高中数学人教A版选修2-1高二数学同步测试—(2-1第三章3.2).docx
高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-2
3.2第2课时 向量法在空间平行关系中的应用一、选择题1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若l ∥m ，则( )A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2[答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．2．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM →＝AB →，则点B 应为( )A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)[答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定 [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2 [答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ， ∴k ＝4，故选C.二、填空题5．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．[答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于________．[答案] 145三、解答题7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM MA ＝BN ND ＝5 8.求证：直线MN ∥平面PBC .[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513PA →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .8．用向量证明两个平面平行的性质定理．[证明] 如图α∥β，γ与α、β分别相交于直线a 、b .设a 、b 的方向向量为a 、b ，设平面α的法向量为n ，∵α∥β，∴n ⊥β，由条件知，n ·a ＝0，n ·b ＝0，若a 、b 不共线，则n ⊥γ，这样γ∥α矛盾，∴a 、b 共线，∴a ∥b .9．已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，它们不在同一平面上，点M 、N 分别为对角线BD 、AE 上的点，且AN ＝25AE ，BM ＝25BD .证明：直线MN ∥平面CDE . [证明] MN →＝AN →－AM →＝25AE →－(AB →＋BM →) ＝25(AD →＋DE →)－DC →－25BD →＝25AD →＋25DE →－DC →－25(CD →－CB →) ＝25AD →＋25DE →－DC →＋25DC →＋25CB → ＝25DE →－35DC →，∴MN →与DE →、DC →共面， ∵MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE .10．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PE ED＝2，求证：BF ∥平面AEC . [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP → ＝AD →＋12CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE → ＝AD →＋12AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →， ∴BF →、AE →、AC →共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .11．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱PA 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC .[证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－PA →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－PA →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .12．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG ∥平面HMN .[证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0. 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。
高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-1
3.2第1课时 直线的方向向量和平面的法向量一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，b ＝(－1，2,6)，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合[答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1与l 2相交，但不垂直C ．l 1⊥l 2D ．不能确定 [答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．已知空间四边形ABCD 中，AC ＝BD ，顺次连结各边中点P 、Q 、R 、S ，如图，所得图形是( )A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形 [答案] D[解析] ∵PQ →＝BQ →－BP →＝12BC →－12BA →＝12AC →. 同理SR →＝12AC →，∴PQ →＝SR →， ∴四边形PQRS 为平行四边形，又∵PS →＝AS →－AP →＝12AD →－12AB →＝12BD →， ∴|PS →|＝12|BD →|，即PS ＝12， 又|PQ →|＝12|AC →|，∴PQ ＝12AC ， ∵AC ＝BD ，∴PS ＝PQ ，∴四边形ABCD 为菱形．5．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定 [答案] D[解析] ∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，∴b ＝－3a ，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合，故选D.6．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8) [答案] B[解析] 因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a ，即向量(3,6,9)与a 平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．7．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．l ⊂αD ．不确定[答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.8．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是( )A ．0°<θ<180°B ．0°≤θ≤90°C ．0°<θ≤90°D ．0°<θ<90°[答案] D[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D.二、填空题9．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,2)，C (a,3，b ＋2)在同一直线上，那么a ＝________，b ＝________.[答案] 3 210．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎝⎛－1，y ，12，已知α∥β，则x ＋y ＝________.[答案] 154 [解析] ∵α∥β，∴u ∥v ，∴x －1＝1y ＝－212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－14，∴x ＋y ＝154. 11．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．[答案] 形如(2k ，k,0) (k ≠0)的都可以[解析] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意，应有n ·AB →＝0且n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0且x ＝2y .令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．(答案不唯一)12．已知空间直角坐标系O －xyz 中的点A (1,1,1)，平面α过点A 并且与直线OA 垂直，动点P (x ，y ，z )是平面α内的任一点，则点P 的坐标满足的条件为________．[答案] x ＋y ＋z ＝3[解析] 由题意知，OA ⊥α，直线OA 的方向向量OA →＝(1,1,1)，因为P ∈α，∴OA →⊥AP →，∴(1,1,1)·(x －1，y －1，z －1)＝0，∴x ＋y ＋z ＝3.三、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．[解析] 以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，设|AD |＝2a ，|AB |＝2b ，∠PDA ＝θ，则A (0,0,0)、B (0,2b,0)、C (2a,2b,0)、D (2a,0,0)、P (0,0,2a tan θ)、M (0，b,0)、N (a ，b ，a tan θ)．∴AB →＝(0,2b,0)，PC →＝(2a,2b,2a tan θ)，MN →＝(a,0，a tan θ)．∵AB →·MN →＝(0,2b,0)·(a,0，a tan θ)＝0，∴AB →⊥MN →，即AB ⊥MN .若MN ⊥PC ，即MN →·PC →＝(a,0，a tan θ)·(2a,2b,2a tan θ)＝2a 2－2a 2tan 2θ＝0，则tan 2θ＝1，而θ是锐角，∴tan θ＝1，θ＝45°.即当θ＝45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线．14．在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，E 是PC 中点，求证：PA ∥平面EDB .[证明] 设DA →＝a ，DC →＝b ，DP →＝c ，则DE →＝12(b ＋c )，DB →＝12(a ＋b )，PA →＝a －c ，∵PA →＝2DB →－2DE →，∴PA →与DB →、DE →共面，∵DB →、DE →不共线，PA ⊄平面BDE .∴PA ∥平面BDE .15．已知A (－1,2,4)，B (2,3,5)，以AB →的方向为正向，如图在直线AB 上建立一条数轴，M 、N 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AM MB ＝2 1，(2)AN NB ＝－3.求点M 和点N 的坐标．[解析] 由(1)由已知得AM →＝2MB →，即OM →－OA →＝2(OB →－OM →)，OM →＝23OB →＋13OA →. 设M (x ，y ，z )，则(x ，y ，z )＝23(2,3,5)＋13(－1,2,4)，所以x ＝43－13＝1，y ＝23×3＋23＝83，z ＝23×5＋43＝143，因此点M 的坐标为(1，83，143． (2)因为AN NB ＝－3，所以AN →＝－3NB →，即ON →－OA →＝－3(OB →－ON →),2ON →＝3OB →－OA →，设N (x ，y ，z )，则(x ，y ，z )＝32(2,3,5)－12(－1,2,4)，所以x ＝3＋12＝72，y ＝92－1＝72，z ＝152－2＝112，因此点N 的坐标为(72，72，112)． 16．如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.[解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B 1F →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0.解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0 即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.。
高中数学人教A版选修2-1 模块综合测评 Word版含答案
【答案】 B
x2 y2
3
x2 y2
3．若椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，则双曲线 － ＝1
a2 b2
2
a2 b2
的离心率为( )
5 A.
4 3 C. 2
5 B.
2 5 D. 4
( ) b2 3 2 3 b2 1
【解析】 由题意，1－ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，而双曲线的离心 a2 2 4 a2 4
A．2 或－1
B．－1
C．2
D．1± 5
{ ) 【解析】 设
A(x1， y1)， B(x2， y2)． 由
y＝kx－2， y2＝8x，
消去 y，得
k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故 Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得 k>
4（k＋2）
p
p
－1，且 x1＋x2＝ k2 .由|AF|＝x1＋2＝x1＋2，|BF|＝x2＋2＝x2＋2，
于是A→C＝(1，2，0)，A→M＝(0，1，1)，C→D＝(－1，0，0)． 设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
{ ) 由
n⊥A→C，n⊥A→M可得
x＋2y＝0， y＋z＝0.
