Matlab学习系列23. 模糊聚类分析原理及实现

23. 模糊聚类分析原理及实现
聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。

传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。

随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。

由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。

本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。

（一）预备知识
一、模糊等价矩阵
定义1设R=(r ij )n ×n 为模糊矩阵，I 为n 阶单位矩阵，若R 满足 i) 自反性：I ≤R （等价于r ii =1）； ii) 对称性：R T =R;
则称R 为模糊相似矩阵，若再满足
iii) 传递性：R 2
≤R （等价于1()n
ik kj ij k r r r =∨∧≤）
则称R 为模糊等价矩阵。

定理1设R 为n 阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k
（k <n ）, 使得R k 为模糊等价矩阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有R l =R k . R k 称为R 的传递闭包矩阵，记为t(R). 二、模糊矩阵的λ-截矩阵
定义2设A =(a ij )n ×m 为模糊矩阵，对任意的λ∈[0,1], 作矩阵
()
()
ij n m
A a λλ⨯=
其中，
()1, 0, ij ij
ij a a
a λλλ≥⎧=⎨<⎩
称为模糊矩阵A 的λ-截矩阵。

显然，A λ为布尔矩阵，且其等价性与与A 一致。

意义：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。

因此，当λ在[0,1]上变动时，由A λ得到不同的分类。

若λ1＜λ2, 则A λ1≥A λ2, 从而由A λ2确定的分类是由A λ1确定的分类的加细。

当λ从1递减变化到0时，A λ的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。

例1设U={u 1, u 2, u 3, u 4, u 5}, 对给定的U 上的模糊等价关系
让λ从1到0变化，观察分类过程。

(1) 当λ=1时，
110000 01000 00100 00010 00001
R
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类）
{u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5}
(2) 当λ=0.8时，
0.810100 01000 10100 00010 00001
R
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
分类结果为4类：{u1, u3}, {u2}, {u4}, {u5}
(3) 当λ=0.6时，
0.610100 01000 10100 00011 00011
R
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
分类结果为3类：{u1, u3}, {u2}, {u4, u5}
(4) 当λ=0.5时，
0.510111 01000 10111 10111 10111
R
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
分类结果为2类：{u1, u3, u4, u5}, {u2}
(4) 当λ=0.4（R中的最小值）时，
0.4
11111
11111
11111
11111
11111
R
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
分类结果为1类：{u1, u2, u3, u4, u5}
整个动态分类过程如下：
（二）基于择近原则的模糊聚类
择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A和B的接近程度，用N(A,B)表示。

贴近度越大，表明二者越接近。

设论域有限或者在一定区间，即U={u1, u2, …, u n}或U=[a,b], 常用的贴近度有以下三种：
(1) 海明贴近度
1
1
(,)1|()()|
n
i i
i
N A B A u B u
n
=
=--
∑
1
(,)1|()()|d
b
i i
a
N A B A u B u u
b a
=--
-
⎰
(2) 欧氏贴近度
1
2
2
1
(,)1[()()]
n
i i
i
N A B A u B u
=
⎫
=--⎪
⎭
∑
)122
(,)1[()()]d
b
i i
a
N A B A u B u u
=--
⎰
(3) 格贴近度
(,)()()
c c
N A B A B A B
=∧
其中，()
1
()()
n
i i
i
A B A u B u
=
=∨∧.
Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.m function y=fuz_closing(A,B,type)
%要求A与B列数相同的行向量
[m,n]=size(A);
switch type
case 1 %海明贴近度
y=1-sum(abs(A-B))/n;
case 2 %欧氏贴近度
y=1-(sum(A-B).^2)^(1/2)/sqrt(n);
case 3 %格贴近度
y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B));
%ones(m,n)-A等于A^c
y2=max(min(A,B));
y=min(y1,y2);
end
例2设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1, u2, u3, u4, u5. 每一等级的模糊集为
B1={0.5 0.5 0.6 0.4 0.3}
B2={0.3 0.3 0.4 0.2 0.2}
B3={0.2 0.2 0.3 0.1 0.1}
B4={0.1 0.1 0.2 0.1 0}
B5={0.1 0.1 0.1 0.1 0}
假设某产品各评判因素的值为A={0.4 0.3 0.2 0.1 0.2}, 问该产品属于哪个等级？
代码：
A=[0.4 0.3 0.2 0.1 0.2];
B=[0.5 0.5 0.6 0.4 0.3;
0.3 0.3 0.4 0.2 0.2;
0.2 0.2 0.3 0.1 0.1;
0.1 0.1 0.2 0.1 0;
0.1 0.1 0.1 0.1 0];
for i=1:5
haiming(i)=fuz_closing(A,B(i,:),1);
oushi(i)=fuz_closing(A,B(i,:),2);
ge(i)=fuz_closing(A,B(i,:),3);
end
haiming
oushi
ge
运行结果：
haiming = 0.7800 0.9200 0.9000 0.8600 0.8400 oushi = 0.5081 0.9106 0.8658 0.6870 0.6422
ge = 0.4000 0.3000 0.2000 0.2000 0.1000
可见样本A与各等级的格贴近度分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 故可认为该产品属于B1等级。

