由“d=r”说开去——切线判定定理和性质定理的证明
切线的判定定理和性质定理
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
1、有点连圆心，证垂直 2、无点做垂线，证相等
证明切线时常用辅助线：
∟
T
B
A
O
∵直线AB 经过⊙O上的T点
OT⊥AB
∴直线AB是⊙O的切线
这个命题的题设与结论分别是什么？
③是切线（过切点)
②垂直于直线（切线）
①（OT）过圆心
OT是半径
OT⊥AB
∴直线AB是切线
证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可： ①过半径外端点 ②垂直于这条半径。
切线的判定定理：经过半径外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
●O
A
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线垂直于半径
判定定理：
性质定理：
１如图, PB切⊙O于点B，PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
2 如图：PA,PC分别切⊙ O于点A,C两点,B为⊙ O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=___
r=3
65°或 115°
如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？
F
切线的判定方法
有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
1.看直线与圆交点的个数（有且只有一个）。 2.比较圆心到直线的距离与
L
已知：⊙O内有一点A，过点A能做出几条切线？
已知：⊙O上有一点A，过点A能做出几条切线？
切线的性质、判定，与证明
切线的性质、判定，与证明
切线的证明与计算题是全国中考的重要题型。
切线的判定常在解答题中考查，切线的性质在选择题、填空题及解答题中均有考查，常结合三角形、四边形及二次函数相关知识。
1. 判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常用方法：等角代换；全等证明；平行转化；有时可利用相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线。
2. 典型基本图形：
（牢记这5张图）
▼
练一练。
圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90o 即可．证明：连接OC，BC．C ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90o．∵∠CAB＝30o，∴BC＝12AB＝OB． AO B D∵BD＝OB，∴BC＝12OD．∴∠OCD＝90o．图1∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD 是⊙O 的切线．C 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线D是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠241 3A BOODC＝90o即可．图2证明：连接OD．∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC 平分∠DAB．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点DC的半径．证明：连接OC．123A BO∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD．图3∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC 平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1，B、C 是⊙O 上的点，线段A B 经过圆心O，连接AC、BC，过点C 作CD⊥AB 于D，∠ACD=2∠B．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线．理由：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD 是△BOC 的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB 于D，∴∠DCO+∠COD =90°．∴∠DCO+∠ACD =90°．即OC⊥AC．∵C 为⊙O 上的点，∴AC 是⊙O 的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC 的延长线于点E，且AC 平分∠EAB．求证：DE 是⊙O 的切线．O A=OC，O C，则证明：连接∴∠CAO=∠ACO，∵AC 平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC ，OB=OC，⊙O 与AB 边相切于点D．O D，作OE⊥AC，垂足为E．证明:连接∵AB=ACO, B= O C．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO∠=EAO∵⊙O 与AB 相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD 是⊙O 的半径，∴OE 是⊙O 的半径．∴⊙O 与AC 边相切．【例7】如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F.求证：EF与⊙O 相切.O E，AD.证明：连结∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC ，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF 与⊙O 相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为P A=PD.B C 延长线上一点，且求证：PA与⊙O 相切.结EC.证明一：作直径AE，连∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB= ∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB ，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O 相切.证明二结OA，OE.：延长AD 交⊙O 于E，连∵AD 是∠BAC 的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=90即OA⊥PA.∴PA与⊙O 相切用.综合运说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的【例9】如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.结O D.证明一：连∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.D ∵DM ⊥AC，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM ⊥AC，∴∠2+∠4=90∵OA=OD ，C∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且∠CAB=30 0，BD=OB，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD ，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.2=OD·OP. 