2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第五章 第8讲 数学归纳法

3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形有对角线数 f(n ＋1)为( C ) A．f(n)＋n＋1
C．f(n)＋n－1
B．f(n)＋n
D．f(n)＋n－2
4．若不等式 2n>n2＋1对于n≥n0的正整数 n 都成立，则 5 n0 的最小值为_______.
考点1
对数学归纳法的两个步骤的认识
x2k＋2－y2k＋2＝x2· x2k－y2· y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．
●难点突破● ⊙数学归纳法的应用 例题： (2014 年广东 ) 设数列 {an} 的前 n 和为 Sn ，满足 Sn ＝ 2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值；
得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，
∴当n＝k＋1时命题成立． 根据(1)(2)可知，∀n∈N*，命题都成立．
【互动探究】 4．求证：二项式 x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当n＝1时， x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那 么当n＝k＋1时，
例 1：(1)对于不等式 n2＋n ≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过 程如下： ①当 n＝1 时， 12＋1≤1＋1，不等式成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时不等式成立，即 k2＋k≤k＋1，则 n＝k＋1 时， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2< k2＋3k＋2＋k＋2＝ k＋22＝(k＋1)＋1. ∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．
上述证法(
)
A．过程全都正确
B．n＝1 验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确
解析：上述证明过程中，在由n＝k 变化到n＝k＋1 时，不
等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选 D. 答案：D
1 1 1 (2)用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n∈N*，n>1) 2 3 2 －1 时，第一步应验证不等式( ) 1 1 1 A．1＋ <2 B．1＋ ＋ <2 2 2 3 1 1 1 1 1 C．1＋ ＋ <3 D．1＋ ＋ ＋ <3 2 3 2 3 4
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k.解得ak＋1＝2k＋3. ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立． 由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1. 【规律方法】猜想an＝2n＋1；根据猜想求出Sk；再利用 Sk＝2kak＋1－3k2－4k求出ak＋1；验证ak＋1也满足猜想，得出结
方法二：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成 立． (2) 假设当 n ＝ k(k≥1 ， k∈N*) 时， f(k) ＝ 32k ＋ 2 － 8k － 9 能被 64整除．
由归纳假设，设32k＋ 2 －8k －9 ＝64m(m为大于 1 的自然数) ，
将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中，
1 答案： 2k＋12k＋2
考点2
用数学归纳法证明恒等式命题
例2：是否存在常数 a，b，c，使等式 1×22＋2×32＋„＋
nn＋1 2 n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切正整数 n 都成立？证明你 12
2
的结论． 思维点拨：从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有 3 个未知数，先取 n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法 对一切 n∈N*，等式都成立．
k＋1k＋2 ＝ [k(3k＋5)＋12(k＋2)] 12 k＋1k＋2 ＝ [3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12 ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．
【规律方法】这是一个探索性命题，“归纳—猜想—证明” 是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题 特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后 进行严密的论证.从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3 个未知数，先取n＝1，2，3，列方程组求得，然后用数学归纳 法对一切n∈N*，等式都成立.
(1)当 n＝1 时，由上面可知等式成立．
(2)假设 n＝k 时等式成立，
即 1×22＋2×32＋„＋k(k＋1)2
kk＋1 2 ＝ (3k ＋11k＋10)， 12
则1×22＋2×32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
kk＋1 2 ＝ (3k ＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12 kk＋1 ＝ (3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2 12
(2)求数列{an}的通项公式．
解：S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20.
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上所述，a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1， ①当n＝1时，结论显然成立； ②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1， 则Sk＝3＋5＋7＋(2k＋1)＝ 3＋2k＋1 ×k＝k(k＋2)． 2
论.
k2k＋3＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3
2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ ， 2k＋12k＋3 2k＋3 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈等式都成立．
考点3 用数学归纳法证明整除性命题 例3：试证：当n 为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被 64 整除． 证明：方法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时， f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9· 8k＋9· 9－ 8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)， 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， ∴n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．
解析：∵n∈N*，n>1，∴n 取的第一个数为 2，左端分母最 1 1 大的项为 2 ＝3.故选 B. 2 －1
答案：B
【规律方法】用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个
方面：①n 的范围以及递推的起点；②观察首末两项的次数或
其他，确定n＝k 时命题的形式fk；③从fk＋1和fk的差异，
1 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条 2
条时，第一步检验第一个值 n0 等于( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
1 1 1 2．用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋„＋ n <n，(n∈N*， 2 3 2 －1
且 n>1)时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( A ) A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1
第8讲
数学归纳法
1．掌握“归纳—猜想—证明”这一基本思路． 2．了解数学归纳法的基本原理． 3．能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题．
1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基 (或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可． 2．用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题， 其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何 问题等．
a＋b＋c＝24， 解：把 n＝1,2,3 代入得方程组 4a＋2b＋c＝44， 9a＋3b＋c＝70， a＝3， 解得 b＝11， c＝10. nn＋1 2 2 2 2 猜想：等式1×2 ＋2×3 ＋„＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n
12 ＋10)对一切 n∈N*都成立．
下面用数学归纳法证明：
【互动探究】 3．用数学归纳法证明：当 n∈N*时， 1 n ＝ . 2n－12n＋1 2n＋1 证明：(1)当n＝1 时，左边＝ 1 1 ＋ ＋„＋ 1×3 3×5
1 1 ＝ ， 1×3 3
右边＝
1 1 ＝ ，左边＝右边，所以等式成立． 2×1＋1 3
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 k 1 1 1 ＋„＋ ＋ ＝ ， 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋„＋ ＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3
1 1 1 13 ＋ ＋„＋ 2．用数学归纳法证明不等式 > —的 n＋1 n＋2 n＋n 24 过 程中 ， 由 k 推 导到 k ＋ 1 时 ，不等式左 边增加 的 式子 是 .
1 1 解析： 求 f(k＋1)－f(k)即可． 当 n＝k 时， 左边＝ ＋ k＋1 k＋2 1 1 1 ＋„＋ .当 n＝k＋1 时，左边＝ ＋ ＋„＋ k＋k k＋2 k＋3 1 1 1 1 . 故左边增加的式子是 ＋ － ，即 k＋1＋k＋1 2k＋1 2k＋2 k＋1 1 . 2k＋12k＋2
寻找由k 到 k＋1 递推中，左边要加或乘的式子.
【互动探究】
1－an＋1 1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋„＋an＝ (a≠1， 1－a
n∈N*)时，在验证 n＝1 时，左边计算所得的式子是( B )
A．1
C．1＋a＋a2
B．1＋a
D．1＋a＋a2＋a4
解析：n＝1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a， 左边是 1＋a.