2006年高考试题——数学理(湖南卷)
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2006年高考文科数学试题及答案(湖南 卷)
绝密★启用前2006年高考文科数学试卷（湖南卷）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解读回答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参阅公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率乃是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率乃是()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，惟有一项乃是符合题目要求的. 1．函数x y 2log =的定义域乃是A ．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(==b t a若1t t =时，a ∥b ；2t t =时，b a ⊥，则A ．1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t 3. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数乃是80，则实数a 的值乃是 A ．-2 B. 22 C. 34 D. 24．过半径为12的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角乃是60°则该截面的面积乃是A ．π B. 2π C. 3π D. π32 5．“a =1”乃是“函数a x x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数乃是A ．6 B. 12 C. 18 D. 24 7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差乃是A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 8．设点P 乃是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期乃是 A ．2π B. π C. 2π D. 4π 9．过双曲线M ：1222=-hy x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率乃是A ．25B. 310C. 5D. 1010. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）能够乃是A ．)43,41( B. )32,32(-C. )43,41(-D. )57,51(-二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.11. 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩乃是90分，乙班的平均成绩乃是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩乃是 分.13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值乃是 .14. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条.15. 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 乃是偶函数，则a = .A图1三．解读回答题：本大题共６小题，共80分. 解读回答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.17.（本小题满分１２分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全稽查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检乃是否合格乃是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率乃是0.5，整改后安检合格的概率乃是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分）如图2，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都乃是2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.19.（本小题满分14分）QBCP A D图2已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点乃是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2006年高考文科数学参阅答案（湖南卷）1－10：DCDAABCBCDC11.12-n , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 . 16. 解 由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin ==θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =θ，从而323πθπθ==或.17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率乃是1－0.5，且每家煤矿乃是否整改乃是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率乃是31.01655.0)5.01(32251==⨯-⨯=C P .（Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率乃是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ，从而煤矿不被关闭的概率乃是0.90.解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i ）该煤矿第一次安检合格；（ii ）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率乃是90.08.0)5.01(5.02=⨯-+=P .(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率乃是0.9，且每家煤矿乃是否被关闭乃是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率乃是41.09.0153=-=P . 18. 解法一 （Ⅰ）连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都乃是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD . 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 乃是正方形，所以AC ⊥BD .由（Ⅰ），QO ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别乃是P （0，0，2），A （22，0，0），Q （0，0，－2），B （0，22，0）.所以)2,0,22(--=AQ )2,22,0(-=PB于乃是3132324,cos =⨯=<. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角乃是31arccos .(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标乃是（0，－22，0），)0,22,22(--=，)4,0,0(-=，设),,(z y x =乃是平面QAD 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002y x z x . 取x =1，得)2,1,1(--=.所以点P 到平面QAD的距离22==d . 解法二 （Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD 都乃是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以PAQC 为平行四边形，AQ ∥PC .从而∠BPC （或其补角）乃是异面直线AQ 与PB 所成的角.因为322)22(2222=+=+==OP OC PC PB ，所以31323221612122cos 222=⨯⨯-+=⋅-∠PC PB BC PC PB BPC ＋＝. 从而异面直线AQ 与PB 所成的角乃是31arccos .(Ⅲ)连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长乃是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM . 即点P 到平面QAD 的距离乃是22.BCPAD OM19. 解 （Ⅰ）由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='≠.令ax x x f 2,00)(21==='得. 当（i ）a >0时，若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a -∞上乃是增函数；若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a 上乃是减函数；若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2(+∞a上乃是增函数；（i i ）当a ＜0时，若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a -∞上乃是减函数；若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a上乃是减函数；若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2(a上乃是增函数；若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上乃是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，且函数)(x f y =在a x x 2,0==处分别乃是取得极值a f 31)0(-=，134)2(2+--=a aa f . 因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2()0(≤⋅af f .即0)31)(134(2≤-+--a a a .所以0)4)(3)(1(2≤--+aa a a . 故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且.解得 －1≤a ＜0或3≤a ≤4.即所求实数a 的取值范围乃是[-1，0)∪[3，4]. 20. 解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ， 2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n . （Ⅱ）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ， 所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .21. 解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为 x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2乃是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +.因为AB 既乃是过C 1的右焦点的弦，又乃是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 34)2()2(212121++=++=+++=x x p x x p x p x AB .从而)(214342121x x x x +-=++. 所以91621=+x x ，即91643822=+kk . 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……② 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2乃是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4kk +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x 1,x 2也乃是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又乃是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=.即916)4(3221=-=+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于乃是直线AB 的斜率m m x x y y k 313201212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程乃是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121mx x m y y =-+-=+. ……③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④ 将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .。
全国大联考(湖南专用)2006届高三第三次联考
全国大联考(湖南专用)2006届高三第三次联考·数学试卷（理）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f (x )＝ax (a >0，且a ≠1)的反函数为y ＝f －1(x )，若f －1(2)+f －1(5)＝1，则a 等于A ．110B ．2C ．5D ．10 2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a l2＝120，则a 9－13a 11的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x +b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为A ．πB ．2πC ．π2D ．π44．若α＋β＝π3，且t a n α＋3(t a n αt a n β＋m )＝0，则t a n β的值为A ．3(1＋m )B ．3(1－m )C ．1＋m 3D ．1－m35．已知f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，且f (x )是奇函数；若当x <0时，f (x )＝3x ，则f －1(－19)的值等于A ．2B ．12C ．－2D ．－126．已知数列{a n )满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为偶数，n ∈N ＊)，2n (n ＋2)(n 为奇数，n ∈N ＊)，则{a n }的前2k －1项的和为 A ．k 2－k ＋1－12k ＋1 B ．k 2＋k ＋1－12k ＋1C ．k 2＋k ＋32－1k ＋1－1k ＋2D ．k 2－k ＋32－1k ＋1－1k ＋27．给出函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象的一段(如右图所示A ．3sin(1011x ＋π6) B ．3sin(1011x －π6)C ．3sin(2x ＋π6)D ．3sin(2x －π6)8．已知等比数列{a n }的各项和等于57，则它的首项a 1的取值范围是A ．(0，1)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(0，107)D ．(0，57)(7，7)9．设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋20x )(1＋cos2x 0)的值为A ．0B ．1C ．2D ．310．方程2x ＋1x 2＋2＝log 12x 的解所在的区间是A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，22)D ．(22，1) 第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．11．cos 21995°＝____________．12．已知集合A ＝{x ∈N|2n <x <n 2＋1，n ∈N ＊}，若card(A)＝2，则n ＝_____________．13．把函数f (x )＝－2tan(x ＋π4)的图象向左平移a (a >0)个单位得到函数y ＝g(x )的图象，若函数y ＝g(x )是奇函数，则a 的最小值为_________．14．给定81个数排成如右图的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为___________． 15．设f (x )＝l —2x 2，g(x )＝x 2－2x ，若F(x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≥g (x )， f (x )，f (x )<g (x )，则F(x )的最大值为_______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2006年高考试题——理综(湖南卷)
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第a卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷注愈事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3本卷共21小题，每小题6分，共126分。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意）1.人的神经系统中，有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成分泌激素。
这些细胞位于A.大脑皮层B. 垂体C. 下丘脑D. 脊髓2.一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3.下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A.培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B.培养中的人B 细胞能够无限地增殖C.人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D.用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4.锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误．．的是A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J 型增长B.三种蝌蚪之间为竞争关系C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
以下有关叙述，正确的是A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA 分子导入羊的受精卵C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以DNA 分子的一条链为模板合成mRNA6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A.分子晶体B.原子晶体C.离子晶体D.何种晶体无法判断7.下列叙述正确的是A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8.用A N 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A.0.5molAl 与足量盐酸反应转移电子数为1A NB.标准状况下，11.2L 3SO 所含的分子数为0.5A NC.0.1mol 4CH 所含的电子数为1A ND.46g 2NO 和24N O 的混合物含有的分子数为1A N9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串连，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A. 1:2:3B. 3:2:1C.6:3:1D. 6:3:210. 浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混和，充分反映后没有沉淀的一组溶液是A. BaCl2 NaOH NaHCO3B. Na2CO3 MgCl2 H2SO4C. AlCl3 NH3·H2O NaOHD. Ba(OH)2CaCl2Na2SO411.在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A.加入水时，平衡向逆反应方向移动B.加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C.加入少量0.1mol·L-1HCl溶液，溶液中c（H+）减小D.加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12. 茉莉醛具有浓郁的茉莉花香，其结构简式如下所示：关于茉莉醛的下列叙述错误的是A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化C.在一定条件下能与溴发生取代反应D.不能与氢溴酸发生加成反应13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-）＝0.8mol·L-1，则c（K+）为A.0.15mol·L-1B.0.2mol·L-1C.0.3mol·L-1D.0.4mol·L-1二、选择题（本题包括8小题。
2006年高考湖南卷理科数学试题及参考答案
1.证：对疾病过程中所处一定（当前）阶段的病位.病性等病理本质所作的概括2.主诉：病人就诊时最感痛苦的症状.体征及持续时间3.畏寒：病人自觉寒冷.多加衣被或近火取暖而能缓者.谓之畏寒4.潮热：指按时发热.或按时热势加重.如潮汐之有定时的症状5.日晡潮热：下午3-5时（申时）热势较高者.称日晡潮热.常见于阳明俯实证，故又称阳明潮热6.战汗：病人先恶寒战栗后而汗出的症状7.盗汗：指睡则汗出.醒则汗止的症状8.客色：因外界因素（如季节.昼夜.阴晴气候等）的不同，或生活条件的差别而微有相应变化的正常肤色（特别是面色），谓之客色9.善色：指病人面色虽有异常，但仍光明润泽。
病情尚浅，脏腑精气未衰，胃气尚能上荣于面，多见于新病、轻病、阳症，其症难治，预后较差10.恶色：病人面色异常，且枯槁晦暗、病变深重，脏腑精气已衰，胃气不能上荣于面，多见于久病.重病.阴症.其症难治，预后较差11.瘿瘤：颈部喉结处有肿块突起，或大或小，或单侧或双侧，可随吞随咽而上下移动，多因肝郁气结痰凝所致，或因水土失调，痰气搏结所致12.瘰疬：颈侧颌下有肿块如豆，累累如串珠，多由肺肾阴虚，虚火内灼，炼液为痰，结于颈部，或因外感风火时毒，夹痰结于颈部所致13.痄腮：一侧或两侧腮部以耳垂位中心肿起，边缘不清，按之有柔韧感，及压痛者，为痄腮14.发颐：颧下颌上耳前发红肿起，伴有寒热，疼痛者为发颐，或为托腮痈15.阳痿：病人阴茎不能勃起，或勃起不坚，或坚而不能持久，不能进行性交的症状16.遗精：病人不性交而精液遗泄的症状。
