重庆市南开中学2015-2016学年高二上学期期中测试数学文试题

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2016届重庆市南开中学高三上学期10月月考数学试卷(文科)解析版

2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则M∩N为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴M={x|x≥1}，由N中不等式变形得：2x（x﹣2）＜1=20，即x2﹣2x＜0，解得：0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．3．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A． B． C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．已知，则的值为（）A． B． C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．5．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率，故当过点A（1，2）时，有最大值为=2，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+×3=48+2π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2﹣2accos60°∴a2+c2﹣ac=3设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0∴△=84﹣3m2≥0，∴0＜m≤2m=2时，a=，c=符合题意∴m的最大值是2故选D．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点F为（﹣，0），一条渐近线方程为y=﹣2x，则F到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[﹣6，6]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的a=6，b=3，P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα）=6sin（α+），由0≤α＜2π，可得≤α+＜，即有sin（α+）∈[﹣1，1]，则m+2n的范围是[﹣6，6]．故答案为：[﹣6，6]．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法．【专题】综合题．【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=即可求出最小正周期；（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．【解答】解：===，（I）（II）∴，∴，∴，所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，可得圆心到直线的距离d≤r；（Ⅱ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）解：设圆心坐标为（a，﹣a+2），∵圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣7≤a≤13；（Ⅱ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BE中点M，连接AM，MF，则MF∥BC，MF=BC，证明四边形ADFM 是平行四边形，可得AM∥DF，即可证明：DF∥面ABE；（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B一CDF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ，∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴AD ∥MF ，AD=MF ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∵AM ⊂面ABE ，DF ⊄面ABE ，∴DF ∥面ABE ；（Ⅱ）解：由△BCE 为等边三角形，面BCE ⊥面ABCD ，BC=2，可得点E 到平面ABCD 的距离为，∴点F 到平面ABCD 的距离为，∵ABCD 为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S △BCD =，∴V B ﹣CDF =V F ﹣BCD =．【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B 一CDF 的体积，证明四边形ADFM 是平行四边形是关键．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）已知直线l ：x=my+1与椭圆相交于A ，B 两点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由=可得a=2c，b=c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA，k PB，从而化简t=k PA•k PB•k．从而由配方法求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）设c=，由题意，得=，所以a=2c，b=c．又点P（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．由题意，可知△＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，①所以直线PA的斜率k PA=，直线PB的斜率k PB=，所以t=k PA•k PB•k=••=代入①，化简可得t=﹣﹣=﹣（+）2+，则当m=﹣时，△ABP三条边所在直线的斜率的乘积t有最大值．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e，∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…【点评】本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．23．（2015•郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•河南二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

