考点讲解
八年级数学复习考点1 轴对称及轴对称图形的意义
ABCDP八年级数学复习考点1 轴对称及轴对称图形的意义一、考点讲解：1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。
4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析：1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）2．（2006 山西省3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）。
3．（2006河南省3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）ABABlB A CDＡ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )(A) (B) (C) (D)5．（2006苏州市3分）如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1100．那么∠BCD 的度数等于 （ ） A. 400B.500C ．60D.7006．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）7．（2006 湛江市6分）如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O 的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．四、针对性训练：1．（2006宜昌市3分）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是 ，该车的后5位号码实际是 。
八上语文注释考点
八年级上册语文的注释考点主要包括以下几个方面：
1.重点词语的解释：学生需要掌握课文中的重点词语，包括常用的文言实词、虚词以
及通假字等。
2.文学常识：学生需要了解课文的作者、时代背景等相关文学常识，以及一些重要的
文化背景知识。
3.句子翻译：学生需要掌握课文中的重要句子，包括一些难懂的句子和文言文中的特
殊句式。
4.思想内容：学生需要理解课文所表达的思想内容，包括作者的情感、态度和价值观
等。
5.写作手法：学生需要了解课文中所运用的写作手法，包括修辞手法、描写方法、结
构安排等，并能够在自己的写作中运用这些手法。
6.课外延伸：学生可以了解一些与课文相关的文化背景和文学知识，以拓宽自己的视
野和知识面。
在备考时，学生应该注重积累和记忆，多读多写多练，同时也要注重理解和应用，将所学知识运用到实际学习和生活中。
高考数学复习考点题型专题讲解42 必要性探路
高考数学复习考点题型专题讲解专题42 必要性探路1.必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低了思维难度.类型一取点探路对已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1，对数函数常取1或e等.例1(2022·哈三中模拟节选)已知f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x(x≥1)，若f(x)≥ln 2恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：对x≥1，f(x)≥ln 2恒成立，即ln(ax＋1)＋1－x1＋x－ln 2≥0在(1，＋∞)恒成立.令g (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x－ln 2， 所以g (1)＝ln(a ＋1)－ln 2≥0，解得a ≥1.充分性：当a ≥1时，g (x )≥ln x ＋12＋2x ＋1－1(x ≥1). 令t ＝x ＋12≥1，则令h (t )＝ln t ＋1t－1(t ≥1)， 所以h ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2(t ≥1)， 则h (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (t )≥h (1)＝0，所以g (x )≥0恒成立，综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞).训练1 已知f (x )＝ax 2－4ln(x －1)，对x ∈[2，e ＋1]恒有f (x )≤1，求实数a 的取值范围.解 必要性：因为对x ∈[2，e ＋1]恒有f (x )≤1.即ax 2－4ln(x －1)－1≤0，令g (x )＝ax 2－4ln(x －1)－1，则g (2)＝4a －1≤0，则a ≤14. 充分性：当a ≤14时，g (x )＝ax 2－4ln(x －1)－1≤14x 2－4ln(x －1)－1， 根据ln x ≥1－1x (证明略)，在x ∈[2，e ＋1]上有14x 2－4ln(x －1)－1 ≤14x 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －1－1＝（x －2）（x 2＋x －18）4（x －1）≤0， 所以g (x )≤0，即f (x )≤1，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14. 类型二 极值点探路1.已知f (x )≤0(或f (x )≥0)，找f (x )的极大值(或极小值)点探路；2.对于f (x )≤g (x )，找f (x )的极大值点，g (x )的极小值点探路.例2 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－a e 2(x －1)＋1，a ≥0.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间(0，＋∞)上的零点个数；(2)若关于x 的不等式ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－a e 2(x －1)≤x －a 2e(x －1)－32在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋1－e 2(x －1).当x ∈(0，1)时，f (x )＝ln(x ＋1)＋1－e 2(x －1)>1－e 2(x －1)>1－1＝0，此时无零点. 当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )＝1x ＋1－2e 2(x －1)， 当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )单调递减，且f ′(x )<f ′(1)＝12－2<0，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减，f (1)＝ln 2＋1－1＝ln 2>0，f (2)＝ln 3＋1－e 2<0，∃x 0∈(1，2)，使f (x 0)＝0.∴当a ＝1时，函数f (x )在区间 (0，＋∞)上有且只有一个零点.(2)必要性：在区间(1，＋∞)上ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－a e 2(x －1)≤x －a 2e(x －1)－32恒成立， 即ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1≤a ·e 2(x －1)－a 2·e(x －1)在(1，＋∞)上恒成立， 当a ＝0时，a e 2(x －1)－a 2e(x －1)＝0，因为y ＝ln x －(x －1)≤0恒成立，则ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1≤0， 当a >0时，令m (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1，x >1， m ′(x )＝32－x x －12，当x >32时，m ′(x )<0，m (x )单调递减， 当1<x <32时，m ′(x )>0，m (x )单调递增， 所以m (x )≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0. 当a >0时，x ＝32，0≤a ·e－a 2·e 2， 则a ·e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2≥0，即1－a 2≥0，得a ≤2. 综上，a 的取值范围为[0，2]，充分性：当a ∈[0，2]时，ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1－a [e 2(x －1)－a ·e(x －1)]≤0，① 当a ∈[0，2]时，e 2(x －1)－a ·e(x －1)≥e 2(x －1)－2·e(x －1).令n (x )＝e 2(x －1)－2·e(x －1)，x >1，则n ′(x )＝2e 2(x －1)－2e.当x >1时，n ′(x )单调递增，且n ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2e －2e ＝0， 故当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32时，n ′(x )<0，n (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，n ′(x )>0，n (x )单调递增， ∴n (x )≥n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e －e ＝0， ∴x >1，a ·n (x )≥0.由已知得x >1，ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1≤0. ∴①式成立.∴a ∈[0，2].训练2 已知a >0，函数f (x )＝ax 2－x ，g (x )＝ln x .是否存在实数a ，使f (x )≥g (ax )恒成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解 必要性：令φ(x )＝f (x )－g (ax )＝ax 2－x －ln(ax )，x >0，求导得φ′(x )＝2ax －1－1x. 因为φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，又φ(x )≥0，则1a是φ(x)的一个极小值点，则φ′⎝⎛⎭⎪⎫1a＝0，解得a＝1.