清醒时精液流出者，谓之“滑精”，梦中性交而遗精者称之“梦遗”17.早泄：患者阴茎插入阴道不足一分钟，甚至尚未插入便发生射精，不能正常性交的症状18.崩漏：非正常行经周期阴道出血症状，若来势凶猛，出血量多者，谓之崩，势缓而量少，淋沥不断者，谓之漏，合称崩漏19.癃闭：小便不畅，点滴而出为癃，小便不通，点滴而出为闭，合称癃闭20.里急后重：指便前腹痛，急迫欲便，便时窘迫不畅，肛门重坠，便意频数的症状21.谵语：指神恶不清，语无伦次，声高有为的症状22.金实不鸣：新病音哑或失音者，多属实证，多因外感，风寒或风热袭肺，或痰湿壅肺，肺失清肃，邪闭清窍所致23.金破不鸣：久病音哑或失音者，多属虚证，多因各种原因导致阴虚火旺，肺肾精气内伤所致24.太息：指情志抑郁，胸闷不畅时发出的长吁或短叹声，又称叹息25.舌苔：舌面上的一层苔状物，由脾胃之气蒸化胃中食浊而产生26.腻苔：胎质较密，颗粒细小，融合成片，如涂有油腻之状，中间厚边周薄，紧贴舌面，揩之不去，刮之不去27.脉象：手指感觉脉搏跳动的形象，或称为脉动应指的形象28.真脏脉：疾病危重期出现的无胃、无神、无根的脉象29.洪脉：脉体宽大，充实有力，来盛去衰，状如波涛汹涌30.滑脉：脉搏形态应指圆滑，如同圆珠流畅池由尺部向寸部滚动，浮中.沉取皆可感到（往来流利，应指圆滑，如盘走珠）31.弦脉：脉形端直而似长，脉势较强，脉道较硬，切脉时有挺然指下，直起直落的感觉（端直以长，如按琴弦）32.合病：伤寒病不经过传变，两经或三经因时出现病证，称“合病”33.并病：伤寒病凡一经病证未罢，又见他经病症者，称“并病”34.逆传：邪入卫分后，不经过气分阶段而直接进入营血分35.八纲：指表.里.寒.热.虚.实.阴.阳八个纲领1、表征问汗有什么意义？表征是外邪侵犯机体的一种征候，但邪气有寒邪、热邪、风邪等不同，通过问汗可以有助于辨别病邪性质和机体营卫是否失常。
2006年高考湖南卷理科综合试题及参考答案
关于茉莉醛的下列叙述错误的是 A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原 B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化 C.在一定条件下能与溴发生取代反应 D.不能与氢溴酸发生加成反应 13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其 pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-） ＝0.8mol·L-1，则 c（K+）为 A.0.15mol·L-1 B.0.2mol·L-1 C.0.3mol·L-1 D.0.4mol·L-1 二、选择题（本题包括 8 小题。每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有 多个选项正确，全部选对的得 6 分，选对但不全得得 3 分，有选错得 0 分）
A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为 J 型增长 B.三种蝌蚪之间为竞争关系 C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪 D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果 5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。但是，人凝血 因子只存在于该转基因羊的乳汁中。以下有关叙述，正确的是 A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的 3 倍 B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组 DNA 分子导入羊的受精卵 C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中 D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以 DNA 分子的一条链为模板合成 mRNA 6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于 A.分子晶体 B.原子晶体 C.离子晶体 D.何种晶体无法判断 7.下列叙述正确的是 A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高 B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子 C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高 D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高 8.用 N A 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是 A.0.5molAl 与足量盐酸反应转移电子数为 1 N A B.标准状况下，11.2L SO3 所含的分子数为 0.5 N A C.0.1mol CH 4 所含的电子数为 1 N A D.46g NO2 和 N 2O4 的混合物含有的分子数为 1 N A
2006年高考湖南卷(理科数学)
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）一、选择题：本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞2.若数列}{n a 满足：311=a ，且对任意正整数m ，n 都有n m n m a a a ⋅=+，则 A ．21 B ．32 C ．23 D ．2 3.过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线，其中与平面 11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ 6.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种7.过双曲线M ：2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,，且AB BC =，则双曲线M 的离心率是A ．10B ．5C ．310 D ．25 8.设函数1)(--=x a x x f ，集合{|()0}M x f x =<，{|()0}P x f x '=>，若P M ⊂,则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A ．22 B ．23 C ．2 D ．310.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线l ：0ax by +=的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.11.若5)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-，则实数a 的值是 . 12.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则22y x +的最小值是 .13.曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 .14.若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是 .(注：写出你认为正确的一组数字即可)15.如图2，AB OM //，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当21-=x 时，y 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）如图3，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记C A D α∠=，ABC β∠=. （Ⅰ）证明：02cos sin =+βα； （Ⅱ）若DC AC 3=，求β的值. 17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格, 则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01).（Ⅰ）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（Ⅱ）平均有多少家煤矿必须整改；（Ⅲ）至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为1和2，4=AB （Ⅰ）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线AQ 与PQ 所成的角；（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离.19．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n a 满足：101<<a ， ,3,2,1=n .证明： （Ⅰ）101<<<+n n a a ；（Ⅱ）3161n n a a <+. 20．（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义A B CA B CD P为：）物体质量（含污物）污物质量-1为8.0，要求清洗完后的清洁度为99.0.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a （13a ≤≤）.设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x )1(->a x ，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是a y ac y ++， 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.（Ⅰ）分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（Ⅱ）若采用方案乙，当a 为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21．（本小题满分14分）已知椭圆1C ：22143x y +=，抛物线2C ：2()2y m px -=(0)p >，且1C ，2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当AB x ⊥轴时，求m ，p 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）是否存在m ，p 的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m ，p 的值；若不存在，请说明理由.。
2006年湖南高考数学试题分析
（６ 题是函数 、 １） 方程 、 不等式整合 ；１ ） （８ 题是
概率 与方 程整 合 ；２ ） 是 函数 、 列 、 等 （０ 题 数 不
维普资讯
中学 数学杂志 （ 高中） ２０ ０ ６年第 ５期
３
吻 合 ． 理科 卷 中 ， １ ）题 是 函数 、 程 、 如 （０ 方 排 列组 合 的 整 合 ； ２ ）题 是 向量 与 三 角 整 合 ； （０
题 ）数列不等式问题有时常被设 置为高考压 ；
水 ” 个敏感 问题 ， 这 可谓 颇具 匠 心 ， 引导 数 学
留着全国普通高等学校招生统一考试试题结 构 ：２ １ 个选择题 ， 每题 ５ ， ６ 分 ；个填空 分 共 ０ ４ 题． 每题 ４分 ， １ ； 共 ６分 ６个解 答题 ， ７ 分 ， 共 ４ 总共 ２ ２道题 组成 ．）内容 上 ： 卷 注意 了知 试 识点的覆盖 ， 无偏题 ， 怪题 ， 常见题多 ， 似曾相
