2§2-2 平面力对点之矩
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工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
2-2 平面力对点之矩·平面力偶
Байду номын сангаасFn
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d
n i 1
F1d F2 d Fn d
M 1 M 2 M n
M Mi Mi
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得 F F M 1 M 2 M 3 200N A B
l
例2-6 ：
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力。 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 2 F d 2ABC
四. 同平面内力偶的等效定理 P36
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两 力偶彼此等效。
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2.任一力偶可以在它的平面内任意移转，而不改变它对刚体
的作用，因此：力偶对刚体的作用与在其作用面内的位置无 关。
M O FR M O Fi
M O FR xi Fiy yi Fix
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d
n i 1
F1d F2 d Fn d
M 1 M 2 M n
M Mi Mi
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得 F F M 1 M 2 M 3 200N A B
l
例2-6 ：
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力。 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 2 F d 2ABC
四. 同平面内力偶的等效定理 P36
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两 力偶彼此等效。
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2.任一力偶可以在它的平面内任意移转，而不改变它对刚体
的作用，因此：力偶对刚体的作用与在其作用面内的位置无 关。
M O FR M O Fi
M O FR xi Fiy yi Fix
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
力对点之矩的概念.
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
力对点之矩
对象：曲杆
a m1 B bm 3 D
x
作用力： m1 , m2 , m3 , YA , ZA , YD , ZD 选轴列空间力偶系的平衡方程
A
YA
m x m1 Z A b YA c 0
ZA z m2 C
m y m2 Z Aa 0
mz
解得:
m3 YAa 0
M F D Fd F h
由此可见：力偶矩与矩心无关。 力偶的性质： 1.力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示。 2.力偶对任一点的矩等于其力偶矩本身。 3.只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，可以同时改变 力和力偶臂的大小，或在其作用面内任意移动或转动，而不 改变其对物体的作用效果。 4。平面内，两个力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转 向相同。
c
YD y
ZDห้องสมุดไป่ตู้
YA YD
m3 a
m2 ZA ZD a
b c m1 m 2 m3 a a
空间内的力偶矩是矢量。 空间内力偶等效条件：
力偶矩大小相等、力偶作用面方位相同、转向相同。
力偶系的合成、平衡条件
1。处于同一平面内的力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等 于力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和。 2。空间内的力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于力偶系 中所有力偶的力偶矩的矢量和。 3.力偶系的平衡条件：合力偶为零。
力偶系处于平衡，因此NA = NB 组成一力偶 L
m3
m1
m2
根据平面力偶系的平衡条件：
NB
m 0 N
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
14平面力系--平面力对点之矩 力偶系
FA
FB
FA FB
M 0
FB
60 300N FA FB 300 N 0.2
FB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
例2-6 图示机构不计自重。圆轮上的销子在摇杆BC的光滑导 槽内可自由滑动；圆轮上作用一力偶，其力偶矩 M 1 2kN m, 30 )，系统平衡。 OA r 0.5m 。在图示位置( OA⊥OB， 求作用在摇杆BC上力偶的矩M2 及铰链O、B处的约束力。
合力矩的解析表达式：
y
O
Fx
x
x
MO (FR ) MO (Fi )
( xi Fiy yi Fix )
例2 4图示直杆长为l，力F与x轴夹角为。求力F对插入端O之矩。
y
O o 方法一：利用定义
h
l
Fy
F
Fx
x
M O ( F ) F h F l sin
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和．
三、力矩与合力矩的解析表达式 力矩的解析表达式：
y
MO (F ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
F
Fy
A
x Fy y Fx
x F sin y F cos
F
' F
2、力偶矩
力偶作用面: 力偶臂:
— 代数量 力偶中两力所在的平面
d1 O O
1
力偶中两力作用线间的垂直距离 ' ' M O1 ( F , F ) M O1 ( F ) M O1 ( F ) 力偶可以看作 ' F ( d d ) F d1 1 不能合成的两 Fd 个力
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
力对轴的矩与力对点的矩
cos 3 ， cos 5
5.92
5.92
（2）计算力F 在各坐标轴上的投影
Fx
F
cos
500
N
1 5.92
84.5
N
Fy
F
cos
500
N
3 5.92
253.4
N
Fz
F cos
500
N
5 5.92
422.3
N
图3-6（b）
（3）计算力 F在各坐标轴的矩
力 F 作用点A的坐标是
x 15 cm，y 12 cm，z 0
设有一力 F ，其作用点A的坐标为 (x ，y ，z)，如图3-5所示。 为求力 F 对z轴的矩，可将力 向x，y，z三个坐标轴上投影，
分别记为 Fx ，Fy ，Fz ，而 F 为力 F 在 坐标面内的分力。
根据力对轴之矩的定义，
F 对于z轴的矩等于 对于O点的矩，即 M z (F ) MO (F )
力对轴的矩均为零。
（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时F 及d
均未改变。
合力矩定理 空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分 力对同一轴之矩的代数和。
设有空间一般力系（ F1 ，F2 ， ，Fn ） ，其合力为FR ，则合力矩定理为
n
M z (FR ) M z (F1) M z (F2 ) M z (Fn ) M z (Fi ) i 1
根据平面力系的知识及合力矩定理，有 MO (F ) xFy yFx 于是
M z (F ) xFy yFx
如图3-5
同理，可计算力 F 对x轴及对y轴的矩。因此，力 F对x，y，z轴的矩
分别为
M
x
(F
2.2 力矩和力偶
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
y
Fx
F
（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y
Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
理论力学哈工大第八版答案
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理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
力对点的矩,力偶
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
§2.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件 例题 2-6
例2-6 一简支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座约束力。
解：
梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。
M
因为力偶只能与力偶平衡，所以
A
d
B
FA = FB。
由
Mi 0
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
==
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
r
F
§2.3.1力对点的矩
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
2.3.2汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FRLeabharlann MOFi平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例2-1
已知: F=1400N, θ 20,
求:MO F.