充分性：当a＝1时，φ′(x)＝2x－1－1x＝（2x＋1）（x－1）x.当0<x<1时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝0，符合题意.综上可知a＝1.类型三保号性探路“保号性”的完整提法是“局部保号性”，它是微积分学中的一个重要概念，有多种叙述形式，我们介绍一种比较容易理解的形式：已知函数f(x)在a点连续，且f(a)>0，则存在σ>0，当|x－a|<σ时，f(x)>0(注意它的逆命题是假命题).例3 已知函数f(x)＝ax ln x－x a，其中a∈R＋.若函数f(x)是(1，＋∞)内的减函数，求正实数a的取值范围.解必要性：因为函数f(x)是(1，＋∞)内的减函数，所以f′(x)＝a ln x＋a－ax a－1＝a(ln x＋1－x a－1)≤0在(1，＋∞)内恒成立.令g(x)＝ln x＋1－x a－1，因为a>0，所以g(x)＝ln x＋1－x a－1≤0在(1，＋∞)内恒成立，因为g(1)＝0，g′(x)＝1x－(a－1)x a－2，保证g(x)在x＝1处有单减趋势，则g′(1)≤0，即g′(1)＝1－(a－1)≤0，则a≥2.充分性：因为a≥2，所以a－1≥1，因为x>1，所以x a－1≥x，则g (x )＝ln x ＋1－x a －1≤ln x ＋1－x <0，所以f ′(x )＝a (ln x ＋1－x )<0.故a 的取值范围是[2，＋∞).训练3 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x －x 33， 若当x >－1时，f (x )≤ax 2，求实数a 的取值范围.解 必要性：令g (x )＝ln(x ＋1)－x －x 33－ax 2≤0， g ′(x )＝1x ＋1－1－x 2－2ax ， g ″(x )＝－1（x ＋1）2－2x －2a ， 因为g (0)＝0，g ′(0)＝0，所以g ″(0)≤0，则a ≥－12. 充分性：当a ≥－12时，g (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2－x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a x 2， 由三阶泰勒公式知ln(x ＋1)－x ＋12x 2－x 33≤0(证明过程略)， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a x 2≤0， ∴g (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2－x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a x 2≤0，即g (x )≤0. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 类型四 双参数不等式恒成立探路问题此类问题多数是求双参数代数式的最值，基本方法是先移项构造一端是零的不等式，再设出另一端的函数，重点分析此函数自变量取何值时，恰好出现双参数的代数式，进而探出代数式的最值(可能值)，最后再证明此代数式取最值时，原题目中的不等式恒成立. 例4 已知函数f(x)＝－2a ln x＋2(a＋1)x－x2(a>0)，若在函数f(x)的定义域内，总有f(x)≥－x2＋2ax＋b成立，试求a＋b的最大值.解必要性：f(x)≥－x2＋2ax＋b，x>0，即2a ln x－2x＋b≤0.令g(x)＝2a ln x－2x＋b，由题意知“g(e)≤0”是“g(x)≤0”的必要条件(注意选x＝e是为了整理后的不等式出现a＋b)，即a＋b≤2e，则a＋b的最大值可能为2 e.充分性：存在a，b满足a＋b＝2e，总有f(x)≥－x2＋2ax＋b成立，取a＝b＝e，则g(x)＝2eln x－2x＋e，从而g′(x)＝2·e－x x.当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减.从而当x>0时，g(x)≤g(e)＝0，符合题意.综上可知，a＋b的最大值为2 e.训练4 已知a，b∈R，f(x)＝e x－ax－b x2＋1在[0，＋∞)上的最小值为0，求a＋5b 的最大值.解必要性：由f(x)≥0得e x≥ax＋b x2＋1，即e xx≥a＋b x2＋1x，令x 2＋1x ＝5，得x ＝12或x ＝－12(舍)，故取x ＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－a 2－b 52≥0， 即a ＋5b ≤2e 12.充分性：存在a ，b 满足a ＋5b ＝2e 12且能使f (x )在[0，＋∞)上的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0)， f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b （x 2＋1）x 2＋1，b ＝5e 4<1， 故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，所以f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 则当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 此时(a ＋5b )max ＝2e 12.一、基本技能练1.已知不等式e a 2x －a ln(x ＋a )－ln a －1≥0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 必要性：依题有a >0，当x ＝0时，－ln a －a ln a ≥0，解得0<a ≤1.充分性：下面证明0<a ≤1时，题设不等式恒成立.由e x ≥x ＋1(证明略)易得e a 2x －1≥a 2x ，只需证明a 2x －a ln(x ＋a )－ln a ≥0.设g (x )＝a 2x －a ln(x ＋a )－ln a ，则g ′(x )＝a 2－ax ＋a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x ＋a ≥0，则g ′(x )单调递增，令g ′(x )＝0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x ＋a ＝0，解得x ＝1a －a ，所以当x <1a －a 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x >1a －a 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所 g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝a (1－a 2)＋(1－a )ln 1a ≥0，当且仅当a ＝1取等号.所以证得a 2x －a ln(x ＋a )－ln a ≥0成立，当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立. 因此a ∈(0，1]时，不等式e a 2x －a ln(x ＋a )－ln a －1≥0恒成立.2.已知函数f (x )＝x (ln x ＋3ax ＋2)－3ax ＋4.(1)若f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的最大值为6，求实数a 的值.解 (1)必要性：由题意知f ′(x )＝ln x ＋6ax ＋3－3a ≤0在x ≥1时恒成立， 因此必有f ′(1)＝3a ＋3≤0，即a ≤－1.充分性：当a ≤－1时，由不等式ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取等号)，有f ′(x )＝ln x ＋3a (2x －1)＋3≤x －1－3(2x －1)＋3＝5(1－x )≤0，此时符合题意.综上可知a∈(－∞，－1].(2)由题意得f(1)＝6.因为f(x)≤6，所以1为f(x)的一个极大值点.又f′(x)＝ln x＋6ax＋3－3a，因此必有f′(1)＝0，解得a＝－1.当a＝－1时，由不等式ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)，有f(x)＝x(ln x－3x＋2)＋3x＋4≤x(x－1－3x＋2)＋3x＋4＝6－2(x－1)2≤6，符合题意.综上可知a＝－1.3.已知函数f(x)＝x－ln(x＋1)，g(x)＝e x－x－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)≥kf(x)对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)f′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1(x>－1)，令f′(x)＝0，得x＝0，∴在(－1，0)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；在(0，＋∞)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间为(－1，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)由题意得e x－x－1≥k[x－ln(x＋1)]在x∈[0，＋∞)上恒成立，令h(x)＝e x－x－1－k[x－ln(x＋1)]，则h(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，h ′(x )＝e x－1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1， 则h ′(0)＝0，h ″(x )＝e x －k（x ＋1）2，h ″(0)＝1－k ，若h ″(0)＝1－k <0，即k >1时，存在x ∈(0，＋∞)使得x ∈(0，x 0)时，h ″(x )<0，则在(0，x 0)上h ′(x )单调递减，此时h ′(x )<h ′(0)＝0，则h (x )在(0，x 0)上单调递减，且x ∈(0，x 0)使h (x )<h (0)＝0，则h (x )≥0不恒成立.若h ″(0)＝1－k ≥0，即k ≤1时，由(1)知f (x )＝x －ln(x ＋1)的最小值为f (0)＝0，则h (x )＝e x －x －1－k [x －ln(x ＋1)]≥e x －x －1－x ＋ln(x ＋1)＝e x －2x －1＋ln(x ＋1)(x ≥0).