４
中学数学杂志 （ 高中） ２０ 年第 ５ ０６ 期
空题 ， 每题 ４ ， ２ 分 ； 个解 答题 ， ８ 分 分 共 ０ ６ 共 ０ 组 成 ．这 一结构 是经 过 ２０ ０ ５年演 变 而 成 ， 已 保 持 了二年 ， 符合 湖南 数学 自主命 题 的特 点 ： 结 构上 比全 国普 通高 等学 校招 生统 一考 试试 题 少两 个选 择 题 ， 多一 个 填 空题 ， 共 ２ 总 １道 题 ：２ ０ 湖南 高考 自主命 题第 一年 ， 保 （０ ４年 还
2006高考试题——理综(湖南卷)
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第a卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷注愈事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3本卷共21小题，每小题6分，共126分。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意）1.人的神经系统中，有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成分泌激素。
这些细胞位于A.大脑皮层B. 垂体C. 下丘脑D. 脊髓2.一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3.下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A.培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B.培养中的人B 细胞能够无限地增殖C.人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D.用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4.锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误．．的是A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J 型增长B.三种蝌蚪之间为竞争关系C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
以下有关叙述，正确的是A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA 分子导入羊的受精卵C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以DNA 分子的一条链为模板合成mRNA6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A.分子晶体B.原子晶体C.离子晶体D.何种晶体无法判断7.下列叙述正确的是A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8.用A N 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A.0.5molAl 与足量盐酸反应转移电子数为1A NB.标准状况下，11.2L 3SO 所含的分子数为0.5A NC.0.1mol 4CH 所含的电子数为1A ND.46g 2NO 和24N O 的混合物含有的分子数为1A N9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串连，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A. 1:2:3B. 3:2:1C.6:3:1D. 6:3:210. 浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混和，充分反映后没有沉淀的一组溶液是A. BaCl2 NaOH NaHCO3B. Na2CO3 MgCl2 H2SO4C. AlCl3 NH3·H2O NaOHD. Ba(OH)2CaCl2Na2SO411.在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A.加入水时，平衡向逆反应方向移动B.加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C.加入少量0.1mol·L-1HCl溶液，溶液中c（H+）减小D.加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12. 茉莉醛具有浓郁的茉莉花香，其结构简式如下所示：关于茉莉醛的下列叙述错误的是A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化C.在一定条件下能与溴发生取代反应D.不能与氢溴酸发生加成反应13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-）＝0.8mol·L-1，则c（K+）为A.0.15mol·L-1B.0.2mol·L-1C.0.3mol·L-1D.0.4mol·L-1二、选择题（本题包括8小题。
2006年高考湖南卷文科数学试题及参考答案
绝密★启用前2006年高考文科数学试卷（湖南卷）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n k n n P k C P P -=- 球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数x y 2log=的定义域是A ．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(==b t a若1t t =时，a ∥b ；2t t =时，b a ⊥，则 A ．1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t 3. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是A ．-2 B. 22 C. 34 D. 24．过半径为12的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A ．π B. 2π C. 3π D. π32 5．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6 B. 12 C. 18 D. 24 7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36 B. 18 C. 26 D. 258．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是A ．2π B. π C. 2πD.4π9．过双曲线M ：1222=-hy x的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率是A ．25 B.310 C. 5 D. 1010. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OBy OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是 A ．)43,41(B. )32,32(-C. )43,41(-D. )57,51(-二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.11. 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是 .14. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条. 15. 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .A图1三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.17.（本小题满分１２分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.19.（本小题满分14分） 已知函数axaxx f 313)(23-+-=.（Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，Q BCPAD图2求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C 1：13422=+yx，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2006年高考文科数学参考答案（湖南卷）1－10：DCDAABCBCDC 11.12-n, 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .16. 解 由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ.即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin ==θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =θ，从而323πθπθ==或.17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.01655.0)5.01(32251==⨯-⨯=C P .（Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P ，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i ）该煤矿第一次安检合格；（ii ）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是90.08.0)5.01(5.02=⨯-+=P .(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P . 18. 解法一 （Ⅰ）连结AC 、BD ，设OBD AC= .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD . 从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .由（Ⅰ），QO ⊥平面ABCD . 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P （0，0，2），A （22，0，0），Q（0，0，－2），B （0，22，0）.所以)2,0,22(--=AQ)2,22,0(-=PB于是3132324,cos=⨯=>=<PB AQ .从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD，)4,0,0(-=PQ ，设),,(z y x n =是平面QAD 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD n AQ n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002y x z x .取x =1，得)2,1,1(--=n.所以点P 到平面QAD的距离22==d.解法二 （Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.因为OA ＝OC ，OP ＝OQ ，所以PAQC 为平行四边形，AQ ∥PC .从而∠BPC （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为322)22(2222=+=+==OP OC PC PB ，所以31323221612122cos 222=⨯⨯-+=⋅-∠PCPB BCPCPB BPC ＋＝.从而异面直线AQ 与PB 所成的角是31arccos .