数列通项专题讲义

数列的通项公式专题讲义

纵观近几年高考试题，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．数列常用基本公式及结论：

1、数列的通项与数列的前n 项和的关系：{

11(1)

(2)

n n n S n a S S n -==-≥ 。

2、等差数列通项公式：

1(1)n a a n d =+-()m a n m d

=+-；

m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.

3、等比数列通项公式：11n n a a q -=n m m a q -=； m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅. 注意：⑴累加法：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ；

⑵累乘法：121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ 这是两种求常用的求数列通项公式的方法。

4、等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()2222n n n a a n n d d d

S na n a n +-=

=+=+- 5、等比数列的前n 项和公式： 111 (1)(1) (1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

6、若数列{}n a 成等差数列，则232k k k k k S S S S S --，，……成等差数列.

若数列{}n a 成等比数列，则232k k k k k S S S S S --，，……成等比数列.

7、常用数列的前n 项和：

2

)

1(321+=++++n n n ；2)12(531n n =-++++ ； 2462(1)n n n ++++=+ ；6

)

12)(1(3212222++=

++++n n n n ；

8、常用裂项形式有：111=-； 1111()=-；

=

1k

= 求数列通项的基本方法和技巧

一、观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2） ,17

164,1093,542,211 （3） ,52,2

1,32,

1（4） ,5

4,43,32,21-- 二、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例1．数列{}n a 是等差数列，2a ,5a 是方程2

x 02712=+-x 的两根,数列{}n b 的前n 项和

为n T ,且n T 2

1

1-=n b ()

*∈N n (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;

练习;在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊

），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，

a 3与a s 的等比中项为2。（1)求数列｛a n ｝的通项公式；

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求解。 例1 在数列{}n a 中，1111

1,(1)2n n n

n a a a n ++==++, （I ）设n

n a b n

=，求数列{}n b 的通项公式;

练习：（山东卷文）已知数列{}n a 满足， *1

1212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝

＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

类型2 递推公式为n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2 在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 的表达式

练习：已知数列{}n a 的首项2

1

1=a ，前n 项和n n a n S 2=. （Ⅰ）求证：n n a n n

a 2

1+=

+; （Ⅱ）记n n S b ln =，n T 为{}n b 的前n 项和，求n e

n

T --的值.

类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）

解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例3. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

练习： 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式

类型4 递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数） （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 例4 已知数列{}n a 中，11a =,1

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n n n a a ++=+，求n a 。

练习：（全国卷Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列