令φ(x )＝e x －2x －1＋ln(x ＋1)(x ≥0)，φ′(x )＝e x －2＋1x ＋1≥x ＋1＋1x ＋1－2≥2（x ＋1）·1x ＋1－2＝0(当且仅当x ＝0时取等号)，则φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，φ(x )≥φ(0)＝0，即k ≤1时，h (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，综上所述，k 的取值范围是(－∞，1].二、创新拓展练4.已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值.解 对函数f (x )求导，得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x .由题意知f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，则f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e －1，因此f ′(1)＝e.∴f (x )＝e x－x ＋12x 2. f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，即e x －(a ＋1)x －b ≥0，令g (x )＝e x －(a ＋1)x －b .①当a ＋1>0时，只需考虑b >0情况.由题意知“g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0”是“g (x )≥0”的必要条件. 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，解得e ≥a ＋12＋b . 由均值不等式有e ≥a ＋12＋b ≥2a ＋12·b ，即(a ＋1)b ≤e 2(当a ＋1＝2b 时取等号). 存在a ，b 满足(a ＋1)b ＝e 2，总有f (x )≥12x 2＋ax ＋b ， 取a ＝e －1，b ＝e 2，此时 g (x )＝e x －e x －e 2＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12－x －12≥e ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＋1－x －12＝0，当x ＝12时取等号. ②假设a ＋1＝0符合题意，此时(a ＋1)b ＝0.③假设a ＋1<0，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－|b －1|a ＋1－1<0，不符合题意. 综上，(a ＋1)b 的最大值为e 2.。
小升初考点讲解。
小升初是一个非常重要的阶段，它标志着学生从小学到初中的过渡。
为了帮助学生更好地适应这一变化，以下是一些小升初的考点讲解：1. 数学：数学是小升初考试的重要科目之一。
学生应该掌握基本的数学概念，如加减乘除、分数和小数的计算，以及基本的几何知识。
此外，学生还应该能够解决一些实际问题，例如计算面积和周长等。
2. 语文：语文也是小升初考试的必考科目之一。
学生应该掌握基本的语言表达能力，包括写作和阅读理解。
同时，学生还应该了解一些基本的文学常识，例如常见的文学作品和作者等。
3. 英语：英语在小升初考试中也非常重要。
学生应该掌握基本的英语词汇和语法知识，并能够进行简单的英语听说读写。
学生可以通过阅读英文文章、听英语歌曲和看英语电影等方式来提高自己的英语水平。
4. 科学：科学是小升初考试的另一门重要科目。
学生应该掌握基本的科学知识，例如生物、化学和物理的基础概念。
此外，学生还应该了解一些科学技术的应用，例如计算机技术和医学技术等。
5. 社会科学：社会科学也是小升初考试的重要科目之一。
学生应该了解一些基本的历史、地理和社会常识。
这些知识可以通过阅读相关的书籍和文章来获得。
除了以上这些科目，学生在小升初考试前还需要注意以下几点：1. 复习：学生在考试前应该认真复习所学知识，特别是对于自己不太熟悉的知识点要重点复习。
2. 制定计划：学生应该制定一个合理的复习计划，安排好每天的学习时间和任务。
3. 心态：学生应该保持积极的心态，不要过于紧张也不要抱有过高的期望。
4. 健康：学生应该保持健康的作息和饮食习惯，保证有足够的精力和体力应对考试。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解61---椭圆及其性质
高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
小升初语文知识点讲解及训练——汉字的偏旁部首和结构
汉字的偏旁部首和结构一、考点梳理偏旁汉字的偏旁与部首部首独体字结构汉字的间架结构汉字的偏旁部首和结构合体字结构汉字的间架结构表（供参考）汉字的偏旁部首名称表（供参考）二、考点讲解1、汉字的偏旁与部首汉字分为独体字和合体字两种。
①独体字指汉字的一个字只有一个单个的形体，不是由两个或两个以上的形体组成的。
这种字大都是一些简单的象形字和表意字。
因为这类字是从图画演变而成的，所以每一个字都是一个整体。
应以不能拆分为两个或两个以上部件为独体字。
其中，部件应以在字源上有独立意义为准如日、月、山、水、牛、羊、犬、隹、人、止、子、戈、矢等都是独体的象形字；如天，立，上、下、一、二、三、儌（四）、见、臣等都是独体的表意字。
②合体字，就是由两个或两个以上的单个字组成的汉字。
合体字有两种。
一种是从组合的两个成分上来显示字义。
（1）偏旁是合体字的基本单位，也就是合体字的某一组成部分。
如“桩”分为“木”和“庄”两部分，这两部分就被称为“粧”字的偏旁。
（2）部首则是字典、词典根据汉字形体偏旁所分的门类，把相同偏旁的字放在 —起，归为一部，这个偏旁就叫部首，如“打、推、拾”等这些字都属于“中”部。
2、汉字的间架结构间架结构是指汉字内部结构的合理布局。
“间架”指汉字各部分的比例大小，“结构”指汉字笔画或偏旁部首在一个字中的组合规律。
汉字的间架结构包括独体字结构和合体字结构，掌握了这些基本结构便于分析、记忆字形，从而把字写得更加匀称、美观。
（1）独体字结构独体字结构是针对字的结构而言的，独体字的构成大致有三种情况：①由基本笔画构成一个部件独立成字的。
如：“一、乙”（1画），“人、几”（2画），“口，山”（3画），“手、车”（4画）。
②由一个部件加上一些笔画构成的。
如：“玉、刃、太、龙、匆”等。
③虽有几个部件，但由于笔画连贯失去了本身的独立性而组成一个独立整体的。
如：“出、串、果、里、肃”等。
（2）合体字结构一般来说，合体字有下面8种类型：①上下结构：思、歪、冒、意、安、全②上中下结构：草、暴、意、竟、竞③左右结构：好、棚、和、蜂、滩、往、明④左中右结构：谢、树、倒、搬、撇、鞭、辩⑤全包围结构：围、囚、困、田、因、国、固⑥半包围结构：包、区、闪、这、句、函、风⑦穿插结构：噩、兆、非⑧品字形结构：品、森、聂、晶、鑫、錄3、汉字的间架结构表4、汉字的偏旁部首名称表（供参考）靴、鞭、勒三、易错提示1、就合体字而言，所有的部首都是偏旁，但偏旁不一定是部首2、分辨部首口诀形声取形不奇怪，包围结构都取外。
中考语文复习考点1字音重点难点(解析版)
字音课标要求语音、文字、书写都是重要的语文素养之一。
课标在“识字与写字”中明确指出：1.能熟练地使用字典、词典独立识字,会用多种检字方法.累计认识常用汉字3500个,其中3000个左右会写。
2.在使用硬笔熟练地书写正楷字的基础上,学写规范、通行的行楷字,提高书写的速度。
3.临摹名家书法,体会书法的审美价值。
考点梳理1．多音字【考点讲解】多音字，就是一个字有两个或两个以上的读音，不同的读音表达的意思不同，用法不同，词性也大多不同。
如：“数”有三种读音。
①shǔ 动词，数落；②shù作数词用，数字；③shuò副词，数次。
【解题技巧】辨别多音字的读音，最关键的是根据这个字在具体语境中的意义来判断。
1、根据词义来判断读音如：“差”，表示“不好，不够标准”时，读作chà，如“差等”、“成绩差”；表示“被派遣去做的事”时，读作“chāi”，如“出差”“公差”。
2、根据词性来判断读音如“处”，作名词时读chù，表示某个地方，如“处所”、“办事处”；作动词时读chǔ，表示与人的交往，或是置身在什么地方，如“相处”、“处境”等。
3、根据使用情况来判断读音如“似”：只有在表示跟某种情况或事物相似，与“的”连用时，读作“shì”；其余情况下读作“sì”，如“似乎”“相似”。
4、根据语体来判断读音如“血”：在口语中读xiě，在书面语中则读作xuè。
2．易误读常见字【考点讲解】易误读的常见字主要包括多音字、形近字和形声字。
平时学习时要注意读准字音，了解字义，并做到准确书写。
【解题技巧】1、多音字﹣﹣根据字意定音详见考点“多音字”考点卡片2、形近字﹣﹣仔细辨认字形形近字指几个字形结构相近，但含义不同的字。
误读形近字，大多是因为没有看清它们之间的细微差别。
如：“亨”与“享”、“概”与“慨”、“刺”与“剌”等。
3、形声字﹣﹣谨防声旁误导形声字由声旁与形旁两部分组成，声旁是表声的，但由于古今字音的差异，现代汉语中，有很多形声字都不能按声旁来确定读音了。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明
高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二 直接证明与间接证明 命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立， 即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立， 即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立， 即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0， 所以原不等式成立． 命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根． 证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾． 因此，所给三个方程不可能都只有一个实根． 教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确 答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m， 等式两边平方得3＋n m ＝9nm， 即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ， 所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9， 只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α， 因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9， 即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。