重庆市高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）,a bA ．B ．C ．D ．a b = 1a b ⋅= //a b 22a b = 【答案】D【分析】由单位向量、共线向量、相等向量、向量数量积和模长定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，模长相等，但方向未必相同，A 错误；,a b对于B ，，B 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>∈- 对于C ，模长相等，但未必同向或反向，C 错误；,a b对于D ，，，D 正确.1a b == 221a b ∴== 故选：D.2．将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（） l A ．B ．4C ．1D ．32-12【答案】A【分析】设直线l 上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据()00,P x y ()2002,3P x y +-两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()00,P x y ，再沿y 轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ()1002,P x y +1P()2002,3P x y +-∵都在直线l 上，∴直线l 的斜率．2,P P 00003322k y y x x --=-+-=故选：A ．3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（） ()2,3A π4A ．B ．C ．D ．1y x =+1y x =-=1y x --1y x =-+【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， πtan14k ==点斜式方程为， 32y x -=-斜截式方程为.1y x =+故选：A4．已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则1C 2C ()2,3A (),1B m 12C C 0x y n +-=m n +=（） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】先推出直线是线段的垂直平分线，再根据垂直和平分列式可求出. 12C C AB ,m n 【详解】因为，， 11||||C A C B =22||||C A C B =所以直线是线段的垂直平分线，12C C AB 所以，解得，3112231022mm n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩03m n =⎧⎨=⎩所以. 3m n +=故选：A5．若函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，则实数m 的范围是()223x x x f =-+[]0,m （） A ． B ．C ．D ．(],2-∞[]0,2[]1,2[)1,+∞【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合函数的最值进行求解即可. 【详解】，()()222312f x x x x =-+=-+当时，当时，函数单调递减，所以有 01m <≤[]0,x m ∈；()()()()2max min 03,2321f x f f x f m m m m ====-+=⇒=当时，，对称轴为，1m >()()()023,12f f f ===1x =因为函数在闭区间上有最大值为3，最小值为2，()223x x x f =-+[]0,m 所以有，12m <≤综上所述：实数m 的范围是， []1,2故选：C6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（）22:22C x y x y +=+A ． B ． C ． D ．88π+84π+168π+816π+【答案】B【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可C 计算出其面积.【详解】由可得，22:22C x y x y +=+当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=(1,1)r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=(1,1)-r =圆；当时，，即，表示圆心为，半径0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2x y +++=(1,1)--r =圆；所以曲线的图象如下图所示：22:22C x y x y +=+因此曲线围成的图形的面积为；(222π84πS =+⨯=+故选：B7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，()2223x y ++≤若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区()4,0A -10x y +-=域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】计算出点在直线的对称点的坐标，计算出点到圆的圆心A 10x y +-=B B ()2223x y ++=的距离，利用圆的几何性质可求得“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，A 10x y +-=(),B m n线段的中点在直线，即，即，① AB 4,22m n -⎛⎫⎪⎝⎭10x y +-=41022m n -+-=60m n +-=直线的斜率为，则，② 10x y +-=1-14AB nk m ==+联立①②可得，，即点，1m =5n =()1,5B圆的圆心为，半径为，()2223x y ++=()0,2C -r =设将军在河边的饮水处为点，则，设线段交圆于点， M AM BM =BC C P则AM MP BM MP BC r +=+≥-==因此，“将军饮马”的最短总路程为. BC r -=故选：A.8．在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为（）2AC CB =A ．B ．C ．D ．108120814989【答案】B【分析】设，则，，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆2BC r =4AC r =6AB r =O 与圆内切，解得，由圆O 与圆内切，解得，分别求出阴影部分与最大半圆的3O 23a r =4O 23b r =面积，即可求出答案.【详解】设，则，，以C 为坐标原点，2BC r =4AC r =6AB r =建立如图所示的坐标系，则C （0，0），，，． ()12,0O r -(),0O r -()2,0O r 设，，则()3,O a t -()4,O b v ()()22222r a r a t +--=（圆，外切与勾股定理结合），得． 1O 3O t =(3,O a -由圆O 与圆，解得． 3O 3r a =-23a r =同理（圆，外切与勾股定理结合）， ()()222r b r bv +--=2O 4O 得O 与圆，v =4O 3r b =-解得．设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为， 23b r =1S 2S ， ()()222221111210ππ3π2π2π22239r rS r r r ⎛⎫=⋅-⋅--⋅=⎪⎝⎭所以．2210π209981π2r S S r ==12故选：B.二、多选题9．下列结论中正确的有（）A ．直线倾斜角的范围是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 αθαθ=παθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 1-D ．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应【答案】BD【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A 选项错误.[)0,πB 选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B 选项正确. αθ=παθ=-C 选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C 选项错误. 0D 选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D 选项正确. 故选：BD10．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数可能的22260x y x y a +--+=3450x y ++=a 取值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．10【答案】BC【解析】确定圆心不过已知直线，且求得圆心到已知直线的距离为，根据圆4d =上至多有一点到直线的距离为2，得到圆的半径22260x y x y a +--+=3450x y ++=，由此求出的范围后可判断各选项． 2r ≤a 【详解】圆标准方程是， 22(1)(3)10x y a -+-=-圆心为，半径为）， (1,3)C r =10a <圆心到已知直线的距离为，4d 圆上至多有一点到直线的距离为2， 22260x y x y a +--+=3450x y ++=则有圆的半径 2r =≤解得．只有B 、C 满足． 610a ≤<故选：BC ．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法如下：（1）先求得圆心到直线的距离；（2）根据题意，确定出圆的半径的取值范围；（3）解不等式求得结果.11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于点对称，当时，()f x ()2,0[]0,2x ∈，若方程的所有根的和为6，则实数k 可能的取值是（）()f x =()()20f x k x --=A B ．C D ．【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出周期，求出在一个的解析式，将方程()f x ()f x [2,0)-的所有根的和为6转化为函数的图象与直线有且仅有个交()()20f x k x --=()y f x =(2)y k x =-3点，作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系列式，求出的范围，从而可得答案. k 【详解】因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-因为的图象关于点对称，所以，即， ()f x (2,0)(4)()0f x f x -+=()(4)f x f x =--又，(4)[(4)]f x f x -=---(4)f x =--所以，所以的周期为，()[(4)](4)f x f x f x =---=-()f x 4当时，由，得，其图象是圆心为，半径[0,2]x ∈()y f x ==22(1)1x y -+=(0)y ≤(1,0)为的半圆，1当时， [2,0)x ∈-()()[y f x f x ==--=-=所以，其图象是圆心为，半径为的半圆， 22(1)1(0)x y y ++=≥(1,0)-1因为方程的所有根的和为6，()()20f x k x --=所以函数与直线的交点的横坐标之和为， ()y f x =(2)y k x =-6因为点是它们的一个交点，所以其它交点的横坐标之和为，(2,0)4而函数的图象与直线都关于点对称，它们的关于点对称的两个交点的()y f x =(2)y k x =-(2,0)(2,0)横坐标之和为，所以函数的图象与直线有且仅有个交点， 4()y f x =(2)y k x =-3作出两个函数的图象，如图：当时，只需直线与圆，解得 0k >(2)y k x =-22(7)1x y -+=1>k >当时，只需直线与圆，解得 0k <(2)y k x =-22(5)1x y -+=1=k =所以的取值范围是. k ⎧⎪⎨⎪⎩⎫⋃+∞⎪⎪⎭故选：AB12．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于O AC BD 2242200x y x y +-+-=四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（）,,,A C B D M ABA ．线段长度的最大值为 BO 10B ．弦长度的最小值为 AC C ．点的轨迹是一个圆；MD ．四边形面积的取值范围为. ABCD 45⎡⎤⎣⎦【答案】BCD【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A ；由BO 圆的性质判断B ；若分别是的中点，圆心到直线和的距离,,,M H G F ,,,AB BC CD AD ()2,1-AC BD且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判12,d d ⎡∈⎣22125d d +=MHGF M 断C ；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范12ABCD S AC BD =ABCD 12,d d 围判断D.【详解】由题设圆的方程为， 22(2)(1)25x y -++=设圆心为，则，半径，E ()2,1E -=5r由三角形两边之和大于第三边可知，且 EB EO BO +≥5,EB EO ==所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；BO ,B O 5A BO r =+=由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小， OE AC ⊥AC AC此时圆心与直线，故正确； AC 2B AC ==若分别是的中点，则且,,,M H G F ,,,AB BC CD AD MF HG BD ∥∥且，,2BD MF HG MH FG AC ==∥∥2AC MH FG ==又，易知：为矩形，而，AC BD ⊥MHGF 22222||||||4BD AC FH MF MH +=+=若圆心到直线的距离且， ()2,1-,AC BD 12,d d ⎡∈⎣22125d d +=所以，则，故222212||||2255044BD AC d d +++=⨯=22||454BD AC +=FH =所以在以交点为圆心的圆上，C 正确；M FH =,HF MG由上分析：，而， AC =12ABCD S AC BD =所以，ABCD S ==令，则，[]222150,5t d d ==-∈ABCDS ==当，即； 52t =12d d ==()max 45ABCD S =当或5，即时，0=t 120,d d =120d d ==()min ABCD S =所以，D 正确； 45ABCD S ⎡⎤∈⎣⎦故选：BCD【点睛】难点在于CD 选项，选项C ：证明分别是的中点所形成的四边,,,M H G F ,,,AB BC CD AD 形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D ：利用得到四边形面AC BD ⊥ABCD 积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.12,d d三、填空题13．已知向量，满足：，，，则__________.a b1a = 4b = a b -=r r += a b【分析】将两边平方求出，再根据可求a b -=r r 52a b ⋅= ||a b +==出结果.【详解】由，得，得，a b -=r r ()212a b-=22||2||12a a b b -⋅+=得，得，121612a b -⋅+=52a b ⋅=||a b +== ==14．已知函数，则________．2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩()2log 3f =【答案】34【解析】根据分段函数，和，利用转化为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>()()2f x f x =-求解.()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【详解】因为，，2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩2log 30>所以，()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又，所以． 223log log 104<=()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：. 34【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 15．若是圆上任意一点，则的取值范围是______.