2015年江宁区数学二模卷及答案
2015南京二模卷数学
2015届高三模拟考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i .锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知复数z ＝2i1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．2. 经统计，某银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：(第4题)则该窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．3. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．4. 右图是一个算法流程图，则输出k 的值是________．5. 如下图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是________．6. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合 B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．8. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为________．9. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________．10. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________．11. 若将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是________．12. 已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．14. 已知a ，t 为正实数，函数f(x)＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t]，都有f(x)∈[－a ，a]．对每一个正实数a ，记t 的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA. (1) 求角A 的值；(2) 求sinB ＋sinC 的取值范围．在四棱锥PABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点．求证： (1) BE ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.17. (本小题满分14分)如图，摩天轮的半径OA 为50 m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240 m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60 m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ∈(0，π)．(1) 当θ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；(2) 试确定θ的值，使得∠MPN 取得最大值．在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m.(1) 已知点⎝⎛⎭⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；(2) 已知定点A(－2，0)． ① 若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ② 当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值．已知函数f(x)＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝lnx.(1) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；(2) 直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的非负实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n＋S 1)2＝4a 2m a 2n .(1) 求a 2a 1的值；(2) 求证：{a n }为等比数列；(3) 已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p(p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意的正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .2015届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB ，AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，求证：BE·CD ＝BD·CE.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x－y ＋2a ＝0.(1) 求实数a 的值； (2) 求A 2.C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y 满足x>y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝233，AB＝1，BD ＝PA ＝2.(1) 求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； (2) 求二面角APDC 的余弦值．23. 已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n}(n ≥3，n ∈N *)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f(n)．(1) 求f(3)，f(4)；(2) 求f(n)(用含n 的式子表示)．2015届高三模拟考试试卷(一)(南京)数学参考答案及评分标准1. 52. 0.743. 44. 65. 甲6. (－∞，－3]7. 438. 129. 119 10. 9 11. 3212. 4313. ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 14. (0，1)∪{2} 15. 解：(1) 因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB.从而sinB ＝2sinBcosA.(4分) 因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(7分)(2) sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.(11分) 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6.所以sinB ＋sinC 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，3.(14分)16. 证明：(1) 取PD 的中点F ，连结EF ，CF. 因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD.因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC.所以四边形BCFE 为平行四边形． 所以BE ∥CF.(4分)因为BE Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ， 所以BE ∥平面PCD.(6分)(2) 因为AB ＝PB ，E 为PA 的中点，所以PA ⊥BE. 因为BE ∥CF ，所以PA ⊥CF.(9分)因为PA ⊥PD ，PD Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ，PD ∩CF ＝F ， 所以PA ⊥平面PCD.(12分)因为PA Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得PQ ＝50－50cos θ .从而，当θ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75.即点P 距地面的高度PQ 为75 m ．(4分)(2) (方法1)由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ . 又PQ ＝50－50cos θ ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ .(6分)从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ＝6－sin θ1－cos θ－6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ×6－5sin θ5－5cos θ＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ .(9分)令g(θ)＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ ，θ ∈(0，π)，则g′(θ)＝12×18（sin θ＋cos θ－1）（23－18sin θ－5cos θ）2，θ ∈(0，π)．由g′(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ－1＝0，解得θ ＝π2.(11分)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(θ )＞0，g(θ )为增函数；当θ ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(θ )＜0，g(θ)为减函数，所以，当θ ＝π2时，g(θ )有极大值，也为最大值．因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2， 从而当g(θ)＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ＝π2时，∠MPN 取得最大值．(14分) (方法2)以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M(60，0)，N(300，0)．设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 20＋y 20－100y 0＝0. 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 .(6分)从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ＝300－x 0y 0－60－x 0y 01＋300－x 0y 0×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1 800 .由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ .(9分)(下同方法1)18. (1) 解：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，（m ＋1）－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1.所以椭圆的方程为x 2m ＋1＋y 2m＝1.因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫62，1，所以32（m ＋1）＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12 (舍去)． 所以m ＝2.(4分)(2) ① 解：设点T(x ，y)． 由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2.(6分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1，得y 2＝m 2－m.因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2. 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎡⎦⎤33，22.(10分)② 证明：(方法1)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．则AM →＝(x 0＋2，y 0)，AP →＝(x 1＋2，y 1)．由AM →＝λAP →， 得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ（x 1＋2），y 0＝λy 1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2（λ－1），y 0＝λy 1.(12分)因为x 202＋y 20＝1，所以[λx 1＋2（λ－1）]22＋(λy 1)2＝1.即λ2⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0. 因为 x 212＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0. 由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32. 同理可得x 0＝－μ＋32.(14分)因此λ－32＝－μ＋32，所以λ＋μ＝6.(16分)(方法2)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得⎣⎡⎦⎤12（x 0＋2）2＋y 20x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2 ＝0(*)． 因为x 202＋y 20＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0.因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3.同理x 2＝3x 0－42x 0－3.(14分)因为AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝（x 0＋2）（2x 0＋3）x 0＋2＋（x 0－2）（2x 0－3）－x 0＋2＝6.即λ＋μ为定值6.(16分)19. (1) 证明：由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 2－x ＋t ＋lnx ，得h′ (x)＝2x －1＋1x ，x ＞0.因为2x ＋1x≥22x·1x＝22，所以h′(x)＞0, 从而函数h(x)是增函数．(3分) (2) 解：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1，x 21－x 1＋t)，(x 2，lnx 2)，由f′(x)＝2x －1，得l 的方程为y －(x 21－x 1＋t)＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 21＋t. 由g′(x)＝1x ，得l 的方程为y －lnx 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋lnx 2－1.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1＝1x 2，－x 21＋t ＝lnx 2－1.(*)消去x 1得lnx 2＋（1＋x 2）24x 22－(t ＋1)＝0 (**)．(7分)令F(x)＝lnx ＋（1＋x ）24x 2－(t ＋1)，则F′(x)＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝（2x ＋1）（x －1）2x 3，x ＞0.由F′(x)＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，F ′(x)＜0，当x ＞1时，F ′(x)＞0，所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)min ＝F(1)＝－t.(9分) 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解， 即存在唯一一条满足题意的直线；(11分)当t ＞0时，F(1)＜0，由于F(e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0， 故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解；(13分)令k(x)＝lnx ＋1x －1(x ≤1)，由于k′ (x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx ＞1－1x，从而lnx ＋（1＋x ）24x 2 －(t ＋1)＞⎝⎛⎭⎫12x －122－t.所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12（t ＋1）＞⎝⎛⎭⎫t ＋122－t ＝t ＋14＞0. 又0＜12（t ＋1）＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2.(16分)20. (1) 解：由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22. 因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2.(3分)(2) 证明：(方法1)令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4. 所以a 4＝4a 2＝8a 1.因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1.(6分)由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4. 两式相除，得（S n ＋2＋S 1）2（S n ＋1＋S 1）2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2. 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *.显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分) (方法2)在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中， 令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n .①令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ，② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2.③②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )，④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )，⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.⑥ (8分)⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2.又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *. 显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分)(3) 证明：由(2)知，a n ＝a 1·2n －1.因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p . 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0.R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0. 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p . 从而T p －1＝R p －1.由上证明，同理可得c p －1＝d p －1.如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3.…，c 1＝d 1. 即对任意正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：因为AB 是圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠AEB. 因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAD ∽△EAB. 所以BD BE ＝ABAE .(5分)同理，CD CE ＝AC AE.因为AB ，AC 是圆O 的切线，所以AB ＝AC. 因此BD BE ＝CDCE，即BE· CD ＝BD· CE.(10分)B. 解：(1) 设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上点M(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.(3分) 代入l′方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0. 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2aa －1＝4，解得a ＝2.(6分) (2) 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.(10分)C. 解： 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以A(0，0)，B(2，2)． 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y.(7分) 将其化为极坐标方程为ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(10分) D. 证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而 左边＝(x －y)＋(x －y)＋1（x －y ）2＋2y ≥33（x －y ）×（x －y ）×1（x －y ）2＋2y ＝2y ＋3＝右边．即原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AD ⊥AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝ 3.所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，233，0，P(0，0，2).从而BD →＝(－1，3，0)，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2.(3分) 设异面直线BD ，PC 所成角为θ ， 则cos θ＝|cos 〈BD →，PC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD →·PC →|BD →|·|PC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1，3，0）·⎝⎛⎭⎫1，233，－22×193＝5738. 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738.(5分) (2) 因为AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为 AB →＝(1，0，0). 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z),由n ⊥PC →，n ⊥PD →，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2，PD →＝(0，3，－2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z.不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)．(8分)设二面角APDC 的大小为φ，则cos φ＝cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →|×|n |＝（1，0，0）·（2，23，3）1×5＝25.即二面角APDC 的余弦值为25.(10分)23. 解：(1) f(3)＝1，f(4)＝2.(2分) (2) 设A 0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p ，p ∈N *，p ≤n 3，A 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p －1，p ∈N *，p ≤n ＋13， A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p －2，p ∈N *，p ≤n ＋23， 它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣.(4分) ① 当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.k ＝1，2时，f(n)＝(C 1k )3＝k 3； k ≥3时，f(n)＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k. 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N *.(6分)② 当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.k ＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；k ＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f(n)＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1(C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N *.(8分)③ 当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k.k ＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f(n)＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N *.所以f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N *，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N *，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N *.(10分)。
[精品]2015年江苏省南京市江宁区中考数学二模试卷与参考答案