【例12】如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且OA求证：PC是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OC OD OP OC.又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O，连结OC，证明CE⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD，△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt△CFG 的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE，0，∠ADE= ∠CDE=45∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE 与△CFG 的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙ D 与AB 切于E 点.A C 与⊙ D 相切.求证：D E，作DF⊥AC，F 是垂足.连结证明一：∵AB 是⊙ D 的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC ，∴∠B=∠C.又∵BD=CD ，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F 在⊙ D 上.∴AC 是⊙ D 的切线结D E，AD，作DF⊥AC，F 是垂足证明二：连∵AB 与⊙ D 相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F 在⊙ D 上.∴AC 与⊙ D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.线的性质0. 【例15】已知：如图，AC，BD 与⊙O 切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90求证：CD 是⊙O 的切线.结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO 交CA 延长线于 F.证明：连∵AC，BD 与⊙O 相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB ，∴△AOF≌△BOD（AAS ）∴OF=OD.0，∵∠COD=90∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.。
初三切线证明的技巧
初三切线证明的技巧初三学习的数学知识中，切线的证明是一个重要的内容。
在证明切线的过程中，可以运用几何知识和代数知识，下面我将从几何和代数两个角度来介绍一些证明切线的技巧。
首先，从几何的角度来看，证明一条直线是另一条曲线的切线，通常需要利用直线与曲线的相切的性质。
在几何证明中，可以利用以下几种方法来证明切线：1. 利用切线的定义，切线是曲线在某一点处的极限位置，可以通过证明直线与曲线在该点处相切，即直线与曲线在该点处有相同的斜率。
2. 利用切线的判定定理，根据切线的定义和切线的判定定理，可以利用曲线的导数或斜率来证明直线与曲线在某一点处相切。
3. 利用几何关系，结合曲线的图形特点和直线的性质，通过观察曲线的几何形状，找出直线与曲线相切的几何关系，从而进行证明。
其次，从代数的角度来看，证明切线也可以运用代数知识和计算方法来进行。
在代数证明中，可以利用以下几种方法来证明切线：1. 利用导数，通过计算曲线在某一点的导数，可以得到曲线在该点的斜率，进而判断直线与曲线在该点处是否相切。
2. 利用函数关系，根据曲线的函数表达式，可以利用函数的性质和关系，通过计算得出曲线与直线在某一点处的相切条件。
3. 利用方程求解，通过建立曲线和直线的方程，可以通过方程的求解过程来证明直线与曲线在某一点处相切的条件。
总之，证明切线的过程需要综合运用几何和代数的知识，通过观察几何形状、计算导数和方程求解等方法来进行证明。
在初三阶段，可以通过多做相关的练习和题目，加深对切线的理解和掌握证明的技巧。
希望这些方法能够帮助你更好地理解和掌握切线的证明技巧。
切线的判定与性质
B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
Or d
l A
1个 切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过 点A作直线l⊥OA。思考：
中考专题解析—切线证明
专题解析——切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ．∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．图1O ABCD【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o ．∴∠ODC ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．O ABCD 图22 341 图3O ABCD2 31思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD是△BOC的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D，∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,O B=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，DC∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ，OCOPODOC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于 F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。
第2课时切线的判定和性质
2020/8/15
类型一:切线的判定定理 例1 已知:如图,AB是☉O的直径,D是 求证:DE是☉O的切线.
的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,
【思路点拨】 1.连接OD,欲证切线,可求证DE与OD垂直; 2.D为弧BC中点可得∠CAD=∠BAD.
类型二:切线的性质定理与判定定理综合运用 例2 已知,AB为☉O的直径,OC平行于弦AD,DC是☉O的切线. 求证:BC是圆的切线.
证明:∵△ABT中,AB=AT, ∠ABT=45°, ∴∠T=45°. ∴∠TAB=90°,即AT⊥AB. 又∵AB是直径, ∴AT是☉O的切线.
【方法技巧】 在解决与圆有关的问题时,常常需要添加辅助线:(1)已知直线是圆的 切线时,通常需要连接圆心和切点,这条半径垂直于切线.(2)要证明一条直线是圆的 切线时:①如果直线经过圆上某一点,则需要连接这点和圆心,得到辅助线半径,再证 明所作半径垂直于这条直线.总结为已知公共点,连半径证垂直;②如果已知条件中直 线与圆的公共点没有确定,那么应过圆心作直线的垂线,得垂线段,再证明这条垂线段 的长等于半径,总结为未知公共点,作垂线证半径.