(),P x y 22:1O x y +=3483412x y x y -++-+（用区间表示）【答案】[]10,30【分析】将所给表达式化为，求出圆心到直线的距离，确12348341255()55x y x y d d ⎛-+-+⎫+=+⎪⎝⎭定圆上的点到两条直线距离的范围，进而求出.12105()30d d ≤+≤【详解】令3483412x y x y ω=-++-+， ()1234834125555x y x y d d ⎛⎫-+-+=+=+ ⎪⎝⎭其中、分别表示圆：上任意一点到1d 2d O 221x y +=(),P x y 直线：和：距离；1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=因为圆心到直线：和：距离O 1l 3480x y -+=2l 34120x y -+=分别为、， 185h ==2125h ==所以且， 1881155d -≤≤+212121155d -≤≤+即且， 131355d ≤≤271755d ≤≤所以，12105()30d d ≤+≤即的取值范围是.3483412x y x y -++-+[]10,30故答案为：.[]10,3016．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若xOy T e，则称P 为的环绕点.若的半径为1，圆心为，以60180MPN ≤∠<T e T e ()0,t ()0m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎭>⎝为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在的环绕点，则t 的取值范围为T e __________.【答案】24t -<≤【分析】根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，再求出图形H .按照、、分类讨0t >0=t 0t <论，结合图象，根据直线与圆的位置关系列式可求出结果.【详解】连，因为，所以， ,,TM TN TP 60180MPN ≤∠< 1ππ,262TPM TPN MPN ⎡⎫∠=∠=∠∈⎪⎢⎣⎭所以，又，所以， ||π1sin sin ||62TM TPM TP ∠=≥=||1TM =1||2TP <≤所以圆的环绕点构成的图形是圆心为，半径分别为和的圆所围成的扇环（包括大圆上的T T 12点，不包括小圆上的点.以为半径的圆与轴相切，设切点为， ()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭x A因为圆心在射线上，所以以()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭(0)y x =>()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭为半径的圆与直线相切，设切点为，y =B所以以为半径的所有圆构成图形为的内部（包括射线()0E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝>⎭AOB ∠，不包括原点），,OA OB O 如图：当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到直线的距离小于等0t >T e T y =于半径，解得； 22≤04t <≤当时，由图可知，在图形H 上恒存在的环绕点；0=t T e 当时，由图可知，若在图形H 上存在的环绕点，只需圆心到轴的距离小于半径，即0t <T e T x 2，则.2t -<2t >-综上所述：的取值范围为.t 24t -<≤故答案为：.24t -<≤【点睛】关键点点睛：根据环绕点的定义求出环绕点构成的图形，推出动圆形成的图形是本题解H题的关键.四、解答题17．已知两直线，.1:60l x my ++=()2:2320l m x y m -++=(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，求m 的值.1l 2l (2)从①直线l 过坐标原点，②直线l 在y 轴上的截距为2，③直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线l 与垂直，且1m =2l __________，求直线l 的方程.【答案】(1)1-(2)答案见解析【分析】（1）先推出，再根据两直线平行的条件列式可求出结果；12l l //（2）先根据两直线垂直求出直线的斜率，若选①，根据点斜式可得结果；若选②，根据斜截式l 可得结果；若选③，设直线的斜截式，得到直线在轴上的截距，然后根据面积列式可求出结l ,x y 果.【详解】（1）若，不重合，且垂直于同一条直线，则，1l 2l 12//l l 则由，得，得或m =-1，12210A B A B -=()320m m --=3m =当m =3时，两直线重合，不合题意，当m =-1时，符合题意，所以.1m =-（2）若，直线的斜率为， 1m =2l 13由直线l 与垂直，可得直线l 的斜率为.2l 3-若选①，直线l 过坐标原点，故直线l 方程为，即；3y x =-30x y +=若选②，直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为，即；32y x =-+320x y +-=若选③，设直线l 方程为，则直线l 在x ，y 轴上截距分别为，b ， 3y x b =-+13b 由直线l 与坐标轴形成的三角形的面积为1，可得，解得， 211123b ⨯=b =即直线l 方程为，即.3y x =-30x y +=18．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)试判断函数在区间上的单调性. ()f x 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)在上递增，在上递减 ()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图形可直接得出A ，利用公式即可得出，再把代入2||T πω=ω(,2)3π即可求得；()()2sin 2f x x ϕ=+ϕ（2）令，结合，即可求解. πππ2π22π262k x k -+≤-≤+2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可知，，2A =，得，解得. 39π412T =πT =2ω=，即，，， π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z π2ϕ<所以，故. π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）令，解得，； πππ2π22π262k x k -+≤-≤+ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 结合，得出在上递增，在上递减. 2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．如图，一艘海警船在O 处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A 处有两艘走私船，60︒于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.(1)求走私船所有可能被截获的点P 在什么曲线上；(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M ，N ，30︒求M ，N 之间的距离.【答案】(1)点P 在圆心为，的圆上；()44r =(2)【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍， ∴，2OP AP =设，(),P x y ()A=化简得：，(()22416x y -+-=即点P 在圆心为，的圆上；()44r=（2）令直线的斜率为k ，，且直线过点， AM k =AM ()A 可求得直线的方程为，AM 3y x -=-，60y +-=P 在圆心，的圆上， ()44r =圆心到直线的距离为 AM d =∴，∴.MN ==MN =20．如图，已知长方形中，为的中点.将沿折ABCD AB =AD =M DC ADM △AM 起，使得平面平面.ADM ⊥ABCM （1）求证：；AD BM ⊥（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角E DB E E AM D --【答案】（1）（见解析2）见解析【详解】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：长方形中，，为的中点， ABCD AB =AD =M DC ，.2AM BM ∴==BM AM ∴⊥平面平面，平面平面，平面 ADM ⊥ABCM ADM ⋂ABCM AM =BM ⊂ABCM 平面BM ∴⊥ADM 平面ADMAD ⊂ .AD BM ∴⊥（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量，DE DB λ= AMD ()0,1,0n = ,， ME MD DB λ=+=()1,2,1λλλ--()2,0,0AM =-设平面的一个法向量,则AME (),,m x y z = ()20{210x y z λλ=+-=取，得，，所以， 1y =0x =1y =21z λλ=-20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭因为，．得或 cos ,m n 〈〉= m n m n ⋅= 13λ=1λ=-经检验得满足题意，所以为的三等分点. 13λ=E BD 21．已知圆.22:68160C x y x y +--+=(1)直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切，求l 的方程；(2)已知圆心在原点的圆O 与圆C 外切，过点作直线，与圆O 交于异于点P 的点A ，()2,0P PA PB B ，若，则直线是否恒过定点？若过定点，则求出该定点，若不过，说明理由；2PA PB k k ⋅=-AB （其中，分别为直线，的斜率）.PA k PB k PA PB【答案】(1)或或7240x y -=70x y +--=70x y +-+=(2)过定点， 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）①若直线l 过原点，设直线l 的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列式y kx =求出；若直线l 不过原点，设出直线方程的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列式可求出k 直线方程；（2）根据两圆外切求出圆的方程，设直线，代入圆的方程，求出的坐标，将O ():2PA y k x =-A 的坐标中的换成得的坐标，求出直线的斜率，得直线的方程，根据方程可得直线A k 2k-B AB AB 所过定点.【详解】（1）圆化为标准形式为，22:68160C x y x y +--+=()()22349x y -+-=∴圆C 的圆心为，半径为3，()3,4因为直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，①若直线l 过原点，则设直线l 的方程为，即，y kx =0kx y -=因为直线l 与圆C 相切，所以，即，解得， 3d r =247k =724k =故直线l 的方程为.7240x y -=②若直线l 不过原点，切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则假设直线l 的方程为，即， 1x y a a+=0x y a +-=因为直线l 与圆C 相切，∴，3d r =∴7a -=7a =+7a =-∴直线l 的方程为或，70x y +--=70x y +-+=综上所述直线l 的方程为或或.7240x y -=70x y +--=70x y +-+=（2）∵圆心在原点的圆O 与圆C 外切，设圆的半径为，O r 则，故圆O 的半径，圆O 的方程为，53OC r ==+2r =224x y +=设点,，(,)A A A x y (,)B B B x y 设直线，():2PA y k x =-联立直线和圆方程得，消去得， 22(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩y ()222214440k x k x k +-+-=由韦达定理有，解得，则， 2241A P k x x k +=+22221A k x k -=+241A k y k -=+∵，，∴， 2PA PB k k ⋅=-PA k k =2PB k k=-将中的k 换成化简可得， 22221A k x k -=+2k -22284B k x k -+=+将中的k 换成化简可得， 241A k y k -=+2k -284B k y k =+所以， 2222224814222814A B AB A B k k y y k k k k k x x k k ---++==--+--++232k k =-直线，化简得， 22224322:121k k k AB y x k k k ⎛⎫--⎛⎫-=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭23223k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以直线过定点. AB 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知，，为的三个顶点，圆Q 为的内切圆，点P 在圆()2,2A --()2,6B -()4,2C -ABC A ABC A Q 上运动.(1)求圆Q 的标准方程；(2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值；PA PB PC (3)若，，求的最大值. ()1,0M -3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin MPN ∠【答案】(1)224x y +=(2)最大值为，最小值为22π18π(3)1011【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心ABC A 坐标，然后可得圆Q 的标准方程；（2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据(),P x y y 可求出结果； 22y -≤≤（3）根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然0y ≥tan MPN ∠后根据同角公式可出的最大值.sin MPN ∠【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 8AB =6AC =10BC =ABC A设的内切圆的半径为，ABC A r 由得， 1||||2ABC S AB AC =⋅!1(||||||)2r AB AC BC =++||||||||||AB AC r AB AC BC ⋅=++8628610⨯==++由图可知，圆心为，所以圆.()0,0Q 22:4Q x y +=（2）设，，(),P x y 224x y +=，()()2222222448PA x y x y x y =+++=++++4412x y =++，()()222222641240PB x y x y x y =++-=++-+41244x y =-+， ()()22222428420PC x y x y x y =-++=+-++8424x y =-++222||||||πππ222PA PB PC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222π4PA PB PC =++()π44124124484244x y x y x y =+++-+-++， ()π4804y =-+因为，所以，22y -≤≤18π22πS ≤≤所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. PA PB PC 22π18π（3）设，则，(),P x y 224x y +=根据对称性，只研究P 点在x 轴上方，即的情况，0y≥当垂直x 轴时，，PN (P-tanMPN ∠===当垂直x 轴时，，PM (P -tan MPN ∠==当和都不垂直轴时，，， PN PM x 32PN yk x =-1PM y k x =+()tan tan πMPN PNM PMN ∠=-∠-∠()tan PNM PMN =-∠+∠ tan tan 1tan tan PNM PMN PNM PMN∠+∠=--∠⋅∠ 1PN PM PN PMk k k k -+=-+⋅ 31211312PN PM PN PM y y x x k k y y k k x x -+--==++⨯+-22521322y x y x =+--5213422y x =--， ()5555y y x x ==---因为为点与的斜率， 5y x -(,)P x y ()5,0E 如图：由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， PE Q 5y x -设直线：，即， PE (5)y k x =-(0)k <50kx y k --=(0)k <，结合，得2=0k<k ==所以， min 5y x⎛⎫= ⎪-⎝⎭()max tan MPN ∠，>>()max tan MPN∠=由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 090MPN ≤∠< tan MPN ∠MPN ∠sin MPN ∠所以. ()max 10sin 11MPN ∠====。