若按令两种贴近度判断，该产品属于B2等级。

（三）基于模糊等价关系的模糊聚类
一、算法步骤
1. 样本数据归一化
设X={x1, x2, …, x n}为要分类的n个样本，每个样本有m个指标，即
x i={ x i1, x i2, …, x im}, i=1,2,..,n
得到原始数据矩阵X=(x ij)n×m.
由于不同指标的数据量纲不同，为了使数据能够比较，要先对X 做归一化处理。

2. 建立模糊相似矩阵R
先建立样本x i与x j相似程度r ij, 进而构造模糊相似矩阵R=(r ij)n×n
建立r ij 常用的方法有：
(1) 相似系数法
①夹角余弦法：m
ik
jk
ij x
x r ⋅=
∑
②相关系数法：||||
m
ik
i jk j ij x
x x x r -⋅-=
∑(2)距离法
一般取r ij =1-c (d (x i ,x j ))α, 其中c 和α为适当选取的参数，使得 0≤r ij ≤1. 常用的距离有：
①海明距离：1(,)||m
i j ik jk k d x x x x ==-∑
②欧氏距离：(,)i j d x x =
③切比雪夫距离：1
(,)max ||i j ik jk k m
d x x x x ≤≤=- (3) 贴近度法
①最大最小法：11()()
m
ik
jk k ij m
ik
jk k x x r x
x ==∧=
∨∑∑
②算术平均最小法：11
()
1
()2m
ik
jk k ij m
ik jk k x
x r x x ==∧=
+∑∑
③几何平均最小法：11
()
m
ik
jk k ij m
k x
x r ==∧=
∑
3. 求出R 的传递闭包t(R)
即改造相似关系为等价关系：令2R R R =, 再令422R R R =, …, 直到满足2l l l R R R =与R l 相等，即为t(R), 仍记为R.
4. 选取合适的λ, 利用λ-截矩阵R λ进行分类（参考例1）。