(Ⅲ)连结OM ，则PQAB OM21221===.所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（Ⅰ）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 从而PM 的长是点P 到平面QAD 的距离. 在直角△PMO 中，22222222=+=+=OMPOPM.即点P 到平面QAD 的距离是22.19. 解 （Ⅰ）由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a-=-='≠.令ax x x f 2,00)(21==='得.当（i ）a >0时，BCPADOM若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a-∞上是增函数；若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a 上是减函数；若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2(+∞a上是增函数；（i i ）当a ＜0时， 若)2,(ax -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,(a-∞上是减函数；若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a上是减函数； 若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2(a上是增函数；若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，且函数)(x f y =在ax x2,0==处分别是取得极值af 31)0(-=，134)2(2+--=a aa f .因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2()0(≤⋅af f . 即0)31)(134(2≤-+--aaa.所以)4)(3)(1(2≤--+aa a a .故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且.解得 －1≤a ＜0或3≤a ≤4.即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 20. 解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（Ⅱ）因为,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n nn n n a a a a b nn n n n ，所以n b b b n 221>+++ . 又因为,2,1,222222=+-+=+++=n n n nn n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .21. 解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为 x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p249=，即89=p.此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（Ⅱ）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+kx k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk+.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且34)2()2(212121++=++=+++=x x p x x p x p x AB .从而)(214342121x x x x +-=++.所以91621=+x x ，即91643822=+kk.解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以km31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y； 当36-=m时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程 为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得xm kkx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即km 31-=.代入①有xk kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k xk. ……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4kk+.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+kx k x k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk+.从而223)2(4k k+＝22438kk+. 解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以km31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y； 当36-=m时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=.即916)4(3221=-=+p x x . ……①由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率mm x x y y k 313201212=--=--=， ……②且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121m x x m y y =-+-=+. ……③又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y.。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年普通高等学校统一考试理试题参考答案(湖南卷)
ABCDαβ 2006年全国普通高校招生数学试题（湖南卷）（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． 11．2-12．513．3414．(11)-，15．(0)-∞，，1322⎛⎫⎪⎝⎭，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（I ）如图，因为πππ(π2)2222B A D αββ=-=--=-∠， 所以πsin sin 2cos 22αββ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 即sin cos 20αβ+=．（II ）在A D C △中，由正弦定理得sin sin(π)DC AC αβ=-，即sin sin D C C αβ=．所以sin βα=．由（I ），si n c o s 2αβ=-，所以2sin 22sin )βββ==-．即2sin 0ββ--=．解得sin 2β=或sin 3β=-．因为π02β<<，所以sin 2β=，从而π3β=．17．（本小题满分12分）解：（I ）每家煤矿必须整改的概率是10.5-，且每家煤矿是否整改是相互独立的．所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是223155C (10.5)0.50.3116P =⨯-⨯==．（II ）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布(50.5)B ，，从而ξ的数学期望是50.5 2.5E ξ=⨯=．即平均有2.50家煤矿必须整改．（III ）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是2(10.5)(10.8)0.1P =-⨯-=，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是5310.90.41P =-=． 18．（本小题满分14分）解法一：（I ）连结AC BD ，，设AC BD O = ． 因为P A B C D -与Q ABCD -都是正四棱锥， 所以P O ⊥平面A B C D ，QO ⊥平面A B C D ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面A B C D ． （II ）由题设知，A B C D 是正方形，所以A C B D ⊥．由（I ），PQ ⊥平面A B C D ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(001)P ，，，0)(002)(0A Q B -，，，，，．所以(02)(01)AQ PB =--=-，，．于是cos 9A Q P B A Q P B A Q P B<>==，． 从而异面直线AQ 与P B所成的角是arccos9．（III ）由（II ），点D的坐标是(0-，，((003)AD PQ =--=-，，，， C设()n x y z = ，，是平面QAD 的一个法向量，由00n A Q n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +=+=⎪⎩．取1x =，得(11n =--，，．所以点P 到平面QAD的距离2PQ n d n==解法二：（I ）取A D 的中点M ，连结PM QM ，．因为P A B C D -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以AD PM AD QM ⊥⊥，． 从而AD ⊥平面PQM ．又PQ ⊂平面PQM ，所以PQ AD ⊥． 同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平面A B C D ．（II ）连结AC BD ，，设AC BD O = ，由PQ ⊥平面A B C D 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．取O C 的中点N ，连结P N ． 因为1122PO NO NO OQOA OC ===，，所以PO N OO Q O A=，从而AQ PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与P B 所成的角． 连结B N ．因为3PB ===，PN ===，BN ===所以222cos 29PB PN BNBPN PB PN+-=== ∠．CABPDOHNM从而异面直线AQ 与P B 所成的角是arccos9．（III ）由（I ）知，AD ⊥平面PQM ，所以平面QAD ⊥平面PQM ．过P 作PH QM ⊥于H ，则PH ⊥平面QAD ，所以P H 的长为点P 到平面QAD 的距离． 连结O M ，因为122O M A B O Q ===，所以45MQP =︒∠．又3PQ PO QO =+=，于是sin 45PH PQ =︒=2．即点P 到平面QAD 的距离是2．19．（本小题满分14分）证明：（I ）先用数学归纳法证明01123n a n <<= ，，，，． （i ）当1n =时，由已知，结论成立． （ii ）假设当n k =时结论成立，即01k a <<. 因为01x <<时()1cos 0f x x '=->，所以()f x 在(01)，上是增函数，又()f x 在[01]，上连续， 从而(0)()(1)k f f a f <<，即101sin 11k a +<<-<． 故当1n k =+时，结论成立．由（i ）、（ii ）可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<．