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2015年江苏省南京市江宁区中考数学二模试卷一、选择题：（每小题2分，共12分）1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列事件是必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．单项式加上单项式，和为多项式C．打开电视机，正在播广告D．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同3．（2分）函数y=，自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤24．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式中正确的是（）A．﹣a＞b B．﹣a＜b C．﹣a＞﹣b D．a＞﹣b5．（2分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D 四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣16．（2分）若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（）A．p＜m＜n＜q B．m＜p＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）8．（2分）计算（+2）（﹣2）结果是．9．（2分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是度．10．（2分）正比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，1）、（1，y1）、（2，y2），则y1 y2（填“＜”或“＞”）．11．（2分）函数y=x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．12．（2分）已知棱柱的侧棱长为6，俯视图是边长为4的等边三角形，则此棱柱的侧面积为．13．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=°．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，AC=12，OD⊥AC，垂足为D，则OD的长为．15．（2分）如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为．16．（2分）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（6分）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（6分）解方程组：．19．（6分）计算：÷．20．（8分）一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：（公式：方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中是平均数．）（1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差．（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=．（说明：标准差为方差的算术平方根）从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？21．（8分）某校举行班级网球对抗赛，每个班级选派一对男女混合双打选手参赛，九年级一班准备在小明、小亮两名男选手和小敏、小颖、小丽三名女选手中，选择男、女选手各一名组成一对参赛．（1）列出所有可能的配对结果；（2）如果小明与小丽、小亮与小敏是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？22．（8分）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．23．（8分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH，（1）求证：四边形EBFC是菱形；（2）如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF．24．（9分）在数学活动课上，为测量教学楼前的一座雕塑AB的高度．小明在二楼C处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的仰角为30°，底部B处的俯角为45°，小华在五楼D处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的俯角为60°．若CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）．25．（9分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）26．（10分）如图，以菱形ABCD的顶点C为圆心画⊙C，⊙C与AB相切于点G，与BC、CD分别相交于点E、F．（1）求证：AD与⊙C相切；（2）如果∠A=135°，AB=，现用扇形CEF做成圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径．27．（10分）如图①，直线l1、l2相交于点O，长为2的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，且∠APB=30°．（1）请在图①中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；（2）若直线l1、l2的夹角为60°，线段AB在直线l2上左右移动．①当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．2015年江苏省南京市江宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题2分，共12分）1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：A、不是中心对称，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称，故此选项错误；C、是中心对称，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．（2分）下列事件是必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．单项式加上单项式，和为多项式C．打开电视机，正在播广告D．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；B、单项式加上单项式，和为多项式是随机事件；C、打开电视机，正在播广告是随机事件；D、13名同学中至少有两名同学的出生月份相同，因为一年又12个月，所以是必然事件，故选：D．3．（2分）函数y=，自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．4．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式中正确的是（）A．﹣a＞b B．﹣a＜b C．﹣a＞﹣b D．a＞﹣b【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．【解答】解：由图可知，b＜0，a＞0，且|b|＞|a|，∴﹣a＜0，∴﹣a＞b．故选：A．5．（2分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D 四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y=x和y=﹣x对称．【解答】解：把x=1代入y=，得y=3，故A点坐标为（1，3）；∵A、B关于y=x对称，则B点坐标为（3，1）；又∵B和C关于原点对称，∴C点坐标为（﹣3，﹣1），∴点C的横坐标为﹣3．故选：B．6．（2分）若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（）A．p＜m＜n＜q B．m＜p＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n【分析】首先画出y=x2+ax+b和y=2的图象，然后结合图象选择正确答案即可．【解答】解：函数y=x2+ax+b如图所示：结合图象可知：p＜m＜n＜q．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）写出大于﹣2的一个负数：﹣1．【分析】根据有理数的大小比较法则和负数的意义找出即可．【解答】解：大于﹣2的负数有﹣1，﹣0.9等，故答案为：﹣1（答案不唯一）．8．（2分）计算（+2）（﹣2）结果是1．【分析】根据平方差公式计算．【解答】解：原式=（）2﹣22=5﹣4=1．故答案为1．9．（2分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是55度．【分析】先根据直角定义求出∠1的余角，再利用两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1=35°，∴∠3=90°﹣∠1=55°，∵直尺两边平行，∴∠2=∠3=55°（两直线平行，同位角相等）．故答案为：55°．10．（2分）正比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，1）、（1，y1）、（2，y2），则y1＞y2（填“＜”或“＞”）．【分析】先得出正比例函数的解析式为y=﹣x，根据k=﹣得出y随x的增大而减小，根据2＞1即可推出y1＞y2．【解答】解：把点（﹣2，1）代入正比例函数y=kx中，可得：y=﹣x，∵k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小，∵2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．11．（2分）函数y=x2﹣2x+2的图象顶点坐标是（1，1）．【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点式形式，即可得出顶点坐标．【解答】解：y=x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，∵抛物线开口向上，当x=1时，y=1，最小∴顶点坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．12．（2分）已知棱柱的侧棱长为6，俯视图是边长为4的等边三角形，则此棱柱的侧面积为72．【分析】根据棱柱俯视图是等边三角形，可以确定此棱柱是三棱柱，根据矩形面积公式计算即可．【解答】解：由题意得，此棱柱是三棱柱，∴此棱柱的侧面积为：4×6×3=72，故答案为：72．13．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= 100°．【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．【解答】解：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，AC=12，OD⊥AC，垂足为D，则OD的长为．【分析】先根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出BC=5，由于OD⊥AC，根据垂径定理得到AD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，于是根据三角形中位线定理易得OD=BC=．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=12，∴BC==5，∵OD⊥AC，∴AD=CD，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=BC=．故答案为．15．（2分）如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为4．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A′BC′，A′B=AB=4，所以△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC=S△A′BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴△ABC≌△A′BC′，∴A′B=AB=4，∴△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，∴S△A′BA=×4×2=4，又∵S阴影=S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′=S△ABC，∴S阴影=S△A′BA=4．故答案为：4．16．（2分）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是4≤d．【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围．【解答】解：如图，当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，PO==5﹣1=4．当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，由正方形的性质可知：OB=BD=×==5．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE==．OE=OB﹣BE=5﹣=4．所以4≤d．故答案为：4≤d．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（6分）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．【解答】解：去分母得；2x+3（x﹣3）≤6，整理得：2x+3x﹣9≤6，5x≤15，x≤3，将解集在数轴上表示为：．18．（6分）解方程组：．【分析】此题x、y的系数较小，故可用加减消元法或代入消元法求解．【解答】解：方法一：②×2，得2x+4y=10，③③﹣①，得3y=6，解这个方程，得y=2，将y=2代入①，得x=1，所以原方程组的解是：．方法二：由①，得y=4﹣2x，③将③代入②，得x+2（4﹣2x）=5，解这个方程，得x=1，将x=1代入③，得y=2，所以原方程组的解是．19．（6分）计算：÷．【分析】首先把括号内的分式华为同分母，然后进行减法运算，把除法转化成乘法运算，然后进行化简即可． 【解答】解：原式=÷=•=2x20．（8分）一次期中考试中，A 、B 、C 、D 、E 五位同学的数学、英语成绩有如下信息：（公式：方差s 2=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，其中是平均数．） （1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=．（说明：标准差为方差的算术平方根）从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【分析】（1）由平均数的概念计算平均数，再根据方差的定义得出即可； （2）根据标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较． 【解答】解：（1）数学成绩的平均分为：；英语成绩的标准差为：[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]=36； 故答案为：70，36；（2）A 同学数学标准分为：，A 同学英语标准分为：，因为＞，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好．21．（8分）某校举行班级网球对抗赛，每个班级选派一对男女混合双打选手参赛，九年级一班准备在小明、小亮两名男选手和小敏、小颖、小丽三名女选手中，选择男、女选手各一名组成一对参赛．（1）列出所有可能的配对结果；（2）如果小明与小丽、小亮与小敏是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？【分析】（1）用枚举法列出所有可能出现的结果；（2）根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）所有配对结果有：小明、小敏；小明、小颖；小明、小丽；小亮、小敏；小亮、小颖；小亮、小丽；（2）∵共有6种等可能结果，最佳组合有2种，∴P（最佳组合）==．22．（8分）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．23．（8分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH，（1）求证：四边形EBFC是菱形；（2）如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF．【分析】（1）根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC是菱形；（2）由（1）得∠2=∠3，再根据∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，从而得出AC⊥CF．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，∴BH=HC．（2分）∵FH=EH，∴四边形EBFC是平行四边形．（2分）又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．（2分）（2）证明：∵四边形EBFC是菱形．∴．（2分）∵AB=AC，AH⊥CB，∴．（1分）∵∠BAC=∠ECF∴∠4=∠3．（1分）∵AH⊥CB∴∠4+∠1+∠2=90°．（1分）∴∠3+∠1+∠2=90°．即：AC⊥CF．（1分）24．（9分）在数学活动课上，为测量教学楼前的一座雕塑AB的高度．小明在二楼C处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的仰角为30°，底部B处的俯角为45°，小华在五楼D处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的俯角为60°．若CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）．【分析】利用锐角三角函数关系得出AE、EC的长，进而利用等腰三角形的性质得出BE的长，即可得出答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E．∵∠D=90°﹣60°=30°，∠ACD=90°﹣30°=60°，∴∠CAD=90°．∵CD=10，∴AC=CD=5．在RT△ACE中，AE=AC•sin∠ACE=5×sin30°=，CE=AC•cos∠ACE=5×cos30°=，在RT△BDE中，∵∠BCE=45°，∴BE=CE•tan45°=，∴AB=AE+BE=+=（+1）≈6.8（米）．答：雕塑AB的高度约为6.8米．25．（9分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）【分析】（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得当0＜x≤5时y=30．当5＜x≤30时，y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．答：该月需售出10辆汽车．26．（10分）如图，以菱形ABCD的顶点C为圆心画⊙C，⊙C与AB相切于点G，与BC、CD分别相交于点E、F．（1）求证：AD与⊙C相切；（2）如果∠A=135°，AB=，现用扇形CEF做成圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径．【分析】（1）连接CG、AC，过点C作CH⊥AD，垂足为H，由AB与⊙C相切，根据切线的性质得到CG⊥AB，根据菱形的性质得到AC平分∠BAD，由角平分线的性质得到CG=CH，于是结论可得；（2）由已知条件∠A=135°，得到∠B=45°，在Rt△CBG中，求得CG=1，根据圆的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CG、AC，过点C作CH⊥AD，垂足为H，∵AB与⊙C相切，∴CG⊥AB，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∴CG=CH，∴AD与⊙C相切；（2）∵∠A=135°，∴∠B=45°，在Rt△CBG中，∵∠B=45°，BC=AB=，∴CG=1，即：R=1，设圆锥底面的半径为r，则2πr=，∴r=，∴圆锥底面圆的半径为．27．（10分）如图①，直线l1、l2相交于点O，长为2的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，且∠APB=30°．（1）请在图①中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；（2）若直线l1、l2的夹角为60°，线段AB在直线l2上左右移动．①当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用圆周角定理进而得出符合条件的点P；（2）①利用当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时以及当直线l1与⊙C 相切于点P，且A在O的左侧时分别得出符合题意的答案；②利用当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3时，当直线l1与⊙C1相切于点P1，与⊙C2相交于点P2、P3时，分别得出即可．【解答】解：（1）如图①：以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l1有两个交点P1、P2，则P1、P2是符合条件的点；（2）①如备用图①，当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB=30°连接CP，过A作AD⊥l1于D则AD=CP=2，∴OA==，如备用图②，当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB=30°连接CP，过B作BE⊥l1于E，则BE=CP=2，∴OB==，∴OA=+2，综上所述，当A在O的右侧，OA=或A在O的左侧，OA=+2时符合条件的点P有且只有一个；②存在，如备用图③，当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3时，连接C2P3，过O作OF⊥BC2于F，则OF=C2P3=2，∴OB==，∴OA=﹣2，如备用图④，当直线l 1与⊙C 1相切于点P 1，与⊙C 2相交于点P 2、P 3时，连接C 1P 1，过A 作AG ⊥l 1于G则AG=C 1P 1=2，∴OA==，综上所述，当A 在O 的右侧，OA=﹣2或A 在O 的左侧，OA=时，符合条件的点P有三个．。
2015年中考数学模拟考试卷(二)含答案
2015年中考数学模拟考试卷（二）（满分：130分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．－15的倒数是( )A．5 B．－5 C．15D．－152．下列运算正确的是( )A．3a－2a＝1 B．x8－x4＝x2C．()222-=-＝－2 D．－(2x2y)3＝－8x6y33．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．4．如图，直线l1∥l2，则∠a为( )A．150°B．140°C．130°D．120°5．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是( )A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形6．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，BD＝5，DC＝2，则DE的长等于( )A．152B．103C．65D．567．在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，九年级参赛的10名学生成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是( )A．众数是90分B．中位数是90分C．平均数是90分D．极差是15分8．下列图中阴影部分的面积与算式2131242-⎛⎫-++⎪⎝⎭的结果相同的是( )9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．对于正数x，规定f(x)＝1xx+，例如f(3)＝33134=+＝，f(13)＝1131413=+，计算f12014⎛⎫⎪⎝⎭＋f12013⎛⎫⎪⎝⎭＋f12012⎛⎫⎪⎝⎭＋…＋f13⎛⎫⎪⎝⎭+ f12⎛⎫⎪⎝⎭＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＋f(2013)+f(2014)的结果是( )A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．人的眼睛可以看见的红光的波长是0.000077 cm，请把这个数用科学记数法表示，其结果是_______cm．12．函数y＝23xyx+=-中自变量x的取值范围是_______．13．分解因式：a3－2a2b＋ab2＝_______．14．圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为_______m．15．如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B'的横坐标是2，则点B的横坐标是_______．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝5，则这个梯形中位线的长等于_______．17．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝12x上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则y＝－abx2＋(a＋b)x的顶点坐标为_______．18．如图，图①为一个长方体，AD＝AB＝10，AE＝6，M为所在棱的中点，图②为图①的表面展开图，则图②中△BCM的面积为_______．三、解答题（本大题共11小题，共76分） 19．（本题满分5分）计算：()()32cos60332π-︒--+---20．（本题满分5分）先化简()222211121a a a a a a +-÷++--+，然后a 在－1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．21．（本题满分5分）求不等式组()3112323x x x ⎧+>-⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．22．（本题满分6分）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2 km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5 min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．(1)求观测点B 到航线l 的距离；(2)求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1km/h ，参考数据：3≈1.73， sin76°≈0.97，cos76°0.24，tan76°≈4.01）23．（本题满分6分）如图，锐角三角形ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB ＝OC ． (1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由．24．（本题满分6分）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有_______人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．25．（本题满分7分）我市农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某果园组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共84 t到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的汽车辆数不超过装运的A、C两种水果的汽车辆数之和．(1)设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)设此次外销活动的利润为Q(百元)，求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．26．（本题满分8分）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点P，NP平分∠MNQ．(1)求证：NQ⊥PQ；(2)若⊙O的半径R＝2，NP＝23，求NQ的长．27．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b(b<0)与坐标轴交于A．B两点，与双曲线y＝kx(x>0)交于点D，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比为12．(1)如果b＝－2，求k的值；(2)试探究k与b的数量关系，并直接写出直线OD的解析式．28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA ＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，求OG的长；(3)对于(2)中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与线段AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29．（本题满分10分）企业的工业废料处理有两种方式：一种是运送到垃圾厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理，某企业去年每月的工业废料均为120 t，由于垃圾厂处于调试阶段，处理能力有限，该企业采取两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向垃圾厂运送的工业废料y1(t)与月份x(1≤x≤6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的工业废料y2(t)与月份x(7≤x≤12，且x取整数)之间满足y2＝ax2＋c(a ≠0)，其图像如图所示．1至6月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝60x，该企业自身处理每吨工业废料的费用z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝45x－5x2；7至12月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用均为120元，该企业自身处理每吨工业废料的费用均为90元．(1)请观察题中的表格和图像，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)求该企业去年哪个月用于工业废料处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费用；(3)今年以来，由于企业的自身设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有工业废料全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的工业废料量都将在去年每月的基础上增加m%，同时每吨工业废料处理的费用将在去年12月份的基础上增加m%．为鼓励节能降耗，减轻企业负担，国家财政对该企业处理工业废料的费用进行了50%的补助，若该企业每月的工业废料处理费用为12150元，求m的值．参考答案1—10 BDCDC BCBDB11．7.7×10－512．x>313．a(a－b)214．615．－2.516．6.517．（3，92）18．50或8019．1 2720．31aa+-原式＝5．21．－2<x≤32－1，0，1．22．(1)3km (2)40.6 km/h23．(1)略(2)点O在∠BAC的角平分线上24．(1)200(人)．(2)60(人)．(3)1 625．(1)92≤x≤10，且x为整数．(2)Q＝－14x＋636，此时应这样安排：A种水果用5辆车，B种水果用14辆车，C种水果用11辆车．26．(1)略(2)NQ＝3．27．(1)k＝12．(2)y＝4 3 x28．(1)y＝－56x2＋136x＋1．(2)1．(3)存在三个满足条件的点Q，即Q(2，2)或Q(1，73)或Q(125，75）．29．y1＝120x(1≤x≤6，且x取整数)．y2＝x2－30(7≤x≤12，且x取整数)．(2)去年5月份用于污水处理的费用最多，最多费用是16800元．(3)50．。