解: 直接按定义
r 60mm
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
§2.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件 例题 2-6
例2-6 一简支梁AB=d，作用一力偶 M ，求二支座约束力。
解：
梁上作用力偶 M 外，还有约束力FA，FB。
M
因为力偶只能与力偶平衡，所以
A
d
B
FA = FB。
由
Mi 0
任选一段距离d
M1 d
F1
M2 d
F2
M1 F1d M2 F2d
Mn d
Fn
Mn Fnd
==
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
r
F
§2.3.1力对点的矩
2.力矩的性质 （1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。 （2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。 （3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
2.3.2汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
即
MO
FRLeabharlann MOFi平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
例2-1
已知: F=1400N, θ 20,
求:MO F.
解: 直接按定义
r 60mm
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理
2-2平面力偶系
§2-2 平面力偶系
力对点之矩
平面力偶理论
本章重点与难点： 合力矩定理与平面力偶理论。
平面力偶系
1
力对物体的外效应
平面力偶系
平动效应 由力矢来度量，取决于力的大小、方向
转动效应 由力矩来度量，取决于力矩的大小、转向
平面力偶系
一、平面力对点之矩的概念及计算
（一）力对点的矩
一个很小的力也会产生很大的作用效果 力 矩
F
F/
a bc d
是一个基本力学量。
力偶在任意轴上投影的代数和 恒为零
力偶只能与力偶（即等值、反向、不共线的一对平 行力）等效。
性质2：
力偶对其所在平面内任一点的矩
平面力偶系
恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关
MO( F,F' ) F( x d ) F' x
MO( F ,F' ) -Fd
M A
l
D
45
B 解：选梁AB为研究对象，A与 B 端的约束力FA 和FB 构成一力 偶。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B M 0, M F A l cos 45 0
解得
FB
FA
FB
M l cos 45
2M l
平面力偶系
例2 机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为 已知，求：平衡时力偶M及支座A、B的约束反力
力偶臂： 两力之间的垂直距离
力偶作用面 力偶所在的平面 符号：（F1, F2）
F1 F2
平面力偶系
力偶矩 力偶对物体的转动效应用力偶矩来衡量
该转动效应取决于：
（1）力偶矩的大小 m F d
力对点之矩
平面力偶理论
本章重点与难点： 合力矩定理与平面力偶理论。
平面力偶系
1
力对物体的外效应
平面力偶系
平动效应 由力矢来度量，取决于力的大小、方向
转动效应 由力矩来度量，取决于力矩的大小、转向
平面力偶系
一、平面力对点之矩的概念及计算
（一）力对点的矩
一个很小的力也会产生很大的作用效果 力 矩
F
F/
a bc d
是一个基本力学量。
力偶在任意轴上投影的代数和 恒为零
力偶只能与力偶（即等值、反向、不共线的一对平 行力）等效。
性质2：
力偶对其所在平面内任一点的矩
平面力偶系
恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关
MO( F,F' ) F( x d ) F' x
MO( F ,F' ) -Fd
M A
l
D
45
B 解：选梁AB为研究对象，A与 B 端的约束力FA 和FB 构成一力 偶。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B M 0, M F A l cos 45 0
解得
FB
FA
FB
M l cos 45
2M l
平面力偶系
例2 机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为 已知，求：平衡时力偶M及支座A、B的约束反力
力偶臂： 两力之间的垂直距离
力偶作用面 力偶所在的平面 符号：（F1, F2）
F1 F2
平面力偶系
力偶矩 力偶对物体的转动效应用力偶矩来衡量
该转动效应取决于：
（1）力偶矩的大小 m F d
2平面力系
F R F 1 F 2 F n F
特
5
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