综上所述101n n a a +<<<． （II ）设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由（I ）知，当01x <<时，sin x x <．从而22222()cos 12sin 2022222xx xx x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭.所以()g x 在(01)，上是增函数．又()g x 在[]01，上连续，且(0)0g =，所以当01x <<时，()0g x >成立．于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n n a a +<．20．（本小题满分14分）解：（I ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有0.80.991x x +=+，解得19x =． 由0.95c =得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程 0.950.99y a y a+=+，解得4y a =，故43z a =+．即两种方案的用水量分别为19与43a +．因为当13a ≤≤时，4(4)0x z a -=->，即x z >． 故方案乙的用水量较少．（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得 54(99100)(*)5(1)c x y a c c -==--，于是541(99100)100(1)15(1)5(1)c x y a c a c a c c -+=+-=+-----．当a 为定值时，11x y a a +-=-+≥．当且仅当1100(1)5(1)a c c =--时等号成立．此时1c =+（不合题意，舍去）或1(0.80.99)c =-，．将11c =-*）式得11x a y a =>-=，．故1c =-时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为1与a -，最少总用水量是()1T a a =-+-．当13a ≤≤时，()10T a '=->，故()T a 是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．这说明，随着a 的值的增加，最少总用水量增加．21．（本小题满分14分）解：（I ）当A B x ⊥轴时，点A B ，关于x 轴对称，所以0m =，直线A B 的方程为1x =，从而点A 的坐标为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，或312⎛⎫- ⎪⎝⎭，．因为点A 在抛物线上，所以924p =，即98p =．此时2C 的焦点坐标为9016⎛⎫⎪⎝⎭，，该焦点不在直线A B（II ）解法一：假设存在m p ，的值使2C 的焦点恰在直线A B 上， 由（I ）知直线A B 的斜率存在，故可设直线A B 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=． ……①设A B ，的坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则12x x ，是方程①的两根，2122834kx x k+=+．由2()2(1)y m pxy k x ⎧-=⎨=-⎩消去y 得2()2kx k m px --=． ……② 因为2C 的焦点2pF m ⎛⎫'⎪⎝⎭，在(1)y k x =-上， 所以12p m k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2kp m k +=．代入②有222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即22222(2)04k p k x p k x -++=． ……③由于12x x ，也是方程③的两根，所以2122(2)p k x x k++=．从而22422228(2)834(43)(2)kp k kp kkk k +==+++，． ……④又A B 过12C C ，的焦点，x所以12121211||()()(2)(2)2222p p A B x x x x p x x =+++=++=-+-，则2212223124124()424343kk P x x k k +=-+=-=++． ……⑤由④，⑤得422228412(43)(2)43kk k k k +=+++．即42560k k --=．解得26k =．于是k =43p =．因为2C 的焦点23F m ⎛⎫' ⎪⎝⎭，在直线1)y x =-上，所以21)3m =-．即3m =3m =-．由上知，满足条件的m p ，存在，且3m =或3m =-，43p =．解法二：设A B ，的坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 因为A B 既过1C 的右焦点(10)F ，，又过2C 的焦点2pF m ⎛⎫' ⎪⎝⎭，， 所以12121211||()()(2)(2)2222p p A B x x x x p x x =+++=++=-+-．即122(4)3x x p +=-． ……①由（I ）知122x x p ≠≠，，于是直线A B 的斜率212102212y y m m k p x x p --===---，且直线A B 的方程是2(1)2m y x p =--． ……②所以121224(1)(2)23(2)m m p y y x x p p -+=+-=--． ……③又因为2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以211212213()4()0y y x x y y x x -+++=- ．……④ 将①、②、③代入④得223(4)(2)16(1)p p m p --=-． ……⑤因为211222()2()2y m pxy m px⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，所以21122122x xy y m py y-+-=-．……⑥将②、③代入⑥得223(2)1610p pmp-=-．……⑦由⑤、⑦得223(4)(2)3(2)16(1)1610p p p pp p---=--．即2320320p p+-=．解得43p=或8p=-（舍去）．将43p=代入⑤得223m=，所以3m=3m=-．由上知，满足条件的m p，存在，且3m=或3m=-，43p=．。
数学试卷及答案(理)
湖南省2006届高三 百校大联考 第一次考试数 学 (理) 试 卷总分：150分 时量：120分钟 2006年3月12日第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 已知i z i -=+⋅)1(那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、 过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是 （ ）A 、22(1)2x y +-= B 、22(1)1x y +-= C 、22(1)4x y -+= D 、22(1)1x y -+=3、 已知椭圆2214x y n +=与双曲线2218x y m -=有相同的准线，则动点(,)P n m 的轨迹为（ ）A 、椭圆的一部分B 、双曲线的一部分C 、抛物线的一部分D 、直线的一部分 4、 若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数rxx f 2sin30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r 的取值范围是（ ）A 、),30[+∞B 、),6[+∞C 、),2[+∞πD 、以上都不对由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中联合命题5、 已知(3x+2)n (n ∈N *)的展开式中各项的二次项系数和为S n ，各项系数和为T n , 则limn nn n nS T S T →+∞-+的值为 （ ）A 、 １B 、 ０C 、 12D 、－１6、 若其中),2(),1(),2(,log )(2231b a f T abf S b a f R x x f +==+==a 、b 为正实数，则R 、S 、T 的大小关系为 （ ）A 、T ≥R ≥SB 、R ≥T ≥SC 、S ≥T ≥RD 、T ≥S ≥R7、 已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1x fy -=，如果)(1a x fy +=-与)(a x f y +=互为反函数且a a f =)( （a 为非零常数）则)0(f 的值为 （ ）A 、 a -B 、 0C 、 aD 、 a 28、 一条长椅上有9个座位，若3个人坐，要求相邻2人之间至少有2个空椅子，则共有（ ）种不同的坐法。
全国大联考(湖南)06高三第二次联考·数学试卷(理)和答案
全国大联考(湖南专用)2006届高三第二次联考数学试卷(理)命题：湖南师大附中、长沙市雅礼中学等校 审定：江西金太阳教育研究所数学研究室考生注意：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分考试时间120分钟2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚3． 请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答题4． 本试卷主要考试内容：函数、集合、映射、简易逻辑第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数中是同一函数的是A y ＝1与y ＝x 0B y ＝x 与y ＝log a xaC y ＝2lg x 与y ＝lg x 2D y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x2若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ||x －3|≥6，x ∈R}，全集U ＝R ，则M ∩ðU N 的真子集个数是A 15B 7C 16D 83已知a ，b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a +b 等于 A －1 B 0C 1D ±14已知f (x )＝－4－x 2在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 A [－2，2] B [－2，0] C [0，2] D (－2，2) 5已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )在R 上是A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增6已知p ：关于x 的方程x 2－ax +4＝0有实根，q ：二次函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若“p 或q ”是真命题，而“p 且q 是假命题”，则a 的取值范围是 A (－12，－4]∪[4，+∞) B [－12，－4]∪[4，+∞) C (－∞，－12)∪(－4，4) D [－12，+∞)7设a >1，实数x ，y 满足|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是8点P 是曲线y ＝2－ln2x 上任意一点，则点P 到直线y ＝－x 的最小距离为9设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是A (0，2)B (0，2]C (0，4]D (0，2)10设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠11，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则222123x x x ++等于A 5B 2b 2b 2C 13D 3c 2c 