江苏省南京市2015联合体年中考数学二模考试试题
江苏省南京市联合体2015年中考数学二模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣12的相反数是 （ ▲ ）A. -2B.2C. -12D. 122.下列计算正确的是（ ▲ ） A. a 3+a 4=a 7B ．2a 3•a 4=2a 7C ．（2a 4）3=8a 7D ．a 8÷a 2=a 43.为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：每天使用零花钱（单位：元）1 2 3 4 5 人数13655则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ▲ ） A. 3，3B. 3，3.5C. 3.5，3.5D. 3.5，34．小张同学的座右铭是“态度决定一切”，他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上，A. 态B. 度C. 决D. 切A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°6．如图，在矩形中，＝3，＝5，以为圆心为半径画弧交于点，连接，作BF ⊥CE ，垂足为F ，则tan∠FBC 的值为（ ▲ ）A. 12B. 25C. 310D. 13．．．．．．．7．代数式 1 x -1有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ．8. 分解因式：a 3－4a ＝ ▲ ．9. 计算27 －2cos30°－|1－ 3 |＝ ▲ .（第4题）（第5题）ABCO（第6题）BADCEF10. 反比例函数y ＝ kx 的图象经过点（1，6）和（m ，-3），则m ＝ ▲ .11. 如图，在菱形ABCD 中，AC ＝2，∠ABC ＝60°，则BD ＝ ▲ .12. 如图，在⊙O 中， AO ∥CD , ∠1＝30°，劣弧AB 的长为3300千米，则⊙O 的周长用科学计数法表示为 ▲ 千米．13.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元，若平均增长率为x ，则x ＝ ▲ .14．直角坐标系中点A 坐标为（5，3），B 坐标为（1，0），将点A 绕点B 逆时针旋转90°得到点C ，则点C 的坐标为 ▲ .15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象可知：方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ▲ .16.如图，在半径为2的⊙O 中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 ▲ .(第15题)ABCD（第11题）BOA1C D（第12题）O(第16题)三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程组 ⎩⎨⎧2x +3y ＝﹣5，3x －2y ＝12.18.（6分）化简：（xx －1－x ）÷x －2x 2－2x +1．19.（8分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③代表，化学用字母a 、b 、c 表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定． （1）小张同学对物理的①、②和化学的b 、c 实验准备得较好.请用树形图或列表法求他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率； （2）小明同学对物理的①、②、③和化学的a 实验准备得较好.他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为 ▲ .20. （8分）据报道，历经一百天的调查研究，南京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车每行驶20千米平均向大气里排放0.035千克污染物．校环保志愿小分队从环保局了解到南京100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：2014年南京市100天空气质量等级天数统计图（1）表中a＝▲ ，b＝▲ ，图中严重污染部分对应的圆心角n＝▲ °. （2）请你根据“2014年南京市100天空气质量等级天数统计表”计算100天内重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米．已知南京市2014年机动车保有量已突破200万辆，请你通过计算，估计2014年南京市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？21.（8分）如图， 在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，AF 与EH 交于点M ，FG 与CH 交于点N .（1）求证：四边形MFNH 为平行四边形； （2）求证：△AMH ≌△CNF .22. （8分）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子花费300圆，乙种粽子花费400元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？23.（8分）如图，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30º，在A 、C 之间选择一点B （A 、B 、C 三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶D 的仰角为75º，且AB 间距离为40m ． （1）求点B 到AD 的距离； （2）求塔高CD （结果用根号表示）．ABCD（第23题）30°75°A B C D F G E H M N24．（8分）小林家、小华家、图书馆依次．．在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟.设两人出发x （分钟）后，小林离小华家的距离为y （米），y 与x 的函数关系如图所示.（1）小林的速度为 ▲ 米/分钟 ，a ＝ ▲ ，小林家离图书馆的距离为 ▲ 米； （2）已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与自己家的距离为y 1（米），请在图中画出y 1（米）与x （分钟 ）的函数图象； （3）小华出发几分钟后两人在途中相遇？25．(8分)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图①所示）． （1）求出这条抛物线的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间有一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（第24题）x （分钟） y （米） 4 20 240 O a （第25题）26. （10分）如图，已知△ABC ，AB =6、AC ＝8，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径的⊙O分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图①若∠AEF ＝∠C ，求证：BC 与⊙O 相切；（2）如图②，若∠BAC ＝90°，BD 长为多少时，△AEF 与△ABC 相似.27. (10分)已知直角△ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 为AB 边上一动点，沿EF 折叠，点C 与点D 重合，设BD 的长度为m . （1）如图①，若折痕EF 的两个端点E 、F 在直角边上，则m 的范围为 ▲ ; （2）如图②，若m 等于2.5，求折痕EF 的长度； （3）如图③，若m 等于2013 ，求折痕EF 的长度.图②图①A DBC EFO CA BC备用EDFA CDBEFACBACB 图②图③图①DEF2015中考数学模拟试卷（二）答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．x ＞1 8. a （a －2）（a+2） 9. 3 +1 10. ﹣2 11. 2 3 12.3.96×10413. （﹣2，4） 14.0.2 15. k ＜2 16. 6－2 3 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．解： ①×2得：4x +6y ＝﹣10③②×3得：9x －6y ＝36 ④③+④得：13x ＝26解得：x ＝2········································································································3分把x ＝2代入①得y ＝﹣3····················································································5分所以方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝-3.·················································································6分18.解原式＝[x x －1－x (x －1)x －1]÷x －2x 2－2x +1·············································································1分 ＝x －x (x －1)x －1×x 2－2x +1 x －2·····························································································2分＝2x －x 2x －1×x2－2x+1x－2··································································································3分＝x (2－x) x－1× (x－1)2x－2···················································································4分＝-x(x－1) ··············································································································5分＝﹣x2+x················································································································6分19. （1）画图或列表正确·····································································································4分共有9种等可能结果，期中两科都满意的结果有4种··································································5分P（两科都满意）＝49 .·········································································································6分（2）13···························································································································8分20. （1）25；20；72°······································································································3分（2）45% ···············································································································5分（3）＝87500（千克） (8)分21. （1）证明：连接BD ，∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点， ∴EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD . 同理FG∥BD .∴EH ∥FG·······················································································································2分 在□ABCD 中 ∴AD ∥＝BC ，∵H 为AD 的中点AH ＝12AD ，∵F 为BC 的中点FC ＝12BC ，∴AH ∥＝FC∴四边形AFCH 为平行四边形，∴AF ∥CH ·······················································································································4分 又∵EH ∥FG ∴四边形MFNH 为平行四边形···························································································5分 （2）∵四边形AFCH 为平行四边形 ∴∠FAD ＝∠HCB ···········································································································6分∵EH ∥FG,∴∠AMH ＝∠AFN ∵AF ∥CH∴∠AFN ＝∠CNF ∴∠AMH ＝∠CNF ············································································································7分 又∵AH ＝CF∴△AMH ≌△CNF ·············································································································8分22.解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，由题意得，300（1+20％）x+400x＝260，···················································································4分解得：x=2.5，·················································································5分经检验：x=2.5是原分式方程的解，························································································6分（1+20%）x=3，则买甲粽子为：300（1+20％）x＝100个，乙粽子为：400x＝160个．················································7分答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．········································8分23. （1）作BE ⊥AD ，垂足为E ， 在Rt △AEB 中，sin A ＝BE AB，12＝BE40，BE ＝20················3分（2）∠DBC 是△ABD 的外角 ∠ADB ＝∠DBC －∠A ＝45°，···············4分 在Rt △DEB 中，tan ∠EDB ＝BE ED ，1＝20ED， ED＝20·············································5分 在Rt△AEB 中，cos ∠EAB ＝AE AB， EA ＝20 3 ······························6分 AD ＝ED + EA＝20+20 3 ························································································7分 在Rt △ACD 中，sin ∠DAC ＝DCAD， EA ＝10+10 3 ·····················································8分24.（1）60；960；1200；····························3分（2）如图略（以（0,0）、（24,960）为端点的线段），····························5分（3）解法一：由题意得60x －240=40x ，x =12，小华出发12分钟后两人在途中相遇．························8分 解法二：设小林在4~20分钟的函数表达式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧0＝4k +b 960=20k +b，∴k =60，b =－240，下同解法一··········8分25.解：（1）设抛物线的函数表达式为y =a (x －6)2+6，∵图像过点（0,0）∴a =－16，…………………2分 ∴y =－16 (x －6)2+6＝－16x 2+2x ，…………………3分0≤x ≤12．…………………4分（2）当x ＝3时，y ＝－16×9+2×3＝4.5．…………………6分ABCD（第23题）30°75°E∵4.5＜5，∴不能通过．…………………8分26.(1)证明：连接DF ，在⊙O 中∠AEF ＝∠ADF ····························1分又∵∠AEF ＝∠C ∴∠ADF ＝∠C ····························2分∵AD 为直径，∴∠AFD ＝90°∴∠CFD ＝90°∴∠C +∠CDF ＝90° ∴∠ADF +∠CDF ＝90°∴∠ADC ＝90°····························3分又∵AD 为直径∴BC 与⊙O 相切. ····························4分(2)情况一：若△AEF ∽△ACB ，则∠AEF ＝∠C ，由（1）知BC 与⊙O 相切. ∴BD ＝3.6···············7分情况二：若△AEF ∽△ABC ∴∠AEF ＝∠B ，∴EF ∥BC ，∵∠EAF 为直角，∴EF 为直径，∴△AEO ∽△ABD ，∴EA BA ＝EO BD ＝AO AD ＝12，∴BD ＝2EO ＝EF ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC ∴EF BC ＝EA BA ＝12 ,即BD ＝2EO ＝EF ＝12BC ＝5……………………10分27.解：（1）2≤m ≤4；…………………2分（2）方法一、∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∵BD ＝2.5，∴AD ＝DB ＝CD ＝2.5，∵点C 与点D 关于对称，∴DE ＝CE ，CF ＝DF ，∴∠CAD =∠ECD =∠EDC ， ∴△ACD ∽△CDE ，∴AC CD =AD CE ，即32.5＝2.5CE， ∴CE =2512；同理CF =2516 ；∴EF =12548．…………………6分方法二、作DG ⊥BC ，垂足为G ，连接DF ，△BGD ∽△BCA ，∴DG AC =BD AB =BGCB∴DG ＝32，C G ＝GB ＝2在Rt △FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，（2－DF ）2+1.52＝DF 2，解得DF ＝2516，CF ＝DF ＝2516 (4)分∵∠CEF+∠ECD =90°，∠DCF+∠ECD =90°，∴∠CEF =∠DCF ，又∵∠ECF ＝∠CGD ＝90° ∴△ECF ∽△CGD ∴EF CD =CF DG ∴EF =12548.…………………6分（3）作DG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥BC ,垂足为H ，连接DF ，△BGD ∽△BCA ，∴DG AC ＝BD AB ＝BGCB∴DG ＝1213， GB ＝1613∴CG ＝3613在Rt △FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，（3613－DF ）2+（1213）2＝DF 2，解得DF ＝2013，C F ＝DF ＝2013 (8)分易证∠HEF =∠DCG ，又∵∠EHF ＝∠DGC ＝90° ∴△EHF ∽△CGD ∴EH CG ＝HF DG ∴EH HF ＝CG DG ＝13，设FH ＝x ，则EH ＝3x ，∵EH ∥AC ，∴△EHB ∽△ACB ∴EH AC ＝HB BC ∴3x 3＝4- 2013+x 4解得x ＝3239 ，∴EF ＝10 FH ＝323910 …………10分DEG F A CDBE FACBACB 备用备用图①DEF H G。
【初中数学】2015-2016学年江苏省南京市中考数学第二次模拟试题 苏科版
2015-2016学年南京市中考数学第二次模拟试题班级 姓名 一、单项填空1．方程2x －4＝8的解是（ ）A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝4D ．x ＝6 2．函数2-=x y ，自变量x 的取值范围是（ ）A. x ＞2B. x ＜2C. x ≥2D. x ≤2 3．小张同学的座右铭是“态度决定一切”，他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“一”相对的字是（ ）A ．态B ．度C ．决D ．切4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC=42°，则∠A 的度数是（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°5．在□ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当□ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有 （ ）①AC ＝5； ②∠A +∠C ＝180°； ③AC ⊥BD ； ④AC ＝BD . A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④6．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为 （ ）A ．3或4 2B ．4或32C ．3或4D ．32或42二、填空题7．计算 (－1)3＋( 14)－1＝ ．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－4，－x ≤3的负整数解为 ．9．如果定义a *b 为(－ab )与(－a ＋b )中较大的一个，那么(－3)*2＝ ． 10．方程2x 2＋4x ＋1＝0的解是x 1＝ ；x 2＝ ．EDCBAA'( 第6题 )11．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10cm ，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为 cm ．12．某校九年级(1)班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁．13．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AC ＝ ．14．某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C 到弦AB 的距离是20 m ，圆弧形屋顶的跨度AB 是80 m ，则该圆弧所在圆的半径为__________m ．15．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点C 顺时针旋转30°得到正方形A ′B ′CD ′，则点A 的旋转路径长为．（结果保留π） 16．如图，A 、B 是反比例函数y ＝ k x图像上关于原点O 对称的两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，连线AC 过点D （0，－1.5），若△ABC 的面积为7，则点B 的坐标为 ． 三、解答题17.化简： x －1 x ＋2 ÷（3x ＋2－1）．18．点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别是xx －1和x 2－6x ＋93x －x2，且A 、B 关于原点对称．求x 的值．19．如图，在□ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线分别与AB 、CD 的延长线交于点E 、F ．当AC 与EF 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形？请给出证明．F EDC B A ( 第13题 ) CO BA （第14题） AB D A'D'B' （第15题）20．一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ；（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．①求两次都摸到红球的概率；②经过了n 次“摸球—记录—放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ．21．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0—50时为1级，质量为优；51—100时为2级，质量为良；101—200时为3级，轻度污染；201—300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：（1）本次调查共抽取了_______天的空气质量检测结果进行统计； （2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为________°； （4）如果空气污染达到中度污染或者以上．．．．．．．．，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2015年共365天）22．端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子花费300元，乙种粽子花费400元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？AB CDFEO（第19题）空气质量等级天数统计图 空气质量等级天数占所抽取天数百分比统计图23．如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°．求树的高度AB ． （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）24．水池中有水20 m 3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12:06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12:14时再关闭另一个出水口，12:20时水池中有水56 m 3，王师傅的具体记录如下表．设从12:00时起经过t min 池中有水y m 3，右图中折线ABCD 表示y 关于t 的函数图像．