令 z＝1，得 x＝2，y＝－1，于是 n＝(2，－1，1)．
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 α，
图3 (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值． 【解】 (1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴PA ⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面 PAD. ∵PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD. ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面 ABM. ∵AM⊂平面 ABM，∴AM⊥PD. (2)如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)， M(0，1，1)，
高中数学人教a版选修2-1：第3章 综合检测2 含解析
第三章 单元综合检测(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD→ D.AB→ 解析：∵AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→. 答案：A2．若向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且b ·c ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直．当a ∥b 时，由c ·a ＝0且c ·b ＝0得不出l ⊥α；反之，由l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.答案：B3．[2013·山东省济宁市质检]已知向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y)平行，则x ，y 的值分别为( )A. 6和－10B. －6和10C. －6和－10D. 6和10解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量a ＝(2，－3,5)与b ＝(4，x ，y)平行，所以42＝x －3＝y5，解得x ＝－6，y ＝10，故选B.答案：B4．[2013·四川省成都七中期末考试]已知直线l 过点P(1,0，－1)，平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能．．．是( ) A. (1，－4,2)B. (14，－1，12)C. (－14，1，－12)D. (0，－1,1)解析：本题主要考查平面的法向量．因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎨⎧n ·a ＝0n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.答案：D5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：因为|a|＝|b|，所以(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2＝|a|2－|b|2＝0，则(a ＋b)⊥(a －b)．答案：A6．如右图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA→＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA→－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC→＝0， 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确．答案：B7．空间四边形ABCD 的各边及对角线长均为1，E 是BC 的中点，则( ) A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD→。
高中数学人教A版选修2-1第3章 综合检测2 Word版含解析
第三章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．在长方体－中，＋＋－等于( )解析：∵＋＋－＝＋＝.答案：．若向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则·＝且·＝是⊥α的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直．当∥时，由·＝且·＝得不出⊥α；反之，由⊥α一定有·＝且·＝，故选.答案：．[·山东省济宁市质检]已知向量＝(，－)与＝(，，)平行，则，的值分别为( ). 和－. －和. －和－. 和解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示．因为向量＝(，－)与＝(，，)平行，所以＝＝，解得＝－，＝，故选.答案：．[·四川省成都七中期末考试]已知直线过点(，－)，平行于向量＝()，平面α过直线与点()，则平面α的法向量不可能．．．是( ). (，－) . (，－，). (－，，－) . (，－)解析：本题主要考查平面的法向量．因为＝()，直线平行于向量，若是平面α的法向量，则必须满足(\\(·＝·(,\(→))＝))，把选项代入验证，只有选项不满足，故选.答案：．已知＝(α，，α)，＝(α，，α)，则向量＋与－的夹角是( )．°．°．°．°解析：因为＝，所以(＋)·(－)＝－＝－＝，则(＋)⊥(－)．答案：．如右图所示，在四棱锥－中，底面是边长为的正方形，到、、、的距离都等于.给出以下结论：①＋＋＋＝；②＋－－＝；③－＋－＝；④·＝·；⑤·＝，其中正确结论的个数是( )．．．．解析：因为－＋－＝＋＝，所以③正确；又因为底面是边长为的正方形，＝＝＝＝，所以·＝××∠，·＝××∠，而∠＝∠，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确．答案：．空间四边形的各边及对角线长均为，是的中点，则( )·<··＝··>··与·不能比较大小解析：如右图，易证⊥，故·＝，取中点，连接，，则∥.在△中，＝＝，＝，得∠是锐角，所以〈，〉是钝角，即〈，〉是钝角，所以·<，故选.答案：．在长方体－中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线与所成的角为( )．°．°．°．°解析：建立如图所示坐标系．设＝，＝，＝，则()，(，)，(，)，(，，)，(，)，(，)，，.。
高中数学人教A版选修2-1模块综合测评 选修2-1(A版).docx
模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。
高二数学 (人教A版)选修2-1全册综合测试题(含详解)
本册综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( )A ．(116，0)B ．(－116，0)C ．(0,1)D ．(0，－1)解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－3,0)C ．(－12,0)D ．(－60，－12)解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( )A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12 D ．－5，－2解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53 D ．2解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D. 答案 D12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．已知命题p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析“p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.答案0≤a≤115．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14816．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．解析由题意知，AC1＝22＋22＋1＝3，AC＝22＋22＝22，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝ACAC1＝22 3.答案22 3三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，∴1≤m <2. 综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y2＝e 2. 而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．①由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)． 设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0. 解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105. 由此可知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为105.22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A 1BD，∴D1E∥平面A1BD.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)．∴DA1→＝(1,0,2)，DB→＝(1,1,0)．设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0， 取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)． 设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33. ∴cos θ＝33，即所求二面角A 1－BD －C 1的余弦值为33.。
人教a版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
人教版高中数学选修2～3 全册章节同步检测试题目录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2二项分布及其应用第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3章练习 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式（ ） Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．答案：33，2708．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A →C ，有 种不同走法．答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．答案：34三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =⨯=种．14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =⨯⨯=种；（3）56644574N =⨯+⨯+⨯=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平面上的点，a b M ∈，． （1）()P a b ，可表示平面上多少个不同的点？（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为N=6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x轴上（不含原点）有5个点；②y轴上（不含原点）有5个点；③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种答案：Ａ3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种答案：Ａ4．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的子集的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ二、填空题7．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是 ．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n-9．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息．答案：25610．椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上，且{}{}123451234567m n∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：2011．已知集合{}123A，，，且A中至少有一个奇数，则满足条件的集合A分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题13．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？解：本题可以从高位到低位进行分类．（1）千位数字比3大．（2）千位数字为3：①百位数字比4大；②百位数字为4：1°十位数字比1大；2°十位数字为1→个位数字比0大．所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜色旗子各(3)n n>面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？解：1N=3×3×3=27种；227324N=-=种；33216N=⨯⨯=种．15．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷一．选择题：1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）（A） 5 （B）7 （C）10 （D）124．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）（A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D）1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）109．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）（A）25 （B）36 （C）26 （D）3710．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N 不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10二．填空题：11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法．12．大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个．15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种．三．解答题：D CB A16．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加足球队，蓝球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有几种？［探究与提高］1．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、 排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（ ）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（ ）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（ ） （A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（ ） （A ）20个 （B ）19个 （C ）25个 （D ）30个7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）44A 种10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） （A ）(4!)2种 （B ）4!·3!种 （C ）34A ·4!种 （D ）35A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种 二．填空题:：12．6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．三、解答题：17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合 综合卷一、选择题：1．下列等式不正确的是（ ） （A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=-（C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（ ）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．方程2551616x x x CC --=的解共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）（A ）12种 （B ）34种 （C ）35种 （D ）340种8．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）（A ）18条 （B ）19条 （C ）20条 （D ）21条9．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）（A ）60种 （B ）81种 （C ）100种 （D ）126种10．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种 二．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。
高二数学选修2-1第三章同步检测3-2-4