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)二、填空题: 本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在题中的横线上11函数y ＝(49)x ＋(23)x －109的定义域为 12已知函数f (x )＝bx2－3x，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为13某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数经检测，当t ＝2时，μ＝009μ0，则当稳定系数降为050μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝03010，lg3＝04771) 14已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b其中可能成立的关系式是 (填序号)15已知n 元集合M ＝{1，2，…，n }，设M 所有的3元子集的元素之和为S n ，则limn →∞S nn 2＝ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤已知集合A＝{x|log(x－a2)<0}，B＝{x||x－3|<a}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围13已知函数f (x )＝a ·2x －12x ＋1为R 上的奇函数⑴求f (x )及f －1(x )的解析式；⑵若当x ∈(－1，1)时，不等式f －1(x )≥log 21＋x m恒成立，试求m 的取值范围18(本小题满分14分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )⑴若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；⑵若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调增减，求a 的取值范围某水库进入汛期的水位升高量h n (标高)与进入汛期的天数n 的关系是h n ＝205n 2＋6n ，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)⑴若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？ ⑵若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？ (参考数据：2272＝51529，2312＝53361)20 (本小题满分14分)设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1a )(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式定义函数f n(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为f n′(x)⑴求证：f n(x)≥nx；⑵设f′n (x0)f′n+1 (x0)＝f n(1)f n＋1(1)，求证：0<x0<1；⑶是否在在区间[a，b] (－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]2006数学试卷(理)参考答案（湖南专用）11(－∞，1] 12f (x )＝4x 3x －21313 14②④⑤ 1512提示：1D A 、B 、C 定义域不同，选D2B M ＝{0，1，4，9，…}，ðU N ＝{－3，9}，∴M ∩ðU N ＝{0，1，4}，∴M ∩ðU N 的真子集个数为23－1＝73C 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝14B定义域和值域相等，图象本身关于直线y ＝x 对称，故原函数图象为圆x 2＋y 2＝4在第三象限的14圆5B 由f (x )的任意性，可用特例，令f (x )＝x ，则F (x )＝1－x －(3＋x )＝－2－2x ，∴F (x )是减函数6C p ：△＝a 2－16≥0，a ∈(－∞，－4]∪[4，∞)q ：－a4≤3，a ≥－12，a ∈[－12，＋∞)p 真q 假：(－∞，－12)，p 假q 真：a ∈(－4，4)， 故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)7B y ＝(1a )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，a x，x <0。
湖南省2006届高三百校大联考第二次考试 数学理科试卷
湖南省2006届高三 百校大联考 第二次考试数 学 (理) 试 卷总分：150分 时量：120分钟 2006年4月8日下午统稿、审校人： 长郡中学 张志中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 若),()2)(1(R b a bi i a i ∈=+-，则=b （ ）。
A 、－2B 、－1C 、2D 、42、 已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）。
A 、15B 、－15C 、20D 、－203、 已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，}02|),{(≤--=y kx y x B ，其中R y x ∈,；若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是（ ）。
A 、]3,0[B 、]3,3[-C 、]0,3[-D 、),3[+∞- 4、 已知命题a x q x p <<+|:|,113:，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）。
A 、1<aB 、1≤aC 、2<aD 、2≤a 5、 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若30,240,1849===-n n a S S ，则n =（ ）。
A 、18 B 、17 C 、16 D 、156、 一个棱长均为a 的正三棱柱内接于球，则该球的表面积为（ ）。
A 、237a π B 、22a π C 、2411a π D 、234a π7、 已知函数)(46)(R k x kx x f ∈-+=，且0)32(=+f ，则)231(-f 的值等于（ ）。
A 、8B 、－8C 、4D 、－48、 正方形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，M 、N 为AD 、BC 的中点，将正方形沿MN 折成一个直二面角，则异面直线MF 与NE 所成角的大小为（ ） A 、π B 、πC 、3arcsinD 、3arccos由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中 醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中 联合命题9、 已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则,E D ηη分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.610、 若函数mx xm y +-=2)2(的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,1(D ．)2,0(二、填空题：11、 函数x x y 42sin sin -=的最小正周期T= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学试卷(理工农医类) 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数2log 2-=x y 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞ 2. 若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a aA ．21 B ．32 C ．23D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线, 其中与平面11D DBB 平行的直线共有A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是 A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A ． 16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是A ． 10B ．5C ．310D ．25 8. 设函数1)(--=x ax x f , 集合}0)(|{},0)(|{>'=<=x f x P x f x M , 若P M ⊂, 则实数a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．)1,0(C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是图1A ．22 B ．23 C ．2 D ．3 10. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 注意事项：请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。
答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 若5)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-, 则实数a 的值是__________.12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是_____________.13. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是__________; 当21-=x 时, y 的取值范围是__________.图2O ABPM三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记.(Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.图3CDB A17. （本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0, 计算(结果精确到01.0);(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .18. （本小题满分14分）如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB (Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ; (Ⅱ) 求异面直线PQ AQ 与所成的角; (Ⅲ) 求点P 到平面QAD 的距离.D图4CBAQ P19．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足: 101<<a , ,3,2,1=n 证明 (Ⅰ) 101<<<+n n a a ; (Ⅱ) 3161n n a a <+ .20．（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:）物体质量（含污物）污物质量-1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ay ac y ++, 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21．