（1）每个出水口每分钟出水 m 3，表格中a ＝ ； （2）求进水口每分钟的进水量和b 的值；（3）在整个过程中t 为何值时，水池有水16 m 3？（第24题） miny 3AD，DE⊥BC，垂足为E．25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，⌒BD＝⌒（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．（第25题）26．若二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y＝a2x2＋b2x＋c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有个；（2）①求二次函数y＝x2＋3x＋2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y＝x2＋3x＋2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．27．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD 的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．参考答案一、选择题17．解：原式＝ x －1 x ＋2÷3－x －2x ＋2…＝ x －1 x ＋2× x ＋21－x ＝－118． 解：由题意得xx －1＋x 2－6x ＋93x －x 2＝0．即x x －1＋x －3x＝0． 解得x ＝34．经检验，x ＝34是原方程的根．所以x ＝34．19． 证明：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形．在□ABCD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ∥CD ，∴∠AEO ＝∠CFO ．在△EBO 与△FDO 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO ＝∠CFO ∠EOB ＝∠FOD BO ＝DO∴△EBO ≌△FDO ．∴EO ＝FO ．又∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∴AC ⊥EF 时，平行四边形AECF 是菱形．20． 解：（1）23．（2）①搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：（红1，红1）、（红1，红2）、（红1，白）、（红2，红1）、（红2，红2）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）、（白，白），共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为事件B ）的结果只有4种，所以P(B )＝49．②⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ．21．解：（1）50； （2）如右图（3）72；（4）365×24＋650＝219天·22．解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，由题意得，+=260，解得：x=2.5，经检验：x=2.5是原分式方程的解， （1+20%）x=3， 则买甲粽子为：=100（个），乙粽子为：=160（个）．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．23． 解：如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ． 在Rt △ADE 中，DE=BC=10m ，∠ADE=33°， tan ∠ADE=，∴AE=DE •tan ∠ADE ≈10×0.65=6.5（m ）． ∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m ）． 答：树的高度AB 约为8m ．24．解：（1）1，8 … （2）设进水口每分钟进水x m 3，由题意得：8+（x －1）（14－6）+ x （20－14）＝56 ,解得x ＝4所以b ＝8+（4－1）×8＝32 m 3（3） 在0~6分钟：y ＝20－2t…当y ＝16时，16＝20－2t ，解得t ＝2… 在6~14分钟：设y ＝kt +b （k ≠0）把（6，8）（14，32）得：⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝8，14k +b ＝32．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝﹣10．即y ＝3t －10…当y ＝16时，16＝3t －10，t ＝263综上所述：t ＝2和t ＝263水池有水16 m 3．525．解：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＋∠DCE ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ，∵ ⌒ BD ＝ ⌒AD ，∴∠BAD ＝∠ACD ∴∠DCE ＝∠ACD ，∴CD 平分∠ACE ． (2)ED 与⊙O 相切．理由：连接OD ，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ， ∵∠DCE ＝∠ACD ，∴∠DCE ＝∠ODC ，∴OD ∥BE ， ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE 又∵点D 在⊙O 上 ∴ED 与⊙O 相切．(3)∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°=∠E ，∵∠DCE ＝∠ACD ，∴△DCE ∽△ACD ∴CE CD =CD CA ，即1CD =CD4，∴CD =2， ∵OC ＝OD ＝CD =2，∴∠ DOC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形－S △OCD ＝23π－3．…26． 解：（1）无数；（2）①令y ＝0，即x 2＋3x ＋2＝0． 解得：x 1＝－1，x 2＝－2．∴二次函数y ＝x 2＋3x ＋2与x 轴的交点坐标为（－2，0），（－1，0）． ②∵y ＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14 ∴顶点坐标为（－32，－14）．设以（－2，0）为顶点且经过（－32，－14）的抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋2)2，将x ＝－32，y ＝－14代入y ＝a (x ＋2)2得 a ＝－1．∴二次函数y ＝x 2＋3x ＋2的一个“伴侣二次函数”为y ＝－(x ＋2)2=－x 2－4x －4同理可求以（－1，0）为顶点且经过（－32，－14）的抛物线的函数关系式．即二次函数y ＝x 2＋3x ＋2的另一个“伴侣二次函数”为y ＝－(x ＋1)2=－x 2－2x －127．解：（1）理由：∵∠A=50°，∴∠ADE+∠DEA=130°． ∵∠DEC=50°，∴∠BEC+∠DEA=130°． ∴∠ADE=∠BEC ． ∵∠A=∠B ，∴△ADE ∽△BEC ．∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）①以CD 为直径画弧，取该弧与AB 的一个交点即为所求． 如图所示：连接FC ，DF ， ∵CD 为直径，∴∠DFC=90°，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠B=90°，∴△DFC∽△CBF，同理可得出：△DFC∽△FAD，（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（答案不惟一，若学生画图说明也可．）（3）第一种情况：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，即△ADE∽△BEC∽△EDC．∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，∵△ADE是直角三角形∴△DEC也是直角三角形．第一种情况：∠DEC=90°时①∠CDE=∠DEA∴DC∥AE．这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立②∠CDE=∠EDA∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°∴∠AED=∠ECD∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°∴∠AED=∠BCE∴∠AED=∠BCE=∠ECD∴DE平分∠ADC 同理可得 CE平分∠DCB过E作EF⊥DC∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB∴AE=FE，BE=FE∴AE=BE第二种情况：如图3，∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，即△ADE∽△BEC∽△DCE．所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，说明AE=DE，BE=CE，DE=CE，（或说明BE=DE，AE=DE）所以AE=BE．综上，AE=BE或AE=BE．。
2015年中考二模名校考试数学试题及答案
2015年中考数学二模名校考试数学试题（卷）时间120分钟满分120分2015、2、28一、选择题（1-6小题，每小题2分7-16小题每小题3分，共42分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣0.1 C．0D．|﹣1| 2．计算（﹣9）2﹣2×（﹣9）×1+12的值为（）A．﹣98 B．﹣72 C．64 D．1003．下列式子正确的是（）A．﹣（x﹣3）=﹣x﹣3 B． 5a﹣a=5C． 2﹣1=﹣2 D． 2＜＜34．如图，将一个正六边形分割成六个全等的等边三角形，其中有两个已涂灰，如果再随意涂灰一个空白三角形，则所有涂灰部分恰好成为一个轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．14题图 5题图 7题图5．如图，直线a、b及木条c在同一平面上，将木条c绕点O旋转到与直线a平行时，其最小旋转角为（）A．100°B．90°C．80°D．70°6．下列一元二次方程中，无解的是（）A． x2+4x+2=0 B．x2+4x+3=0 C．x2﹣4x+4=0 D．x2﹣4x+5=07．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A． 2m B．a﹣m C．a D．a+m8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF9．计算（﹣）÷的结果为（）A．B．C．D．10．如图，平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（2，6），AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为（）A．（1，3）B．（4，3）C．（1，4）D．（2，4）8题图 10题图11．张昆早晨去学校共用时15分钟．他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250m/分钟，步行的平均速度是80m/分钟；他家离学校的距离是2900m，如果他跑步的时间为x分钟，则列出的方程是（）A． 250x+80（﹣x）=2900 B．80x+250（15﹣x）=2900C． 80x+250（﹣x）=2900 D．250x+80（15﹣x）=290012．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具）．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为所求（如图1）．乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；③作直线PM ，则直线PM 即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A ．甲对，乙不对 B ． 甲不对，乙对 C ． 两人都对 D ． 两人都不对13．如图，直线l 经过点P （1，2），与坐标轴交于A （a ，0），B （0，b ）两点（其中a ＜b ，如果a+b=6，那么tan∠ABO 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 213题图 14题图 16题图 14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）A ． 80°B ． 70°C ． 60°D ． 50° 15．对于实数m ，n ，定义一种运算“※”：m※n=m 2﹣mn ﹣3．下列说法错误的是（ ） A ． 0※1=﹣3 B ． 方程x※2=0的根为x 1=﹣1，x 2=3 C ．不等式组无解D ． 函数y=x※（﹣2）的顶点坐标是（1，﹣4）16．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上的一点，点E 以每秒kcm 的速度沿折线BS ﹣SD ﹣DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动，并且点F 运动到点B 时点E 也运动到点C ．动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，△EBF的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数图象如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC=6cm ，CD=4cm ； ③sin∠ABS=；④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ． ②③④二、填空题（每小题3分，共12分．）17．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数为_________ °．18．如图，已知点A、B、C在⊙O上，CD⊥OB于D，AB=2OD，若∠C=40°，则∠B=_________ °．18题图 19题图 20题图19．如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为_________ m2．20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第60个点的横坐标为_________ ．三、解答题（共66分）21．（9分）已知关于x，y的二元一次方程x﹣y=3a和x+3y=4﹣a．（1）如果是方程x﹣y=3a的一个解，求a的值；（2）当a=1时，求两方程的公共解；（3）若是已知方程的公共解，当x0≤1时，求y的取值范围．22．（10分）某中学对校园卫生进行清理，某班有13名同学参加这次卫生大扫除，按要求他们需要完成总面积为80m2的三项清扫工作，三项工作的面积比例如图1，每人每分钟完成各项的工作量如图2．（1）从统计图中可知：擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是_________ m2，_________ m2，_________ m2；（2）如果x人每分钟擦玻璃面积ym2，那么y关于x的函数关系式是_________ ；（3）完成扫地拖地的任务后，把13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，怎样分配才能同时完成任务？23．（10分）河北省赵县A、B两村盛产雪花梨，A村有雪花梨200吨，B村有雪花梨300吨，现将这些雪花梨运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为40元/吨和45元/吨；从B村运往C、D两处的费用分别为25元/吨和32元/吨，设从A村运往C仓库的雪花梨为x吨，A、B两村往两仓库运雪花梨的运输费用分别为yA 元，yB元．C D 总计A x吨_________ 300吨B _________ _________ 400吨总计240吨260吨500吨（1）请填写下表，并求出yA ，yB与x之间的函数关系式：（2）当x为何值时，A村的运输费用比B村少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．24．（11分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．25．（12分）已知，抛物线y=ax2+x+c的顶点为M（﹣1，﹣2），它与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求点B、点C的坐标；（2）将这个抛物线的图象沿x轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线l：y=﹣4x+6交于点N．①求证：点N是这个新抛物线与直线l的唯一交点；②将新抛物线位于x轴上方的部分记为G，将图象G以每秒1个单位的速度向右平移，同时也将直线l以每秒1个单位的速度向上平移，记运动时间为t，请直接写出图象G 与直线l有公共点时运动时间t的范围．26．（3分）1）如图1、图2，点P是⊙O外一点，作直线OP，交⊙O于点M、N，则有结论：①点M是点P到⊙O的最近点；②点N是点P到⊙O的最远点．请你从①和②中选择一个进行证明．（注：图1和图2中的虚线为辅助线，可以直接利用）（2）如图，已知，点A、B分别是直角∠XOY的两边上的动点，并且线段AB=4，如果点T是线段AB的中点，则线段TO的长等于_________ ，所以，当点A和B在直角∠XOY 的两边上运动时，点O一定在以点_________ 为圆心，以线段_________ 为直径的圆上．（3）如图，△ABC的等边三角形，AB=4，直角∠XOY的两边OX，OY分别经过点A和点B （点O与点A、点B都不重合），连接OC，求OC的最大值与最小值．（4）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B分别是x轴与y轴上的动点，并且线段AB 等于4为一定值．以AB为边作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值与最小值的乘积等于_________ ．参考答案三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．解：（1）将代入方程x﹣y=3a得：5+1=3a，∴a=2．（2）当a=1时，两方程为：由①得：x=3+y，代入②得：3+y+3y=3，∴y=0，∴x=3．所以方程组的公共解为：．（3）因为是已知方程的公共解，∴解得：，∵x≤1，∴2a+1≤1，∴a≤0，所以1﹣a≥1，≥1．∴y22．解：（1）擦玻璃的面积：80×20%=16（m2）；擦课桌椅的面积：80×25%=20（m2）；扫地拖地的面积：80×55%=44（m2）；故答案为：16，22，44；（2）由题意可得，每人每分钟擦玻璃的面积为=，得y=x；故答案为：y=x；（3）设擦玻璃的人数为x人，则擦课桌的人数为（13﹣x）人，根据题意得：16÷x=20÷[0.5×（13﹣x）]，即=，解得x=8，经检验x=8是原方程的解，则擦课桌椅的有：13﹣8=5（人），答：擦玻璃的8人，擦课桌椅的有5人．23．解：（1）填表如图所示，y=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000，Ay=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；B（2）∵A村的运输费用比B村少，∴﹣5x+9000＜7x+7920，解得x＞90，∵A村有雪花梨200吨，故200≥x＞90吨时，A村的运输费用比B村少；（3）A、B两村的运输费用之和为：﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵2＞0，∴运输费用随x的增大而增大，∵，∴x≤200，∴当x=0时，运输费用最小，为16920元．24．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．25．解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c的顶点为M（﹣1，﹣2），∴该抛物线的解析式为y=a（x+1）2﹣2．即：y=ax2+2ax+a﹣2．∴2a=1．解得 a=．故该抛物线的解析式是：y=x2+x﹣．当y=0时，x2+x﹣=0．解之得 x1=﹣3，x2=1．∴B（﹣3，0），C（1，0）；（2）①证明：将抛物线y=x2+x﹣沿x轴翻折后的图象，即新图象，仍过点B、C，其顶点M′与点M关于x轴对称，则M′（﹣1，2）．设新抛物线的解析式为：y=a′（x+1）2+2．∵y=a′（x+1）2+2过点C（1，0），∴a′（1+1）2+2=0，解得，a′=﹣．∴翻折后得到的新抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+．当﹣4x+6=x2+x﹣时，有：x2﹣6x+9=0，解得，x1=x2=3，此时，y=﹣6．∴新抛物线y=﹣x2﹣x+与直线l有唯一的交点N（3，﹣6）；②≤t≤6．附解答过程：∵点N是新抛物线y=﹣x2﹣x+与直线l有唯一的交点，∴直线l与新抛物线y=﹣x2﹣x+在x轴上方部分（即G）无交点，∴当直线l经过点C时产生第一个公共点，经过点B时是最后一个公共点，运动t秒时，点B的坐标为（﹣3+t，0），点C的坐标为（1+t，0），直线与x轴交点为（，0）．∵当=﹣3+t时，t=6∴图象G与直线l有公共点时，≤t≤6．26．解：（1）①如图1，根据两点之间线段最短可得：PO≤PR+OR．∴PM+MO≤PR+OR．∵MO=RO，∴PM≤PR．∴点M是点P到⊙O的最近点．②如图2，根据两点之间线段最短可得：PS≤PO+OS．∵OS=ON，∴PS≤PO+ON，即PS≤PN．∴点N是点P到⊙O的最远点．（2）如图3，∵∠XOY=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∴点O在以点T为圆心，以线段AB为直径的圆上．故答案为：2、T、AB．（3）取AB的中点T，连接TO、CT、OC，如图4．∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∵△ABC的等边三角形，点T是线段AB的中点，∴CT⊥AB，AT=BT=2．∴CT===2．根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2；CT≤OC+OT，即OC≥CT﹣OT，也即OC≥2﹣2．∴OC的最大值为2+2，OC的最小值为2﹣2．（4）取AB的中点T，连接TO、CO、CT，如图5．∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=4，∠ABC=90°．∵点T是线段AB的中点，∴BT=AB=2．∴CT===2．根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2；CT≤OC+OT，即OC≥CT﹣OT，也即OC≥2﹣2．∴OC的最大值为2+2，OC的最小值为2﹣2．∵（2+2）（2﹣2）=20﹣4=16．∴OC的最大值与最小值的乘积等于16．故答案为：16．。
2015年区二模数学答案
3 2 2
3 ..............................................................................................2 分
22.（本题满分 7 分） （1）画图正确...............................................................................................................................................3 分 △ABC 的面积为6..................................................................................................................................1 分 （2） 画图正确.................................................................................................................................................3 分 23.（本题满分 8 分） （1）解：m = 100，x = 40，y = 0.18........................................................................................................3 分 （2）补图正确..................................................................................................................................................2 分 （3）解： 估计该校学生劳动的总时间为 2640 小时..........................................................................................3 分 24.（本题满分 8 分） (1)在△ABC 中，∵AC=BC，∠ACB=90，CG 平分∠ACB， ∴∠CAB=∠CBA=
2015年区二模数学题