D
3.如图,已知直线CD与☉O相切于点C,AB为直径,若∠BCD=40°,则∠ABC的大小等 于 50° .
4.如图,CA于 .
90°
5.已知,如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=AB. 求证:AT是☉O的切线.
1.如图,线段AB经过圆心O,交☉O于点A,C,∠B=30°,直线BD与☉O切于点D,则∠ADB的 度数是( C ) (A)150° (B)135° (C)120° (D)100° 2.如图,☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若☉O的半径 为3,则CD的长为( )
切线的性质与判定 经典课件(最新)
点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD= 3 cm.
方法总结
初中数学课件
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接 圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关 性质解题.
当堂练习
初中数学课件
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.
（×）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.
（×）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是 圆的切线.
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（√ ） （√ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （√ ）
初中数学课件
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
初中数学课件
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理， 要证明AC是⊙O的切线，只要
A
E
F
证明由点O向AC所作的垂线段
OF是⊙O的半径就可以了，而 B
O
C
OE是⊙O的半径，因此只需要
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线.
证明：连接AO并延长交⊙O于D,
连接CD,则AD为⊙O的直径.
F
F
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D与∠B同对 »AC, ∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
切线定理的证明方法
切线定理的证明方法切线定理是一种基本的数学定理，用于研究曲线在某一点处的切线。
一个点处的切线是一条与曲线相切的铅直直线，它的斜率等于该点的导数。
切线定理可以用来求解各种曲线的切线，例如圆、椭圆、双曲线和抛物线等等。
切线定理的证明方法有多种，以下是其中一种证明方法：假设有一条曲线y=f(x)，它在点P(x0,y0)处有切线L。
我们可以将切线L 写成以下形式：y-y0=m(x-x0)，其中m 是切线的斜率。
在点P(x0,y0)处，曲线y=f(x) 与切线L 相切，因此它们在该点处有一个公共切点。
这个公共切点的坐标为(x0,y0)，而且它在曲线y=f(x) 上，因此我们可以将其表示为y=f(x0)。
接着，我们考虑曲线y=f(x) 在点P(x0,y0) 处的导数f'(x0)，它代表了曲线在该点处的切线的斜率。
我们可以将导数表示为一个极限：f'(x0)=lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))/delta。
将这个极限代入切线方程中，我们可以得到以下式子：y-y0=(lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))/delta)(x-x0)现在，我们将delta 乘到等号的右边，然后将其去掉，得到以下式子：y-y0=(f(x0+delta)-f(x0))(x-x0)/delta在这个式子的分母中取极限，我们可以得到delta 的值趋近于0，因此式子变成：y-y0=lim(delta->0)(f(x0+delta)-f(x0))(x-x0)/delta现在，我们将导数代入公式中，得到：y-y0=f'(x0)(x-x0)由此可知，切线L 的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，这也是切线定理的证明。