2023年中考语文古代诗歌鉴赏高频考点精准讲解手法技巧(原卷版部编版)
2023年备战中考古诗鉴赏高频考点精准讲解-----手法技巧（原卷版）一、知识点讲解1.提问方式：⑴这首诗用了怎样的表达技巧(表现手法、艺术手法、艺术技巧)？⑵请分析这首诗的表现手法(艺术手法、表达技巧)。
⑶诗人是怎样抒发自己的情感的？有何效果？⑷这首诗(某某诗句)在写景(抒情、描写人物/某某)上有什么特点？2.解答分析：这类提问注重的是诗歌整体的艺术表现特色，主要应从诗歌的整体构思、诗歌整体的艺术技巧方面来解答。
3.答题步骤：⑴明手法：准确指出用了何种手法。
⑵释理由：结合诗句阐释为什么是用了这种手法。
⑶析作用：此手法怎样有效传达出诗人怎样的感情。
4.答题示例：早行陈与义露侵驼褐晓寒轻，星斗阑干分外明。
寂寞小桥和梦过，稻田深处草虫鸣。
问此诗主要用了什么表现手法？有何效果？答：(步骤一)主要用了反衬手法。
(步骤二)天未放亮，星斗纵横，分外明亮，反衬夜色之暗；“草虫鸣”反衬出环境的寂静。
(步骤三)两处反衬都突出了诗人出行之早，心中由飘泊引起的孤独寂寞。
5、常用手法及其作用讲解（一）表达方式及其作用1.抒情：（同是天涯沦落人，相逢何必曾相识）直接（即景抒怀、直抒胸臆）、间接（借景抒情、寓情于景、托物言志、怀古伤己）；2.描写：（明月松间照，清泉石上流）直接（正面）、间接（侧面）；3.咏物（叙述：待到山花烂漫时，她在丛中笑）；4.议论（议论往往与抒情结合一起。
“生当作人杰，死亦为鬼雄”）。
（二）修辞手法及作用描绘类（作用：生动形象）：比喻（生动形象地表达[描绘]了……内涵[形态]）、夸张（生动地突出了…特征）、比拟（生动传神地突出了…形象或抒发了作者…感情）、借代、通感；结构类（作用：和谐音韵、强调突出、充沛感情）：排比、对偶、反复、顶针；语气类（作用：增强语气、强化感情、引发思考）：设问、反问。
1.比喻，用一种事物或情景来比作另一种事物或情景。
可分为明喻、暗喻、借喻。
有突出事物特征，把抽象的事物形象化的作用。
高考数学复习考点题型专题讲解41 切割线放缩
高考数学复习考点题型专题讲解专题41 切割线放缩1.切线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用切线y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≥f′(x0)(x－x0)＋f(x)；(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x) ≤f′(x0)(x－x0)＋f(x0).2.割线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用割线y＝f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≤f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a).(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x)≥f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a). 如图类型一切线放缩1.切线放缩证明不等式的原理：f(x)≥(≤)l切≥(≤)g(x).2.利用切线放缩求参数范围：分离参数需找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩. 例1 若e x－2x ln x－kx－1≥0对任意实数x>0都成立，求k的取值范围.解由e x－2x ln x－kx－1≥0，得k≤e x－1x－2ln x，设μ(x)＝e x－1x－2ln x，μ′(x)＝1＋e x（x－1）－2xx2，令μ′(x)＝0，得1＋e x(x－1)－2x＝0，∴e x－2－1x－1＝0，记φ(x)＝e x－2－1x－1，则x>1时φ(x)单调递增，x→1时，φ(x)<0，x＝2时，φ(x)>0. 设其根为x0，则x0∈(1，2)，所以μ(x)的极值点在x＝1附近.因此考虑在x＝1处进行切线放缩，而y＝e x－1x在x＝1处的切线为y ＝x ＋e －2，所以有e x－1x≥x ＋e －2，即μ(x )≥x ＋e －2－2ln x .设h (x )＝x －2ln x ＋e －2，h ′(x )＝1－2x，可得h (x )在x ＝2处取最小值，h (2)＝e －2ln 2，即k ≤e－2ln 2. ∴k 的取值范围为(－∞，e －2ln 2]. 训练1 已知f (x )＝e x ＋cos 2x ＋2x 2＋x －2. (1)求f (x )在x ＝0处的切线； (2)求证：f (x )≥ln(2x ＋1).(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x ＋1，则f ′(0)＝2，而f (0)＝0， 所以f (x )在x ＝0处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .(2)证明 先证f (x )≥2x ，令g (x )＝f (x )－2x ＝e x ＋cos 2x ＋2x 2－x －2， 则g ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x －1，g ″(x )＝e x －4cos 2x ＋4>0恒成立， ∴g ′(x )单调递增，又g ′(0)＝0， 易知g (x )≥g (0)＝0，∴f (x )≥2x . 再证2x ≥ln(2x ＋1)，令h (x )＝2x －ln(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x >－12，h ′(x )＝2－22x ＋1＝4x2x ＋1，令h ′(x )＝0，解得x ＝0. 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当－12<x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，所以h (x )≥h (0)＝0，即2x≥ln(2x＋1)，综上f(x)≥ln(2x＋1).类型二切线类的应用1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线类技巧来解决.2.切线类的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.3.注意数形结合思想的应用.例2(2022·泰安联考)已知函数f(x)＝(x－1)ln(x＋1)，曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝kx＋b.(1)求k，b的值；(2)证明：f(x)≥kx＋b；(3)若函数g(x)＝f(x)＋m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x1－x2|≤1－m－mln 2.(1)解函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(x＋1)＋x－1 x＋1，f′(1)＝ln 2.所以切线方程为y＝ln 2·(x－1)，即k＝ln 2，b＝－ln 2.(2)证明设h(x)＝f(x)－kx－b＝(x－1)ln(x＋1)－x ln 2＋ln 2，h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2.令F(x)＝h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2，则F′(x)＝1x＋1＋2（x＋1）2>0，所以F(x)单调递增，即h′(x)单调递增.又h′(1)＝ln 2－1＋1－ln 2＝0，所以当x∈(－1，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，即h(x)≥0，所以f(x)≥x ln 2－ln 2.(3)证明g(x)＝f(x)＋m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为f(x)＝－m的两根，不妨设x1<x2，由题知，曲线y＝f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x ln 2－ln 2，令h(x)＝x ln 2－ln 2，即h(x)＋m＝0，即h(x)＝－m的根为x2′，则x2′＝1－mln 2，由(2)知，f(x2)≥h(x2)，∴h(x2′)＝f(x2)≥h(x2)，∵h(x)单调递增，∴x2′≥x2.设曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝t(x)，∵f′(0)＝－1，∴t(x)＝－x，设方程t(x)＋m＝0，即t(x)＝－m的根为x1′，则x1′＝m，令T(x)＝f(x)－t(x)，同理由(2)可得T (x )≥0，即f (x )≥t (x )，f (x 1)≥h (x 1)，∴h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)， 又f (x )单调递减， ∴x 1′<x 1，∴|x 2－x 1|＝x 2－x 1≤x 2′－x 1′ ＝1－m －m ln 2.训练2 已知函数f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，若方程f (x )＝m 有两个实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m （1－2e ）1－e.