是（为参数），与直线交于两个不同的点，点在圆上运动，求面积的最大值【答案】【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出，设点，则点到直线的距离为，即可求出面积最大值.试题解析：设点，则点到直线的距离为从而求出面积最大值为23. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱. （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据题意，可先求乐队至少演唱1首原创新曲的对立事件的概率来解；（2）根据超几何分布，可写出相应互动指数对应的概率，写出分布列求其期望即可.试题解析：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为，则（2）由题意可得：.,.。