3.2第4课时 利用向量知识求空间中的角一、选择题1．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l ′的方向向量分别为a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，则斜线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] l 与α所成的角为a 与b 所成的角(或其补角)，∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C ．－33D.23[答案] C[解析] 如图，设棱长为1，∵AE →＝12(AB →＋AS →)＝12(DC →＋DS →－DA →)，∴|AE →|＝14(1＋1＋1＋2×1×1cos60°－2×1×1cos60°) ＝32， ∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →|·|SD →|＝12(AB →＋AS →)·SD →32·1＝12(DC →＋DS →－DA →)·SD →32＝－33，故选C. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为( )A.32B.1010C.35D.25[答案] D[解析] 解法一：∵AM →＝AA 1→＋A 1M →，CN →＝CB →＋BN →， ∴AM →·CN →＝(AA 1→＋A 1M →)·(CB →＋BN →) ＝AA 1→·BN →＝12.而|AM →|＝(AA 1→＋A 1M →)·(AA 1→＋A 1M →)＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝1＋14＝52.同理，|CN →|＝52.如令α为所求角，则cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.应选D.解法二：如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M (1，12，1)，C (0,1,0)，N (1,1，12)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，1－(1,0,0)＝(0，12，1)，CN →＝(1,1，12)－(0,1,0)＝(1,0，12)．故AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM →|＝02＋⎝⎛⎭⎫122＋12＝52，|CN →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52.∴cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1252·52＝25.4．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)[答案] C[解析] OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212OA →|2＝－12∴∠EOF ＝120°，故选C.5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] C[解析] 翻折后A 、B 、C 、D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形的对角线交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，大小为45°.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若F 、G 分别是棱AB 、CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.54 C.33D.36[答案] D[解析] 解法一：过F 作BD 的平行线交AC 于M ，则∠MGF 即为所求． 设正方体棱长为1，MF ＝24，GF ＝62， ∴sin ∠MGF ＝36.解法二：分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，∵F (12，0,0)，G (1,1，12)，∴FG →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角θ，则sin θ＝|cos 〈n ，FG →〉|＝|n ·FG →||n |·|F G →|＝122·62＝36.7．从点P 引三条射线P A 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B —P A —C 的余弦值是( )A.12 B.13 C.33D.32[答案] B[解析] 在射线PA 上取一点O ，分别在面PAB ，PAC 内作OE ⊥PA ，OF ⊥PA 交PB ，PB 于EF ，连接E 、F ，则∠EOF 即为所求二面角的平面角．在△EOF 中可求得cos ∠EOF ＝13. 8．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC ＝12a ，这时二面角B —AD —C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C 二、填空题9．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．[答案]64[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连结MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连结AN ，则∠DAN 就是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DAN 中， sin ∠DAN ＝ND AD ＝322＝64.解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC 中，BM ＝32AB ＝32， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，32，1， ∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)， 设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，e 〉|＝|AD →·e ||AD →|·|e |＝64.解法三：设BA →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ， 由条件知a ·b ＝12，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BC →＝c －b ，平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线BD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|，∵AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34. |AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2， ∴|AD →|＝2，|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为________． [答案] 30°[解析] 解法一：连结BC 1，设与B1C 交于O 点，连结A 1O .∵BC 1⊥B 1C ，A 1B 1⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1. ∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，∴A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影为A 1O .∴∠OA 1B 就是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2，BO ＝22， ∴sin ∠OA 1B ＝BO A 1B ＝222＝12.∴∠OA 1B ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.解法二：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，C (0,1,0)．∴DA 1→＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ) 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＝0令z ＝－1得x ＝1.∴n ＝(1,0，－1)，又B (1,1,0)，∴A 1B →＝(0,1，－1)， cos 〈n ，A 1B →〉＝A 1B →·n |A 1B →||n |＝12·2＝12.∴〈n ，A 1B →〉＝60°，所以A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.11．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则SC 与平面ABCD 所成的角的大小为________．[答案] π2－arccos 33[解析] AS →是平面ABCD 的法向量， 设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1.|AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos 33.从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.三、解答题12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值； (2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC . [解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)、B (3，0,0)、C (3，1,0)、D (0,1,0)、P (0，0,2)，E (0，12，1)，∴AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2) 设AC →与PB →的夹角为θ，则 cos θ＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝327＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N (x,0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥平面PAC 可得，⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0.即⎩⎨⎧(－x ，12，1－z )·(0，0，2)＝0，(－x ，12，1－z )·(3，1，0)＝0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0－3x ＋120.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36z ＝1， 即N 点的坐标为(36，0,1)． 13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱D 1C 1、B 1C 1的中点，求平面EFC 与底面ABCD 所成二面角的正切值．[解析] 以D 为原点，{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C (0,1,0)，E (0，12，1)，F (12，1,1)．设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE →＝0n ·CF →＝0，∵CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，12，CF →＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∴⎩⎨⎧－12y ＋12z ＝012x ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝z x ＝－2z ，令z ＝1，则n ＝(－2,1,1)．显然平面ABCD 的法向量e ＝(0,0,1)，则 cos 〈n ，e 〉＝n ·e |n |·|e |＝66. 设二面角为α，则cos α＝66，∴tan α＝ 5. 14．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的大小．[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD . FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a2)＝0，∴z ＝0. ∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．(3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎨⎧a 2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)．cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角大小为π2－arccos 36.15．(2010·湖南理，18)如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1), BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 得一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点． 这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .解法二：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连结EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影， ∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连结EG ，BG ，CD 1，FG . 因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B . 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .[点评] 本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．。
高中数学人教a版高二选修2-1_章末综合测评3_word版有答案
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1. 【答案】 C2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选D. 【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA→，b ＝CB →，则a ＋b 为( ) A ．(5，－9，2) B ．(－5，9，－2) C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( ) 【导学号：18490123】A.16 B.56 C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－AA 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13.∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB→·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD→|＝（－1）2＋（－2）2＋22＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为2 6，则x＝()A．3 B．－3C．－11 D．3或－11【解析】因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()图1A.63B.255C.155D.105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(－2，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105. ∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105， ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC→＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D.12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD→＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0.即⎩⎨⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 【导学号：18490124】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，2，C (－1，0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1，0，0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，3)，B (2，1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，0，z )，则AC→＝(x －1，2，z －3)，AB →＝(1，3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫53，0，13 16.如图2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC→·SD →＝2×2cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ→＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA→＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →·AB →＝0，DA→·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .18. (本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB 1→·BA → ＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3， 所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19. (本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． 【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB→＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)． 因为AP→＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC; 【导学号：18490125】(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC D 的余弦值．【解】 (1)∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0，2，0)，E (2，1，0)，C (2，4，0)，P (0，0，λ)， ∴AC→＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，λ)，DE →＝(2，－1，0)， ∴DE→·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2，1，－λ)， 设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2. ∵λ>0，∴λ＝2，即P (0，0，2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2，2，0)，DP →＝(0，－2，2)，由n ⊥DC→，n ⊥DP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，P (0，0，b )，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0，2a ，0)，AP →＝(0，0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE→·PC →＝0，PC →＝(2a ，2a ，－b )， 所以BE →·PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a .①PD →＝(0，2a ，－2a )，BC →＝(a ，2a ，0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a ，0)，BC →＝(a ，2a ，0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2，1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)． 所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)， 若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．。
人教版A版高中数学高二版选修2-1 第3章 综合检测1