2014—2015年度数学模拟调研试题（二）一、选择题（每小题3分，共计30分）1.某冰箱冷藏室的温度是5℃,冷冻室的温度是－2℃,则冷藏室比冷冻室温度高（ ）. （A ）3℃ （B ）－3℃（C ）－7℃（D ）7℃2.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ） 3.下列各式运算结果为2m 的是（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）4.反比例函数12ky x-=的图象经过点(-2，3)，则k 的值为（ ）. （A ）6 （B ）-6 （C ）72 （D ）72-5.如图所示的几何体的左视图是（ ）.6.如图,在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树,要求它们之间的水平距离 AC 为6m,则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）. (A) 12m (B) 33m (C) 43m (D) 123m（第5题图）36m m ÷2-4mm •()21-m 24-m m7.如图，△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结果正确的 是（ ）.（A ）BC DEDB AD =（B ）AD EF BC BF = （C ）FC BF EC AE = （D ）BCDEAB EF =（第7题图）8.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， H 为AD 边的中点，若菱形ABCD 的周长为20，则 OH 的长为（ ）.(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.59.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a 346a 3：a 4：a 6等于（ ）.（A ） （B ） 1:2:3 （C ） 3:2:1 （D 10.甲乙两车分别从M 、N 两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自的速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的路程S （千米）与甲车所用时间t （小时）之间的函数图象，其中D 点表示甲车到达N 地停止行驶.下列说法：①M 、N 两地的路程是560千米；②乙车的速度是100千米/小时；③a =11003；④乙车出发3小时与甲车相遇.其中正确的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11.将670 000用科学记数法表示为________. 12.在函数321-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是13.________.E14.把多项式2x 2－12x ＋18分解因式的结果是________.15.一个扇形的面积是12πcm 2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 cm ． 16.不等式组⎩⎨⎧-≥+>+12201x x x 的解集为________.17.某商场将一件商品在进价的基础上加价80%标价，再八折出售，售价为144元，则这件商品的进价为________元．18.从分别标有1、2、3、4的四张卡片中一次同时抽两张,则抽取两张卡片中数字的和为奇数的概率是________.19.已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC,直线m 经过点C,分别过点A 、B 作直线m 的垂线,垂足分别为点E 、F,若AE ＝3,AC ＝5,则线段EF 的长为________. 20.如图，正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，连接DE, 在DE 上取一点G , 连接BG ,使BG=BC,连接CG 并延长 与AD 交于点F,在CG 上取一动点P(不与点C 、点G 重 合），过点P 分别作BG 和BC 的垂线，垂足分别为点M 、 点N,若四边形AEGF 的面积是45，则PM+PN 的值为_____.三、解答题(其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)21.(本题7分)先化简，再求代数式 (1+12x -)÷212x x --的值，其中x=2cos45°－tan45°．22.(本题7分)如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以AB 为斜边的直角三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，且△ABE 的面积为5； (2)在方格纸中画出以CD 为一边的△CDF ，点F 在小正方形的顶点上，且△CDF 的面积为4，CF 与（1）中所画线段BE 平行，连接AF ，请直接写出线段AF 的长．A23.(本题8分)某市教育局为了解该市八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）：请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出a 的值，并补全条形图；（2）请直接写出在这次抽样调查中，众数是 _____天，中位数是 _____天；（3）如果该区共有八年级学生3000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生有多少人？ 24.(本题8分)已知：将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合（点D 与/D 为对应点），折痕 为EF ，连接AF.(1)如图1，求证：四边形AECF 为菱形；(2)如图2，若FC=2DF ，连接AC 交EF 于点O ，连接DO 、/D O ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形.25.(本题10分)哈市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育．若购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本l700元；若购进甲种3株，乙种l株．则共需要成本l500元．(1)求甲、乙两种君子兰每株成本分别为多少元?(2)该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购进甲、乙两种君子兰，若购进乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株?26.(本题10分)已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC和BD相交于点E.（1）如图1，当AC⊥BD，OF⊥CD于点F，交AC于点G时，求证：∠OGA=∠BAC；（2）如图2，在（1）问的条件下，求证：AB=2OF；（3）如图3，当AB=AD，∠BAC=∠BCD，BK⊥AC于点K时，且AK=1，BD=12，求CD的长.D B27.(本题10分)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2()8y a x h =-+（a ≠0，a 、h 为常数）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，且AB=12，B(9,0).（1）如图1，求a ，h 的值；（2）如图2，点P 在第一象限对称轴右侧的抛物线上，PE ⊥x 轴于点E ，交线段BC 于点D ，点F 在线段BD 上，且PD=5PF ，FQ ⊥BC ，交直线PE 于点Q ，当PQ=8时，求点P 的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，R 是线段CD 上的一点，过点R 作RG 平行于x 轴，与线段PQ 交于点G ，连接OG 、OQ ，恰好使∠GOQ=45°，延长QR 到点H ，使QR=RH ，连接AH ，求线段AH 的长，并直接判断点H 是否在此抛物线上？2014—2015年度数学模拟调研试题（二）参考答案一、选择题1.D;2.A;3.B;4.C;5.A;6.C;7.C;8.B;9.D; 10.C ． 二、填空题11.6.7×105; 12.23- ≠x ;13. 14.22(3)x -; 15. 62; 16. 17. 100 ; 18.23;19.1或7; 20.85． 三、解答题21.解：原式=12x x --÷212x x --= 12x x --×2(1)(1)x x x -+-=11x +…………………3分∵x =2cos45°-tan45°=2×2-1=2-1……………2分∴原式2分22.解：（1）正确画图……………………3分（2）正确画图……………………3分 AF=5……………………1分EF31-≤<x24.(1)证明：如图1,∵将矩形ABCD 折叠，EF 为折痕∴AE=EC ，∠AEF=∠CEF …………………1分 ∵矩形ABCD ∴AB ∥CD∴∠CFE=∠AEF∴∠CFE=∠CEF∴CF=CE……………………1分∴FC=AE ∵FC ∥AE∴四边形AECF 为平行四边形……………………1分 ∵AE=CE∴四边形AECF 为菱形……………………1分（2）图2中等边三角形分别是：△AEF ，△EFC ，△ADO, △/CD O .（每答对一个给1分）25.解：（1）设甲、乙两种君子兰的每株成本价分别为x 元、y 根据题意 得⎩⎨⎧=+=+15003170032y x y x ……………………3分 解得 ⎩⎨⎧==300400y x ……………………2分 ∴甲、乙两种君子兰每株成本分别为400元、300元.（2）设种植甲种君子兰为a 株，则种植乙种君子兰为（3a +10）株．400a +300（3a +10）≤30000 ……………………2分 解得a ≤102013……………………1分 ∵a 为正整数，∴a 的最大整数是20……………………1分 ∴最多购进甲种君子兰20株……………………1分 26. (1)证明：如图1∵AC ⊥BD OF ⊥CD∴∠GED=∠GFD=90° ∵∠GED+∠EDF+∠DFG+∠FGE=360°∴∠EGF+∠EDF=180°……………1分 ∵∠EGF+∠OGE=180°∴∠EDF=∠OGE……………1分∵弧BC=弧BC∴∠BAC=∠BDC ∴∠OGA=∠BAC……………1分(2)证明：如图2，过点O 作OH ⊥AB 垂足为H ，∴AH=BH 连接OA 、OC∵OA=OC ∴∠OCA=∠OAC ∵∠OGA=∠BAC ∴∠OGA-∠OCA=∠BAC-∠OAC 即∠COF=∠OAH……………1分 ∵∠OFC=∠AHO OC=OA ∴△OFC ≌△AHO……………1分∴OF=AH ∵AB=2AH∴AB=2OF……………1分(3)解：如图3，过点B 作DA 延长线的垂线，垂足为M∵∠BAC=∠BDC ∠BAC=∠BCD∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD=12 ∵∠BAD+∠BCD=180° ∠BAD+∠BAM=180°∴∠BCD=∠BAM ∴∠BAM=∠BAK∵BM ⊥AM BK ⊥AK ∴BM=BK ∴Rt △BMD ≌Rt △BKC……………1分∴MD=KC ∵BM=BK BA=BA ∴Rt △BMA ≌Rt △BKA∴MA=AK=1设AB=AD=a,则MD=KC=a+1在Rt △AKB 中22221BK AB AK a =-=- 在Rt △BKC 中2222212(1)BK BC KC a =-=-+ ∴222212112(1)9(8a a a a 舍去），-=-+=-=MB∴AB=AD=8……………1分连接BO 并延长和CD 相交于点N ，连接OD ，OC ∵BC=BD ∴点B 在CD 的垂直平分线上 ∵OC=OD ∴点O 在CD 的垂直平分线上∴BN 是CD 的垂直平分线上∴CD=2DN……………1分在Rt △ABK 中cos ∠BAK=18AK AB =在Rt △BND 中cos ∠BDN=DNBD∵cos ∠BAK=cos ∠BDN ∴18DN BD =∴DN=12382=∴CD=2DN=3……………1分27.解：（1）∵AB=12 B(9,0) ∴A(-3,0)根据抛物线的对称性可知：对称轴x=h=3…………1分∴抛物线解析式为2(3)8y ax =-+ 把B(9,0)代入抛物线2(3)8y a x =-+，解得29a =-…………1分 （2）如图1，由（1）知：抛物线的解析式为22224(3)8993y x x x =--+=-+ 由此抛物线可得C(0,6),B(9,0) ∴直线BC 的解析式：263y x =-+ ∴P 224,693t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，D 2,63t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴PD=2224226629339t t t t t ⎛⎫⎛⎫-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭过点P 作PT ⊥BC 于点T ， ∵PD ∥y 轴，∴∠PDT=∠OCB ， ∴tan ∠PDT=tan ∠OCB ，∴9362PT OB DT OC ===…1分 设PT=3m ，则DT=2m ，由勾股定理可得，∵PD=5PF ∴PF=5m ， 在Rt △PTF 中，由勾股定理可得TF=4m ，∴DF=DT=2m ∵PT ⊥BC ，FQ ⊥BC ，∴∠PTD=∠QFD=90°∵∠PDT=∠QDF ，∴△PDT ≌△QDF ，∴PD=DQ …………1分 ∴PQ=2PD=)292(22t t +-=8，解得t=3或t=6∵点P 在对称轴右侧，∴t=6，∴P （6，6）…………1分 （3）如图2，连接CP,CH,QB根据题意可知：四边形COEP 为正方形 QE=PQ-PE=2过点Q 作QK ⊥OG 于点K,交OB 于点S ∵∠GOQ=45° ∴KO=KQ ∵∠KOS+∠KSO=90°∠EQS+∠ESQ=90°∠KSO=∠ESQ ∴∠KOS=∠EQS∵∠OKS=∠QKG ∴△OKS ≌△QKG…………1分 ∴OS=QG SE=OE-OS=OE-QG=6-(2+EG)=4-EG ∵tan ∠EOG=tan ∠SQE∴462EG SEOE EQ EG EG=-= ∴EG=3…………1分 ∴点G 是PE 中点 ∵CP ∥RG ∥EB ∴CR=RB 过H 作HM ⊥y 轴于点M ∵QR=HR ∠CRH=∠BRQ ，∴△CRH ≌△BRQ∴CH=BQ ，∠HCR=∠RBQ ∵PQ ∥y 轴，∴∠MCR=∠PDB ， ∴∠MCH+∠HCR=∠EQB+∠RBQ∴∠MCH=∠EQB∵∠HMC=∠BEQ=90°，∴△HMC ≌△BEQ ∴CM=EQ=2，MH=EB=3 ∴H （3，8） 由勾股定理可得AH=10，…………1分 且点H 在该抛物线上…………1分(以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分)2015年区二模数学题11 / 11。
第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性(含详细答案解析及考点分析)
第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性一．选择题（共14小题）1．（2015•黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．2．（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（）A．B．C．D．4．（2015•温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2015•广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2015秋•龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．7．（2015•上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（）A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+18．（2015•泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2015•江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣110．（2014•宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）11．（2014•兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣212．（2014•江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称13．（2014秋•宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A． B． C．πD．4π14．（2013•三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）二．填空题（共10小题）15．（2013春•保靖县校级月考）如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k 0．16．（2012•济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）17．（2012春•城北区校级月考）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为．18．（2012春•凤冈县校级期中）如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是．19．（2011秋•长阳县期末）请你写出一个反比例函数的解析式使它的图象在第一、三象限．20．（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是．21．（2008秋•昆明校级期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是．22．（2006•旅顺口区）如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为．23．（2015•上城区一模）已知直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是．24．（2014•恩施州）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为．三．解答题（共6小题）25．（2013春•自贡期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜4时，求x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜2，且x≠0时，求y的取值范围．26．（2012•南昌模拟）给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣11 23 4 …﹣﹣﹣y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第象限；②函数图象的对称性是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x=时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；在x＜0时，当x=时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．27．（2012春•润州区校级期中）如图，点A在反比例函数的图象在第二象限内的分支上，AB⊥x轴于点B，O是原点，且△AOB的面积为1．试解答下列问题：（1）比例系数k=；（2）在给定直角坐标系中，画出这个函数图象的另一个分支；（3）当x＞1时，写出y的取值范围．28．（2011•阳江模拟）如图，点C是反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的一点，直线y=ax+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，作CH⊥x轴于点H，交直线AB于点F，作CG⊥y轴于点G，交直线AB于点E．已知四边形OHCG的面积为6．（1）求双曲线的解析式；（2）若E、F分别为CG和CH的中点，求△CEF的面积；（3）若∠BAO=α，求AE•BF的值（用α表示）29．（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．30．作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜3时，求x的取值范围；（3）当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围．第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象．【专题】分类讨论．【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．2．（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：A．【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．3．（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象．【分析】利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可．【解答】解：反比例函数y=﹣图象的是C．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键．4．（2015•温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，故B选项错误；C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故C选项错误；D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．（2015•广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据一次函数的图象性质得到y=﹣x+1经过第一、二、四象限；根据反比例函数的图象性质得到y=﹣分布在第二、四象限，然后对各选项进行判断．【解答】解：函数y=﹣x+1经过第一、二、四象限，函数y=﹣分布在第二、四象限．【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=（k≠0）的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的图象．6．（2015秋•龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当kb＞0时，函数y=的图象过一三象限，当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b 的图象过一二三象限，当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过二三四象限，故排除CD，当kb＜0时，函数y=的图象过二四象限，当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过一三四象限，当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象过一二四象限，故排除A，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．（2015•上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（）A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数、一次函数、正比例函数及二次函数的图象性质逐一解答．【解答】解：A、当x=0或y=0时，原式无意义，图象与坐标轴无交点，故正确；B、y=2x+1的图象过（0，1）和（﹣，0），图象与坐标轴有交点，故错误；C、y=﹣x过（0，0），图象与坐标轴有交点，故错误；D、y=﹣x2+1过（0，1），（±1，0），图象与坐标轴有交点，故错误．【点评】本题考查函数的图象特点，掌握各类函数的图象性质是解决本题的关键．8．（2015•泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】反比例函数的图象．【分析】首先根据反比例函数的比例系数确定图象的大体位置，然后根据自变量的取值范围确定具体位置．【解答】解：∵比例系数k=﹣2＜0，∴其图象位于二、四象限，∵x＞0，∴反比例函数的图象位于第四象限，故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是牢记反比例函数的性质．9．（2015•江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y=x和y=﹣x对称．【解答】解：把x=1代入y=，得y=3，故A点坐标为（1，3）；∵A、B关于y=x对称，则B点坐标为（3，1）；又∵B和C关于原点对称，∴C点坐标为（﹣3，﹣1），∴点C的横坐标为﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要求同学们要熟练掌握，灵活运用．10．（2014•宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】函数思想．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．11．（2014•兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】由反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点A（﹣2，1），根据反比例函数与正比例函数是中心对称图形，可得另一个交点为：（2，﹣1）继而求得答案．【解答】解：如图，反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点A（﹣2，1），∴另一个交点为：（2，﹣1），∴方程=mx的实数根为：x1=2，x2=﹣2．故选：C．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014•江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】根据反比例函数的对称性进行解答即可．【解答】解：∵双曲线y=﹣的两个分支分别在二、四象限，∴两个分支关于原点对称，关于直线y=x对称，故A、B选项正确；此双曲线的每一个分支关于直线y=﹣x对称，故C选项正确；故只有选项D错误．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，要求同学们要熟练掌握．13．（2014秋•宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A． B． C．πD．4π【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】先利用切线的性质得到⊙A的半径为1，再根据反比例回事图象的对称性得到点B 的坐标为（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半径为1，则可判断⊙A与⊙B关于原点中心对称，⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于⊙A的面积，然后根据圆的面积公式计算．【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），且⊙A与x轴相切，∴⊙A的半径为1，∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半径为1，∴⊙A与⊙B关于原点中心对称，∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分完全重合，∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①第二、四象限的角平分线y=﹣x；②第一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．14．（2013•三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】压轴题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y=mx过原点，双曲线y=的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故选：C．【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．二．填空题（共10小题）15．（2013春•保靖县校级月考）如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k ＞0．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数图象所经过的象限判定系数k的符号．【解答】解：因为反比例函数y=的图象经过第一象限，所以k＞0．故答案是：＞．【点评】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．16．（2012•济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是①②④（在横线上填出正确的序号）【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．针对四个说法依次分析可得答案．【解答】解：①根据函数图象在第一象限可得k﹣2＞0，故k＞2，故①正确；②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；故答案为：①②④．【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质．17．（2012春•城北区校级月考）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为k1＜k2＜k3．【考点】反比例函数的图象．【分析】本题考查反比例函数与的图象特点．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y=的图象在第二象限；故k1＜0；y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3．【点评】反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象据原点越远，k的绝对值越大．18．（2012春•凤冈县校级期中）如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．【考点】反比例函数的图象．【分析】首先根据图象的位置判断比例系数的符号，然后根据谁距离远点远谁的绝对值大来判断同一象限内的反比例函数的比例系数的大小即可．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y1=的图象在第二象限；故k1＜0；，，，在第一象限；且的图象距原点较远，故有：k1＜k3＜k2；综合可得：k1＜k3＜k2．故答案为k1＜k3＜k2．【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象据原点越远，k的绝对值越大．19．（2011秋•长阳县期末）请你写出一个反比例函数的解析式使它的图象在第一、三象限…．【考点】反比例函数的图象．【分析】反比例函数（k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是2．（正数即可，答案不唯一）【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k＞0，只要是大于0的所有实数都可以．例如：2．故答案为：y=等．【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．20．（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是m＜1．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答．【解答】解：由图象可得：k＞0，即1﹣m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．21．（2008秋•昆明校级期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】要使一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数上方，从而求出x的取值范围．【解答】解：已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），根据其图象可知x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22．（2006•旅顺口区）如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据图象可得：要使y1＞y2，需图象y1在图象y2的上方．【解答】解：根据图象可得当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．23．（2015•上城区一模）已知直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是（﹣，2）．【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】由直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），即可得出函数解析式，再求另一个交点坐标．【解答】解：∵直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=，相交于点（，﹣2），∴a﹣2b==﹣3，xy=3b+a=﹣∴直线为y=﹣3x．双曲线为y=﹣．解方程组：，解得：，．∴另一个交点为（﹣，2）．故答案为：（﹣，2）．【点评】此题主要考查了反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．24．（2014•恩施州）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为．【考点】反比例函数图象的对称性；几何概率．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数的对称性得到阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，然后面积的比求针头落在阴影区域内的概率．【解答】解：因为阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，所以针头落在阴影区域内的概率=．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．也考查了几何概率．三．解答题（共6小题）25．（2013春•自贡期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜4时，求x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜2，且x≠0时，求y的取值范围．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解析式可得y的值；（2）（3）根据函数图象可直接得到答案．【解答】解：（1）当x=﹣2时，y==3；（2）当2＜y＜4时：＜x＜3；（3）由图象可得当﹣1＜x＜2且x≠0时，y＜﹣6或y＞3．【点评】此题主要考查了画反比例函数图象，以及根据图象解不等式，关键是正确画出图象，能从图象中得到正确信息．26．（2012•南昌模拟）给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣11 23 4 …﹣﹣﹣y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第一三象限；②函数图象的对称性是（C）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x=1时，函数y有最小（大，小）值，且这个最值等于2；在x＜0时，当x=﹣1时，函数y有最大（大，小）值，且这个最值等于﹣2；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）x在分母，那么x不能为0；（2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形；（3）①观察所得图象看在哪两个象限即可；②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称；③找到每个象限内图象的最低点或最高点所对应的自变量和函数值即可；④应根据函数最低点自变量的取值判断相应变化；（4）在同一平面直角坐标系中作出直线y=﹣2x+1，看有没有交点即可．【解答】解：（1）自变量x的取值范围是x≠0；（2）①列表：1 2 3 4 …x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣﹣。