证明 如图，设f (x )在(－1，0)处的切线方程为y ＝h (x )，由f ′(x )＝(x ＋2)e x －1，易得，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，令F (x )＝f (x )－h (x )，即F (x )＝(x ＋1)(e x－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e， 当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ≤－1e<0，当x >－2时，则F ′(x )＝(x ＋2)e x－1e单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x <－1时，F ′(x )<0，当x >－1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故F (x )≥F (－1)＝0，f (x 1)≥h (x 1)， 设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e 1－e，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，又函数h (x )单调递减，故x 1′≤x 1，又设f (x )在(0，0)处的切线方程为φ(x )，易得φ(x )＝x . 令g (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2， 当x ≤－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2单调递增，又g ′(0)＝0， 所以当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 故g (x )≥g (0)＝0，即(x ＋1)(e x －1)≥x ，故f (x )≥φ(x )，则f (x 2)≥φ(x 2)， 设φ(x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，且φ(x 2′)＝f (x 2)≥φ(x 2)， 又函数φ(x )单调递增，故x 2′≥x 2，又x 1′≤x 1，x 2－x 1≤x 2′－x 1′≤m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m （1－2e ）1－e .类型三 割线放缩及割线类1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当的割线放缩.2.割线类本质与切线类类似.例3 已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：cos x ＋tan x >2x . 证明 先证∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，sin x ＋tan x >2x ，设f (x )＝sin x ＋tan x －2x ，0<x ≤π4，f ′(x )＝（cos x －1）（cos 2x －cos x －1）cos 2x >0，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π4上单调递增，f (x )>f (0)＝0，∴sin x ＋tan x >2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤π4.于是当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，有cos x ＋tan x ≥sin x ＋tan x >2x ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，利用y ＝cos x 在x ＝π4和x ＝π2之间的割线，有cos x >－22π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， 利用y ＝tan x 在x ＝π4处的展开，有tan x >1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －π42，于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，有cos x ＋tan x －2x >1＋2－π2＋π28－⎝ ⎛⎭⎪⎫22π＋πx ＋2x 2， 右侧对应的Δ＝8π2＋4π－42－8<0，∴cos x ＋tan x －2x >0恒成立. 综上所述cos x ＋tan x >2x .训练3 已知函数f (x )＝x ln x ，若方程f (x )＝m 有2个根x 1，x 2(x 2>x 1)，求证：x 2－x 1>1＋e m .证明 (割线类)f ′(x )＝1＋ln x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .又当0<x <1时，f (x )<0，x >1时，f (x )>0，∴－1e <m <0时，f (x )＝m 有2个不等的根x 1，x 2(x 2>x 1).当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，可证得：f (x )<－x ，故y ＝m 时，x 1<－m ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，可证得：x －1e －1>f (x )，故y ＝m 时，x 2>1＋(e －1)m ，∴x 2－x 1>1＋e m .一、基本技能练1.已知x ∈(0，e)，求证：（e 2－e 2ln x ＋x ）2ln 2x ＋2ln x ＋2>e 25.证明 原式等价于(e ln x －1－e(ln x －1))2>15(ln 2x ＋2ln x ＋2).令t ＝ln x －1(t <0)， 即证：(e t －e t )2>15t 2＋45t ＋1，取y ＝e t －e t 在t ＝0处的切线，有e t －e t >(1－e)t ＋1，t <0， (e t －e t )2>[(1－e)t ＋1]2＝(e －1)2t 2－2(e －1)t ＋1，当t<0时，有(e－1)2t2>15t2，－2(e－1)t>45t，得证.2.已知x1ln x1＝x2ln x2＝a，且x1<x2，求证：x2－x1<2a＋1＋e－2.证明设函数f(x)＝x ln x，f′(x)＝1＋ln x.取其在x＝e－2和x＝1处的切线，分别为l1：y＝－x－e－2和l2：y＝x－1，如图.直线y＝a与直线l1，函数f(x)的图象和直线l2分别交于x1′，x1，x2，x2′，则有：x1′<x1<x2<x2′，x2－x1<x2′－x1′＝(a＋1)－(－a－e－2)＝2a＋1＋e－2.3.设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0，1].求证：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)34<f(x)≤32.证明(1)因为1－x＋x2－x3＝1－（－x）41－（－x）＝1－x41＋x，由于x∈[0，1]，得1－x41＋x≤11＋x，即1－x＋x2－x3≤11＋x，从而得f(x)≥1－x＋x2.(2)由于x∈[0，1]，得x3≤x(割线放缩).故f(x)＝x3＋11＋x≤x＋11＋x－32＋32＝（x－1）（2x＋1）2（x＋1）＋32≤32.当x＝1时恰好等号能同时满足.再结合第(1)问的结论，得到f (x )≥⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34， 从而得到结论34<f (x )≤32. 二、创新拓展练4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x (1－ln x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a －a ln b ＝a －b ，证明：2<1a ＋1b<e. (1)解 f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，因为f (x )＝x (1－ln x )，则f ′(x )＝－ln x .所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.综上所述，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明 因为b ln a －a ln b ＝a －b ，所以ln a a －ln b b ＝1b －1a， 即1＋ln a a ＝1＋ln b b， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b . 令x 1＝1a ，x 2＝1b， 即f (x 1)＝f (x 2).由(1)可知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则0<x 1<1<x 2<e.要证2<1a ＋1b<e ， 即证2<x 1＋x 2<e.①先证x 1＋x 2>2，法一(对称构造)要证x 1＋x 2>2，即证x 2>2－x 1，转化为f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，即证f (2－x 1)－f (x 1)>0.设g (x )＝f (2－x )－f (x )，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝ln(2－x )＋ln x ＝ln(－x 2＋2x )，当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，1)上单调递减，则g (x )>g (1)＝0， 所以g (x 1)＝f (2－x 1)－f (x 1)>0，即f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，又0<x 1<1，则1<2－x 1<2，且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，2－x 1<x 2，即x 1＋x 2>2.法二(对数均值不等式)⎩⎪⎨⎪⎧ln x >12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（0，1），ln x <12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（1，＋∞），⎩⎪⎨⎪⎧f （x 1）＝x 1（1－ln x 1）<x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1，f （x 2）＝x 2（1－ln x 2）>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2， 且f (x 1)＝f (x 2)，则x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2， 即x 1＋x 2>2.②再证x 1＋x 2<e(切割线放缩).