解：
F1
Fx F1cosα
1
各力的汇交点
F2 F2cosα F2sinα
2
F3 F3cosα -F3sinα
3
F4 F4cosα -F4sinα
4
Fy F1sinα
1
2
3
4
16
Fx Fx1 Fx 2 Fx 3 Fx 4 F1 cos a1 F2 cos a2 F3 cos a3 F4 cos a4 360 cos 600 550 cos 00 380 cos 30 0 300 cos 70 0 360 0.5 550 380 0.866 300 0.342 1162N
已知：
P 20 kN ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。
A C
30 30 30
P
B
34
铰链四杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1、F2 作用，如图所示。该机构在图示位置平衡，杆重略去不计。 求力F1与F2的关系
35
在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上作 用一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
36
已知M 求：A点的约束
a D C a A a a a M
B
理论力学--力矩-平面力偶系
F
d d
F
F
F
M F d
M O1 F , F M O1 F M O1 F
F d x1 F x1 Fd
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶
平面力偶的等效定理： 在同平面内的两个力偶，若 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 两个推论：
M F
O i
平面汇交力系: M O FR M O Fi
平面汇交力系的合力矩定理：合力对平面内任一点 的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 力矩与合力矩的解析表达式
(1)力矩的解析表达式 y
M O F M O Fx M O Fy
F
y
l M O (F ) F d F sin
O
MO (Q) Q l
② 应用合力矩定理
Fy
Fx A
d
x
l
Q
M O (F ) Fx l Fy l cot
F sin l F cos lcot l F sin
③ 应用合力矩公式
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 平面力偶系的合成证明:
已知：M 1 , M 2 ,
Mn;
求：它们的合成结果。
证明：
任选一段距离d：
M 1 F1d , F1 M 1 / d
M 2 F2 d , F2 M 2 / d
M2 Mn
M1
M n Fn d , Fn M n / d
第二章
平面力系
第二章 平面力系（之二）
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶
第二章 平面基本力系
平衡方程
Fx 0 Fy 0
第一节 平面汇交力系
例2-1 圆筒形容器重量为G，置于托轮A、B
上，如图所示，试求托轮对容器的约束反力。
第一节 平面汇交力系
解：取容器为研究对象,画受力图 容器自重G
托轮对容器是光 滑面约束，其约束 反力为FNA和FNB
FNA
FNB G
第一节 平面汇交力系
B F
a C
Fx
O
Fx
x
Fx=±Fcosa
Fy=±Fsina
y
b1
C
Fy
a1 B
Fx
A
F a
Fy
O
Fx
x
F Fx2 Fy2
tana Fy / Fx
第一节 平面汇交力系
2．合力投影定理
ad=ab+bc-cd 即 Fx=F1x+F2x+F3x Fy=F1y+F2y+F3y
第一节 平面汇交力系
c) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。
d) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
第三节 平面力偶系
二. 平面力偶系的合成和平衡条件
1.平面力偶系的合成 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
M o (Fn ) Fn h Fn r cosa
2）合力矩定理 将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr， 即
Fn Ft Fr
由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Ft r 0
静力学-平面力对点之矩 平面力偶
M
0 Fi
即: 合力之矩等于各分力之矩的代数和. 适用于任何有合
力存在的力系
力系使物体绕O1点. 计转算动力矩 M 0 Fi
等效
M
0 FR
M
0
Fi
2. 确定一些复杂载荷的合力
合力使物体绕O点转动 M 0 FR
例： A
P
Pcosα α
B
Psinα
a
b
求: M A P , M B P ?