2015江苏中考数学学科模拟练习二(含答案解析)
（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q坐标；如果不存在，请说明理由．
27．（12分）
课本回顾
如图，用半径R＝3cm，r＝2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a＝4cm，b＝2cm，则内孔直径D的大小为．
2015江苏中考数学模拟练习试卷二
（全卷满分120分．考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．的倒数是（）
A．2
B．－2
C．
D．－
2．计算(a3b)2÷(ab)2的结果是（）
A．a3
B．a4
C．a3b
D．a4b
3．a满足以下说法：①a是无理数；②2＜a＜3；③a2是整数．那么a可能是（）
A．1
B．2
C．3
D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．－2－(3.14－π)0＝．
8．钓鱼诸岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为．
9．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是边形．
10．因式分解：－4a2b＋4a3＋ab2＝．
①32π
②32π
79.5~89.5
6，8，0，9，7，4，7，4，6，3，8，5
12
89.5~99.5
8，0，5，4，6，8
6
（2）补全频数分布直方图；
（3）若超过均分的将获奖，请计算本 次竞赛获奖的比例．
21．（8分）南京市为了构建立体的道路网络，大力发展江北经济，决定修建一条六合到主城的轻轨铁路．为了使工程提前3个月完成，需将原定的工作效率提高10％．原计划完成这项工程需要多少个月？
2015年江苏省南京市江宁区湖熟片九年级上学期苏科版数学第二次月考试卷
2015年江苏省南京市江宁区湖熟片九年级上学期苏科版数学第二次月考试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为 A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40∘，则∠B的度数为 A. 80∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘3. 用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为 A. x+12=6B. x+22=9C. x−12=6D. x−22=94. 下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的个数有 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2010 年投入2000万元，预计到2012年共投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是 A. 20001+x2=8000B. 20001+x+20001+x2=8000C. 2000x2=8000D. 2000+20001+x+20001+x2=80006. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=10，AP:PB=5:1，⊙O的半径是 A. 6B. 55C. 8D. 35二、填空题（共10小题；共50分）7. 一元二次方程x2=3x的解是______．8. 若实数a是方程x2−2x+1=0的一个根，则2a2−4a+5= ______．9. 一元二次方程x2−3x+1=0的两根为x1，x2，则x1+x2−x1⋅x2= ______．10. 小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1 cm和2 cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于______．11. 写出一个以−3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程______．12. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．13. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105∘，则∠DCE的大小是______．14. 将半径为2 cm，圆心角为120∘的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为______ cm．15. 如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ______．16. 如图，⊙O的半径为3 cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为______ s时，BP与⊙O相切．三、解答题（共11小题；共143分）17. 解方程：（1）2x2−5x+2=0．（2）2x+32=x+3．18. （1）化简：32+∣1−2∣−12−1．（2）解不等式组：2x+7≤x+10, x+23>2−x.19. 计算或化简：（1）−+（2）先化简1x−1−1x+1÷x2x−2，然后从2，0，1，−1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．20. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标______；（2）⊙O的半径为______（结果保留根号）；（3）求ABC的长（结果保留π）．21. 已知方程5x2+mx−10=0的一根是−5，求方程的另一根及m的值．22. 如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52∘，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．23. 如图，把长为40 cm，宽为30 cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计）．（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少?（单位：cm）（2）若折成的一个长方体盒子表面积是950 cm2，求此时长方体盒子的体积．24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120∘．（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．25. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销．经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元?26. 已知，如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，过BC上的任意一点P作⊙O的切线与AB，AC分别交于点D，E．（1）连接OD和OE，若∠A=50∘，求∠DOE的度数．（2）若AB=7，求△ADE的周长．27. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2−1≥−1，即：3a2−1就有最小值−1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值−1．同样，因为−3a2≤0，所以−3a2+1≤1，即：−3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式的最大值1．（1）当x= ______ 时，代数式−2x+12−1有最______ 值（填“大”或“小”）值为______；（2）当x= ______ 时，代数式2x2+4x+1有最______ 值（填“大”或“小”）值为______；（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10 m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有总长14 m的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大?最大面积是多少?答案第一部分1. B2. C3. C4. A5. D6. D第二部分7. 0，38. 39. 210. 5 cm或2 cm11. x2−4x−21=012. k≤1且k≠013. 105∘14. 2315. 516. 1 s或5 s；第三部分17. （1）2x2−5x+2=0.2x−1x−2=0.x−2=0,2x−1=0.解得x1=2,x2=12.（2）2x+32=x+3.2x+32−x+3=0.x+32x+6−1=0.x+3=0,2x+5=0.解得x1=−3;x2=−52.18. （1）原式=3+2−1−2=2 2.（2）2x+7≤x+10, ⋯⋯①x+23>2−x, ⋯⋯②由①得：x≤3,由②得：x>1,则不等式组的解集为1<x≤3.19. （1）原式=33−23+35=3+35．（2）原式=2x+1x−1⋅2x+1x−1x=4xx≠0，当x=2时，原式=2=22．20. （1）2,−1（2）25（3）过点D作DF⊥y轴于点F，过点C作CG⊥x轴交FD的延长线于点G，∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90∘，AF=DG=4，在△AFD和△DGC中，DF=CG,∠AFD=∠DGC,AF=DG,∴△AFD≌△DGC SAS，∴∠ADF=∠DCG，∵∠DCG+∠CDG=90∘，∴∠ADF+∠CDG=90∘，即∠ADC=90∘，则ABC的长l=90π×25180=5π．21. 设方程的另一个根为t，根据题意得−5+t=−m5，−5t=−2，解得t=25，则m=25−5t=23，即m的值为23，方程的另一根为25．22. （1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AD=DB，∴∠DEB=12∠AOD=12×52∘=26∘；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC=BC，即AB=2AC，在Rt△AOC中，AC= OA2−OC2=52−32=4，则AB=2AC=8．23. （1）长方体盒子的长是：30−2x cm；长方体盒子的宽是40−2x÷2=20−x cm；长方体盒子的高是x cm．（2）根据图示，根据阴影部分的面积=长方形硬纸板的面积−长方体表面积．可得2x2+ 20x=30×40−950，解得x1=5，x2=−25（不合题意，舍去），长方体盒子的体积V=30−2×5×5×20−5=20×5×15=1500 cm3．答：此时长方体盒子的体积1500 cm3．24. （1）如图，⊙O为所求作：（2）BC与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC=BC，∠ACB=120∘，∴∠A=∠B=30∘，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30∘，∴∠OCB=∠ACB−∠OCA=120∘−30∘=90∘，∴OC⊥BC，∵OC是半径，∴BC与⊙O相切．25. （1）360−280×60=4800（元）∴降价前商场每月销售该商品的利润是4800元．（2）设每件商品应降价x元，360−280−x60+5x=7200化简得x2−68x+480=0解得x1=8，x2=60∵要减少库存，∴每件应降价60元．26. （1）连接OB，OC，OD，OP，OE，∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴∠OBA=∠OCA=90∘，∵∠A=50∘，∴∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，∴OD平分∠BOP，同理得：OE平分∠POC，∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=12∠BOP+∠POC=12∠BOC=65∘．（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+DP+EP+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=2AB=14.27. （1）−1；大；−1（2）−1；小；−1（3）设AD=x，S=x16−2x=−2x−42+32，当AD=4 m时，面积最大值为32 m2．。
2015年中考模拟(二) 数学试卷附答案
2015年中考模拟（二） 数学试卷考生须知：本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟．答题时，不能使用计算器，在答题卷指定位置内写明校名，姓名和班级，填涂考生号．所有答案都做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应．参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-a b 2，ab ac 442-） 圆锥的侧面积公式：S ＝πr l (其中S 是侧面积，r 是底面半径，l 是母线长)一．仔细选一选 （本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列各几何体中，主视图是圆的是（ ）2．如图，已知Rt △ABC 边长分别为1，2，3，则下列三角函数表示正确的是（ ）A ．sinA ＝23B ．cosA ＝36C ．tanA ＝2D ．tanA ＝223．已知圆的面积为7π，估计该圆的半径r 所在范围正确的是（ ）A ．1＜r ＜2B ．2＜r ＜3C ．3＜r ＜4D ．4＜r ＜54．若反比例函数图象经过二次函数742+-=x x y 的顶点，则这个反比例函数的解析式为（ ）A ．x y 6=B ．xy 6-= C ．x y 14= D ．x y 2-= 5．如图，已知直线a ∥b ，同时与∠POQ 的两边相交，则下列结论中错误的是（ ）A ．∠3＋∠4＝180°B ．∠2＋∠5＞180°C ．∠1＋∠6＜180°D ．∠2＋∠7＝180°6．在一次演讲比赛中，某班派出的5名同学参加年级竞赛的成绩如下表（单位：分），其中隐去了3号同学的成绩，但得知5名同学的平均成绩是21分，那么5名同学成绩的方差是（ ）A ．2.4B ．6C ．6.8D ．7.57．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+<+132211x x a x 的解是x ＜a －1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤－6 B ．a ≤－5 C ．a ≤－4 D ．a ＜－48．如图是某市11月1日至10日的空气质量指数折线图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月7日中的某一天到达该市旅游，到达的当天作为第一天连续停留4天．则此人在该市停留期间恰好有两天空气质量优良的概率是( )A ．72B ．73C ．52D ．94 9．已知关于x 的一元二次方程02)(2=-+++c a bx x c a ，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． 下列关于这个方程的解和△ABC 形状判断的结论错误的是（ ）A ．如果x ＝－1是方程的根，则△ABC 是等腰三角形；B ．如果方程有两个相等的实数根，则△ABC 是直角三角形；C ．如果△ABC 是等边三角形，方程的解是x ＝0或 x ＝－1；D ．如果方程无实数解，则△ABC 是锐角三角形.10．已知□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是BC 的中点，作AE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连结EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF ＝∠BAD ；②EF＝AF ；③S △ABF ≤S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF.中一定成立的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③④D ．①②③④二．认真填一填 （本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（1）用科学记数法表示0.000 048为 ；（2）计算+-2)3(3)2(-＝ ．12．（1）已知53=b a ，则=+bb a ； （2）若两个相似三角形面积之比为1︰2，则它们的周长之比为 ．13．已知五月某一天，7个区（市）的日平均气温（单位℃）是20.1, 19.5, 20.2, 19.8，20.1，21.3，18.9 ，则这7个区（市）气温的众数是 ；中位数是 ．14．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A 、B 、C 、D 分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为23232-=x y ，则图中CD 的长为 ． 15．若函数k x k x k y ++++=)1()2(2的图象与x 轴只有一个交点，那么k的值为 ．16．如图，PQ 为⊙O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在⊙O 的上半圆运动（含P 、Q 两点），连结AB ，设∠AOB ＝α.有以下结论：①当线段AB 所在的直线与⊙O 相切时，AB ＝3；②当线段AB 与⊙O 只有一个公共点A 点时，α的范围是0°≤α≤60°；③当△OAB 是等腰三角形时，tan α＝215； ④当线段AB 与⊙O 有两个公共点A 、M 时，若AO ⊥PM ，则AB ＝6.其中正确结论的编号是 ．三．全面答一答 （本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17.（本小题6分）如图是某企业近五年的产值年增长率折线统计图和年产值条形统计图（不完整）.（1）员工甲看了统计图说2013年的产值比2012年少，请你判断他的说法是否正确（不必说理）；（2）补全条形统计图（条形图和数字都要补上）；（3）求这5年平均年产值是多少万元.18.（本小题8分）填空和计算：（1）给出下列代数式：21，xx 212+，21+x ，5-x ，122-x ，22+-x x ，其中有 个是分式； 请你从上述代数式中取出一个分式为 ，对于所取的分式：①当x 时分式有意义；②当x ＝2时，分式的值为 .（2）已知223-=x ，223+=y ，求代数式226y xy x ++的值.19．（本小题8分）（1）尺规作图：以线段a 为斜边，b 为直角边作直角三角形（不写画法，保留痕迹）；（2）将所作直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，设a ＝5，b ＝3，求所得几何体的表面积.20．（本小题10分）如图，已知点A （1,4），点B （6，32）是一次函数b kx y +=图象与反比例函数)0(>=m xm y 图象的交点，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ．（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）设P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB面积相等，求点P 坐标．21．（本小题10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝6，∠BAD ＝60°：（1）证明：BC ＝CD ；并求BC 的长；（2）设点E 、F 分别是AB 、AD 边上的中点，连结EF 、EC 、FC ，求△CEF 三边的长和cos ∠ECF 的值.22．（本小题12分）如图，面积为8cm 2的正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点C 运动；同时点Q 从C 点出发以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定P 点到达点C 时，点Q 也停止运动，过点Q 作平行于y 轴的直线l ．连结AP ，过P 作AP 的垂线交l 于点D ，连结AD ，AD 交BC 于点E.设点P 运动的时间为t 秒.（1）计算和推理得出以下结论（直接填空）：①点B 的坐标为 ；②在点P 的运动过程中，总与△AOP 全等的三角形是 ； ③用含t 的代数式表示点D 的坐标为 ；④∠PAD ＝ 度；（2）当△APD 面积为5 cm 2时，求t 的值；（3）当AP ＝AE 时，求t 的值（可省略证明过程，写出必要的数量关系列式求解）.23.（本小题12分）如图，直线42+=x y 与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，抛物线c ax ax y +-=32过点B 、C ，且与x 轴另一个交点为A ，过点C 作x 轴的平行线l ，交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式以及点A 、点G 的坐标；（2）设直线m x =交x 轴于点E （m ＞0），且同时交直线AC 于点M ，交l 于点F ，交抛物线于点P ，请用含m 的代数式表示FM 的长、PF 的长；（3）当以P 、C 、F 为顶点的三角形与△MEA 相似时，求出m 的值.2015中考二模数学答案一．选择题（每小题3分） CCBAD CCBDD二．填空题 （每小题4分） 11．（1）4.8×10－5 ；（2）1 ； 12．（1）58；（2）1︰2； 13．20.1；20.1 ；14．25； 15．3323±-或－2； 16．①②④17.（6分） （1）不正确--------------------------------------------1分（2）补全条形统计图、数字500、 900---------3分（3）784（万元）------------------------------------2分18.（8分）（1） 3 ；取出一个分式为（xx 212+，122-x ，22+-x x 之一），①分别（对应）x ≠0；x ≠±1；x ≠－2时分式有意义；②当x ＝2时，分式的值为（对应）45；32；0 （共4分，每空1分）（2）原式＝xy y x 4)(2++＝（+-223223+）2＋4（⨯-223223+）＝3＋4 ×41＝4-------4分，直接代值硬算不扣分；如果算错了，但能化为 xy y x 4)(2++或xy y x 8)(2+-得1分19．（8分）（1）尺规作图（略）---------------------------------------------------4分(2) 分类，分别绕不同的直角边：① 24π；②36π ---------4分（各2分）20．（10分）（1）一次函数的值小于反比例函数的值时x 取范围是0＜x ＜1或6＜x ＜7--------------------2分（2）待定系数法得到：31432+-=x y --------------------------2分， m ＝4 ----------------------2分 （3）设P （x ,31432+-x ）, S △PCA ＝)314324(121-+⨯⨯x ----1分，S △PDB ＝)6(3221x -⨯⨯-----1分 解得P （37,27）-------------------------------------------------------------------------------------2分 21．（10分）(1) 连结AC ，在△ABC 和△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC （HL ）-------------2分 ；∴BC ＝CD ， -----------------1分∵△ABC ≌△ADC ，∴∠CAB ＝30°，AB ＝6，∴BC ＝32 -----------2分(2) ∵∠BAD ＝60°，AE ＝AF ＝3，∴EF ＝3，--------------------------------1分EC ＝FC ＝=+22)32(321 ---------------------------------------------------2分作EG ⊥CF ，设CG ＝x ，则 212－x 2＝EG 2＝32－2)21(x - 解得x ＝142111------------1分∴cos ∠ECF ＝142111/21＝1411------------------------------------------------------------------------1分22．（12分）（1）①点B （22 ，22）， 写（8，8）不扣分； ②与△AOP 全等的三角形是△PDQ ；③点D （22＋t , t ）；④∠PAD ＝45度；-------------------------4分（每空1分）（2）∵PD ＝22QD PQ +＝28t +，S △APD ＝21PD 2 ＝5, -----------2分∴8＋t 2＝10，∴t ＝2-------------------------------------------------2分（3）解法1：过D 作DG ⊥y 轴，则由三角形相似得GD AB EG BE = EG ＝t 222---------------1分；t 22222t =-t-----------1分； 解得t ＝4―22----------2分 解法2：当AP ＝AE 时，△AOP ≌△ABE （HL ）；连结PE ，作AG ⊥PE ，可得5个三角形全等，PC ＝EC ＝22―t ，∴PE ＝2OP ，∴PE ＝2PC ＝2（22―t ）＝4―2t -----------1分又PE ＝2OP ＝2 t--------------------------------------------1分∴4―2t ＝2 t ，解得t ＝4―22-----------------------2分（解题过程不必分析证明，只要数量关系正确即可。