第三章 单元综合检测(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2014·福建省福州一中月考]已知向量a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(3，－6,3)，则b 等于( ) A. (2，－4,2) B. (－2,4,2) C. (－2,0，－2)D. (2,1，－3)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算．b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－6,3)－(1，－2,1)＝(2，－4,2)，故选A.答案：A2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵a ∥b ，∴存在实数λ， 使⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λx ＝4λy ＝5λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝152.答案：D3．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析：设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,3)， AC →＝(1，－3,2)，又|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．答案：C4．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( ) A ．－23B.23 C.53D ．－53解析：∵AB →＝(1,0,0)，CD →＝(－2，－2,1)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝－23，∴sin 〈AB →，CD →〉＝53.答案：C5．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612C.23612D ．－23612解析：∵a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，63， ∴a ·b ＝63λ＋1，|a |＝λ2＋13，|b |＝263， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝63λ＋1λ2＋13·263＝12. ∴λ＝23612.答案：C6．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n ·a|n ||a |B ．cos θ＝|n ·a ||n ||a |C ．sin θ＝n ·a|n ||a |D ．sin θ＝|n ·a ||n ||a |解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n ·a |n ||a |，∴sin θ＝|cos β|＝|n ·a ||n ||a |.答案：D7．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：C8．[2014·福建省泉州一中期末考试]结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中点○代表钠原子，黑点·代表氯原子．建立空间直角坐标系O －xyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )A. (12，12，1)B. (0,0,1)C. (1，12，1)D. (1，12，12)解析：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标的探求．观察图形，可知图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(12，12，1)，故选A.答案：A9．[2014·北京东城区期末统考]如图，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则a 2等于( )A. 2BA →·AC →B. 2AD →·BD →C. 2FG →·CA →D. 2EF →·CB →解析：本题主要考查空间向量的数量积．因为2BA →·AC →＝2BA →·(BC →－BA →)＝2BA →·BC →－2BA 2→＝2a 2cos60°－2a 2＝－a 2，所以排除A ；2AD →·BD →＝2(－DA →)·(－DB →)＝2a 2cos60°＝a 2，故选B.答案：B10．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：建系如下图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案：C11．[2014·湖南省雅礼中学月考]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A. 在平面BAD 1内B. 在平面BA 1D 内C. 在平面BA 1D 1内D. 在平面AB 1C 1内解析：本题主要考查四点共面的判断方法．由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 答案：C12．如右图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2， 可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，即二面角B —AP —C 的余弦值为77. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________.解析：如右图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c .答案：－a ＋b －c14．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________.解析：本题主要考查空间向量的数量积．向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，因为k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝0，所以3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.答案：7515．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为__________．解析：建立如右图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)，BC 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，BC 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，BC 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.答案：π616．如右图所示，已知二面角α－l －β的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为__________．解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.答案：3－2cos θ三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如右图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．解：∵MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→＝12(AB →－AD →)＋34(CC 1→－CB →) ＝12(AB →－AD →)＋34(AA 1→＋AD →) ＝12AB →－12AD →＋34AA 1→＋34AD → ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.18．(12分)如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→)＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．19．(12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →. ∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB →·BC →〉＝π－〈BA →·BC →〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →) ＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC → ＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2 ＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝AB →2＋BB 1→2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|，∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，得BB 1→2＝4，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.20．(12分)[2014·广东省佛山一中期中考试]如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC .(1)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值； (2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS .解：以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设SA ＝AB ＝BC ＝a ， 则B (22a ，22a,0)，C (0，2a,0)，S (0,0，a )． (1)AB →＝(22a ，22a,0)，SC →＝(0，2a ，－a )．cos 〈AB →，SC →〉＝22a ·2a a ·3a ＝33，故SC 与AB 所成角的余弦值为33. (2)由于AB →＝(22a ，22a,0)，AS →＝(0,0，a )，BC →＝(－22a ，22a,0)，显然，AB →·BC →＝0，AS →·BC →＝0.即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB ∩AS ＝A ，故BC ⊥平面ABS .21．(12分)如右图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB ＝SD＝2a，点E是SC上的点，且SE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．(1)证明：连接BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.又AE⊂面SAC，∴BD⊥AE.(2)解：由(1)知BD⊥SO，同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如上图所示的坐标系，设SO＝x，则OA＝4a2－x2，OB＝2a2－x2.∵OA⊥OB，AB＝2a，∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )．∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量．∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )．设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝|SC →·SA →||SC →||SA →| ＝|－3a 2＋a 2|3＋1·a ·3＋1·a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6. 22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使PA ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．(1)证明：连接BD ，∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形．∵Q 为AD 的中点，∴AD ⊥BQ .∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴AD ⊥PQ .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB .∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD .(2)连接AC ，交BQ 于N .由AQ ∥BC ，可得△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ，∴PA ∥MN .∴PM PC ＝AN AC ＝13，即PM ＝13PC ，∴t ＝13. (3)由PA ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点的坐标分别为A (1,0,0)，B (0，3，0)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量为n ＝(x ，y,1)，可得⎩⎨⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0，∵PA ∥MN ，∴⎩⎨⎧ n ·QB →＝0，n ·PA →＝0，解得n ＝(3，0,1)． 取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)，cos 〈m ，n 〉＝12，故二面角M －BQ －C 的大小为60°.。
高中数学人教A版选修2-1第一学期统一检测题高二数学(理科).docx
试卷类型：A教学质量评估第一学期统一检测题高二数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卷的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：球的体积公式：334R V π=，球的表面积公式：24R S π=，其中R 为球的半径 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“若x >5，则x >0”的否命题是A ．若x ≤5，则x ≤0B ．若x ≤0，则x ≤5C ．若x >5，则x ≤0D ．若x >0，则x >5 2．若a ∈R ，则“a =1”是“（a -1）（a +3）=0”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．双曲线125422=-y x 的渐近线方程是A ．x y 425±= B ．x y 254±= C ．x y 25±= D ．x y 52±= 4．已知直线l 1经过两点（-1，-2）、（-1，4），直线l 2经过两点（2，1）、（x ，6），且l 1// l 2，则x =A ．4B ．1C ．-2D ．2 5．已知p 、q 是两个命题，若“⌝（p ∨q ）”是真命题，则A ．p 、q 都是真命题B ．p 、q 都是假命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题6．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，则双曲线12222=-by a x 的离心率为A ．26B ．332C ．2D ．37．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为8．已知M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9．已知命题p ：∃x ∈R ，322=+x x ，则⌝P 是 ▲ .10．空间四边形OABC 中，a OA =，b OB =，c OC =，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC的中点，则=MN ▲ .11．抛物线24x y -=，则它的焦点坐标为 ▲ .12．圆锥轴截面是等腰直角三角形，其底面积为10，则它的侧面积为 ▲ . 13．直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围是 ▲ . 14．如图，半径为2的圆O 中，∠AOB =90︒，D 为OB 的中点，AD 的延长线交圆O 于ABCD侧视0ABDE侧视点E ，则线段DE 的长为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）三角形的三个顶点是A （4，0），B （6，7），C （0，3）. （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程； （3）求BC 边的垂直平分线的方程.16．（本小题满分13分）一个长、宽、高分别是80cm 、60cm 、55cm 的水槽中有水200000cm 3，现放入一个直径为50cm 的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，且PA =AD =2，E 、F 、H 分别是线段PA 、PD 、AB 的中点. （1）求证：PD ⊥平面AHF ； （2）求证：平面PBC //平面EFH .A BC DE FHP18．（本小题满分14分）设方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆. （1）求m 的取值范围；（2）m 取何值时，圆的半径最大？并求出最大半径； （3）求圆心的轨迹方程.19．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，221=AA ，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且51=H C .（1）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （2）求二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值；（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内， 且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长.20．（本小题满分14分）已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．2012—2013学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABCDBADB二、填空题9．∀x ∈R ，322≠+x x 10．c b a 212132++-11．（0，161-） 12．210 13．),332()332,(+∞--∞ 14．553三、解答题15．（本小题满分12分）解：（1）BC 边所在的直线的斜率320637=--=k ， （2分） 因为BC 边上的高与BC 垂直，所以BC 边上的高所在直线的斜率为23-. （3分）又BC 边上的高经过点A （4，0），所以BC 边上的高所在的直线方程为)4(230--=-x y ，即01223=-+y x . （5分）（2）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. （7分）又A （4，0），所以直线AE 的方程为430540--=--x y ，即0205=-+y x . （9分） （3）由（1）得，BC 边所在的直线的斜率32=k ，所以BC 边的垂直平分线的斜率为23-， （10分）由（2）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5），所以BC 边的垂直平分线的方程是)3(235--=-x y ，即01923=-+y x . （12分）16．（本小题满分13分）解：水槽的容积为264000556080=⨯⨯=水槽V （cm 3） （4分） 因为木球的三分之二在水中，所以木球在水中部分的体积为πππ9125000)250(983432331=⨯=⨯=R V （cm 3）， （8分） 所以水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为260000491250002000009125000200000<⨯+<+=πV （cm 3）， （12分） 所以V <V 水槽，故水不会从水槽中流出. （13分）17．（本小题满分13分）证明：（1）因为AP =AD ，且F 为PD 的中点，所以PD ⊥AF . （1分） 因为PA ⊥平面ABCD ，且AH ⊂平面ABCD ，所以AH ⊥PA ；（2分） 因为ABCD 为正方形，所以AH ⊥AD ； （3分） 又PA ∩AD =A ，所以AH ⊥平面PAD . （4分） 因为PD ⊂平面PAD ，所以AH ⊥PD . （5分） 又AH ∩AF =A ，所以PD ⊥平面AHF . （6分）（2）因为E 、H 分别是线段PA 、AB 的中点，所以EH //PB . （7分） 又PB ⊂平面PBC ，EH ⊄平面PBC ，所以EH //平面PBC . （8分） 因为E 、F 分别是线段PA 、PD 的中点，所以EF //AD ， （9分） 因为ABCD 为正方形，所以AD //BC ，所以EF //BC ， （10分） 又BC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以EF //平面PBC . （11分）因为EF ∩EH =E ，且EF ⊂平面EFH ，EH ⊂平面EFH ，所以平面PBC //平面EFH . （13分）18．（本小题满分14分）解：（1）由0422>-+F E D 得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，（2分）化简得：01672<--m m ，解得171<<-m . （4分） 所以m 的取值范围是（71-，1） （5分） （2）因为圆的半径716)73(71674212222+--=++-=-+=m m m F E D r ，（7分） 所以，当73=m 时，圆的半径最大，最大半径为774max =r . （9分）（3）设圆心C （x ，y ），则⎩⎨⎧-=+=,14,32m y m x 消去m 得，1)3(42--=x y . （12分） 因为171<<-m ，所以4720<<x . （13分） 故圆心的轨迹方程为1)3(42--=x y （4720<<x ）. （14分）A BC DE FHP19．