切线的证明方法中考总结
切线的证明方法中考总结切线是一个非常重要的概念，在几何学中有广泛的应用。
证明一个线段是另一条线的切线，有多种方法可以使用。
在这篇文章中，我将总结和讨论一些常用的切线证明方法。
首先，让我们回顾一下什么是切线。
在平面几何中，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
这个交点通常被称为切点。
因此，我们可以认为切线与圆的切点处相切，而离开切点的部分与圆无交点。
下面是一些常用的切线证明方法：1.使用切线定理：切线定理是一种非常常见的切线证明方法。
根据这个定理，如果一条半径与切线相交，那么该半径与切线的交点处就是切点。
因此，我们可以在图形上找到这两条线，并证明它们相交于切点。
2.使用相似三角形：相似三角形是切线证明中常用的一种技巧。
当两个三角形有相似的对应角时，它们的对边之间具有相似的比例关系。
因此，我们可以通过证明两个三角形是相似的来证明一条线段是另一条线的切线。
3.使用切线长度关系：当两个切线相交于圆的外部时，我们可以利用切线长度关系来证明它们相交于切点。
根据切线长度关系，如果两条切线的长度成比例，它们相交于切点，否则它们不相交。
4.使用几何推理：几何推理是我们在切线证明中常用的一种技巧。
通过应用一些基本的几何定理和性质，可以推导出切线的存在。
例如，使用圆的性质可以证明切线与半径垂直、切线对半径的延长线垂直等。
5.使用欧几里得几何学公设：欧几里得几何学公设是我们在切线证明中常用的一种工具。
这些公设包括直线上的任意两点可以相连，任意一条线段可以延长，以及通过一点可以作一条唯一的直线等。
除了上述方法之外，还有一些其他的切线证明方法，如使用角平分线，使用勾股定理等。
这些方法是在具体问题中根据需求和条件选择的。
不同的证明方法有不同的优势和适用范围。
总结起来，切线是一个重要的几何概念，在几何学的问题中有广泛的应用。
证明一条线段是另一条线的切线，我们可以使用切线定理、相似三角形、切线长度关系、几何推理和欧几里得几何学公设等多种方法。
切线的证明
一、知识点回顾1、圆的切线的判定方法有三种：①．定义法：直线 l 与圆只有唯一的公共点②．距离法：圆心 0 与直线 l 的距离d=r③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的证明方法：①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。
简记为：作垂直，证半径。
②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。
简记为：连半径，证垂直。
二、看图，如何添加辅助线三、思考，如何转化 已知：如图，在Rt △ABC 中∠ABC=900，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的中点。
求证：DE 与⊙O 相切。
已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。
1． 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在圆上，∠CAB=30°，求证：DC 是⊙O 的切线．BD A OE O E A BO A C E D O A CE DB D AO E2、已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
求证：EC 与⊙O 相切。
3．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．4、已知如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且，过D 作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.O BA C D E F。
切线怎么证明范文
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证明切线的定义
在微积分中，曲线的切线定义为曲线上两点之间的有穷小距离的线段，而且它垂直于该曲线上的特定点处的切线方向，该曲线必须满足满足一些