法一(割线处理)由(1)可知，f (x )的极大值点为x ＝1，极大值为f (1)＝1， 设过(0，0)，(1，1)的直线l ：y ＝x ，且f (x 1)＝f (x 2)＝m ， 当x ∈(0，1)时，f (x )＝x (1－ln x )>x ，l ：y ＝x 与y ＝m 交于点(m ，m )，则x 1<m .要证x 1＋x 2<e ，即证x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.设h (x )＝f (x )＋x ＝x (2－ln x )，x ∈(1，e)，则h ′(x )＝1－ln x ，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，e)上单调递增， 则h (x )<h (e)＝e ，所以f (x 2)＋x 2＝m ＋x 2<e ，则x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.法二(切割线处理)设过(0，0)，(1，1)的直线l 1：y ＝x ，当x∈(0，1)时，f(x)＝x(1－ln x)>x；f(x)在(e，0)处的切线为l：y＝－x＋e，2当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝x(1－ln x)<－x＋e，设f(x1)＝f(x2)＝m，l：y＝x与y＝m交于点(m，m)，1则x1<m，l：y＝－x＋e与y＝m交于点(－m＋e，m)，2则x2<－m＋e，所以x1＋x2<m－m＋e＝e.。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解1---集合
高考数学一轮复习考点知识专题讲解集合考点要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B ，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A} ∁U A常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√) 教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是() A ．22∈A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A 答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案－1解析∵M ＝N ，∴⎩⎨⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁UB )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一 集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2B ．3C ．4D ．6 答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1， 此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}， 综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14.思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪4x －2∈Z ，则集合A 中的元素个数为() A ．3B ．4 C ．5D ．6 答案C 解析∵4x －2∈Z ， ∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素． (2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二 集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是() A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．P M答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此PM .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 答案[－1，＋∞) 解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则() A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M 答案D解析由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为() A ．4B ．6 C ．7D ．8 答案C解析∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}， 且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________． 答案0，±1解析∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ， ∴N ⊆M .若N ＝∅，则a ＝0； 若N ≠∅，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ， ∴1a ＝1或1a＝－1，∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三 集合的基本运算 命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2}，集合N ＝{3,4}，则∁U (M ∪N )等于() A ．{5}B ．{1,2} C ．{3,4}D ．{1,2,3,4} 答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，A＝{x|－1≤x≤4}，∴∁RA)∩B＝{x|1<x≤4}．∴(∁R命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B＝{x|logx<1}＝{x|0<x<2}，2∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝∅，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁R B)≠∅，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤2B．1<a<2C．a≤1或a≥2D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，B＝{x|a－1<x<a＋1}；所以∁R又A∩(∁R B)≠∅，所以a－1<0或a＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4， 当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}， 故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)， 当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }， 又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a＝2，b＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()1A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，12＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的1不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A 1＝{1,2,3}时，A 2可为A 1的子集，共8种， 故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆． 教师备选非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________． 答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}， 即{x |3－22≤x ≤3＋22}， 显然0∉A ， 又13＋22≤1x ≤13－22， 即3－22≤1x≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x ，x ∈[1，4]， 易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ， 又12≤1y≤2，故1y也在集合A中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a＋a2＋a3等于()1A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a}，3则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是() ①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}； ④P ∩Q 的真子集有3个． A ．①②④B．②③④ C ．②④D．③④ 答案C解析联立⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}， 故②正确，③错误； 又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集， ∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案D解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 不可能为() A ．{3,6}B ．{3,4,5} C ．{2,3,6}D ．