重庆市南开中学2016届高三上学期期中数学(文)试题 Word版无答案

A、 , 2 2、复数 z B、 0, 2 C、 0, 2 ） C、 1 i ）
Q（
D、 0,2
）
2i 的共轭复数 z （ 1 i A、 1 i B、 1 i
D、 1 i
3、抛物线 y 4 x 2 的焦点坐标是（ A、 0,1 B、 1,0
Go the distance
17 、（本小题满分 12 分）已知 ABC 中，内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ，满足非零向量
m cos A,cos2 A ， n sin A, 3 ，且 m n 。
（1）求角 A 的值；（2）已知 b c 4m 2 3 n , a 4 2 ，求 ABC 的面积。
A、 B、 8、已知直线 l 过点 1,0 ，且倾斜角为（ A、）
4 cm3 3 C、3 cm3
，当此直线与抛物线 y 2 4 x 交于 A, B 时， AB 3
C、8 D、
16 3
B、16
16 3 3
Go the distance
9、已知函数 y sin 2 x ，若将其图象向右平移 0 个单位后所得的图象关于原点 6
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔填涂题号。 22、（本小题满分 10 分）过圆 O 外一点 A 作圆的切线 AE ，割线 ABC 交圆 O 于 B, C 两点，且 AC 3 AB ，连接 OE 交 BC 于点 D ，已知圆 O 的半径为 2，
15、已知直线 l 过 P 2,1 且与椭圆
。
x2 y 2 当 P 为 AB 中点时，直线 AB 的 1 交于 A, B 两点， 9 4 方程为。 16 、正四面体 ABCD 的外接球半径为 2 ，过棱 AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为。

[VIP专享]重庆南开中学2015-2016学年度秋期高二上半期测试语文卷

重庆南开中学2015—2016学年度上学期高2017级半期考试语文试题注意事项：1．本试卷分第I卷(阅读题)和第II卷(表达题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷阅读题一、现代文阅读(9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成1~3题。

中国戏曲“贵和”思想的显著体现是“大团圆”的结构模式。

这自然与中华民族“天人合一”的传统思维相契合。

戏曲“始悲终欢”“始离终合”“始困终亨”的“大团圆”的结局遵循着古人对于“万物一而立，再而反，三而如初”的事物普遍发展规律的生命感悟，也同样体现着“悲者必终于欢，离者必结之以合”的“天圆地方”的审美轨迹。