（本小题满分14分）解：如图所示，以B 为原点，建立空间直角坐标 系，依题意得，A （22，0，0），B （0，0，0）， C （2，2-，5），)0,22,22(1A ，)0,22,0(1B ，)5,2,2(1C . （2分）（1）易得，)5,2,2(--=AC ，)0,0,22(11-=B A ， （3分）所以322234||||,cos 111111=⨯=⋅⋅>=<B A AC B A AC B A AC , 即异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为32. （5分） （2）易得，)0,22,0(1=AA ，)5,2,2(11--=C A . （6分）设平面AA 1C 1的法向量),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0111C A m AA m即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=.0522,022z y x y 不妨令5=x ，可得)2,0,5(=m . （7分） 设平面A 1B 1C 1的法向量),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,01111B A n C A n即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--.022,0522x z y x 不妨令5=y ，可得)2,5,0(=n . （8分） 于是，72772||||,cos =⨯=⋅⋅>=<n m n m n m ， （9分） 从而753,sin >=<n m ，所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为753. （10分） （3）由N 为棱B 1C 1的中点得，)25,223,22(N . 设M （a ，b ，0），则)25,223,22(b a MN --=， （11分） 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,01111C A MN B A MN即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+-⋅-+-⋅-=-⋅-.0525)2()223()22()22(,0)22()22(b a a （12分） ABCA 1B 1C 1Hx yzMN解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.42,22b a 故)0,42,22(M （13分） 因此41008121||=++=BM ，即线段BM 的长为410. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）由题意得，()()123,0,3,0F F - （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分） 从而12112||||||||4||23MF MF MF MP F F +=+=>= （3分） 所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，焦距223c =，则短半轴22431b a c =-=-=， （4分）椭圆方程为：2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．因为HK KQ =，所以()00,2Q x y ，所以()220022OQ x y =+=， （6分） 所以Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （7分）又()2,0A -，所以直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． （8分）令2x =，得0082,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭． （9分）又()2,0B ，N 为DB 的中点，所以0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭． （10分）所以()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． （11分）所以()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=． （13分） 所以OQ NQ ⊥．故直线QN 与圆O 相切. （14分）。
高二数学(人教A版)选修2-1综合能力检测：全册.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作本册综合能力检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a <2”是“a 2<2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由a 2<2a ，得0<a <2.a <2⇒/ 0<a <2，而0<a <2⇒a <2，故选B.2．下列四个命题中正确命题的个数为( ) ①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0 ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0 ③∃x ∈R ，使x 2<x④∃x ∈N *，使x 为29的约数A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 2x 2－3x ＋4＝2(x －34)2＋238>0，故①正确；当x ＝－1时，2x ＋1＝－1<0，故②不正确；当x ＝0.1时，x 2＝0.01，∴x 2<x ，故③正确；1是29的约数，故④正确，故选C.3．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于( )A ．85 B.85 C ．5 2 D ．50[答案] B[解析] 由题意AC ′＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以|AC ′→|2＝|AB →＋AD →＋AA ′→|2，代入计算可得，|AC ′→|2＝85. ∴AC ′＝85.4．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－32[答案] B[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为(0，－12，32)， 即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．5．在[－4,4]上任取一个m ，使得曲线x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的概率是( )A.58B.516 C.38 D.34[答案] A[解析] 由题意可得(4＋m )(m －1)<0，解得－4<m <1，所有m 的可能结果对应的区间长度为4－(－4)＝8，而使得x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的对应区间长度为1－(－4)＝5，故所求概率为P ＝58，选A.6．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )的交点个数是( )A ．4个B ．2个C ．0个D ．与a 的取值有关[答案] B[解析] 曲线y ＝－1－x 2即x 2＋y 2＝1(y ≤0)，曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )，即y ＝－|ax |，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.7．(2013·新课标Ⅱ文，10)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [答案] C[解析] 由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线x ＝－1，设直线l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－4，y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条． 即y ＝±3(x －1)．[点评] 1.求出y 1，y 2后也可以代入x ＝y 24求得x 1、x 2.由k ＝y 1－y 2x 1－x 2得到斜率用点斜式写出l 方程或用两点式直接写出l 的方程．2．由于A 、B 两点没有指明位置，故由对称性知，这样的直线应有两条，每个选项都是两条，故只需求出一种情况即可获解．3．可以用焦点弦长与倾斜角的关系|AB |＝2psin 2θ求解．(其中θ为直线AB 的倾斜角)．4．若设直线方程为y ＝k (x －1)，则可利用定义，由|AF |＝3|BF |得，x 1＝3x 2＋2，结合韦达定理求解．8．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833C.21060D.21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设AB ＝a ，则A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.9．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1 ,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0[答案] D[解析] 设Q (x ，y )，∵|PM |＝|MQ |∴M 为PQ 中点， ∴P 为(－2－x,4－y )．∵P 在直线2x －y ＋3＝0上，∴y ＝2x ＋5，∴选D.10．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.11．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |等于( )A.43B.423C.83D.823 [答案] B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得3x 2＋4x ＝0.∴x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝0， ∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2169＝423.故|AB |＝423.12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 [答案] A [解析] ∵|PF 1F 1F 2PF 2|＝，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k .∴a ＝3k .∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过双曲线x 24－y 24＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.[答案] 8[分析] 由双曲线定义及条件知|MF 2|－|MF 1|＝|NF 2|－|NF 1|＝2a ＝4.[解析] 根据双曲线的定义，|MF 2|＋|NF 2|－|MN | ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4×2＝8.14．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ，故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)， ∴2λ＝5，∴λ＝52.15．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案] 24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠CBE ＝60°.连接CE ，如图所示，设正方形的边长为1， ∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°， ∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. 连接CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角． 又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2.又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24. 解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2，∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24， 即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24.16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________．[答案] 120°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0，∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12， 而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0.且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4.即2<x <3. ∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分12分)已知点A (－1,0)，B (1,0)，分别过A 、B 作直线l 1与l 2，使l 1⊥l 2，求l 1与l 2交点P 的轨迹方程．[解析] 设l 1：y ＝k (x ＋1)，(k ≠0)(1)则l 2：y ＝－1k (x －1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k 得，y 2＝－(x 2－1)，∴x 2＋y 2＝1，特别地，当k 不存在或k ＝0时，P 分别与A 、B 重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 和平面ACC 1A 1所成角的大小．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，∵E 、F 是AA 1、AB 的中点，∴E (2,0,1)，F (2,1,0)．∴EF →＝(0,1，－1)．又B (2,2,0)，DB →＝(2,2,0)，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD ⊥平面ACC 1A 1，∴DB →为平面ACC 1A 1的法向量cos 〈EF →，DB →〉＝EF →·DB →|EF →|·|DB →|＝12. ∴EF →与DB →成的角为π3∴EF 与平面ACC 1A 1所成的角为π6.20．(本小题满分12分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1，交于A 、B 两点，记ΔAOB 的面积为S .(1)求在k ＝0,0<b <1的条件下，S 的最大值．(2)当|AB |＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．[解析] (1)设点A 的坐标为(x 1，b )，B 为(x 2，b )，由x 24＋b 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2，所以S ＝12b ·|x 1－x 2|＝2b ·1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1，当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1.(2)联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(k 2＋14)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，Δ＝4k 2－b 2＋1① |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·4k 2－b 2＋114＋k 2＝2② 设O 到AB 的距离为d ，则 d ＝2S |AB |＝1，又因为d ＝|b |1＋k2，所以b 2＝k 2＋1，代入②式整理得k 4－k 2＋14＝0，解得k 2＝12，b 2＝32， 代入①式检验，Δ>0，故直线AB 的方程为y ＝22x ＋62，或y ＝22x －62，或y ＝－22x ＋62，或y ＝－22x －62.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是正三角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 中点，PC 与平面ABCD 的夹角为30°.(1)求平面PCE 与平面CDE 夹角的大小；(2)当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的距离为2.[解析] 取AD 的中点O ，连接PO .∵△P AD 是正三角形，∴PO ⊥AD ，又面P AD ⊥面ABCD .∴PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，OD 为x 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，连接OC ，则∠PCO 为PC 与面ABCD 的夹角，∴∠PCO ＝30°.设AD ＝a ，则PO ＝32a ，OC ＝32a ，CD ＝2a .∴P (0,0，32a )，D (12a,0,0)，C (12a ，2a,0)，E (－a 2，22a,0)．(1)∵PE →＝(－a 2，22a ，－32a )，PC →＝(12a ，2a ，－32a )，设平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PE →＝0⇒－a 2＋22ay －32az ＝0，n ·PC →＝0⇒a 2＋2ay －32az ＝0.解得，n ＝(1，－2，－3)．又平面DEC 的一个法向量为OP →＝(0,0，32a )，∴cos 〈OP →，n 〉＝－3·(32a )6·32a＝－22. ∴平面PCE 与平面CED 夹角的大小为45°.(2)CD →＝(0，－2a,0)，D 到平面PCE 的距离d ＝|CD →·n ||n |＝2a 6， 由2a 6＝2，得a ＝ 6. 即AD 长为6时，点D 到平面PCE 的距离为2.22．(本小题满分14分)(2013·福建理，19)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值；(3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)[解析] (1)取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，所以CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n |AA 1→|·|n || ＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 72k 2＋26k ， 0<k ≤518，36k 2＋36k ， k >518.[点评] 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积，在证明线面垂直时一定要写全条件，即 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥c b ∩c ＝O b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α，此时极易因条件不全造成失分．。