{3,5,6} 答案C解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8， 于是得全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}， 因为∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}， 则有A ∩B ＝{3},3∈B ； 对于A 选项，若B ＝{3,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，A 可能； 对于B 选项，若B ＝{3,4,5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，B 可能； 对于C 选项，若B ＝{2,3,6}，则A ∩B ＝{2,3}， 所以∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C 不可能； 对于D 选项，若B ＝{3,5,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，D 可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁R N)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁R B)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，B＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∁RB)∪A＝R，∴a≥2.∵(∁R13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B 都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.15．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 16．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是______________．答案⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92， 所以B ≠∅时，1<a ≤92， 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92.。
2023年中考语文古代诗歌鉴赏高频考点精准讲解意境赏析(原卷版部编版)
2023备战年中考古诗鉴赏高频考点精准讲解-----意境赏析（原卷版）一、知识点讲解常见提问方式有：这首诗营造了怎样的意境？表达了诗人什么样的思想感情？这首诗为我们展示了一幅怎样的画面？表达了诗人怎样的思想感情？这首诗描写了什么样的景物？抒发了诗人怎样的情怀？诗中描绘了哪些景象？这些景象又创设出一种怎样的意境？表达出作者什么样的感情？答题思路：1.找出诗中的意象，描绘诗中展现的图景画面。
这一步一定要用自己的语言去描绘，同时不要只顾翻译，语言要力求优美。
2.根据意象，概括景物营造的意境特点，营造了何种氛围。
这里就需要大家去概括这些景物所营造的意境特点，如孤寂冷清、恬静优美等。
山山整理了一些答题术语给大家，附在文末。
3.对应意象的分类，分析诗人的思想感情。
这里就需要用到我们之前整理的意向表啦，要注意的是不能只答情感，还要做适当的分析才行。
比如：“表达了诗人的思乡之情”是不完整的，一定要分析从哪些地方看出诗人思乡。
03 答题术语1.【雄、险、阔、奇】雄浑壮丽、雄奇险峻、雄浑开阔、恢弘高远、浩瀚辽阔、高远辽阔、苍凉博大、气势雄伟、情调豪迈、雄奇瑰丽。
2.【清、闲、淡、雅、静】直率、自然、幽静、清幽明净、闲适恬淡、淡雅闲适、和谐静谧、清新明丽、清净悠闲、清新淡雅。
3.【凄、孤、冷、寂、愁】凄清、凄凉、荒凉、空寂、萧索、萧瑟凄凉、孤寂冷清、沉郁孤愁。
4.【悲壮】开阔苍凉、苍凉悲壮、气氛悲壮、意境深邃。
5.【迷、飘】空灵、虚幻缥缈、空灵高远、朦胧渺远。
4．答题示例：早梅张渭一树寒梅白玉条，迥临村路傍溪桥。
不知近水花先发，疑是经冬雪未消。
问诗人是如何借梅展示自我形象的？答：(步骤一)本诗展现了早梅耐寒而立、迎风而发的形象。
(步骤二)“寒”字点明早梅生存条件的恶劣；“迥”字表现出早梅的孤单；“白玉条”之喻、疑梅为雪之错觉，鲜明地表现出早梅冰清玉洁之质。
(步骤三)作者以梅自喻，展示了一个孤寂傲世、坚韧刚强、超凡脱俗的自我形象。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a，y 随x 的增大而增大． ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a时，函数有最大值244ac b a-。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
2023年中考语文古代诗歌鉴赏高频考点精准讲解结构思路(解析版部编版)
2023备考年中考古诗鉴赏高频考点精准讲解-----结构思路（解析版）一、知识点讲解行文结构（构思立意）方面的技巧及鉴赏术语欲扬先抑、欲抑先扬、卒章显志、画龙点睛、以小见大、寄寓寄托、怀古伤今、起兴、做铺垫、埋伏笔、呼应照应、水乳交融、浑然天成、以动写静、点面结合、想像联想、开门见山、逐层拓展、环环相扣、前后呼应、首尾圆合、伏笔照应、点题、委婉、以乐写哀、以景结情。
1.提问方法：⑴这首诗是怎样构思的？⑵请分析这首诗的构思之妙。
2.解答分析：诗歌有思路，一首诗句与句之间存在密切的联系。
那么，分析诗的结构思路，必须把握诗句的关系。
有的诗先写景后抒情，有的先叙事后抒情，还有铺垫、过渡、烘托、起承转合之说。
3.答题步骤：⑴概述诗句的内容。
⑵揭示诗句之间的联系。
⑶指出这种构思传达出什么思想感情。
4.答题示例：山房春事岑参梁园日暮乱飞鸦，极目萧条三两家。
庭树不知人去尽，春来还发旧时花。
请简析本诗的构思之妙。
(步骤一)一、二句写梁园的繁盛不在——仰望空中乱鸦翻飞，遥望前方一片萧条；三、四句以“旧时花开”反衬现在的人去园空。
(步骤二)这样，一、二句烘托出凄凉的气氛，为全诗奠定了感情基调，三、四句就在此基础上抒发感慨，显示主旨。
(步骤三)从而表达了物是人非世事沧桑的悲凉之感。
二、专项演练桃夭桃之夭夭，灼灼其华。
之子于归，宜其室家。
桃之夭夭，有蕡其实。
之子于归，宜其家室。
桃之夭夭，其叶蓁蓁。
之子于归，宜其家人。
1．本诗在章法结构上的特点是______________。
【答案】1．重章叠句。
【解析】1．乐曲演奏一遍为一章。
《诗经》中的诗是合乐歌唱的，所以每一篇都分若干章，章与章往往句型重复，字面也大体相同，只在关键处更换个别字。
这一章法叫作重章叠句。
《桃夭》的三章之间只是变换了个别词语，运用了重章叠句的写法。
阅读下面这首唐诗，完成后面的题目。
柳州榕叶落尽偶题柳宗元宦情羁思共凄凄，春半如秋意转迷。
山城过雨百花尽，榕叶满庭莺乱啼。
天津市语文高考-考点汇总- 名著阅读
名著阅读【考点讲解】一、《课标》要求了解有关名著名篇的主要内容、艺术特色等。
主要涉及对作品基本内容、主旨的整体把握；结合作品相关内容，对人物形象、思想内涵和艺术特色的理解、分析；基于知识积累和生活经验，对作品价值、意义的感悟和评价。
设题角度主要从名著故事、经典情节、场景、人物性格、作品主题、结局等方面入手，侧重于对名著内容的分析鉴赏，如对名著的人物形象、结构模式、思想主旨、表现手法、语言风格等作简要的鉴赏分析，主要考查考生对名著的鉴赏评价能力。
它要求考生在识记作品人物、情节的基础上，根据自己的阅读感受做出相应的评判。
必考篇目一般为《论语》《三国演义》《红楼梦》《呐喊》《边城》《四世同堂》《红岩》《平凡的世界》《雷雨》《欧也妮•葛朗台》《巴黎圣母院》《老人与海》《家》《茶馆》《哈姆雷特》等，兼顾了古今中外，兼顾了小说、散文、话剧，兼顾了传统经典与红色经典。
从高考考查趋势看还会逐步增加名著考查篇目。
二、考查形式单选、双选，填空、简答题兼有，常见的题型有识记辨别类、理解概括类、赏析评点类等。
北京卷还涉及微写作表达。
三、考点讲解（一）名著阅读考向一：客观题。
此种题型考查信息量大，侧重检测考生的识记能力。
这种题型都是一个选项对应一个名著，常在故事情节、经典细节与精彩对白等方面设题，选项主要有两种类型：细节型和理解型。
细节型，即考查名著中的人物、情节有关的某个或某些细节；理解型，即对人物形象、作品主旨、艺术特点等相关需要理解的内容进行考查。
考向二：主观题。
相对于客观题来说，这种题目有一定的难度，它要求考生对文学名著有更加深入的把握，对主要情节烂熟于心。
高考试卷中设置主观题对文学名著进行考查，一般有三种题型：一是要点识记题，即要求记住名著中的一些要点；二是故事情节概括题，即对名著中某个故事情节作简要的梳理、概括，可以针对全书，可以针对某章节，也可以针对某个具体事件设题；三是人物形象描述题，即针对名著中重要人物形象的某些特征进行描述，考查的对象既可以是主要人物，也可以是次要人物。
高中数学考点母题讲解教案
高中数学考点母题讲解教案
年级：高中
考点：函数的性质
题目：已知函数 $f(x)=2x^2-3x+1$，求函数 $g(x)=f(x+2)$ 的解析式。
解析：
首先，我们将函数 $f(x)$ 中的 $x$ 替换为 $x+2$，得到函数 $g(x)=2(x+2)^2-3(x+2)+1$。
进一步展开得：$g(x)=2(x^2+4x+4)-3x-6+1$
$g(x)=2x^2+8x+8-3x-5$
$g(x)=2x^2+5x+3$
因此，函数 $g(x)$ 的解析式为 $2x^2+5x+3$。
教学流程：
1. 引入题目，解释函数的复合运算并列出已知函数 $f(x)$。
2. 让学生进行具体操作，将 $x$ 替换为 $x+2$，展开得到函数 $g(x)$。
3. 引导学生依次合并同类项，整理得到最简式的解析式。
4. 强调关键步骤和注意事项，提醒学生注意展开式的运算细节。
5. 汇总总结，让学生理解函数复合运算的思想，巩固解析式的推导方法。
拓展练习：
1. 若函数 $h(x)=3x^2+4x-2$，求函数 $k(x)=h(x-1)$ 的解析式。
2. 若函数 $p(x)=5x^2-6x+2$，求函数 $q(x)=3p(x)$ 的解析式。
3. 若函数 $m(x)=x^3+2x^2+x-1$，求函数 $n(x)=m(2x)$ 的解析式。
时事政治考点逻辑范围讲解
首先，我们要明白什么是时事政治，就是在特定的时间发生的有关政治的事件，这说明了时事政治具有显著的时效性，类似新闻特点。
有句诗句叫“风声雨声读书声，声声入耳。
家事国事天下事，时时关心。
”注意力有个新闻焦点。
一般考时事方向为几点：
一、大会（人大、政协、党代表/运动会、奥运会、亚运会、残疾会/）
二、大奖（科技进步奖、诺尔贝奖等，一般分为事物或是人物名称表达方式，如科技院
长，高铁提速，宇宙飞船，火箭，宇航员名称，深海潜水器等等。
但要注意是国内的，国外的一般少提）
三、大悲（天灾人祸事件，如自然灾害、泥石流，海啸，地震，人为事故，列车追尾，