剧作家对于“大团圆”结局的追求是由作家自身地位低下的历史原因造成的。

在我国古代，戏曲一直受到统治者的排斥，受到“正统文学”的排斥。

元代时，蒙古统治者为了巩固其统治地位，限制汉人参加科举考试，大量的丈人失去了通过科举考试获得仕途的唯一道路，因此只能流落于坊间妓馆，以写词曲为生。

《元史·刑法志》记载：“诸妄撰词曲，诬人以犯上恶言者处死。

”“诸民间子弟，不务生业，辄于城市坊镇演唱词话、教习杂戏、聚众淫谑，并禁治之。

”以至明清律法仍有这样的条例。

在这样的境遇下，剧作家则选择用笔来抒发自己的苦闷，消解现实的残酷，因此在戏曲中往往以“大团圆”的形式来寄托对美好世界的向往，表现对因果轮回的期盼。

“大团圆”模式适应观众的审美期待，体现着老百姓对于美好世界的憧憬和想象。

只有充满喜庆气氛的“大团圆”结局才能淡化悲剧的悲哀感和压抑感，把观众带入冲淡、平和的心理状态。

李泽厚对这种“中和为关"的审美观念这样论述：“它们作为矛盾结构，强调的更多的是对立面之间的渗透和协调，而不是对立面的排斥和冲突。

”因此，从这个意义上说，戏曲是一种中和艺术。

中国戏曲始终与儒家的伦理道德教化紧密联系。

在戏曲中宣扬惩恶扬善的伦理道德必然是戏曲的旨归。

重庆市南开中学2016届高三上学期10月月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x （x ﹣2）＜1}，则M ∩N 为（）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）=，若f[f （0）]=4a ，则实数a 等于（）A ．B ．C ．2D ．94．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．5．已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣86．已知变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．27．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．212．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l 和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则M∩N为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴M={x|x≥1}，由N中不等式变形得：2x（x﹣2）＜1=20，即x2﹣2x＜0，解得：0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．3．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．已知，则的值为（）A． B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．5．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率，故当过点A（1，2）时，有最大值为=2，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+×3=48+2π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2﹣2accos60°∴a2+c2﹣ac=3设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0∴△=84﹣3m2≥0，∴0＜m≤2m=2时，a=，c=符合题意∴m的最大值是2故选D．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点F为（﹣，0），一条渐近线方程为y=﹣2x，则F到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[﹣6，6]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的a=6，b=3，P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα）=6sin（α+），由0≤α＜2π，可得≤α+＜，即有sin（α+）∈[﹣1，1]，则m+2n的范围是[﹣6，6]．故答案为：[﹣6，6]．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法．【专题】综合题．【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=即可求出最小正周期；（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．【解答】解：===，（I）（II）∴，∴，∴，所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，可得圆心到直线的距离d≤r；（Ⅱ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）解：设圆心坐标为（a，﹣a+2），∵圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣7≤a≤13；（Ⅱ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ，证明四边形ADFM 是平行四边形，可得AM ∥DF ，即可证明：DF ∥面ABE ；（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B 一CDF 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ， ∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴AD ∥MF ，AD=MF ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∵AM ⊂面ABE ，DF ⊄面ABE ，∴DF ∥面ABE ；（Ⅱ）解：由△BCE 为等边三角形，面BCE ⊥面ABCD ，BC=2，可得点E 到平面ABCD 的距离为，∴点F 到平面ABCD 的距离为，∵ABCD 为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S △BCD =，∴V B ﹣CDF =V F ﹣BCD =．【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B 一CDF 的体积，证明四边形ADFM 是平行四边形是关键．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由=可得a=2c，b=c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA，k PB，从而化简t=k PA•k PB•k．从而由配方法求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）设c=，由题意，得=，所以a=2c，b=c．又点P（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．由题意，可知△＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，①所以直线PA的斜率k PA=，直线PB的斜率k PB=，所以t=k PA•k PB•k=••=代入①，化简可得t=﹣﹣=﹣（+）2+，则当m=﹣时，△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，设函数g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2，且函数g （x ）有且仅有一个零点，若e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，可得a=，令h （x ）=，证明h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求得函数g （x ）有且仅有一个零点a 的值，然后结合e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求出g （x ）max ，即可求得m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx ﹣x 2+2，定义域（0，+∞）， ∴f ′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．∴f ′（1）=﹣3，又f （1）=1，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；（Ⅱ）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即a=，令h （x ）=，则h ′（x ）=，令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t ′（x ）=， ∵x ＞0，∴t ′（x ）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e，∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…【点评】本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．23．（2015•郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•河南二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

重庆市南开中学高二期中考试(数学文).doc

重庆市南开中学高二上学期半期考试试题(数学文)(一卷)一、选择题(每小题5分，共50分)1．曲线22139x y -=的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．22．过曲线用2y x =与2x y =交点的直线方程为( )A ．0x y +=B ．0x y -=C ．0x y +=或10x y -+=D ．0x y -=或 10x y ++=3．椭圆22189x y k +=+的焦距为4，则k 的值是( ) A ．5或-3 B ．-5或3 C ．5 D ．-34．过点(2，1)的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦最长的直线方程为( )A ．30x y +-=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．10x y --=5．已知动点P 在曲线26y x =上，若以P 为圆心的圆与直线32x =-相切，则该圆恒过定点( )A ．(3,04)B ．(3,02) C ．0) D ．(3，0) 6．已知圆22P :40x y x +-=，若直线4x y +=交圆P 于M N 、两点，则|MN |为( )A ．2B ．C ．D ．47．过点(1，3)且与双曲线2214y x -=只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．已知椭圆222212x y a b+=与双曲线222212x y a b -=有公共焦点，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．69. 已知动点P(,)x y 在椭圆2244x y +=上，则1x y ++的最大值为( )A. 1B. 4C.D. 110. 已知双曲线22221x y a b-=的左顶点A ，右焦点F ，M 在双曲线上，FM x ⊥轴，以F 为圆心，FM 为半径作圆P ，过A 作圆P 的两条切线，两切线段的夹角3π，则该双曲线的离心率为( )D.32(二卷)二、填空题(每小题5分，共25分)11. 抛物线2y x =的准线方程为。

重庆南开中学高二数学上学期期中试题文

高二数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．命题“R x ∈∀，0cos >x ”的否定是( )A ．R x ∈∃,x cos ≤0B ．R x ∈∀,x cos ≤0C ．R x ∈∃,x cos >0D ．R x ∈∀,x cos <02．直线5=+y x 和圆O ：0422=-+y y x 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交不过圆心D ．相交过圆心3．已知双曲线1422=3-y x ，则此双曲线的右焦点坐标为( )A ．(1，0)B ．(5，0)C ．(7，0)D ．(7，0)4．已知椭圆的方程为63222=+y x ，则此椭圆的离心率为( )A ．31 B ．33 C ．22 D ．21 5．从点P(3，3)向在圆C ：12222=+++）（）（y x 引切线，则切线长为( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．76．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线l ：012=++y x 垂直，则此双曲线的离心率是( )A ．25B ．3C ．2D ．57．若函数f (x )在R 上可导，且m x f x x f +/'+=）（22)(2，则( )A ．)5()0(f f <B ．)5()0(f f =C ．)5()0(f f >D ．不能确定大小8．已知椭圆14222=+by x (0<b <2)与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．89．过点C(4，0)的直线与双曲线112422=y x -的右支交于A 、B 两点．则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |>3C ．|k |≤3D ．|k |<110．在直角坐标系中，F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x （a >b >0）左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若cos ∠F 1BF 2=257，则直线CD 的斜率为( ) A ．53B ．54 C ．259 D ．2512 二、填空题(每小题5分，共25分)11．抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是； 12．设曲线31231)(3--=x x x f 在点(1，-2)处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a = ；13．已知双曲线方程为1222=-y x ，过定点P(2，1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2两点，并使得点P 为线段P 1P 2的中点，则此直线l 的方程为；14．从圆122=+y x 上任意一点P 向y 轴作垂线段PP`，交y 轴于P`，则线段PP`的中点M 的轨迹方程是；15．如果实数x ，y 满足等式1)2(22=+-y x ，那么13-+x y 的取值范围是；三、解答题(共75分)16．已知集合A 是不等式02082<--x x 的解集，集合B 是不等式：)1)(1(a x a x +---≥0 (a >0)的解集。