江苏省常州市中考数学二模试题(含解析)
2015年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1． 3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．用科学记数法表示158000正确的是（）A．1.58×106B．1.58×105C．1.58×104D．158×1033．如图所示零件的左视图是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．3﹣1=﹣3 B． =±3 C．（ab2）3=a3b6D．a6÷a2=a35．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球比赛，1场是羽毛球比赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是（）A．B．C．D．6．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是线段AB上的一动点，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C1，点E是线段A1C的中点，则PE长度的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C． +1 D． +1二、填空题（本大题共有9小题，每小题2分，共18分）9．﹣的倒数是；16的平方根是．10．使分式有意义的x的取值范围是，当x=﹣3时，分式的值为．11．一组数据1，5，6，8，7，6的中位数是，众数是．12．如图，⊙O经过△ABC的三个顶点，过O与BC垂直的直线分别与AC、BC相交于D、E．若∠AB C=80°，∠C=40°，则∠EDC= ，∠BOE= ．13．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD相交于点G，若G为△ABC的重心，则DE：BC= ，△BDG的面积：△BEC的面积= ．14．已知一次函数的图象经过点A（2，1），和（0，3），则该函数的关系式为，当2＜x＜4时，函数值的取值范围为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．16．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是．17．如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F，且AB=BC．若A点的坐标为（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0），D、E两点在y轴上，E点坐标为（0，﹣1），则F点的坐标为．三、解答题（本大题共有11小题，共84分）18．化简：（1）（）0﹣cos30°+2﹣1；（2）﹣．19．（10分）解方程和不等式组：（1）﹣=1；（2）解不等式组．20．某学校在开展“书香校园”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次．（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．21．如图，已知：四边形ABCD是正方形，点E、F在对角线BD上，且BF=DE．求证：AE=CF．22．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接BD、CE、BD、CE相交于点F，且∠ADB=∠BAC．求证：四边形ABFE为菱形．23．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，先把△ABC沿x轴翻折，再把所得图形沿y 轴翻折，得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1（保留画图痕迹）并说明△ABC和△A1B1C1具有怎样的对称关系？（2）若以坐标原点O为圆心的圆与直线AC相切，则该圆的半径长为．24．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）4000 2500售价（元/部）4300 3000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．25．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b）和B（a，b′），若b′=，则称点B′（a，b′）是点A（a，b）的“相伴点”．请你解决下列问题：（1）点（3，﹣2）的“相伴点”是，点（，﹣1）的“相伴点”是．（2）已知点C在函数y=﹣x+2的图象上，①已知点C在函数y=﹣x+2（x≤﹣1）的图象上，则点C的“相伴点”C′在函数y= 的图象上；②已知点C在函数y=﹣x+2（﹣2≤x≤m，m＞﹣2）的图象上，则点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c≤1，求m的取值范围．26．已知二次函数y=ax2（a为常数），经过点A（﹣1，﹣）；点F（0，﹣1）在y轴上，直线y=1与y轴相交于点H．（1）求a的值；（2）点P是二次函数y=ax2（a为常数）图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，试说明：FM平分∠OFP；（3）在（2）的条件下，当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．27．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，点C、点B关于点M（0，2）对称．（1）求C点坐标；（2）设过B、C两点的圆的圆心为P①若P点横坐标为﹣3，圆P交x轴于点E、F（E在F的左侧），分别求sin∠BEC和sin∠BFC的值；②对于常数a（a＞1），x轴上是否存在点Q，使得sin∠BQC=？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015年江苏省常州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣3【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义即可求解．【解答】解：3的相反数是：﹣3．故选D．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，a的相反数是﹣a．2．用科学记数法表示158000正确的是（）A．1.58×106B．1.58×105C．1.58×104D．158×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：158000=1.58×105，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示零件的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据已知几何体可得，左视图为一个矩形里有一条横向的实线．【解答】解：如图所示零件的左视图是：．故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，俯视图，左视图分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．4．下列运算正确的是（）A．3﹣1=﹣3 B． =±3 C．（ab2）3=a3b6D．a6÷a2=a3【考点】同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算．【解答】解：A、3﹣1=≠﹣3，故A选项错误；B、=3≠±3，故B选项错误；C、（ab2）3=a3b6，故C选项正确；D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误．故选：C．【点评】此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．5．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球比赛，1场是羽毛球比赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】列举出所有情况，看选看的2场恰好都是乒乓球比赛的情况占总情况的多少即可．【解答】解：一场可能有3种情况，另一场可能有2种情况，那么共有3×2=6种可能，而有2种结果都是乒乓球的，所以都是乒乓球赛的概率概率为，故选B．【点评】情况较少可用列举法求概率，采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】行程问题．【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，由题意得， =．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×2=4，∴xy=k=4，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质，掌握反比例函数y=图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是线段AB上的一动点，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C1，点E是线段A1C的中点，则PE长度的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C． +1 D． +1【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，根据CD=ACsin∠BAC求出CD的长，当P在AB上运动至垂足点D，△ABC绕点C旋转，点D的对应点D′在线段A1C上时，EP最小．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ACD中，AC=2，∴CD=ACsin∠BAC=2×=，当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点D的对应点为D′，当点C、E、D′共线时D′E最小，即PE最小，最小值为CD′﹣CE=CD﹣CE=，故选：B．【点评】本题考查的是图形的旋转、锐角三角函数的定义等知识，根据题意得出点P运动至点D、△ABC绕点C旋转到点C、E、D′共线时D′E最小，即PE最小是解题的关键．二、填空题（本大题共有9小题，每小题2分，共18分）9．﹣的倒数是﹣；16的平方根是±4 ．【考点】平方根；倒数．【分析】依据倒数的定义、平方根的定义求解即可．【解答】解：﹣的倒数是﹣．∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：﹣，±4．【点评】本题主要考查的是平方根、倒数的定义，掌握平方根的定义、倒数的定义是解题的关键．10．使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣1 ，当x=﹣3时，分式的值为﹣3 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可；将x=﹣3代入分式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1；x=﹣3时， ==﹣3．故答案为：x≠﹣1；﹣3．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．11．一组数据1，5，6，8，7，6的中位数是 6 ，众数是 6 ．【考点】众数；中位数．【专题】推理填空题．【分析】把题目中的数据按照从小到大的顺序排列，从而可以得到这组数据的中位数和众数．【解答】解：1，5，6，8，7，6按照从小到大排列是：1，5，6，6，7，8，故这组数据的中位数是6，众数是6，故答案为：6，6．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确题意，会找一组数据的中位数和众数．12．如图，⊙O经过△ABC的三个顶点，过O与BC垂直的直线分别与AC、BC相交于D、E．若∠ABC=80°，∠C=40°，则∠EDC= 50°，∠BOE= 60°．【考点】圆周角定理．【分析】连接OC，根据三角形的内角和得到∠BAC=60°，由圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠ABC=80°，∠C=40°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∵过O与BC垂直的直线分别与AC、BC相交于D、E，∴∠BOE=∠BOC=60°，∵∠DEC=90°，∠ACB=40°，∴∠EDC=50°，故答案为：50°，60°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD相交于点G，若G为△ABC的重心，则DE：BC= 1：2 ，△BDG的面积：△BEC的面积= 1：3 ．【考点】三角形的重心．【分析】根据重心的概念得到D、E分别为AB、AC上的中点，EG=EB，根据三角形中位线定理和三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴D、E分别为AB、AC上的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△BDG的面积=△CGE的面积，∵G为△ABC的重心，∴EG=EB，∴△CEG的面积：△BEC的面积=1：3，∴△BDG的面积：△BEC的面积=1：3，故答案为：1：2；1：3．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．14．已知一次函数的图象经过点A（2，1），和（0，3），则该函数的关系式为y=﹣x+3 ，当2＜x＜4时，函数值的取值范围为﹣1＜y＜1 ．【考点】一次函数的性质．【分析】先利用待定系数法求出一次函数的关系式，再求出当x=2，x=4时y的值即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（2，1）和（0，3），∴，解得，∴该函数的关系式为y=﹣x+3．∵当x=2时，y=﹣2+3=1；当x=4时，y=﹣4+3=﹣1，∴﹣1＜y＜1．故答案为为：y=﹣x+3，﹣1＜y＜1．【点评】本题考查的是一次函数的性质，能利用待定系数法求出一次函数的解析式是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5 ．【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，属于中考常考题型．16．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是x≤0 ．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分．【解答】解：分三种情况讨论：①当x≥3时，原式可化为：x+3=x﹣3，无解；②当0＜x＜3时，原式可化为：x+3=3﹣x，此时x=0；③当x≤0时，原式可化为：﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．综上所述，则x≤0；故答案为：x≤0．【点评】此题主要考查了绝对值，能够根据x的取值范围进行分情况化简，然后根据等式是否成立进行判断是解题的关键．17．如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F，且AB=BC．若A点的坐标为（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0），D、E两点在y轴上，E点坐标为（0，﹣1），则F点的坐标为（4，2）．【考点】全等三角形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据点的坐标求出AB=BC=5，OE=1，OD=4，AQ=4，CQ=2，BQ=3，根据全等三角形的性质得出DF=AC，EF=AB=5，FW=AQ=4，在△FWE中，由勾股定理得：WE=3，求出OW=2，即可得出答案．【解答】解：过A作AQ⊥x轴于Q，过F作FW⊥y轴于y，∵A点的坐标为（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0），D、E两点在y轴上，E点坐标为（0，﹣1），AB=BC，∴AB=BC=5，OE=1，OD=4，AQ=4，CQ=2，BQ=6﹣3=3，∵△ABC与△DEF全等，∴F和A是对应点，DF=AC，EF=AB=5，FW=AQ=4，在△FWE中，由勾股定理得：WE=3，∵OE=1，∴OW=2，∴F点的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．【点评】本题勾股定理，坐标与图形的性质，全等三角形的性质的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．三、解答题（本大题共有11小题，共84分）18．化简：（1）（）0﹣cos30°+2﹣1；（2）﹣．【考点】分式的加减法；实数的运算；零指数幂．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣×+=1﹣1=0；（2）原式=﹣==．【点评】此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．解方程和不等式组：（1）﹣=1；（2）解不等式组．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：3x+2=x﹣1，解得：x=﹣，经检验x=﹣是分式方程的解；（2），由①得：x≤4；由②得：x＞2，则不等式组的解集额2＜x≤4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．某学校在开展“书香校园”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查（2013•连云港）甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次．（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．【考点】列表法与树状图法．【专题】图表型．【分析】（1）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；（2）根据（1）中的概率解答．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：一共有8种情况，最后球传回到甲手中的情况有2种，所以，P（球传回到甲手中）==；（2）根据（1）最后球在丙、乙手中的概率都是，所以，乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在甲或丙的手中．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，已知：四边形ABCD是正方形，点E、F在对角线BD上，且BF=DE．求证：AE=CF．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】欲证明AE=CF，只要证明△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵BF=DE，∴BE=DC，在△ABE 和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接BD、CE、BD、CE相交于点F，且∠ADB=∠BAC．求证：四边形ABFE为菱形．【考点】菱形的判定；旋转的性质．【专题】证明题．【分析】由旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，得出∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，证出∠DAE=∠ADB，得出AE∥BD，由三角形内角和定理证出∠ABD=∠ACE，得出∠BAC=∠ACE，证出AB∥CE，得出四边形ABFE是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，∠BAD=∠CAE，∵∠ADB=∠BAC，∴∠DAE=∠ADB，∴AE∥BD，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∴四边形ABFE是平行四边形，又∵AB=AE，∴四边形ABFE为菱形．【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定方法、菱形的判定方法、等腰三角形的性质、平行线的判定方法；熟练掌握旋转的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键，有一定难度．23．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，先把△ABC沿x轴翻折，再把所得图形沿y 轴翻折，得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1（保留画图痕迹）并说明△ABC和△A1B1C1具有怎样的对称关系？（2）若以坐标原点O为圆心的圆与直线AC相切，则该圆的半径长为．【考点】切线的性质；作图﹣轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再由△ABC和△A1B1C1在坐标系中的位置指出其位置关系即可；（2）连接OA，OC，设点O到直线AC的距离为h，根据勾股定理求出AC的长，再由三角形的面积即可得出h的长，即为该圆的半径长．【解答】解：（1）如图所示，由图可知，△ABC和△A1B1C1关于原点对称；（2）连接OA，OC，设点O到直线AC的距离为h，∵AC==，∴S△OAC=וh=3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3=，∴h=．∴该圆的半径长为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了平移变换和轴对称变换以及切线的性质、三角形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．24．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）4000 2500售价（元/部）4300 3000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金不超过17.25万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．【解答】解：（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得，解得．答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000（20﹣a）+2500（30+3a）≤172500 解得a≤5设全部销售后的毛利润为w元．则w=300（20﹣a）+500（30+3a）=1200a+21000．∵1200＞0，∴w随着a的增大而增大，∴当a=5时，w有最大值，w最大=1200×5+21000=27000答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．25．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b）和B（a，b′），若b′=，则称点B′（a，b′）是点A（a，b）的“相伴点”．请你解决下列问题：（1）点（3，﹣2）的“相伴点”是（3，﹣2），点（，﹣1）的“相伴点”是（，1）．（2）已知点C在函数y=﹣x+2的图象上，①已知点C在函数y=﹣x+2（x≤﹣1）的图象上，则点C的“相伴点”C′在函数y= x﹣2 的图象上；②已知点C在函数y=﹣x+2（﹣2≤x≤m，m＞﹣2）的图象上，则点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c≤1，求m的取值范围．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．【分析】（1）先确定a的大小范围，进一步根据“相伴点”的定义即可求解；（2）①根据b′=，则称点B′（a，b′）是点A（a，b）的“相伴点”，可得点C的“相伴点”C′所在的函数；②根据点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c≤1，分情况讨论可求m的取值范围．【解答】解：（1）点（3，﹣2）的“相伴点”是点（3，﹣2），点（，﹣1）的“相伴点”是（，1）．（2）①∵函数y=﹣x+2（x≤﹣1），∴点C的“相伴点”C′在函数﹣y=﹣x+2，即y=x﹣2上；②∵点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c≤1，∴当m≥2时，点C的“相伴点”C′的横坐标为3≤m＜6；当m＜2时，点C的“相伴点”C′的横坐标为﹣2＜m≤1．故答案为（3，﹣2），（，1）；x﹣2．【点评】本题考查了在新定义下一次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况，解题的关键是理解在新定义下x与y′的相应区间．26．已知二次函数y=ax2（a为常数），经过点A（﹣1，﹣）；点F（0，﹣1）在y轴上，直线y=1与y轴相交于点H．（1）求a的值；（2）点P是二次函数y=ax2（a为常数）图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，试说明：FM平分∠OFP；（3）在（2）的条件下，当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】计算题．【分析】（1）直接把A点坐标代入y=ax2经过点中求出a的值，从而得到而此函数解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（x，﹣ x2），根据两点间的距离公式计算出PF= x2+1，再表示出MP的长，则MP=PF，所以∠PMF=∠PFM，然后证明∠PFM=∠HFM即可；（3）利用等边三角形的性质得到∠PFM=60°，MP=MF，所以∠HFM=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MF=2HF=4，于是得到方程x2+1=4，然后解方程求出x即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2经过点A（﹣1，﹣），∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2；（2）设P（x，﹣ x2），而F（0，﹣1）∴PF==x2+1，∵PM⊥直线y=1，∴M（x，1），∴MP=1﹣（﹣x2）=x2+1，∴MP=PF，∴∠PMF=∠PFM，∵PM∥y轴，∴∠PMF=∠HFM，∴∠PFM=∠HFM，∴FM平分∠OFP；（3）∵△FPM是等边三角形，∴∠PFM=60°，MP=MF，∴∠HFM=60°，在Rt△MHF中，MF=2HF=2×2=4，∴x2+1=4，解得x=±2，∴P点坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等边三角形的性质；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；把证明FM平分∠OFP转化为证明PM=PF是解决（2）小题的关键．27．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，点C、点B关于点M（0，2）对称．（1）求C点坐标；（2）设过B、C两点的圆的圆心为P①若P点横坐标为﹣3，圆P交x轴于点E、F（E在F的左侧），分别求sin∠BEC和sin∠BFC的值；②对于常数a（a＞1），x轴上是否存在点Q，使得sin∠BQC=？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）首先求出点A，B的坐标，然后根据点C、点B关于点M（0，2）对称，求出C点坐标是多少即可．（2）①首先求出圆心的坐标和圆的半径，然后连接BP并延长交⊙P于点G，根据圆周角定理，可得∠BEC=∠BFC=∠BGC，据此求出sin∠BEC和sin∠BFC的值是多少即可．②x轴上存在点Q，使得sin∠BQC=．首先根据sin∠BQC=，分别求出圆的半径、圆心的坐标各是多少；然后求出圆的解析式，令y=0，即可求出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x，y轴分别交于点A，B，∴A（3，0）、B（0，3），又∵点C、点B关于点M（0，2）对称，∴C点坐标是（0，1）．（2）如图1，连接BP并延长交⊙P于点G，，∵⊙P过B、C两点，∴圆心P在BC的中垂线上，∴P点的纵坐标是2，又∵P点横坐标为﹣3，∴P点坐标为（﹣3，2），半径r=PB=，根据圆周角定理，可得∠BEC=∠BFC=∠BGC，∵∠BCG=90°，∴sin∠BEC=sin∠BFC=sin∠BGC==．（3）x轴上存在点Q，使得sin∠BQC=．。
【初中数学】江苏省南京市联合体2015年中考模拟数学试卷(二) 人教版
