ch2-9

2
二维随机变量(X, Y) 的联合分布函数：
F ( x , y ) P ( X x , Y y ), ( x , y )
y y
x, y
一维随机变量X的 分布函数：
x
O
X ,Y
x
F ( x ) P( X x )
x
将二维随机变量(X, Y)看成是平面上随机点的坐标, 则分布 函数F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点 左下方的无穷矩形域内的概率。
F () 1
x, y
O
X ,Y
x x
6
（3） F(x, y)关于 x （或 y）都右连续，
F ( x0 0, y) F ( x0 , y); F ( x, y0 0) F ( x, y0 )
一维r.v. X 的分布函数 F(x) 右连续
7
二、二维离散型随机变量及其联合概率分布 (X,Y)可能取的值是有限对或可列无限对。 (X,Y) 的分布律或 X与 Y 的联合（概率）分布律为：
i j 4 i j
C
10
其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4； 2 i+j 4.
由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：
11
X
0 1 2 3
Y
0 0 0
3 210 2 210
பைடு நூலகம்
1 0
15 210 30 210
5 210
2
10 210 60 210 30 210
3
20 210 30 210
2 2 2
其中C 为常数。
则



f x , y dxdy C dxdy Cr 2 1
R
1 C 2 r
1 , f x , y r 2 0,
x2 y2 r 2 , x2 y2 r 2 .
15
补例：设 (X,Y）的概率密度函数为：
则称(X,Y）为二维连续型随机变量。 f(x,y)称为(X,Y )的概率密度函数或X与Y 的联合概率密度。 概率密度的性质： （1）非负性
f ( x, y ) 0 x, y
f ( x ) 0;
13
（2）规范性



f x, y dxdy 1
当0 x 且0 y 时，
F ( x, y )
0

x
0
e
( u v )
dudv 0 e dv0 e
y v x
u
du
(1 e x )(1 e y )
显然，F(x,y)=0 当x 0或y 0时，
1 ex 1 e y F x, y 0
1 解： P ( X 1, Y 1) 0 0, 3 1 1 P ( X 1, Y 2) 1 , 3 3
2 1 1 P ( X 2, Y 1) , 3 2 3 2 1 1 P ( X 2, Y 2 ) , 3 2 3
所以，(X,Y)的联合概率分 布（列）为：
§2.9 二维随机变量的联合分布
二维随机变量及其联合分布函数 二维离散型随机变量及其联合概率分布 二维连续型随机变量及其联合概率密度 小结
1
一、二维随机变量及其联合分布函数 事实：有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用 几个随机变量来描述. 例1：在打靶时,命中点的位置是由一 对r .v (两个坐标)来确定的. 例2：飞机的重心在空中的位置是由三 个r .v (三个坐标)来确定的. 二维随机变量：（X, Y ）
4
性质： （1）F(x,y)是变量 x (或 y) 的单调非减函数， 即对任意固定的y, 若 x1 x2 , 则F ( x1 , y ) F ( x2 , y ); 同样对任意固定的x, 若 y1 y2 , 则F ( x, y1 ) F ( x, y2 ).
y
F(x)是不减函数
x1 , y
P ( X x i , Y y j ) pij , i , j 1,2,3,
性质：（1） pij 0 （2） pij 1
i j
P( X xi ) p( xi ), i 1 , 2
p( xi ) 0;
p( x ) 1.
i
8
(X,Y) 的分布列或 X与 Y 的联合（概率）分布列为：
3. 二维连续型
F ( x, y )
y


x
f (u, v ) dudv , x, y
19



f ( x )dx 1
（3） 设F( x , y )具有连续二阶混合偏导数，则
f x , y Fxy x , y .
对于平面上任一可求积分区域G： （4）
P X , Y G
f ( x ) F ( x )
f x , y dxdy .
X x1 x2
Y
y1 p11 p21
y2 p12 p22 …
… …
… … … …
yn p1n p2n …
… … … …
…
… xm …
pm1
…
pm2
…
pmn …
… …
9
补例：一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，无放 回取球两次，以X、Y 分别记第一次、第二次取得的球上 标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。
G
( x , y )落在平面域G内的概率
P ( x1 X x 2 )
x
x2
1
f ( x ) dx
14
例2 设二维随机变量 ( X,Y) 在以原点为中心, r 为半径的圆域
R 上服从均匀分布，求（X,Y）的联合概率密度。
C , 解： 由已知得 f x , y 0, x2 y2 r 2 , x y r .
1 y
0
e ( x y ) dxdy
e dy
1 y 0
0
e x dx
)dy
y
x y1
e (1 e
y 1
(e
1 0
y
e )dy
1
x
1 2e 1
17
（3） F ( x , y )

y
y
x

f ( u, v ) dudv
ce ( x y )，当0 x , y f x, y 其它 0.
（1）确定常数c； （2）求 P X Y 1;（3）求分布函数F(x, y)。
（1） f ( x, y ) dxdy 1 解：



0


0
ce
( x y )
dxdy c
y

0
(e
( x y )
)
0
dy
c e dy c(e ) 0 0
y

c1
c 1
16
（2） P X Y 1
x y 1

1 0
f ( x , y ) dxdy
y 1 y

1 0



0 x , y 其它
18
四、小结
1. 联合分布函数
F ( x , y ) P ( X x , Y y ), ( x , y )
2. 二维离散型
P ( X x i , Y y j ) pij , i , j 1,2,3,
x1
y
x2 , y
x2
X ,Y
O
x
X ,Y
5
（2） 0 F ( x , y ) 1,
0 F ( x ) 1,
F ( , y ) 0,
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( ,) 1.
y y
F ( ) 0
X
Y
1
0
1 3
2
1 3 1 3
10
1
2
例1： 10件产品中有3件一等品， 5件二等品，2件三等品。从 中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。 解: 设 X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，
则有联合概率函数：
P X i ,Y j C 3 C 5 C 2 4
3
P x1 X x2 , y1 Y y2
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
y
y2
X ,Y
x1
O
x2
x
y1
P x1 X x2 F x2 F x1
4
5 210
0 0 0
0 0
0
12
三、二维连续型随机变量及其联合概率密度
定义 若二维随机变量（X,Y）的分布函数 F ( x , y ) P ( X x, Y y ) 可表示成一个非负可积函数f (x,y)的积分：
F ( x, y )
y


x
f (u, v ) dudv , x, y