【全国百强校】重庆市南开中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、抛物线2y x =的准线方程为 A 、14x =B 、14x =-C 、14y =D 、14y =-【答案】B考点：求抛物线准线方程.2、若直线10ax y ++=与直线()210a x y --=平行，则实数a 的值为 A 、12-B 、13C 、1D 、12-或1 【答案】B 【解析】试题分析：若直线10ax y ++=与直线()210a x y --=平行，需满足：()()1121a a ⨯-=⨯-解得：13a =，故选择B.考点：直线位置关系.3、命题“0,20xx ∃<>”的否定是 A 、0,20xx ∃<≤ B 、0,20xx ∃>≤ C 、0,20x x ∀<>D 、0,20xx ∀<≤【答案】D 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“0,20x x ∃<>”的否定是“0,20x x ∀<≤”，故选择D.考点：特称命题的否定.4、双曲线2254600x y -+=的焦点坐标为A 、()±B 、()C 、(0,±D 、(0,【答案】C考点：双曲线简单的几何性质. 5、已知原命题：若sin 1x =，则2x π=，则它的否命题为 A 、若sin 1x =，则2x π≠ B 、存在sin 1x =，使2x π≠C 、若sin 1x ≠，则2x π≠D 、若2x π≠，则sin 1x ≠【答案】C 【解析】试题分析：原命题：若sin 1x =，则2x π=，它的否命题为：“若sin 1x ≠，则2x π≠”，故选择C.考点：四种命题.6、过点()2,0-的直线l 与双曲线22:14x C y -=有且只有一个公共点，这样的直线共有 A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条【答案】C 【解析】试题分析：因为点()2,0-为双曲线的左顶点，所以可得直线过点()2,0-与双曲线的两条渐近线平行时，与双曲线有一个交点，以点()2,0-为切点与双曲线相切的直线2x =-。

重庆市南开中学2015-2016学年高二下学期期中测试数学

重庆南开中学高2017届高二（下）期中考试数学（文科）1、根据数据：得到的回归方程为则b =9y bx =+， A 、2 B 、1 C 、0 D 、1-2、如右图，是2017年P 大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后．．．．．．．．．．．．，所剩分数的平均数和众数分别为 A 、86，86B 、85，84C 、84，86D 、86，853、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且短轴长为，离心率为13，则该椭圆的方程为A 、221144128x y += B 、2213236x y += C 、2213620x y += D 、2213632x y += 4、若抛掷两颗质地均匀的骰子，则朝上一面的点数之和为9的概率为A 、118B 、19C 、16D 、1125、下列说法正确的是A 、圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B 、棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C 、任何一个棱台的侧棱必交于同一点D 、过圆台侧面上一点有无数条母线6、已知某几何体由相同的n 个小正方体构成，其三视图如题（6）图所示，则n = A 、4 B 、5 C 、6 D 、77、已知空间中两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中真命题是 A 、若//,//,//m n m n αβ，则//αβ B 、若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥7 78 4 5 5 7 9 9 5C 、若,//,//m n m n αβ⊥，则//αβD 、若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥8、如题（8）图，在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下列结论：（1）1AC BC ⊥；（2）AF FC =；（3）平面111DAC ACC A ⊥平面；（4）直线//DF ABC 平面，期中正确的个数为 A 、1B 、2C 、3D 、49、若函数()21ln 22f x a x ax x =+-在()1,2x ∈内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A 、(),1-∞B 、4,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C 、()0,1D 、40,5⎛⎫⎪⎝⎭10、已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，1AA =30BAC ∠=，1BC =，则球O 的体积为A 、203π B 、253π C 、283π D 、323π 11、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若2AF =，2CB BF =，则抛物线的方程为 A 、2y x =B 、22y x =C 、24y x =D 、28y x =12、已知函数()ln f x x x x =+，若a Z ∈，且直线y ax =在曲线()1y f x =+的下方，则a 的最大值为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4二、填空题（每小题5分，共20分）13、在某次测量中得到数据如下：82，83，84，86，88，88，88，88，则这组数据的中位数是。

重庆市重庆一中2015-2016学年高二期中试题数学(文)

秘密★启用前2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试数学试题卷（文科）2015.12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}|12A x x =-<<, {}|03B x x =<<, 则A B = （） A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32. 已知(1,1)a =- ，(1,2)b =- ，则2()a b -=A ．5B ．0C ．1D ．33. 已知抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ） A ．2 B ．2- C ．4- D ．44. 已知圆221:4410C x y x y +---=，圆222:2880C x y x y +++-=，圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A. 外切B. 相离C. 相交D. 内切5. 设椭圆C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则C 的离心率等于（）A. 12B. 23C.34 D. 356. 设公比1q >的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352620,64a a a a +==，则5S =（）A. 31B. 36C. 42D. 487. 与双曲线2241y x -=共渐近线,且过点(的双曲线的标准方程为 ( )A. 2214x y -= B. 2214y x -= C. 2214y x -= D. 2214x y -=8. 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是( )A. 7-B. 6-C. 5-D. 3-(原创)9. 已知()(cos )()xg x e x a a R =+∈是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. )+∞D. )+∞10. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点, 它们到直线2-=x 的距离之和等于5, 则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在11. 已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，Q 点为直线1PF 上的一点，且13PQ QF = ，则221F Q F F ⋅ 的值为（）A ．225 B．2C ．52D．2(原创)12. 设()f x 是定义在R 上的导函数恒大于零的函数, 且满足()1()f x x f x +<', 则()y f x =的零点个数为（）A. 1B. 0C. 2D. 0或2二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知3tan 4θ=-，(,)2πθπ∈，则sin θ=________.14. 已知过点(2,3)A -, (1,)B m 的直线与直线240x y +-=垂直, 则m =_________.(原创)15. 已知椭圆方程为221259x y +=，129,,,a a a 是该椭圆的过焦点的其中9条弦的长度，若数列129,,,a a a 是等差数列，则数列129,,,a a a 的公差的最大值为 ___________.(原创)16. 已知关于x 的方程(0,)xe ax b a b R =+>∈有相等根，则a b +的最大值为_____.三、解答题（共6个小题, 共70分） 17. （本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边为c b a ,,，且cos()2cos 3A A π-=.(1) 求A 的值； (2) 若ABC ∆的面积2S =，求C sin 的值.(原创)18.（本题满分12分）已知函数32()22f x x ax =++在1x =时取得极值. (1) 求a ； (2) 求()f x 在1[,2]2-上的最值.19.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过双曲线221254x y -=的右顶点且离心率为35.(1) 求C 的方程；(2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足1371,18a a a =+=. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若12n n n c a -=，求数列{}n c 的前n 项和n T .(原创)21. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，第一象限内的动点(,)P x y 满足： ①与点(1,1)A 、点(1,1)B --连线斜率互为相反数； ②52x y +<. (1) 求动点P 的轨迹1C 的方程;(2) 若存在直线m 与1C 和椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.(原创)22.（本题满分12分）已知函数()()ln (0,)f x x ax b x a b R =+-≥∈. (1) 求)(x f 的单调区间;(2) 若2b a =-，且不存在),0(0+∞∈x ，使得0)(0≤x f 成立，求a 的取值范围.出题人: 周娟审题人: 李红林20．（12分）解：2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试数学答案（文科）2015.12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-6: A A D C A A 7-12: D B C D A B二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上） 13.3514. 72-15.4516. e三、解答题：17. （本题满分10分）解：（1）由cos()2cos ,3A A π-=得cos cossin sin2cos ,33A A A ππ+=1cos 2cos ,2A A A ∴+= s i n 3c o sA A =∴tan A =0A π<< ∴3A π=；（2）由21sin 22S bc A b c ==⇒=由余弦定理：2222cos a b c bc A a =+-⇒=，所以ABC ∆为直角三角形易得1sin 2C =18.（本题满分12分）解：（1）2()62f x x ax '=+,由题意得(1)03f a '=⇒=-；（2）由（1）()6(1)f x x x '=-，令()00f x x '=⇒=或1x =()12f -=,(0)2f =,(1)1f =,(2)6f =所以max ()6f x =，min ()1f x =19.（本题满分12分）解:（1）易得 C 的方程为2212516x y += （ Ⅱ）法一：点差法可得：416525x y =-中中，又0453y x -=-中中，所以中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭法二：过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，将直线方程()435y x =-代入Ｃ的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得1x =2x =，∴ AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。