性质才可以称为切线。
以下是证明切线定义的证明：
一、定义
首先，我们来看看切线的定义，如上所述，切线应该是曲线上两点之
间的有穷小距离的线段，而且它垂直于该曲线上的特定点处的切线方向，
该曲线必须满足满足一些性质才可以称为切线。
二、定理
我们来看看切线的定理。
定理：若曲线y=f（x）满足f（x0）=y0，f （x）的导数f'（x0）存在，则以（x0，y0）作为端点的线段垂直于y=f （x）在该点处的切线方向。
三、证明
我们来看看如何证明这个定理。
证明：由于y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方向，其斜率应当满足f'（x0）=m。
因此，在x0处的切线与
（x0，y0）作为端点的线段的斜率也应当满足m=f'（x0）。
但是，因为
在这两条线之间，有穷小距离的线段，它们的斜率也应当是相同的。
因此，以（x0，y0）作为端点的线段应当是垂直于y=f（x）在该点处的切线方向。
四、结论
根据上面的证明，可以得出结论：若曲线y=）满足0）=y0。
谈谈切线的证明方法
谈谈切线的证明方法作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2021年第39期【摘要】广东省数学中考从2013年开始至今，连续7年中考命题的第24题都是圆的综合知识的考查。
在圆的综合知识考查中，切线的证明是高频考点，也是重点考点。
因此，笔者对有关切线的证明方法进行了归纳，供大家参考。
【关键词】圆;切线;证明方法证明圆的切线，教材给出了切线的判定方法有以下三种：1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
2.数量法：到圆心的距离d等于半径r的直线是圆的切线，即d=r。
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在上面判定切线的三种方法中，常用的是后面两种，而判定定理更是重中之重。
分析判定定理，不难发现定理包含两个条件：①经过半径的外端;②垂直于这条半径。
因此，根据切线的判定定理，笔者将切线的证明分为两种情况：（1）当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，简单说成“直线与圆有交点：连半径，证垂直”;（2）当已知条件不确定直线与圆是否有交点时，常过圆心作直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，简单说成“不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径”。
一、直线与圆有交点：连半径，证垂直直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”，“证垂直”时，常用的方法有：①利用圆中角的关系，借助角度转换证垂直;②根据已有的垂直关系，利用平行证垂直;③根据已知数据，运用“勾股定理逆定理”证垂直;④借助已有的直角三角形，利用三角形全等证垂直等。
（一）利用圆中角的关系，借助角度转换证垂直1.例题分析例1、如图，AB是☉O的弦，D为半径OA上的一点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交☉O于点F，且CE=CB.求证：BC是☉O的切线。
分析：已知直线BC经过⊙O上的点B，因此，只需连接半径OB，证明OB⊥BC即可。
证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=90°∴∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC又∵OB为⊙O的半径∴BC是⊙O的切线2.往届中考试题解析（2014年广东省中考第24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。
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径 ｒ．
线与圆就只一个交点 呢？”浮躁 的学 习不 易培养严谨 、深
求证 ：直线 Ｚ是圆 ０的切线． 证明 ：’．．０ｌ Ｐ上直 线 Ｚ，垂足 为 点 Ｐ， ． ． 线 段 ＯＰ 表 示 点 ０ 到 直 线 的距离．
Ｑ Ｐ
图 ２
入的思考习惯 ，对概念 的浅层 次理解也 容易造成 浮浅 的 基础．因此 ，重视 基础概念 的学 习，重视 概念 中各 因素之 间 的转 化过程 ，深入 掌握数 学思想 是我们 学习数 学 、攀 登高峰 的奠基石 ，不可视之为当然．