人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(二)-Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）_1 •已知三棱锥O - ABC，点M , N分别为AB , OC的中点,uiv uuv且O A = a , O B = b ,uuu uuiv “ uuv “十OC =c，用a , b , c表示MN，则MN等于（）A.28 B . -28 C. 14 D . -144.若向量;a,b,cf是空间的一个基底，则疋可以与向量p= 2 a b , q = 2 a _ b构成空间的另一个基底的向量是（）A.aB. bC. cD. a b5・在空间直角坐标系O-xyz中，已知A 2,0,0、B 2,2,0 、C 0,2,0、D 1,1- 2 ,若S|、S2、S3分别表示三棱锥图形的面积，则（）A •= S2-■S3C. S| = S3 = S2D - ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影D •S| = S2 = S36.已知a、b是两异面直线，A、B a , C、DCD =1，则直线a、b所成的角为（A •30 °B •60 °C. 90°7.如图所示，在平行六面体ABCD - A BG耳中，点AC_ b , BD _ b 且AB=2 ,45°E为上底面对角线AG的中号证考准名姓级班1A • b c -a1C. a-b c222 .已知a = cos-：i,1,sin ：；卜b = sin -：：,1,cos：；］,且a// b，则向量a b 与a - b的夹角是（）A• 90°B• 60°C• 30°D• 0°uuv uuu3 •已知A、B、C 三点的坐标分别为A 4,1,3 > B 2,-5,1、C 3,7, ■，若AB AC ,则■等于（）C.8.uuv uuv uuv uuuBE 二AA xAB yAD，则（）已知A -1,1,2、B 1,0,-1，设D在直线AB上,uuv uuv AD二2DB ,■，- ,1 -.311A.—6，若CD _ AB，则，的值为（11 B .1C. 一2639.如图，在长方体ABCD -A i B i C i D i 中，AB 二BC=2 , AA i是面AB i C i D i、面BCC i B i的中心，贝U E、F两点间的距离为（的中心，G是CC i的中点，设GF、C i E与AB所成的角分别为：，则「等于（）B .乜2iO.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD —^AiBi C i D i，AB =i，BC =2，AA =3，则点B到直线A i C的距离为（35B. Sii .如图所示，在长方体ABCD -A i B i CQ i中，AD =AA, =i ,AB = 2 ,点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD i的距离为（r if 1 ri1/ :z>/ z' ■■”一十亠i2.如图所示，正方体ABCD -^B i C i D i中，E、F分别是正方形ADD i A i和ABCD 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）uuv UW k 冃,13 .已知A i,2,0、B O,i,-i , P是x轴上的动点，当AP BP取取小值时，点P的坐标为______________ .14 .已知正四棱台ABCD-AB iG D i中，上底面AB iG D i边长为i,下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°则异面直线AD i与B i C所成角的余弦值为15 .三棱锥P —ABC 中，PA= PB = PC = AB = AC = i,Z BAC= 90 ° 则直线RA 与底面ABC所成角的大小为__________________ .16 .已知矩形ABCD中，AB= i, BC=t：3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为______________________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 . （iO分）在四棱锥P —ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O, G, , uuv uuv uuv t、为BD上一点，BG= 2GD , PA二a , PB二b , PC二c ,试用基底, b,C表示向量uuvPG .19. (12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC 二CD =1 .(1) 求证：平面ACD丄平面ABC ;(2) 求二面角C —AB —D的大小；(3) 若直线BD与平面ACD所成的角为30°求线段AB的长度.18 . (12分)如图，在直二棱柱ABC IAIBICI中，•—ABC , D是棱AC的中点，2且AB =BC =BBj =2 .(1)求证：AB, // 平面BC1D ；(2)求异面直线AB,与BC,所成的角.20. (12分)如图，在正四棱柱ABCD - AB I GD,中，已知AB = 2, AA^ 5 , E、F分别为D i D、B i B上的点，且DE=B i F=1.(1)求证：BE丄平面ACF ;(2)求点E到平面ACF的距离.22 . (12分)如图，在四棱柱 ABCD —AB1GU 中，侧棱 AA_底面 ABCD , AB 丄AC , AB = 1 , AC = AA | = 2 , AD = CD = • 5，且点 M 和 N 分别为 B 1C 和 D 1D 的中 占八、、♦(1) 求证：MN //平面 ABCD ; (2) 求二面角D 1 - AC - B 1的正弦值；(3) 设E 为棱A 1B 1上的点.若直线 NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为 」，求线3 段AE 的长.(1)证明：PA //平面BDE ; (2)求二面角B — DE -C 的余弦值. 21. (12分)如图所示，PD 丄底面ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，PD = DC , E 是PC 的中点.“22018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答 案、选择题 uiv uuv uuv uuv uuv uuv uuu uuv uuv uuv UHT 2【解析】 由于 AB 二 AC CD DB , • AB CD =：[AC CD DB CD = CD =1 . .uuv uuv cos AB, C D=-ut —utA BC Duuv uuv 1 — uiur uiuv:AB,CD 60，故选 B .1.【答案】D 7.【答案】【解析】 uuuv uuv uuuvMN =ON -OM 1 uuv 1 uuv uuv 1 OC OAOB c 2 2 21 11 a b c —a —b2 22【解析】 uuv uiv uuiv uuiv uuv uuiv 1 uuuv uuuiv uuv uuu/ 1 uuv 1 uuv 故选D . BE =BA “ RE - - AB ARA ,B 一 g - - AB AA 1 AB AD2.【答案】A 2 2 2 2【解析】•/ |a =2 , |b =2, (a +b ) (a —b )=a - b =0, 1 uuv uuu 1 uuu一 2AB +AA t AD，.・&【答案】B••• a • b I ,：a —b .故选 A . 【解析】设D x, y,z ,3.【答案】D r r uuu uuv 贝y AD x 1,y —1,z —2 , AB【解析】 uuv uuuAB - -2, -6,-2 |, AC =…1,6, ■ - 3 , ••• A B _ Ac , A B -Ac ^2 1—6 6—23]=0, 解得，i-14，故选D .uuv uuv ••• AD =2DB ,1r .故选A .uuv=2, - h -3 j , DB =〔-X, - y’J -z ,X 1=2 1 —x y- 1= —2 y Iz - 2 = —2 - 2z1 x =—3 14 •【答案】C 【解析】T a = - p - q ，所以a 、p 、q 共面， 4 4故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除 A ; 1 1b= — p — q ，所以 b 、p 、q 共面，2 2 故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除 B ;3 1Ta b = - p -一 q ，所以 a b 、p 、q 共面，4 4 故a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除 D ;故选C .5 .【答案】B 【解析】由题意可得 2 2=2 , S 2 =1 2—2=・.2 , S3 = — 2 2=2 , 2 2 2故 S,二 S 3 =0 •故选 B . .6 1…D 一，一，0 , 3 3uuv uuv •/ CD _ AB ,9.［答案】C【解析】以点贝 V E 1,1「2、 6.［答案】B故选C .uuv 1 CD1—，, v uiv 1 CD AB = 2 - - '；• 2 -3 - 1 - ■ =0 ,• 11 .故选B .6为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,，所以 | EF =J (1—2『+(1 —1)2 + ]\A 2—则 B 2,0,0、A 2,2,0、G 0,0,1、F 1,1,0、C 1 0,0,2、E 1,2,1 . “ uivuuuuuiv则 BA = 0,2,0 、GF1,1,-1、C 1E = 1,2,-1 ,nrtuuu uuiv则 A 0,0,3 , B 1,0,0 , C 1,2,0 , A 1C = 1,2,—3 , A 1E 二 x, y, z-3 , uuvBE = x -1,y,z .uuiv uuv x y z -3因为qA^uUUC ，所以斤二厂nBEAC =0 x -1 2y -3z =010.【答案】B【解析】 过点B 作BE 垂直AC ，垂足为E ，设点E 的坐标为 x, y,z ,10 uuv解得y = 10，所以BE -7所以点B 到直线AC 的距离BE =2^35，故选B .7 ・・ cos 、£ 二 , 11.【答案】C=90 .故选 D .【解析】如图，以D 为坐标原点，直线 DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则 D 1 0,0,1、E 1,1,0、A 1,0,0、C 0,2,0 .二、填空题13 •【答案】【解析】设 P x,0,0，则 AP =[x -1,-2,0 , uuv uiv1 2 7 AP BP =x x —12 I x —I 2丿4uuvBP x,-1,1 ,uuv uuu uuuv从而 D E =]1,1,-1、AC = 1,2,0、AD —1,0,1 ,1 uuv uiv 7•••当x=-时，AP BP 取最小值一，此时点2 4 P 的坐标为I 1 ,0,0.12丿设平面 ACD 1的法向量为 n =a,b,c ,uuun AC =0114 .【答案】-4【解析】设上、下底面中心分别为 O-!、O ，则OO^! _平面ABCD ,以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. T AB = 2 , AB I =1 , • AC =BD = 2 2 , g = B^ 二.2 ,T 平面BDD1B 丄平面ABCD ，•— B 1BO 为侧棱与底面所成的角，12.【答案】D【解析】 建立坐标系如图，设正方体的棱长为 2,•乙BBO=60 ,uuv uuu cos BA, GFcossin P =—1 ,V 316 •【答案】 2故异面直线 AD i 与B i C 所成角的余弦值为uuv 2 uuv【解析】T BG = 2GD , • BG 二^BD .3【解析】 由条件知，AB = AC = 1,Z BAC = 90°, ••• BC = J2 , •.• PB = PC = 1,「./ BPC = 90° 取 BC 边中点 E , 2 .2 则 PE , AE h 2 2uuv uuv uuv 又 BD = BA BC =uuv uuv uuv PA — PB PC uuvPB = a c- 2b , uuv uuv uuv 2 21 2 •- PG = PB BG = b • — a c — 2b a b — c .3 3 3318.【答案】（1 ）见解析；（2）—.3【解析】（1）如图，连接B 1C 交BC 1于点O ,连接OD .又 PA = 1，•/ PEA = 90° ° 故/ PAE = 45°, •/ E 为BC 中点，• PE 丄BC , AE 丄BC , • BC 丄平面PAE , •平面PAE 丄平面 ABC ，•/ PAE 为直线PA 与平面 ABC 所成角. 10T O 为B 1C 的中点，D 为AC 的中点，• OD // AB 1 .【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为 M 、N .二 AO , — .2,O ,『，谒，c O , 2,O ,uuuv 二 AD 1 =uuiv B 1C =uuuv uuv 二 cos AD 1, B 1C uuuv uuvAD 1 B 1C—uuiv uuvAD 1 1B 1C则可求得AMBM 」2 CN =」2DN,十 uuv uuv uuiv uuu 由于 BD =BM MN ND ,UU 1 uuiv BM+ MN +三、解答题 uuiv uuv uuiv uuu uuiv uuu BM MN MN ND BM ND17.【答案】15 .【答案】45 °设棱台高为2MN =1 .2 uuiv uuiv uuu 2 BM MNNDuuu 2 ND 2 1252 0 0 0 =2••• AB二平面BCQ , OD 二平面BGD ,••• ABJ/ 平面BCQ .•••/ BDH为BD与平面ACD 所成的角.•••/ BDH = 30°在Rt△ BHD 中，BD 二 2 , • B^ —22又•••在Rt△ BHC 中，BC = 1,.・./ BCH = 45°,•••在Rt△ ABC 中，AB =1.解法二：(1)同解法一.(2)设AB二a，建立如图所示的空间直角坐标系 B - xyz ,则 B 0,0,0、A 0,0, a、C 0,1,0、D 1,1,0 ,uuvBD =[1,1,0、uwB A = 0,0, a .则 B 0,0,0 、A 0,2,0 、C i 2,0,2、B i 0,0,2 .uuv uuiv• AB i 二0, -2,2、BC i 二2,0,2 .uuv uuivuuv 料AB1 BC10 0 4 1cos，: AB i, BC i ) = |UUV| iuuiv =—戸--- 戸=一,' f|AB^| jBC i2寸2汉2血2i 设异面直线AB i与BC i所成的角为二，则COST - ?,uuv平面ABC的法向量CD 1,0,0，设平面ABD的一个法向量为n = x, y,z ,"亠uuv uiv贝y有BD n = x y = 0 , BA n = az = 0 ,- 3-i9.【答案】(i)见解析；(2) 45 ° (3) i.【解析】解法一：(i)v CD丄AB , CD丄BC ,• CD丄平面ABC . 又••• CD?平面ACD，•平面ACD丄平面ABC .(2)T AB 丄BC , AB 丄CD , • AB 丄平面BCD ,• AB丄BD .•••/ CBD是二面角C- AB —D的平面角.•••在Rt△ BCD 中，BC = CD，•/ CBD = 45°•二面角 C —AB —D的大小为45°(3)过点B作BH丄AC,垂足为H，连接DH . • z = 0，取y =1，贝U x = _1 ,「uuv 、、c二• coSCD, nj = -utu ' / CDuuv -CD n . 2•二面角C—AB —D的大小为•• n = -1,1,0 .，由图可知二面角C —AB —D为锐角,45°z、uuu uuv uuv(3) AC 0,1,-a、CD =1,0,0、BD 1,1,0 .uuv设平面ACD的一个法向量是m= x , y ,/ ,uuu . . uuv则AC m = y"「az =0 , CD m = x = 0 ,令z =1, • y = a，则m = 0,a,1 .•••直线BD与平面ACD所成角为30°uuv• cos( BD mj = BD m = ----- = cos60°，解得a = 1 , • AB = 1.■BD \m7齐V2•••平面ACD丄平面ABC , • BH丄平面ACD ,5°，20 .【答案】（1）见解析；（2）-3设 PD =DC =a ，贝U D 0,0, 0、 A a,0,0 、 P 0,0, a 、 B a,a,0 、 E 0,号,号【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为 x 、y 、z 轴建 C 0,a,0 , 立如图所示空间直角坐标系, uuv--A P - - a,0, a 、uiu uuu a DB 二 a,a,0、DE 七勺、a a uuv DC 0,a,0 .则 D 0,0,0、A 2,0,0、B 2,2,0、C 0,2,0、D i 0,0,5、E 0,0,1、F 2,2,4 . （1）设平面BDE 的一个法向量为n 1 W.x i ,y i ,z i , • - AC - -2,2,0 j 、AF = 0,2,4、 BE = -2, 21、AE 二-2,0,1 .uuvn i ・DB =0 则有 uuun DE =0• • n i = 1,-1,1 .a^ ay^ 0 即aa y i z i = 022f X ］二 1I• 2 yi =—1Zi = 1 uuvAP 叫=-a 0 a = 0 ,uuv • API n 1,又••• AP -平面 BDE ,• AP // 平面 BDE .uuv uuuuuv uuv •/ BE AC =0 , BE AF =0 , （2）设平面CDE 的一个法向量为 n^ 11,0,0 .• BE _ AC , BE _ AF ，且 AC I •二面角B — DE — C 的余弦值为二.3• BE 丄平面ACF . (2) uuv 解：由（1）知，BE 为平面 ACF 的一个法向量, （2）型;（3）. 7-2 .10【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，22.【答案】（1 ）见解析;•••点 E 到平面ACF 的距离d =' AE BE BE 依题意可得 A 0,0,0、B 0,1,0、C 2,0,0、D 1,-2,0、几 0,0,2、 故点 E 到平面ACF 的距离为-. 3 B i 0,1,2、 C i 2,0,2、D i 1-2,2,又因为M 、N 分别为B 1C 和DD 的中点，得M 1丄1、N 1,-2,1 .I 2丿【解析】 21 .【答案】（1）见解析；（2）乜 3（1）依题意，可得n = 0,0,1为平面ABCD 的一个法向量, uuvMN =「0, uuiv由此可得， MN 二0，又因为直线 MN 二平面ABCD ,3所以MN //平面ABCD .uuuv uuu (2) AD i 二 1,22、AC 二 2,0,0 , 设口 =为，％,可为平面ACD 1的法向量， uuiv n i AD i =0 为—2y i 2z i =0则 uuu ，即c c，不妨设Zi =in i AC =0 2xi =0可得 口 m ：0,i,i .匝=X 2,y 2Z 为平面ACB I 的一个法向量, 『 uuvn 2 AB i =0 uuu ， 敗 AC =0i0I03i0 I0uuv uuuv , , r -I(3)依题意，可设 AiE ABi ，其中- l-0,i 1, 小 」-uuv则 E 0, ,2，从而 NE i, ■，2,i ,又n 二0,0,i 为平面ABCD 的一个法向量,整理得，2 4 - -^0 ,又因为'-0,1 1,解得’二-.7 -2 , 所以线段A i E 的长为• 7 -2 .uuv 2 y 2 2Z 2人“㈣2 )，得仏=。
高二新数学(5)
A 1DB 1 C1普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（5）—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ） A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ）A ．621 B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6π C ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111A B C D A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F 的距离 ． 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离 ． 14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 18．（12分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1，过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B 的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；分析：建立如图所示的直角坐标系，则A ，B ，(C ，(D ，(0,0,2)S ．DB ∴=，CS = ．令向量(,,1)n x y = ，且,n DB n CS ⊥⊥ ，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩，x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(n ∴= ． ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为： OC n d n ⋅===5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==．6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y = ，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1A B C 与平面11AC D 间的距离AD n d n ⋅== 7．D ；()()().,0,0,,0,,0,0.0,0,.1,0,,2OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A B C OP h P h D PC OD h PA ⊥==∴⊥⊥⊥-⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则 为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎫-⎪⎪⎝⎭∴=-∴∴， 平面∥∥A BCDC D 1图()2,,,,cos ,sin cos ,PA a h OD PBC n OD n OD n OD n OD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎛=- ⎝⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成的角为Ⅱ 8．B ；解 以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系， 设a CB CA ==，则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥平面AB D ， ∴ 0=⋅，解得 2=a ．