重庆市第一中学2015-2016学年高二(上)期中考试数学(文)(解析版)

重庆市第一中学2015-2016学年高二（上）期中考试数学（文）一、选择题：共12题1．已知集合,则A. B. C. D.2．已知,则A. B. C. D.3．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为A. B. D.4．已知圆,圆,圆与圆的位置关系为A.外切B.相离C.相交D.内切5．设椭圆C的两个焦点分别为、,若C上存在点P满足,则C的离心率等于A. B. C. D.6．设公比的正项等比数列的前项和为,且,则A.31B.36C.42D.487．与双曲线共渐近线,且过点的双曲线的标准方程为A. B. C. D.8．设满足约束条件则的最小值是A. B. C. D.9．已知是上的增函数,则实数a的取值范围为A. B. C. D.10．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在11．已知双曲线的左、右焦点分别为,双曲线的离心率为,若双曲线上一点使,点为直线上的一点,且,则的值为A. B. C. D.12．设是定义在上的导函数恒大于零的函数,且满足,则的零点个数为A.1B.0C.2D.0或2二、填空题：共4题13．已知,则________.14．已知过点,的直线与直线垂直,则=_________. 15．已知椭圆方程为是该椭圆的过焦点的其中条弦的长度,若数列是等差数列,则数列的公差的最大值为___________.16．已知关于的方程有相等根,则的最大值为_____. 三、解答题：共6题17．在Δ中,角所对应的边为,且.(1)求的值;(2)若Δ的面积,求的值.18．已知函数在时取得极值.(1)求;(2)求在上的最值.19．已知椭圆过双曲线的右顶点且离心率为.(1)求的方程;(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标.20．已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21．在平面直角坐标系中,第一象限内的动点P(x,y)满足:①与点、点连线斜率互为相反数;②.(1)求动点的轨迹的方程;(2)若存在直线与和椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.22．已知函数.(1)求的单调区间;(2)若,且不存在,使得成立,求的取值范围.参考答案1.A【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合的并集的定义可得2.A【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与.因为,所以, 则3.D【解析】本题主要考查抛物线的方程与焦点、椭圆的简单几何性质.由椭圆方程可知右焦点坐标为(2,0),根据题意可知,p=44.C【解析】本题主要考查两个圆的位置关系.由两个圆的方程可得：C1(2,2)，r1=3,C2(-1,-4),r2=5,r2-r2<|C1C2|=3<r2+r1, 圆与圆的位置关系为相交.5.A【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.设,则2a=，则C的离心率等于6.A【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式与性质.,且公比，则，q=2，a1=1，则7.D【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质.根据题意设所求双曲线方程为,将点代入方程可得t=，则所求双曲线方程为【解析】本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，经验证，当目标函数过点A(3,4)时取得最小值.9.C【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质、恒成立问题.由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立；因为,所以10.D【解析】本题考查抛物线的性质.由已知,|AB|=x1+x2+p=3,而抛物线的通径长度为4,明显不满足题意,故不存在,故选D.11.A【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质、正弦定理与余弦定理、平面向量共线定理与数量积.由双曲线的方程可知，a=1，c=2，则e=2，由余弦定理可得,则，又=2,则，，，又因为，所以，在三角形中，由余弦定理可得，，所以，则12.B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质.由已知可知,即,所以函数在R上是减函数，又因为，所以当时，，当x=1时，,所以，故函数的零点个数为0.13.【解析】本题主要考查同角三角函数关系式.由题意可知14.【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、直线的斜率.由题意可知直线AB的斜率为, 则=15.【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、等差数列.由椭圆的方程可知a=5，b=3，c=4，由椭圆的性质可知，与x轴垂直的弦最短，长轴最长，即最短弦长为,最长弦长为2a=10，故公差最大为d=16.e【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质、导数的几何意义.设,根据题意，直线与曲线相切，则,且b=，设t=, ,显然，函数t=上在是增函数，在上是减函数，所以，当x=1时，t=取得最大值为e，即的最大值为e17.(1)由得.;(2)由由余弦定理:,所以为直角三角形易得【解析】本题主要考查和差角公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式.(1)由利用和差角公式展开化简可得，即可求出角A;(2)利用三角形面积公式可得b、c的关系，再利用余弦定理判断a、c的关系，即可求出的值.18.(1),由题意得;(2)由(1),令或当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:,,,所以【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质.(1)求出，由题意可知，，求解可得a的值;(2)由(1)可得导函数解析式, 令可得极点，再判断函数单调性，即可求出在上的最值.19.(1)易得C的方程为(2)法一:点差法可得:中中,又中中,所以中点为法二:过点且斜率为的直线方程为,设直线与C的交点为Ａ,Ｂ,将直线方程代入C的方程,得,即,解得,AB的中点坐标,即中点为.【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的方程与简单几何性质、中点坐标公式、方程思想.(1)由椭圆过双曲线的右顶点，可得a=5，再由离心率为可得c、b的值，即可求得椭圆的标准方程;(2)法一：点差法设直线与C的交点为Ａ,Ｂ,代入椭圆方程相减，利用中点坐标公式可得:中中,又中中,即可求得结果;法二：求出直线方程，联立椭圆方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式求解.20.(1)数列是等差数列,设其公差为,则.所以,则,即数列的通项公式为.(2)∵c n＝(2n－1)×2n-1,∴T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1,①2T n＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n,②－②得－T n＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n,整理得－T n＝1＋2×－(2n－1)·2n＝－(2n－3)×2n－3.∴T n＝(2n－3)·2n＋3.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与性质、等比数列的前n项和公式、差比数列的求和，考查了计算能力.(1)由已知可求得，结合的值求出公差，即可求出通项公式;(2)由(1)得c n＝(2n－1)×2n-1,再利用差比数列与等比数列的前n项和公式求解.21.(1)由①可得代入②得:,解得:且所以曲线的方程为:(且)(2)由题意,直线与相切,设切点为(且)则直线m的方程为,即联立由题意,直线m与椭圆相切于点,则即又即,联立得由且以及得,故,又.所以椭圆的离心率的取值范围是【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、轨迹方程、直线的斜率公式、导数的几何意义.(1) 由①可得,化简并结合②求解可得动点的轨迹的方程;(2)由题意,直线与相切,设切点为(且)，利用导数的几何意义求出切线方程，与椭圆方程联立，判别式，且，由且以及求解可得椭圆的离心率的取值范围.22.(1)由,得.(1)当时,.(i)若,当时,恒成立,所以函数的单调递减区间是.(ii)若,当时,,函数单调递减.当时,,函数单调递增.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)当时,令,得.由得.显然,,.当时,,函数单调递减.当时,,函数单调递增.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.综上所述,当时,函数的单调递减区间是.当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是.当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是(2)①当时,在上单调递减,,不合题意.②当时,由(1)可知,在单调递减,在上单调递增,所以只需的最小值为即可,令,则在上单调递增,,所以当时,,当时,,所以的取值范围是.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查了分类讨论思想.(1)求出，当时,分、两种情况讨论求解；当时,令,得，恒成立，则易求单调性；(2)①当时,在上单调递减,,不合题意；②当时,由(1)可知,在单调递减,在上单调递增,所以只需的最小值为，利用函数的单调性求解即可.。