二、Matlab 实现
求模糊相似矩阵R 的函数：fuz_distance.m
function R=fuz_distance(x,type)
%x 为归一化的数据矩阵, type 选择计算相似程度的方法 %返回模糊相似矩阵R [n,m]=size(x);
%距离法的选择参数c 和a, 需要根据具体情况修改以保证R(i,j)属于[0,1]
c=0.1; a=1; for i=1:n for j=1:n switch type
case 1 %夹角余弦法
R(i,j)=(x(i,:)*x(j,:)')/(norm(x(i,:),2)*norm(x(j,:),2));
case 2 %相关系数法
Dxi=abs(x(i,:)-mean(x(i,:)));
Dxj=abs(x(j,:)-mean(x(j,:)));
R(i,j)=(Dxi*Dxj')/(norm(Dxi,2)*norm(Dxj,2));
case 3 %海明距离法
d=sum(abs(x(i,:)-x(j,:)));
R(i,j)=1-c*d^a;
case 4 %欧氏距离法
d=norm(x(i,:)-x(j,:),2);
R(i,j)=1-c*d^a;
case 5 %切比雪夫距离法
d=max(abs(x(i,:)-x(j,:)));
R(i,j)=1-c*d^a;
case 6 最大最小(贴近度)法
R(i,j)=sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(max([x(i,:);x(j,:)]));
case 7 算术平均最小(贴近度)法
R(i,j)=2*sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(x(i,:)+x(j,:));
case 8 %几何平均最小(贴近度)法
R(i,j)=sum(min([x(i,:);x(j,:)]))/sum(sqrt(x(i,:).*x(j,:)));
end
end
end
求R的传递闭包t(R)的函数：tran_R.m
function [B,k]=tran_R(R)
%R为模糊相似矩阵, 循环构造满足传递性的t(R)
%k为满足R^2k = R^k的最小的自然数k
n=length(R);
B=zeros(n,n);
flag=0;
k=1/2;
while flag==0
B=fco(R,R); %做模糊合成运算
k=2*k;
if B==R
flag=1;
else
R=B; %循环计算R传递闭包
end
end
上面的函数tran_R.m调用函数矩阵模糊合成算子函数：fco.m function B=fco(Q,R)
%实现模糊合成算子的计算, 要求Q的列数等于R的行数
[n,m]=size(Q);
[m,l]=size(R);
B=zeros(n,l);
for i=1:n
for k=1:l
B(i,k)=max(min([Q(i,:);R(:,k)']));
end
end
求t(R)的λ-截矩阵的函数：fuz_lamda.m
function y=fuz_lamda(X,m)
%用λ-截矩阵将样本分成m类, m≤总样本数
lamda=unique(X)'; %根据R中的值取λ值
%unique函数取矩阵不重复元素组成向量并从小到大排好序X(find(X<lamda(m)))=0;
X(find(X>=lamda(m)))=1;
y=X;
例3某地区设有11个雨量站，其分布如图所示：
10年来各雨量站测得的年降雨量表如下：
现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销哪些雨量站而不会太多地减少降雨信息？
分析：对11个雨量站进行模糊聚类，同一类的只需保留一个即可。

比如，已知该市决定撤销6个只保留5个雨量站，则模糊聚类为5类。

代码：
load data;
%数据归一化
[X,ps]=mapminmax(data',0,1);
X=X';
%选择计算相似程度的方法
type=3; %c=0.1, a=1, 此时也称绝对值减数法
%求模糊相似矩阵R0
R0=fuz_distance(X,type)
%将模糊相似矩阵R0改造成模糊等价矩阵R
[R,k]=tran_R(R0)
%求将样本分成8类的λ-截矩阵
R_lamda=fuz_lamda(R,8)
运行结果及说明：
归一化后的数据矩阵X:
模糊相似矩阵R0:
由R0改造成的模糊等价矩阵R:
k = 8说明R16=R8.
将样本分为5类的λ-截矩阵R_lamda:
可以判断5类分别是：
{x1,x7} {x2, x4,x5,x6} {x3, x9} {x8, x11} {x10}
注：对于这类C均值模糊聚类问题，也可以直接调用Matlab 自带的模糊聚类函数fcm.m求解。

调用方式：
[center,U, obj_fcn,]=fcm(data,cluster_n)
其中，data为归一化后的样本数据，每一行是一个样本；cluster_n 为聚类数；center返回最终的聚类中心矩阵；U为最终的模糊分区矩阵；obj_fcn为迭代过程中的目标函数值（越小越好）。

代码：（X为前面已归一化的样本数据）
[center,U, obj_fcn]=fcm(X,5)
maxU=max(U);
index1 = find(U(1,:)==maxU); %第一类
index2 = find(U(2,:)==maxU); %第二类
index3 = find(U(3,:)==maxU); %第三类
index4 = find(U(4,:)==maxU); %第四类
index5 = find(U(5,:)==maxU); %第五类
class1=X(index1,:) %第一类中的样本数据
class2=X(index2,:) %第二类中的样本数据
class3=X(index3,:) %第三类中的样本数据
class4=X(index4,:) %第四类中的样本数据
class5=X(index5,:) %第五类中的样本数据
运行结果略，对比class1-class5与X, 得到分类结果与前文相同。

另外，分为5类的obj_fcn=1.0578, 如何选取合适的分类数，使得obj_fcn达到最小（最优模糊聚类）放到下一篇。