么直 线 Ｚ是 圆 Ｏ 的 切 线 ． 已知 ：如 图 ２，④０ 中，０ｌ Ｐｊ一
垂 直 于 经过 切 点 的半 径 ． 在常 规 的学 习 中，很 多学生 容易 忽视“ｄ＝ｒｇｅ；直 线
直线 ｚ，垂足为点 Ｐ，且 ＯＰ＝圆半
与圆相切 ”的证 明问题 ，不去注 意“为什 么当 —ｒ时 ，直
因此直线 ｚ与Ｏ０的唯一交点是点 Ｐ．
习之源 ，笔者给出 以下两个命 题的证 明 ，以帮助 同学们深 入理解两种方法的相通之处 ，并培养严谨的数学学习习惯．
．．．点 Ｐ既在圆上 ，又在直线 上．
‘ ．．
Ｏｐ＝半径
ｒ，命题得证．
命题 １ 如果圆心 ０到直线 ｚ的距离 ｄ一半径 ｒ。那
说 明 ：命题 ２即圆的切 线的性质定理—— 圆的切 线
点 ，都在 圆 。外 ，此时 ，只有点 Ｐ在 圆上 ，即直 线与 圆只
相 离
相 切
相交
有一个 交点 Ｐ，．‘．直线和圆相切．命题得证．
说明 ：命题 １即圆的切线判定 定理—— 经过 半径 的
直线和 圆的三种位置关系 ，
外 端 并 且 垂 直 于这 条 半径 的 直线 是 圆的 切 线 ．
假设直线与圆 的交 点是 点 Ｑ，连 接 ＯＱ，则 ０Ｑ—ｒ，
合”的方法判断直 线 与圆位 置关 系 ，从 数学概 念理解 上 此时点 Ｑ在圆上 ．
．
较好地体现了“数 学 结合”的数 学思 想 ，二者 相辅 相成．
‘．．直线 ｚ与 圆Ｏ 相切 ，
但“数”与“形”的两种 定 义之 间有 联 系吗？ 当 —ｒ时 ，
图 １
命题 ２ 如果直线 Ｚ是圆 ０ 的切线 。那么 圆心 ０到
由图易知 ：（１）当 ＞ｒ时∞ 直线与 圆没有交点㈢ 直 直线的距离 ｄ：半径 ｒ．
线 与圆相离 ；
已知 ：如 图 ３，直 线 ｚ是 圆 ０
（２）当 —ｒ时∞ 直线 与 圆有一个 交 点∞ 直线 与圆 的切线 ，且过点 ０的线段 ＯＰｊ一直
相 切 ；
线 ｚ，垂足为点 Ｐ，
（３）当 ＜ｒ时∞ 直线 与 圆有两 个交 点∞ 直线 与 圆
求证 ：ＯＰ＝半径 ｒ． Nhomakorabea相 交 ．
证明 ：（以下用 反证法 证 明直
线与圆只有点 Ｐ一个交 点）
这两种判定 直线与 圆的位 置关 系的方法 中 ，第 一种
图 ３
是数据法 ，第二种是 图形法 ，用 数据与 图形这种 “数 形结
（责 任 编 辑 金 铃 ）
根据点到直线 的距离定义“直 线外一点 与直线上各
１６ 中学教学参 考（中旬）２０１２．２总第 １１３期
ｌ
初中数学 “圆和直线的位置关系”有 三种 ：（１）相离 ； 点相连所得 的线段 中，垂线段最短”可以得 到以下 结论 ：
（２）相切 ；（３）相 交．其 判断 方法 有两 种 ：其 一 ，根 据圆 和
若在直线 Ｚ上另取任 意一点 Ｑ，则 ＱＯ＞０Ｐ．
直线 的交点个 数判 断 ；其二 ，根据 圆心到 直线 的距离 与
．。０Ｐ一 圆半 径 ｒ，
半径 的大小 判断．在 日常教 学 中，教 师常用 下 图显示 这
点 ‘
．．
Ｐ是 圆上 的点．
三 种 关 系 ：
．’ＱＯ＞ ＯＰ（即 ＯＱ￣ ｒ），
‘ ．．
根据点
和 圆 的位 置 关 系
即知
，点
Ｑ在
圆
。 外 ．
由 Ｑ点 的任意 性 可知 ，直线 ｚ上除 Ｐ 点 外 的所 有
则 ＯＰ＜ＯＱ，．。．０ｌ Ｐ＜半径 ｒ．
通点吗？如果 只是画 图证 明，不 严谨 ；如果单凭 感觉 ，不
直 线 ‘
．．
ｚ与圆 ０相交 ，则直线
ｚ与圆（）有两个交点
，
能说 明问题 ，我们应 该怎 么证 明“当 —ｒ时 ，直线 与 圆 与 假 设 矛 盾 ．
相切”这样一个命题 （及 其逆命题 ）呢？为 了挖 掘概念学
这两种判定直线与圆的位置关系的方法中第一种是数据法第二种是图形法用数据与图形这种数形结合的方法判断直线与圆位置关系从数学概念理解上较好地体现了数学结合的数学思想二者相辅相成
中 学 教 学 参 考
专题 论析
由“ｄ—ｒ’’说 开 去
— — 切 线判 定 定 理 和 性 质定 理 的证 明
广 西桂 林 市 宝 贤中学 （５４１００１） 潘 薇 羽
．
。 ．
直线
ｚ与
圆０
只有且
只有一个交点
，即点
Ｑ
直线与圆确实只有一个 交点 吗？如何证 明？
‘ ．‘０ｌＰ＿ｉ＿直线 Ｚ，垂 足 为 Ｐ，
课本上对此没有详 细证 明 ，在 常规 学 习中，这“数”、
’ ．．
在直线
Ｚ上
的所 有 点 与 点
０
的连 线
中 ，０＿ Ｐ最 短
，
“形”二定义的渊源也不断被忽略 ，二 者之 间真 的没有沟