重庆市南开中学2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年重庆市南开中学高二（下)期中数学试卷(文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．根据如表数据，得到的回归方程为=x+9,则=（）x 4 5 6 7 8y 5 4 3 2 1A．2 B．1 C．0 D．﹣12．如图,是2017年P大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为（）A．86，86 B．85,84 C．84，86 D．86，853．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且短轴长为8，离心率为,则该椭圆的方程为（)A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=14．若抛掷两颗质地均匀的骰子，则朝上一面的点数之和为9的概率为() A．B．C．D．5．下列说法正确的是()A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线6．已知某几何体由相同的n个小正方体构成,其三视图如图所示，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α,β，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且m∥n,则α∥βB．若m⊥α，n∥β，且m⊥n,则α⊥βC．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βD．若m⊥α,n⊥β，且m⊥n，则α⊥β8．如图，在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BB1的中点，F在AC1上,且DF ⊥AC1,则下列结论:(1）AC1⊥BC；（2)AF=FC1；（3)平面DAC1⊥平面ACC1A1；（4）直线DF∥平面ABC,其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．若函数f(x）=alnx+ax2﹣2x在x∈（1，2）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（0，1）D．（0，）10．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AA1=2，∠BAC=30°,BC=1，则球O的体积为（）A．B．C．D．11．过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若｜AF｜=2，=2，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x12．已知函数f(x）=x+xlnx,若a∈Z，且直线y=ax在曲线y=f(x+1)的下方，则a的最大值为(）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．在某次测量中得到数据如下：82,83，84，86，88，88，88,88，则这组数据的中位数是．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，过点A,B，C,D作球O的截面，则该截面的面积为．15．已知函数f（x）=x3+(a+1）x2+bx+c的导函数为f′（x）,在区间(﹣2,0）内任取两个实数a,b，则f′（1）•f′（﹣1）＜0的概率为．16．已知P为椭圆+=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，直线PA、PB分别与直线x=﹣2交于点C、D，O为坐标原点,则△OCD的面积的最小值为．三、解答题（共70分)17．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：［40，50），［50，60），［60,70）,［70，80),[80,90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求恰好抽到2名重庆市网友的概率；（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．网友强烈关注一般关注合计重庆市a=b=四川省c=d=合计完成上表，并判断是否有90％以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥0.15 0。

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重庆南开中学高2017级高二（上）半期考试
数学试题（文科）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、抛物线2y x =的准线方程为 A 、14
x =
B 、14
x =-
C 、14
y =
D 、14
y =-
2、若直线10ax y ++=与直线()210a x y --=平行，则实数a 的值为 A 、12
-
B 、
13
C 、1
D 、1
2
-
或1 3、命题“0,20x x ∃<>”的否定是 A 、0,20x x ∃<≤ B 、0,20x x ∃>≤ C 、0,20x x ∀<>
D 、0,20x x ∀<≤
4、双曲线2254600x y -+=的焦点坐标为
A 、()
±
B 、()
C 、(0,±
D 、(0,
5、已知原命题：若sin 1x =，则2
x π
=，则它的否命题为 A 、若sin 1x =，则2
x π
≠ B 、存在sin 1x =，使2
x π
≠
C 、若sin 1x ≠，则2
x π
≠
D 、若2
x π
≠
，则sin 1x ≠
6、若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则它的离心率为
A
B
C
D 7、过原点的直线与椭圆22
195
x y +=交于A 、B 两点，F 为椭圆的一个焦点，则ABF ∆的面积的最大值是
A 、
B 、5
C 、
D 、9
8、过点()0,1的直线l 与双曲线2
2:14
x C y -=有且只有一个公共点，这样的直线共有
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
9、已知椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴一端点，若12120A BA ∠=
，则椭圆的离心率为
A 、
1
2
B 、
3
C 、
3
D 、
2
10、已知点()1,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 及其准线分别交于点M 、N ，则
FM MN
=
A 、
14
B 、12
C 、
2
D 、1
11、过点()4,0A 的直线与圆()2
2
14x y -+=交于B 、C 两点，则弦BC 的中点的轨迹是
A 、圆的一部分
B 、椭圆的一部分
C 、双曲线的一支
D 、抛物线
12、已知P 是以F 为左焦点的双曲线2
2
:1C x y -=右支上一定点，点A 满足0AP AF ⋅=
，
则点A 到原点的最近距离为
A 、1
B
C
D 、2
第II 卷（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的____________条件。

14、抛物线2
2y x =上的点A 到其焦点的距离为1，则点A 到y 轴的距离为____________。

15、过点()0,1的直线l 被圆()2
214x y -+=所截得的弦长最短时，直线l 的斜率为____________。

16、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，
由2F 向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若12F HF ∆的面积为2
b ，则双曲线
C 的渐近线方程为____________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）
已知p ：直线()212y m x m =++-的图象不经过第二象限，q ：方程2
2
11y x m
+
=-表示焦
点在x 轴上的椭圆，若命题()p q ⌝∨为假，求实数m 的取值范围。

18、（本小题满分12分）
已知圆C 的方程为()()2
2
124x y -+-=。

（I ）求过点()3,1M 的圆C 的切线方程；
（II ）若直线40ax y -+=与圆C 交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值。

19、（本小题满分12分）
已知离心率为2
的椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>上一点P 到其两焦点的距离之和为
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设过椭圆C 的右焦点且斜率为1
2
的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的中点坐标。

20、（本小题满分12分）
已知点()0,1A ，点P 在双曲线2
2:12
x C y -=上。

（I ）当PA 最小时，求点P 的坐标；
（II ）过A 点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若
OMN ∆的面积为l 的方程。

21、（本小题满分12分）
如题（21）图所示，椭圆()2222:10,0x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，双曲线22
221x y a b
-=的
渐近线分别为12l l 和，过点F 作直线2l l ⊥于点C ，直线1l l 与交于点P 、与椭圆E 从上到下依次交于点,A B 。

已知直线1l 的倾斜角为30
，双曲线的焦距为8. （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）设12,PA AF PB BF λλ==
，证明：12λλ+为常数。

22、（本小题满分10分）
过点(),0m 的动直线l 与抛物线()2
:20C y px
p =>交于A 、B 两点，当4m =且l x ⊥轴
时，OAB ∆为直角三角形（O 为坐标原点）。

（I ）求抛物线C 的方程；
（II ）设抛物线C 的焦点为F ，是否存在正数m ，使得当直线l 转动时，总有0FA FB ⋅<
？
若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。