∴ ）（32,31,31=， ）（2,2,21-=， ∵ ⊥平面AB D ， ∴ 为平面AB D 的一个法向量．由 32323634||||,c o s111=⋅=⋅>=<BA GE BA∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37． 评析 因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=， ）（0,323,31-=B ， ）（0,323,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量．设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B n n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122B n n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==x z y x 3323． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||,c o s 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB ， 得 60,21>=<n BB ． 故所求二面角B AD B --1的大小为60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C ；解 以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系， 则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴ )4,2,22(1-=D ，)4,22,2(1-=D ，)0,22,22(11=B D ，图10 ∴1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅>=<F D E D D D ， ∴135,sin 11>=<F D E D ， 所以 5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆S EF D ， 设 平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0222022204D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===232431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 )243,1,1(=， ∴点1B 到平面EF D 1的距离516||11==n d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求． 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式BA DC D 1A 1B 1C 1zy xEFG222000||CB A D Cz By Ax d +++++=计算得到．（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 二、 11分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E = ，1(2,0,2)C B = ，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ= ，则1100n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=-- ，又11(0,2,0)D C = ，11D C n n⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC ． 12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴= ，1(1,,0)2AF =- ；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=，则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=， 102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩， (1,2,1)n ∴=- ，又(0,1,0)AB = ，所以点B 到截面1AEC F的距离为ABnAB n⋅⋅ = 13．1；解：如图建立空间直角坐标系，DB ＝（1，1，0） ，DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1） 设平面D B EF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则有：0=⋅ 即x ＋y ＝0n 0=⋅DF21y ＋z ＝0 令x ＝1, y =－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1D B EF 的距离1==h 14．510解：如图建立空间直角坐标系，AB ＝（0，1，0），1AD＝（－1，0，1），＝（0，21，1） 设平面AB C 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）01=⋅AD设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin ==θ， 三、15． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=⋅B A n 可解得1n ＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1），所以，=33 所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos 33． 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1＝（1，1，－1）由 012=⋅B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅B n012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面P AD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a ，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ） 于是，CD a a AE},23,21,0{=={－a ，a ，0}设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为42． 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y y x 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)21,1,1(,1--==n y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=A.1222,cos ||||.222223,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||11111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯>=<∴=-++-==-++-=A A A A H A D A O A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，(0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，(1AC =- ()12,1,2D E =- ，()0,2,0AB = ，()10,0,2BB =． （Ⅰ）不难证明1AC为平面BC 1D 的法向量， ∵ 111111cos ,A C D E A C D E A C D E==∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 a r c c 2π-（即．（Ⅱ）1AC 、AB分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量，∵ 111cos ,A C AB A C AB A C AB==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为． （Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为111A C BB d A C==． 20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→1AB ， 同理 →1BD ⊥→AC ， 而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ， 则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0， 化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0， 易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600=21 (2·a )2·23 =23·a 2 ． 此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ． (证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)。
最新高中数学：选修2-1人教A全册教学同步练习及答案解析第3章3.1.2同步练习
高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R ，且λa ＋μ b ＝0，则( ) A ．λ＝μ＝0 B ．a ＝b ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．μ＝0，a ＝0 解析：选A.∵a ，b 不共线，∴a ，b 为非零向量，又∵λa ＋μ b ＝0， ∴λ＝μ＝0.2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋12OB →＋13OC →，则x 的值为( )A.16 B.13 C.12D ．0解析：选A.由四点共面的充要条件知， x ＋12＋13＝1，因此x ＝16. 3.化简12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝__________．答案：56a ＋92b －76c4.非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k ＝________． 解析：若ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线， 则ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1. 答案：±1[A 级 基础达标]1.若a 、b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a 、b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)D ．若a 、b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)解析：选D.当a 与b 是共线向量时，A 不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 不正确；若a 、b 不共线，则平面α内的向量都可用a 、b 表示，对空间向量不行，故C 不正确，D 正确，故选D.2.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：选D.如图所示，连A 1C ，则在△A 1CB 中，有A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c .3.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13D ．－23解析：选A.∵CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.4.已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝__________．解析：4a －3b ＝4⎝⎛⎭⎫12i －j ＋k －3(5i －2j －k ) ＝－13i ＋2j ＋7k .答案：－13i ＋2j ＋7k5.ABCD A 1B 1C 1D 1为平行六面体，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 、F 分别是AD 1、BD 的中点，则EF →＝________． 解析：EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12(D 1A 1→＋A 1A →)＋AB →＋12(BA →＋AD →)＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12a －12c . 答案：12a －12c6.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线． 解：设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)＝－3λe 1＋8λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝38λ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1λ＝12，∴不存在λ，使a ＝λb ， 即a 与b 不共线．[B 级 能力提升]7.下列条件使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2 OA →－OB →＋OC → B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 C.OM →＝15OA →＋23OB →＋12OC →D.MA →＋MB →＋MC →＝0解析：选D.根据共面向量定理知A 、B 、C 均错，只有D 能使其一定共面． 8.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( ) A.32DB → B ．3 MG → C ．3 GM → D ．2 MG →解析：选B.MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2 MG →＝3 MG →.9.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．答案：②③④10.对于任意空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试判断：EF →与BC →、AD →的关系．解：如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得， EF →＝EA →＋AD →＋DF →① EF →＝EB →＋BC →＋CF →② 又EA →＝－EB →，DF →＝－CF →③ 将③代入①得EF →＝－EB →＋AD →－CF →④ ②＋④得2 EF →＝AD →＋BC →， 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．11.(创新题)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面． 证明：A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．。
高中数学人教A版选修2-1高二数学(理)参考答案.docx
三明市B 片区高中联盟校2014-2015学年第一学期阶段性考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBACCDABC二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11． 5 12. 13 13. 49 14. 216y x = 15.22144x y -= 三、解答题：(共6小题,共80分,只给出常见答案，其它解法只要言之有理，均应酌情给分)16． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）命题p 为真命题,即方程22132x y m m +=-+表示的曲线是双曲线 故(3)(2)0m m -+<即2m <-或3m >∴m 的取值范围为{}23m m m <->或 ………… 6分（Ⅱ）由命题“q p ∧”为真命题，知命题p 为真命题且命题q 为真命题∵椭圆221+5x y m m +=的离心率1(,1)2e ∈ ∴112ca<<即22114<c a < ………… 8分 ∴15541<+<m 且m>0 ∴015m << ………… 11分 又由（Ⅰ）知2m <-或3m > ∴315m <<故m 的取值范围为{}315m m << ………… 13分17. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题知成绩在[70,80)的人数为20，频率为0.4，故200.4n=， 所以50n = ………… 2分 ∵样本中成绩优秀的试卷份数所占频率为0.32+0.06=0.38， ∴样本中成绩优秀的试卷份数为19，估计该校高一年段期末考试数学成绩的优秀率为38%. ………… 6分 （Ⅱ）∵样本成绩在[50,60)和[]90,100学生人数分别为2和3， ………… 8分设在区间[50,60)内的学生成绩为}{12,a a ,在区间[]90,100内的学生成绩为}{123,,b b b . 则任选2人共有12111213212223121323(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 10种情况, ………… 10分其中满足事件“||10m n -≤”的情况有4种, 42105P == ………… 13分 18. (本小题满分13分)(I)证明：易知，AB 、AD 、1AA 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ………… 1分 则有11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(3,1,0),D(0,3,0),D (0,3,3),A B B C 故),3,0,0(),0,3,3(),0,1,3(1=-==BB BD AC ………… 2分 ∵0,01=⋅=⋅BB AC BD AC ∴1,AC BD AC BB ⊥⊥ 又∵1BD BB B ⋂=且111,BD BB D BB BB D ⊂⊂平面平面∴1AC BB D ⊥平面 ………… 4分（Ⅱ）解:由题知),0,2,3(),3,1,0(1-=-=CD C B 设平面1B C D 的一个法向量为),,(z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD n C B n 即30320y z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴令1y =，则)31,1,332(=n ………… 6分∵1AC BB D ⊥平面 ∴)0,1,3(=AC 为平面1BB D 的一个法向量 ∴4422923223||||,cos =⨯=⋅⋅>=<AC n AC n AC n ∵故二面角1B B D C --的余弦值为92244………… 9分 (III)不存在. ………… 10分 假设线段1CD 上存在点P ,使1A P ∥平面1B CD ,设)1,0[,11∈=λλC D P D ∵)3,2,3(1--=C D ∴)3,2,3(1λλλ--=P D∴)3,23,3(1111λλλ--=+=P D D A P A ∵要使1A P ∥平面1B CD , ∴01=⋅n P A 即233320,3λλλ⨯+--= ∴)1,0[3∉=λ所以线段1CD 上不存在点P ,使1A P ∥平面1B CD ………… 13分 注:本题解答中写]1,0[∈λ亦可. 19. (本小题满分13分)解：(I)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义， 由53PF =，得01x +53=， 解得023x =.…………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得0263y =.∴点P 的坐标为226,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=. …… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. ………… 5分 解法2: 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =, ∴()22002519x y -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =. ② 解①②得023x =,0263y =.