完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：

2a2b2(a b)22ab

22

拓展一：a b(a b)2ab

11211 2 2

2

a(a)2a(a)2

22

a a a a

2a b2a b22a22b2

2

拓展二：(a b)(a b)4ab

22(a b)2(a b)24ab

(a b)(a b)4ab

2222

拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc

拓展四：杨辉三角形

33232

33

(a b)a a b ab b

444362243 4 (a b)

a a

b a b ab b

拓展五：立方和与立方差

3b a b a ab b

3223b3a b a ab b

22 a()()a()()

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二．常见题型：

（一）公式倍比

。

2 2

a b

例题：已知 a b =4，求ab

2

1 1

(1) x y 1，则 2 2

x xy y = 2

2

2 2

x y

2 ) 2

(2) 已知x x x y ，xy

( 1) ( 则=

２

( 二）公式变形

(1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A=

2 2

(2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为

(3) 如果 2 ( )

2

(x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于

2 (2

3 )

2

( ，则N的代数式是(5)

若2a b a b N

3 )

（三）“知二求一”

1．已知x﹣y=1，x

2+y2=25，求xy 的值．

2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy 的值；

2+3xy+y 2 的值．

（2）求x

3．已知：x+y=3 ，xy=﹣8，求：

2+y2 （1）x

（2）（x

2﹣1）（y2﹣1）．

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4．已知a﹣b=3，ab=2，求：

2

（1）（a+b）

（2）a

2﹣6ab+b2 的值．

（四）整体代入

2 y2

例1：x 24，x y 6，求代数式5x 3y 的值。

例2：已知a=

1

20 x＋20，b=

1

20

x＋19，c=

1

20

2＋b2＋c2－ab－bc－ac 的值

x＋21，求a

2 y

2

⑴若x 3y 7,x 9 49，则x 3y=

2 2

⑵若a b 2 ，则a b 4b

2

= 若a 5b 6，则a 5ab 30b =

⑶已知a2＋b2=6ab 且a＞b ＞0，求

2＋b2=6ab 且a＞b＞0，求a

a

b

b

的值为

⑷已知 a 2 0 0x5 2 0 0 4， b 2005 x 2006 ， c 2005 x 2008 ，则代数式

2 2

a b

2

c a b b c c a 的值是．

（五）杨辉三角

请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

6= ．

根据前面各式的规律，则（a+b）

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（六）首尾互倒

2 2

﹣6m﹣1=0，求2m ﹣6m+ = ．

1．已知m

2．阅读下列解答过程：

2

已知：x≠0，且满足x ﹣3x=1 ．求：的值．

2 2

解：∵x ﹣3x=1，∴x ﹣3x﹣1=0

∴，即．

2+2=11．∴=

=3

请通过阅读以上内容，解答下列问题：

已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，

求：（1）的值；（2）的值．

（七）数形结合

1．如图（1）是一个长为2m，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，

然后按图（2）形状拼成一个正方形．

（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？

（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；

（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2 的值．

2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）2+3ab+b2 就可以用图 1 或图 2 的面积来表示．

（a+b）=2a

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（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；

2

2．（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a

+4ab+3b

（八）规律探求

15．有一系列等式：

1×2×3×4+1=5

2=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）22 22

4×5×6×7+1=29=（4+3×4+1）⋯

（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果

n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．

（2）试猜想

5页）

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