M
M
M M
F
F´
M
M
2-2 平面力对点之矩 平面力偶
●力偶的性质
1.力偶不能合成为一个力，即力偶不能与一个力等效替换。
2.力偶不能与一个力平衡。
力偶(couple)
3.力偶自身不能平衡。
4.力偶只能与力偶平衡。 5.力偶对物体只有转动效应。
无合力和合力为零是不同的概念
例： 力偶 (couple)
性质以及相关计算。
② 合力矩定理及其应用
③ 平面力偶系的平衡问题计算。
作业
2-10
2-11
2-13
求: 两个平行力的合力 FR
① 同向
B
A Cα
② 反向
FB
C
A α
B
FA
FR
FB
大小: F R F A F B
FR
(FA FB ) FA
大小: F R F A F B
FR
方向: 同FA、FB
FR
作用线位置 : AC FB (内分线段)
方向: 同 FA 作用线位置 : AC FB (外分线段)
第二章 平面力系
Planar Force System
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§2-2 平面力对点之矩·平面力偶
平面内有一力 F ，任取一参 考点O，设点O到力的作用 线的垂直距离为h，则定义：
1、平面力矩 M O F F h 2 AOAB
力臂h，矩心O（具体问题中取特殊点）
具有两个要素：大小与方向 方向规定：逆时针方向为正。 国际单位：Nm或KNm 设F 相对O的位置矢径为 r，则力矩矢量M O F r F 方向按右手螺旋定则。
x
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶
4、平面力偶 由两个等值、反向、相距为d的平行力组成。 如司机转动方向盘、钳工攻丝等。
显然：这两个力平行但不共线，不能相互平衡，也不能求合力或用一个力 来等效替换。因此，力和力偶是静力学中两个并列的基本概念。
平衡时： M O Fi 0 因此，可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 3、力矩的解析表达式 已知：力F 、作用点A(x,y)及夹角θ，则
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
1
1
1
7、平面力偶系平衡的充要条件 是所有力偶矩的代数和为零，即
M FR d d Fi Fi d M i
M
i
0
M O1 F , F M O1 F M O1 F M O2 F , F F d x2 F x2 F ' d Fd F d x1 F x1 Fd
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 5、力偶与力偶矩的性质 1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零； 2）力偶对任一点取矩都等于力偶矩，力偶无矩心； 3）力偶与其作用位置无关，可在作用面内任意移转，而不改变其 对刚体的作用； 4）只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，可以同时改变力偶
力偶的作用效果：使物体转动。 力偶矩大小：M Fd 2 AABC
d为力偶臂，力偶中二力垂直距离。
方向规定：逆时针方向为正。 作用面：在二力所在平面。 国际单位：Nm或KNm
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 5、力偶与力偶矩的性质 1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零； 2）力偶对任一点取矩都等于力偶矩，力偶无矩心；
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 2、合力矩定理 设空间力系 (F1, F2 , Fn ) 汇交于A点， 相对O的位置矢径为 r ，则
r FR r Fi FR Fi
即M O FR M O Fi 即合力矩定理
对于平面汇交力系：M O FR M O Fi
中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用；
5）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 M1 6、平面力偶系的合成 F ,M Fd
已知： M1 , M 2 , M n 求M，任选一力偶臂d，则
d M2 F2 , M 2 F2 d d Mn Fn , M n Fn d d FR Fi
平面内有一力 F ，任取一参 考点O，设点O到力的作用 线的垂直距离为h，则定义：
1、平面力矩 M O F F h 2 AOAB
力臂h，矩心O（具体问题中取特殊点）
具有两个要素：大小与方向 方向规定：逆时针方向为正。 国际单位：Nm或KNm 设F 相对O的位置矢径为 r，则力矩矢量M O F r F 方向按右手螺旋定则。
x
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶
4、平面力偶 由两个等值、反向、相距为d的平行力组成。 如司机转动方向盘、钳工攻丝等。
显然：这两个力平行但不共线，不能相互平衡，也不能求合力或用一个力 来等效替换。因此，力和力偶是静力学中两个并列的基本概念。
平衡时： M O Fi 0 因此，可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 3、力矩的解析表达式 已知：力F 、作用点A(x,y)及夹角θ，则
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
1
1
1
7、平面力偶系平衡的充要条件 是所有力偶矩的代数和为零，即
M FR d d Fi Fi d M i
M
i
0
M O1 F , F M O1 F M O1 F M O2 F , F F d x2 F x2 F ' d Fd F d x1 F x1 Fd
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 5、力偶与力偶矩的性质 1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零； 2）力偶对任一点取矩都等于力偶矩，力偶无矩心； 3）力偶与其作用位置无关，可在作用面内任意移转，而不改变其 对刚体的作用； 4）只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，可以同时改变力偶
力偶的作用效果：使物体转动。 力偶矩大小：M Fd 2 AABC
d为力偶臂，力偶中二力垂直距离。
方向规定：逆时针方向为正。 作用面：在二力所在平面。 国际单位：Nm或KNm
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 5、力偶与力偶矩的性质 1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零； 2）力偶对任一点取矩都等于力偶矩，力偶无矩心；
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 2、合力矩定理 设空间力系 (F1, F2 , Fn ) 汇交于A点， 相对O的位置矢径为 r ，则
r FR r Fi FR Fi
即M O FR M O Fi 即合力矩定理
对于平面汇交力系：M O FR M O Fi
中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用；
5）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
§2-2 平面力对点之矩·平面力偶 M1 6、平面力偶系的合成 F ,M Fd
已知： M1 , M 2 , M n 求M，任选一力偶臂d，则
d M2 F2 , M 2 F2 d d Mn Fn , M n Fn d d FR Fi