（本小题满分14分）已知椭圆134:221=+y x C , 抛物线)0(2)(:22>=-p px m y C , 且21,C C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点 .(Ⅰ) 当轴时x AB ⊥, 求p m ,的值, 并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ) 是否存在p m ,的值, 使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上? 若存在, 求出符合条件的p m ,的值; 若不存在, 请说明理由 .答案： DADAB DACCB 11. 2- 12. 5 13.34 14. (1,1)- 15. (,0)-∞，13(,)22三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)．证明 sin cos 20αβ+=;（2）．若DC,求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=⇒=∴=-由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 22sin ),βββ∴==-BDCαβA图3即2sin0.sin sinββββ-===解得．0,sin.23ππβββ<<∴=⇒=17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.01655.0)5.01(32251==⨯-⨯=CP.（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5,0.5).从而ξ的数学期望是 Eξ＝50.5 2.5⨯=，即平均有2.50家煤矿必须整改.(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2=-⨯-=P，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153=-=P18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.PAD CB版权所有：中华资源库解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD .（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B 所以)2,0,22(--=AQ,(0,1)PB =-,于是3cos ,AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>==⋅ 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是. (Ⅲ)．由（Ⅱ），点D 的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(--=AD ，(0,0,3)PQ =-，设),,(z y x n =是平面QAD 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AD n AQ n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002y x z x .取x =1，得)2,1,1(--=n . 所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n⋅==. 解法二： （Ⅰ）．取AD 的中点M ，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）．连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ，连结PN ．因为11,22PO NO NO OQ OA OC ===，所以PO NOOQ OA=， 从而AQ ∥PＮ.∠BP Ｎ（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角.连接BN ，因为3PB ===．PN ===BN===所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-∠===⋅． QBCPADOM从而异面直线AQ 与PB 所成的角是． (Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD ⊥平面P ＱM ，所以平面P ＱM ⊥平面QAD . 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD ，所以ＰＨ的长为点P 到平面QAD 的距离．连结OM ，则122OM AB OQ ===.所以45MQP ∠=， 又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是32sin 45PH PQ ==.即点P 到平面QAD .19. （本小题满分14分）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明: （I ）．101n n a a +<<<;（II ）．3116n n a a +<. 证明: （I ）．先用数学归纳法证明01n a <<，ｎ＝1,2,3,… (i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k 时结论成立,即01k a <<.因为0<x<1时'()1cos 0f x x =->,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,从而1(0)()(1),01sin11k k f f a f a +<<<<-<即.故n=k+1时,结论成立. 由(i)、(ii)可知，01n a <<对一切正整数都成立. 又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<． （II ）．设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由（I ）知，当01x <<时，sin x x <， 从而222'22()cos 12sin 2()0.22222x x x x x g x x =-+=-+>-+= 所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,所以当01x <<时，g (x)>0成立.于是31()0,sin 06n n n n g a a a a >-+>即． 故3116n n a a +<．20. （本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()-污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有0.81x x ++=0.99,解得x=19. 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:0.950.99,y ay a+=+解得y=4a ,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3.因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少. （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-（*）于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+-,当且仅当1100(1)5(1)a c c =--时等号成立.此时1)1(0.8,0.99),c c ==-不合题意,舍去或将1c =-代入（*）式得11,.x a y a =->-=-故1c =-时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为1a -与,最少总用水量是()1T a a =-+-.当'13,()10a T a ≤≤=>时,故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.21. （本小题满分14分）已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为： x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上. 所以p 249=，即89=p .此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（II ）解法一： 假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上，由（I ）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=………………①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k+.由2()2(1)y m pxy k x ⎧-=⎨=-⎩消去y 得2()2kx k m px --=. ………………②因为C 2的焦点(,)2pF m '在直线)1(-=x k y 上， 所以(1)2p m k =-，即2kp m k +=.代入②有2()22kpkx px -=.即22222(2)04k p k x p k x -++=. …………………③ 由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22(2)p k k+. 从而22834k k +＝22(2)p k k +. 解得2228(43)(2)k p k k =++ ……………………④又AB 过C 1、、＼、、C 2的焦点，所以12121211()()(2)(2)2222p p AB x x x x p x x =+++=++=-+-， 则2212223124124()4.24343k k p x x k k +=-+=-=++ …………………………………⑤ 由④、⑤式得222228412(43)(2)43k k k k k +=+++，即42560k k --=． 解得2 6.k =于是4.3k p ==因为C 2的焦点),32(m F '在直线1)y x =-上，所以26(1)3m =-.∴mm = 由上知，满足条件的m 、p存在，且m =m =43p =．解法二： 设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22()x y ．因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又过C 2的焦点(,)2p F m '， 所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即122(4)3x x p +=-. ……① 由（Ⅰ）知12,2x x p ≠≠，于是直线AB 的斜率212102212y y m m k p x x p --===---， ……② 且直线AB 的方程是2(1)2m y x p =--,所以121224(1)(2)23(2)m m p y y x x p p -+=+-=--. ……③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④ 将①、②、③代入④得223(4)(2)16(1)p p m p --=-． ……………⑤ 因为211222()2()2y m px y m px ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，所以21122122x x y y m p y y -+-=-． …………⑥ 将②、③代入⑥得223(2).1610p p m p -=- ……………⑦ 由⑤、⑦得23(4)(2)16(1)p p p ---23(2).1610p p p-=-即2320320p p +-= 解得48()3p p ==-或舍去．将43p =代入⑤得22,3m = ∴m =或m = 由上知，满足条件的m 、p存在，且m =m =43p =。