如青岛石油输油管爆炸，等等。
菲律宾的水灾也可能出。
）
以上三大方向又分为三部分
一、国内（国家）一般三条，每条2分
二、地方（地方市以下）一般一条，每条2分
三、国际一般只出一条，外交或是特大的事件。
每条2分。
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重要考点大讲练一．Alison, how long have you been skating？I’ve been skating for five hours.艾莉森，你已经滑冰多长时间了？我已经滑了5个小时了。
用法归纳1.现在完成进行时的结构：have/has been+ doingFor+时间段，since+时间点或从句Eg 格林先生在这所学校教书已有20年了。
Mr Green has been teaching in this school since twenty years ago.Mr Green has been teaching in this school for twenty years.2.since 形式的另一种变化;It is +时间段+since从句（一般是过去时态）。
Eg It is five years since he joined the Party.他入党已经5年了。
二．The school newspaper needs a writer. 校报需要一名作家。
用法归纳Sb need to do sth 某人需要做某事sth need doing=sth need to be done某物需要做某事need 也可做情态动词,表需要need do sth 需要于某事三．I’m from Australia, and I’ve been teaching in China for two years.我来自澳大利亚，我在中国教学已经2年了。
1. teach sb sth 教某人某物teach sb to do sth 教某人做某事teach oneself=learn……by oneself 自学3.have/has been in +地点，表示“在某处呆了多长时间”have/has been to +地点，表示“去过某处，现在已经回来了”have/has gone to +地点，表示“某人到了某地去了，现在还没有回来”四.For a foreigner like me, the more I learn about Chinese history, the more I enjoy living in China .对于一个像我这样的外国人来说，我了解中国历史越多，就越喜欢在中国生活。
用法归纳词句中的the more…..,the more…..属于“the +比较级，the +比较级”的句型，表示“越、、、就越、、、”的意思重要考点大讲练一、Do you think there will be robots in people’s homes? 你认为人们的家里会有机器吗？用法归纳1 Do you think…? 是一个复合句，从句要用陈述句语序。
2 There will be 是一般将来时的句型，还可以用There is/are going to be.二、People will live to be 200 years old.人们将会活到两百岁。
用法归纳live to be +年龄：活到、、、岁三、There will be more trees/less pollution/fewer people.用法归纳1否定肯定接可数名词few a few接不可数名词little a littleEg There is little water in the cup.杯子里几乎没有水。
There is a little money in the box.盒子里有点钱。
2 原级比较级最高级many/much more mostlittle less least四、I’ll live in Shanghai, because I went to Shanghai last year and fell in love with it.我将住在上海，因为去年我去了上海并且爱上了它。
用法归纳fall---fell---fallenfall n. (美)秋天=autumn（英）fall behind 落后fall off …从、、、掉下来fall asleep入睡fall down 跌倒fall in love with 爱上（某人或某物）五、I think I’ll live in an apartment with my best friends, because I don’t like living alone.我想我将和我最好的朋友们住在一个公寓里，因为我不喜欢单独居住。
用法归纳alone adj 单独的，独自一人adv 单独地，只描述客观事实lonely adj 寂寞的，孤独的。
有浓厚的感情色彩。
He is alone but he doesn’t feel lonely,六、Some scientists believe that there will be such robots in the future, however, they agree itmay take hundreds of years.一些科学家相信将来会有这样的机器人，然而，他们都认为这要经历上百年的时间。
用法归纳1such的常用结构：such +a(an) + adj +单数可数名词such + adj +复数名词such +adj +不可数名词当形容词为many much few little 时，用so,而不用such.Eg I have never seen such a beautiful girl. There are such interesting stories in the book.He spent so little money(in) buying so many books.2 so 的常用结构：so +adj +a(an) +单数名词3 hundreds of 成百上千的thousands of 成千上万的Many (several/a few)hundreds/thousands of people two hundred/thousand peopleseveral hundred pepple七、He thinks that it will be difficult for a robot to do the same things as a person.他认为对于一个机器人来说要像人一样做同样的事情是很困难的。
用法归纳1.It’s +adj +(for sb ) to do sth2. the same as…与、、、一样，与、、、相同反义词be different from…八、I don’t have enough money.我没有足够的钱。
用法归纳修饰名词：enough +n.（复数名词或不可数名词）或n.(多为不可数名词)+enough 均可修饰形容词或副词:只能adj./adv.+ enough 常用句型：…enough to…九、She is really nice, and we get on well, but she always borrows my things. 她真的很友好，而且我们相处得友好，但是她总是向我借东西。
用法归纳get on 相处，进展get on/along(well) with sb/sth 与某人某事相处（好）get up 起床get over 克服get to 到达get in the way of 阻碍十、The tired children don’t get home until 7pm.疲惫的孩子们直到下午7点才回到家。
用法归纳until 直到、、、为止not…until 直到、、、才十一、I think I’m going to wear jeans to the party.我想我要穿牛仔裤去参加晚会。
用法归纳四个穿：put on 强调动作，表示穿、穿上wear 强调状态，穿着。
wear wore worndress 穿着，常用dress oneself/sb,表动作，给、、、穿衣服be dressed in 后接表衣服或颜色的词，表状态，穿着、、、十二、If we have it today, half the class won’t come.如果我们今天举行，会有一半的同学不来。
用法归纳1.if 引导了条件状语从句，遵循“主将从现”，即主句用一般将来时，从句用一般现在时表示。
Eg We will have a meeting tomorrow if Mrs. doesn’t leave Shanghai.2. half 的用法（1）“half of +名词”，当此结构做主语时，谓语动词应和介词of 的宾语在数上保持一致。
Eg Half of the students are from China.半数学生来自中国。
Half of his life is spent making inventions.他花了半辈子搞发明。
（2）数词+名词（单/复数）+and +a half 数词+and +a half+名词（复数）Eg one and a half years=one year and a half three and a half days=three days and a half(3) half 也常与the one’s 连用，构成“half + the/one’s+名词”的结构Eg Half the children are boys. He spends half his time reading.二.重要考点1.He was sleeping late when it arrived. 当它（飞碟）到来的时候他正在睡懒觉。
用法归纳到达：get to arrive in (大地点) arrive at(小地点) reach+地名2. The boy was walking down the street when the UFO landed.While the boy was walking down the street, the UFO landed.用法归纳两者都引导时间状语从句：When 引导的时间状语从句既可以表示某一时间点也可以表示某一时间段，谓语动词可以是延续性动词也可以是非延续性动词。
While 引导的时间状语从句强调主从同时发生，从句常用进行时态，谓语动词必须是延续性动词。
3. You can imagine how strange it was!用法归纳A) Imagine v. 想象imagination n. 想象力imagine +doing sth 想象干某事Imagine +that从句想象Eg. .He has a very strong imagination.他有很强的想象力。