∴点P 的坐标为226,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上，∴2248193a b +=. …………… 3分 又1c =，且22221a b c b =+=+， ………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. ……… 5分 （II ）解法1：设点1122(,),(,)A x y B x y ,把椭圆方程与直线方程联立，得221430x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩则22784120x mx m ++-= ……… 7分 033648)124(7464222>+-=-⨯⨯-=∆m m m∴27,77m m <<即-< ……… 9分又∵7821m x x -=+ ∴121286m 2m 77m my y x m x +=+++=-+=∴AB 的中点坐标为43(,)77m m-……… 11分 ∵线段AB 的中点不在圆222549x y +=内∴224325()()7749m m -+≥即21,11m m m ≥≤≥即-或故7117m m ≤-≤<-<或 ……… 13分解法2：设点1122(,),(,)A x y B x y ,线段AB 的中点N （x 0，y 0），则x 1≠x 2)(4)(3034134134212121212221222122222121y y x x x x y y y y x x y x y x ++-=--⇒=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ ……… 7分 ∴00431y x -= 即0043x y -=又x 0-y 0+m=0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴m y m x 737400 ……… 9分 代入⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+492513420202020y x y x ………11分解得712<≤m故7117m m ≤-≤<-<或 ……… 13分20. (本小题满分14分)解：(I)以OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设曲线段OE 所在方程为2y ax =，则由(2,2)E 在抛物线上，得1a =∴曲线段OE 的方程为)20(2≤≤=x x y ……… 4分注:未给出x 的取值范围扣1分,但端点不扣分.（II ）(i)∵2y x =，∴2y x '=，∴1t =时，2k = 又∵直线过点(1,1)P∴直线方程12(1)y x -=-即210x y --= ……… 8分（ii ）由（i ）知切线方程为22()y t t x t -=-．令0y =，得2t x =， 又令2y =得12t x t =+，由6453t ≤≤且222112)022t xt t t -'=-+=<（ 知)x t （为减函数，故1743),2,21230x t ⎡⎤⎡⎤∈⊂⎢⎥⎣⎦⎣⎦（得面积)1(42)212(214t t t t t S +-=⨯++-= ……… 10分 令1()g t t t =+ 则21()1g t t'=-∵6453t ≤≤()0()g t g t '∴>即在定义域内单调递增∴min 661()()530g t g == ∴max 615943030S =-= 故56=t 时，地块OABC 在直路l 不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值为59302()km ．……… 14分21. (本小题满分14分) 解：(I) 由题知(0,)x ∈+∞∵212(2)1(21)(1)()22ax a x x ax f x ax a x x x +--+-'=+--== ……… 2分∴当0a ≤时，()0f x '<，知函数)(x f 的单调减区间为(0,)+∞ 当0a >时，令1()0f x x a'==得 故当1(0,)x a ∈时()0f x '<，当1(,)x a∈+∞时，()0f x '> 所以函数)(x f 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间1(,)a+∞ 综上所述，当0a ≤时，函数)(x f 的单调减区间为(0,)+∞当0a >时，函数)(x f 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间1(,)a+∞ ……… 4分（II ）∵2()ln 0g x ax x =-≥∴2ln x a x ≥令23ln 1-2ln ()()=x xh x h x x x '=则令()=0h x x e '=得则()0)h x e 在（，上单调递增，在+)e ∞（，单调递减 故1()()2h x h e e≤= ∴12a e ≥……… 9分（III ）由（II ）知242ln 1ln 1122x x x e x e x ≤≤⋅，故)2,)(1...3121(21ln ...44ln 33ln 22ln 2224444≥∈+++≤++++∴n N n ne n n ……… 11分43)11123(21)111211(21)]1111()121(...)5131()4121()311[(21)1()1(1...42131111...1311211...3121222222<+--=+--+=+--+--++-+-+-=+⨯-++⨯+⨯=-++-+-<+++n n n n n n n n n n n n )2,(834321ln ...44ln 33ln 22ln 4444≥∈=⋅<++++∴n N n e e nn ……… 14分命题:赖国强老师 审核:孔相庆老师。
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高中数学学习材料唐玲出品新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105图图AA 1DCB B 1C 1 图5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ）A ．621B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小 （ ）A ．3πB ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面AEC F的距离．113．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面D B EF的距离．14．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线A E与平面AB C1D1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1，求平面A1B C1与平面AB CD所成的二面角的大小16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；ABC DO Sxyz图（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；（Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A 1B 1C 1D 1，过线段B D 1上一点P （P ∉平面A C B 1）作垂直于D 1B 的平面分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G ．(1)求证：平面EFG ∥平面A C B 1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a ，求△EFG 的最大面积，并求此时EF 与B 1C 的距离．参考答案一、1．B ；2．A ；3．A ；4．C ；分析：建立如图所示的直角坐标系，则 22(,,0)22A -， 22(,,0)22B ，22(,,0)22C -， 22(,,0)22D --，(0,0,2)S ． (2,2,0)DB ∴=，22(,,2)22CS =-．令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，y x z CB A A 1D B 1D 1GE C 1O 1F HP 图5(,,1)(2,2,0)022(,,1)(,,2)022x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，0220x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 22x y ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩，(2,2,1)n ∴=-．∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅=22(,,0)(2,2,1)22(2,2,1)-⋅-=-222110255(2)(2)1++==-++． 5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==1()2AC A A AB a⋅+=1)2AC A A AC AB a⋅+⋅=0cos 60242a a a a+⨯⨯=． 6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系， 设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1A B C 与平面11A C D 间的距离AD n d n⋅=222(_1,0,0)(1,1,1)3.3(1)(1)1⋅--==-+-+ 7．D ；xABCDA 1B 1C 1D 1yzE 图()()().222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.212,0,,422OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h D PC OD a h PA a ⊥==∴⊥⊥⊥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则 为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴=-∴∴， 平面∥∥()2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210arcsin.30PA a h a OD a a PBC n OD n OD n OD nOD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成的角为Ⅱ8．B ；解 以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系， 设a CB CA ==，则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥GE 平面AB D ， ∴ 0=⋅BD GE ，解得 2=a ． ∴ ）（32,31,31=GE ， ）（2,2,21-=BA ， z yxPODCBAAA 1B 1CB C 1D zyxE G∵ ⊥GE 平面AB D ， ∴ GE 为平面AB D 的一个法向量．由 32323634||||,c o s111=⋅=⋅⋅>=<BA GE BA GE BA GE ∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37． 评析 因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）（0,323,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量． 设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B n AD n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122D B n AD n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||,c o s 212121=⨯=⋅⋅>=<n BB n BB n BB ， 得 60,21>=<n BB ． 故所求二面角B AD B --1的大小为60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C ；解 以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系， 则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴ )4,2,22(1-=E D ，)4,22,2(1-=F D ，)0,22,22(11=B D ， 图10 ∴1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅⋅>=<F D E D F D E D F D E D ， ∴135,sin 11>=<F D E D ， 所以 5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆DF DE DF DE S EF D ， 设 平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0222022204D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===232431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 )243,1,1(=n ， ∴点1B 到平面EF D 1的距离516||||11=⋅=n n B D d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求． 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000||CB A D Cz By Ax d +++++=计算得到．BA DCD 1A 1B 1C 1zy xEFGAEA 1DCBB 1C 1D 1 Fxyz图（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 二、 11．263分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则1100n DE n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，1142636D C n n ⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC 间的距离为263． 12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴=，1(1,,0)2AF =-；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=， 则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=，102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F 的距离为AB n AB n⋅⋅=26316=⨯． 13．1；解：如图建立空间直角坐标系，DB ＝（1，1，0） ，DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面D B EF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：n 0=⋅DB 即x ＋y ＝0n 0=⋅DF21y ＋z ＝0 令x ＝1, y =－1, z=21, 取n ＝（1，－1，21），则A 1到平面zA 1F E B 1C 1D 1D B EF 的距离11=⋅=nDA n h14．510解：如图建立空间直角坐标系，AB ＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，21，1） 设平面AB C 1D 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）01=⋅AD n设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin =⋅⋅=nAE n AE θ， 三、15． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=⋅B A n 可解得1n ＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1）， 所以，212121,cos n n n n n n ⋅⋅=＝33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos 33． 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系， 则11C A ＝（－1，1，0），C B 1＝（－1，0，－1）Ez xD 1 yAC 1B 1A 1BD Czy xD 1A 1D B 1C 1C BA F yE Mz D 1 C 1B 1A 1C DD A 1＝（1，0，1）， A B 1＝（0，－1，－1）设111C A E A λ=，D A F A 11μ=，A B M B 11ν=（λ、μ、 νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅E A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1n ＝（1，1，－1）由 012=⋅M B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅A B n012=⋅C B n 012=⋅C B n 012=⋅C B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面P AD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ）于是，CD a a AE},23,21,0{=={－a ，a ，0}设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ=||||CD AE CDAE ⋅⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a aAE 与CD 所成角的余弦值为42． 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x n = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥DF DB DF n DB n 由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y DF n y x DB n 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)21,1,1(,1--==n y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=n AD D A.1222,cos ||||.2223223||||,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯=⨯⋅>=<∴=-++-==-++-=H A D A D A H A n D A n D A H A D A n O D A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，()12,2,2A C =--，()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =．（Ⅰ）不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量，A 1B 1C 1D 1 CD y z∵ 1111113cos ,9AC D E AC D E AC D E ==∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 3a r c c o s 29π-（即3arcsin 9）．（Ⅱ）1A C 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 1113cos ,3AC AB AC AB AC AB ==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为3arccos 3． （Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为111233AC BB d AC ==．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→1AB ， 同理 →1BD ⊥→AC ， 而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ， 则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0， 化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0，y x zABC DA 1OB 1D 1JC 1E GF O 1KP 图5*易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600 =21(2·a )2·23=23·a 2 ． 此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ． (证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)。