2019年高考理数二轮复习名校资料专题10 数列求和及其应用 教学案 Word版含解析

2019年高考理数二轮复习名校资料

高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．

1．数列求和的方法技巧

(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．

(2)错位相减法

这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}、{b n}分别是等差数列和等比数列．

(3)倒序相加法

这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．

(4)裂项相消法

利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．

(5)分组转化求和法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．

2．数列的综合问题

(1)等差数列与等比数列的综合．

(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．

(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．

数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.

【误区警示】

1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．

2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．

高频考点一数列求和

例1、（2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已

知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.

（II）（i）由（I），有，

故.

（ii）因为，

所以

【变式探究】【2017江苏，19】对于给定的正整数k,若数列{}

a满足

n

2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;

（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则，

从而，当4n ≥时，

， 1,2,3,k =

所以

，

因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.

（2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时，，①

当4n ≥时，.②

由①知，

()1n n a a ++，③

()1n n a a -+，④

将③④代入②，得，其中4n ≥，

所以345,,,

a a a 是等差数列，设其公差为'd .

在①中，取4n =，则，所以23'a a d =-， 在①中，取3n =，则，所以

，

所以数列{}n a 是等差数列.

【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；

(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．

解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1

＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.

又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －

1，n ∈N *.

(2)设b n ＝|3n －

1－n －2|，n ∈N *，

则b 1＝2，b 2＝1.

当n ≥3时，由于3n －

1>n ＋2，

故b n ＝3n －

1－n －2，n ≥3.

设数列{b n }的前n 项和为T n ， 则T 1＝2，T 2＝3，

当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －

2）1－3

－（n ＋7）（n －2）

2＝

3n －n 2－5n ＋11

2

，

∴T n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2

－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *

. 【举一反三】若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和，对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n .

（Ⅱ）令

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）21n a n =-.

（II ），（或）

【解析】 (I ）因为，

，

由题意，得，

解得11a =， 所以21n a n =-.

（II ）

当n 为偶数时，

1121n =-

+221

n

n =

+ 当n 为奇数时，

1121n =++22

21

n n +=

+ 所以，（或）

【考点定位】等差数列的前n 项和、等比数列及其性质

6. 【2014高考上海理科第23题】已知数列{}n a 满足.

（1）若

，求x 的取值范围；

（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，，

求q 的取

值范围；

（3）若成等差数列，且

，求正整数k 的最大值，以及k 取最

大值时相应数列

的公差.

【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k 的最大值为1999，此时公差为11999

d =-. 【解析】

（1）由题得，

（2）由题得，∵

，且数列{}n a 是等比数列，11a =，