2015年中考模拟试卷（二）数 学化工园 雨花 栖霞 浦口四区联合体注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．﹣12的相反数是 （ ▲ ）A. -2B.2C. -12D. 122.下列计算正确的是（ ▲ ） A. a 3+a 4=a 7B ．2a 3•a 4=2a 7C ．（2a 4）3=8a 7D ．a 8÷a 2=a 43.为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ▲ ）4平面展开图如图所示，那么在该正方体中， 和“一”相对的字是（ ▲ ）（第4题）（第5题）ABCO（第6题）BADCEF5.6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接．．．．．．．7．代数式1x-1有意义，则x的取值范围是▲ ．8. 分解因式：a3－4a＝▲．9. 计算27 －2cos30°－|1－ 3 |＝▲ .10. 反比例函数y＝kx 的图象经过点（1，6）和（m，-3），则m＝▲ .11.如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠ABC＝60°，则BD＝▲ .12. 如图，在⊙O中，AO∥CD, ∠1＝30°，劣弧AB的长为3300千米，则⊙O的周长用科学计数法表示为▲ 千米．13.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元，若平均增长率为x，则x＝▲.14．直角坐标系中点A坐标为（5，3），B坐标为（1，0），将点A绕点B逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为▲ .15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为▲ .(第15题)AB C（第11题）BOA1CD （第12题）(第16题)16.如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为▲ .三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组 ⎩⎨⎧2x +3y ＝﹣5，3x －2y ＝12.18.（6分）化简：（x x －1－x ）÷x －2x 2－2x +1．19.（8分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③代表，化学用字母a 、b 、c 表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定．（1）小张同学对物理的①、②和化学的b 、c 实验准备得较好.请用树形图或列表法求他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率； （2）小明同学对物理的①、②、③和化学的a 实验准备得较好.他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为 ▲ .20. （8分）据报道，历经一百天的调查研究，南京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车每行驶20千米平均向大气里排放0.035千克污染物．校环保志愿小分队从环保局了解到南京100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：（1） 表中a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ，图中严重污染部分对应的圆心角n ＝ ▲ °. （2）请你根据“2014年南京市100天空气质量等级天数统计表”计算100天内重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米．已知南京市2014年机动车保有量已突破200万辆，请你通过计算，估计2014年南京市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？2014年南京市100天空气质量等级天数统计图21.（8分）如图， 在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，AF 与EH 交于点M ，FG 与CH 交于点N .（1）求证：四边形MFNH 为平行四边形； （2）求证：△AMH ≌△CNF .22. （8分）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子花费300圆，乙种粽子花费400元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？23.（8分）如图，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30º，在A 、C 之间选择一点B （A 、B 、C 三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶D 的仰角为75º，且AB 间距离为40m ． （1）求点B 到AD 的距离； （2）求塔高CD （结果用根号表示）．ABCD（第23题）30°75°A B C F G E H M N24．（8分）小林家、小华家、图书馆依次．．在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟.设两人出发x （分钟）后，小林离小华家的距离为y （米），y 与x 的函数关系如图所示.（1）小林的速度为 ▲ 米/分钟 ，a ＝ ▲ ，小林家离图书馆的距离为 ▲ 米； （2）已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与自己家的距离为y 1（米），请在图中画出y 1（米）与x （分钟 ）的函数图象； （3）小华出发几分钟后两人在途中相遇？25．(8分)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图①所示）． （1）求出这条抛物线的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间有一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（第24题）（分钟）（第25题）26. （10分）如图，已知△ABC ，AB =6、AC ＝8，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图①若∠AEF ＝∠C ，求证：BC 与⊙O 相切； （2）如图②，若∠BAC ＝90°，BD 长为多少时，△AEF 与△ABC 相似.27. (10分)已知直角△ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 为AB 边上一动点，沿EF 折叠，点C 与点D 重合，设BD 的长度为m . （1）如图①，若折痕EF 的两个端点E 、F 在直角边上，则m 的范围为 ▲ ; （2）如图②，若m 等于2.5，求折痕EF 的长度； （3）如图③，若m 等于2013 ，求折痕EF 的长度.图②图① A DB C EFOCA BC备用EDF A CDBEFACBACB 图②图③图①DEF2015中考数学模拟试卷（二）答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．x ＞1 8. a （a －2）（a+2） 9. 3 +1 10. ﹣2 11. 2 3 12.3.96×104 13. （﹣2，4） 14.0.2 15. k ＜2 16. 6－2 3 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．解： ①×2得：4x +6y ＝﹣10③②×3得：9x －6y ＝36 ④③+④得：13x ＝26解得：x＝2········································································································3分 把x ＝2代入①得y ＝﹣3····················································································5分所以方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝-3.·················································································6分 18.解原式＝[x x －1－x (x －1)x －1]÷x －2x 2－2x +1·············································································1分＝x －x (x －1)x －1×x 2－2x +1 x －2·····························································································2分 ＝2x －x 2x －1×x 2－2x +1 x －2..................................................................................................3分 ＝x (2－x )x －1× (x －1)2 x －2.. (4)分＝-x (x－1) ··············································································································5分＝﹣x 2+x ················································································································6分19. （1）画图或列表正确·····································································································4分共有9种等可能结果，期中两科都满意的结果有4种··································································5分P（两科都满意）＝4 9.·········································································································6分（2）1 3···························································································································8分20. （1）25；20；72°······································································································3分（2）45% (5)分（3）＝87500（千克）···········································································8分21. （1）证明：连接BD ，∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点， ∴EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD . 同理FG ∥BD . ∴EH ∥FG·······················································································································2分 在□ABCD 中 ∴AD ∥＝BC ，∵H 为AD 的中点AH ＝12AD ，∵F 为BC 的中点FC ＝12BC ，∴AH ∥＝FC∴四边形AFCH 为平行四边形， ∴AF ∥CH ·······················································································································4分 又∵EH ∥FG ∴四边形MFNH 为平行四边形···························································································5分 （2）∵四边形AFCH 为平行四边形 ∴∠F AD ＝∠HCB ···········································································································6分∵EH ∥FG,∴∠AMH ＝∠AFN ∵AF ∥CH∴∠AFN ＝∠CNF ∴∠AMH ＝∠CNF ············································································································7分 又∵AH ＝CF∴△AMH ≌△CNF ·············································································································8分22.解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元， 由题意得，300（1+20％）x+400 x＝260，···················································································4分 解得：x =2.5，·················································································5分 经检验：x =2.5是原分式方程的解，························································································6分 （1+20%）x =3， 则买甲粽子为：300（1+20％）x＝100个，乙粽子为：400x ＝160个．················································7分答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．········································8分23. （1）作BE ⊥AD ，垂足为E ， 在Rt △AEB 中，sin A ＝BEAB ，12＝BE40，BE ＝20················3分 （2）∠DBC 是△ABD 的外角 ∠ADB ＝∠DBC －∠A ＝45°，···············4分 在Rt △DEB 中，tan ∠EDB ＝BE ED ，1＝20ED ，ED ＝20·············································5分 在Rt △AEB 中，cos ∠EAB ＝AEAB， EA ＝20 3 ······························6分 AD＝ED +EA＝20+20 3 ························································································7分 在Rt △ACD 中，sin ∠DAC ＝DCAD， EA ＝10+10 3 ·····················································8分24.（1）60；960；1200；····························3分 （2）如图略（以（0,0）、（24,960）为端点的线段），····························5分（3）解法一：由题意得60x －240=40x ，x =12，小华出发12分钟后两人在途中相遇．························8分解法二：设小林在4~20分钟的函数表达式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧0＝4k +b 960=20k +b，∴k =60，b =－240，下同解法一··········8分25.解：（1）设抛物线的函数表达式为y =a (x －6)2+6，∵图像过点（0,0）∴a =－16， (2)分∴y =－16 (x －6)2+6＝－16x 2+2x ，…………………3分0≤x ≤12．…………………4分（2）当x ＝3时，y ＝－16×9+2×3＝4.5．…………………6分∵4.5＜5，∴不能通过．…………………8分26.(1)证明：连接DF ，在⊙O 中∠AEF ＝∠ADF ····························1分又∵∠AEF ＝∠C ∴∠ADF ＝∠C ····························2分∵AD 为直径，∴∠AFD ＝90°∴∠CFD ＝90°∴∠C +∠CDF ＝90° ∴∠ADF +∠CDF ＝90°∴∠ADC ＝90°····························3分 又∵AD 为直径∴BC 与⊙O 相切. ····························4分(2)情况一：若△AEF ∽△ACB ，则∠AEF ＝∠C ，由（1）知BC 与⊙O 相切. ∴BD ＝3.6···············7分情况二：若△AEF ∽△ABC ∴∠AEF ＝∠B ，∴EF ∥BC ，ABCD（第23题）30°75°E∵∠EAF 为直角，∴EF 为直径，∴△AEO ∽△ABD ， ∴EA BA ＝EO BD ＝AO AD ＝12，∴BD ＝2EO ＝EF ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC ∴EF BC ＝EA BA ＝12 ,即BD ＝2EO ＝EF ＝12BC ＝5……………………10分27.解：（1）2≤m ≤4；…………………2分 （2）方法一、∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∵BD ＝2.5，∴AD ＝DB ＝CD ＝2.5，∵点C 与点D 关于对称，∴DE ＝CE ，CF ＝DF ，∴∠CAD =∠ECD =∠EDC ， ∴△ACD ∽△CDE ，∴AC CD =ADCE，即32.5＝2.5CE ，∴CE =2512；同理CF =2516 ；∴EF =12548．…………………6分方法二、作DG ⊥BC ，垂足为G ，连接DF ，△BGD ∽△BCA ，∴DG AC =BD AB =BG CB∴DG ＝32，C G ＝GB ＝2在Rt △FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，（2－DF ）2+1.52＝DF 2，解得DF ＝2516，CF ＝DF ＝2516…………………4分 ∵∠CEF+∠ECD =90°，∠D CF+∠ECD =90°，∴∠CEF =∠D CF ，又∵∠ECF ＝∠CGD ＝90° ∴△ECF ∽△CGD ∴EF CD =CFDG ∴EF =12548.…………………6分 （3）作DG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥BC ,垂足为H ，连接DF ，△BGD ∽△BCA ，∴DG AC ＝BDAB ＝BGCB∴DG ＝1213， GB ＝1613∴CG ＝3613在Rt △FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，（3613－DF ）2+（1213）2＝DF 2，解得DF ＝2013，C F ＝DF ＝2013……………8分 易证∠HEF =∠D CG ，又∵∠EHF ＝∠DGC ＝90°∴△EHF ∽△CGD ∴EH CG ＝HF DG ∴EH HF ＝CG DG ＝13，设FH ＝x ，则EH ＝3x ，∵EH ∥AC ，∴△EHB ∽△ACB ∴EH AC ＝HB BC ∴3x3＝4- 2013+x 4解得x ＝3239 ，∴EF ＝10 FH ＝323910 …………10分DEG F A CDBE FACBACB 备用备用图①DEF H G。
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2014-2015学年九年级数学学业水平调研试卷（二）一、选择题：（每小题2分，共12分）1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是（ ▲ ）2．下列事件是必然事件的是（ ▲ ）A ．某射击运动员射击一次，命中靶心B ．单项式加上单项式，和为多项式C ．打开电视机，正在播广告D ．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同 3．函数2-=x y ，自变量x 的取值范围是（ ▲ ）A. x ＞2B. x ＜2C. x ≥2D. x ≤24．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式中正确的是（ ▲ ）A ． -a ＞bB ．－a ＜bC ．－a ＞－bD ．a ＞－b5．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数xy 3=的图像交于A 、B 、C 、D 四点，已知点A6．若关于x 的一元二次方程02=++b ax x 有两个不同的实数根n m ,)(n m <，方程22=++b ax x 有两个不同的实数根q p ,)(q p <，则q p n m ,,,的大小关系为（ ▲ ） A ．q n m p <<< B ．n q p m <<< C ．q n p m <<< D ．n q m p <<<二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．写出大于-2的一个负数： ▲ ． 8．计算））（（2-525+结果是 ▲ ． 9．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2= ▲°． 10．正比例函数kx =y 的图像经过点(－2，1)、(1，y 1)、(2，y 2)，则y 1 ▲ y 2（填“＜”或“＞”）． 11.二次函数22y 2+-=x x 的图像顶点坐标是 ▲ ．12. 已知棱柱的侧棱长为6，俯视图是边长为4的等边三角形，则此棱柱的侧面积为 ▲ ．13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= ▲ °． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且13AB =，AC=12，OD AC ⊥，垂足为D ，则OD 的长为 ▲ ．15．如图，在△ABC 中，AB=4，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ▲ ．16．如图，圆心O 恰好为正方形ABCD 的中心，已知AB ＝10，⊙O 的半径为1，现将⊙O 在正方形内部沿某一方向平移，，当它与正方形ABCD 的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d ，则d 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（6分）解不等式1233≤-+x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. （6分）解方程组：⎩⎨⎧=+=+.52,42y x y x19. （6分）计算： xx x x x 22)2422+÷-+-（．20．（8分）一次期中考试中，A 、B 、C 、D 、E 五位同学的数学、英语成绩有如下信息：（公式：方差222212[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 是平均数．） （1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差．（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝个人成绩－平均成绩标准差．（说明：标准差为方差的算术平方根）从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？21．（8分）某校举行班级网球对抗赛，每个班级选派一对男女混合双打选手参赛，九年级一班准备在小明、小亮两名男选手和小敏、小颖、小丽三名女选手中，选择男、女选手各一名组成一对参赛．（1）列出所有可能的配对结果；（2）如果小明与小丽、小亮与小敏是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？22．（8分）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
23．（8分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AH ⊥BC ，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH=EH ，（1）求证：四边形EBFC 是菱形； （2）如果∠BAC=∠ECF ，求证：AC ⊥CF ．24. （9分）在数学活动课上，为测量教学楼前的一座雕塑AB 的高度。
小明在二楼C 处，利用测角仪测得雕塑顶端A 处的仰角为30°，底部B 处的俯角为45°，小华在五楼D 处，利用测角仪测得雕塑顶端A 处的俯角为60°，.若CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据41.12,73.13≈≈）．25．（9分）长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设5月份该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划5月份销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价－进价）26．（10分）如图，以菱形ABCD的顶点C为圆心画⊙C，⊙C与AB相切于点G，与BC、CD分别相交于点E、F．（1）求证：AD与⊙C相切；（2）如果∠A＝135°，AB＝2，现用扇形CEF做成圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径．27. （10分）如图①，直线l1、l2相交于点O，长为2的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°．（1）请在图①中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；（2）若直线l1、l2的夹角为60°，线段AB在直线l2上左右移动．①当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．2014～2015学年度初三数学二模测试卷答案一、选择题：（每小题2分，共12分）1．C ； 2． D ； 3． C ； 4． A ； 5． B ； 6．A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7． 答案不唯一，如-1； 8．1； 9．55； 10．＞； 11.（1，1）； 12.72； 13．100； 14． 2.5； 15． 42； 16．4≤d ≤4 2 三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．(6分)去分母，得2x+3(x-3)≤6 ………………………………………………1分整理，2x+3x-9≤6………………………………………………2分 得5x ≤15………………………………3分∴x ≤3 …………………………………………………………4分将解集在数轴上表示为：……………………6分18. (6分)由方程①，得 y=4-2x, ③ ……………………………………………………1分 将③代入②，得 x +2(4-2x )=5解此方程，得 x =1， ……………………………………………………3分 将x =1代入①，得y =2 ……………………………………………………5分 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==21y x ……………………………………………6分19．(6分)原式=x x x x 22242+÷--……………………………………………2分=222)2)(2(+∙--+x xx x x……………………………………………4分 =2x ……………………………………………………6分20．(8分)（1）数学成绩的平均分为7057068697271=++++．…………2分英语成绩的标准差为()()()()()[]36857685858594858285885122222=-+-+-+-+- …4分 （2）A 同学数学标准分为2227071=-……………………………………5分 A 同学英语标准分为2168588=- ……………………………………………6分因为22＞21，所以，A 同学在本次考试中，数学学科考得更好．………8分 21. (8分)（1）小明、小敏；小明、小颖；小明、小丽；小亮、小敏； 小亮、小颖；小亮、小丽--5分画树状图4分，结果1分；表格法5分（2）共有6种等可能结果…………………………6分P （最佳组合）= 13． ……………………………………8分22(8分)．解：（1）Δ=4-4m ………………………………………………1分因为方程有两个实数根所以，4-4m ≥0，…………………………………………………3分 即m ≤1 …………………………………………………………4分（2）由一元二次方程根与系数的关系，得1x +2x =2…………5分 又1x +32x =3所以，2x =21……………………………………………………6分 再把2x =21代入方程，求得m =43……………………………………8分23．(8分)证明：（1）∵AB=AC ，AH ⊥CB ，∴BH=HC ．∵FH=EH ，∴四边形EBFC 是平行四边形．………………………2分 又∵AH ⊥CB ，∴四边形EBFC 是菱形． ………………………4分 （2）证明：∵四边形EBFC 是菱形．∴∠1=21∠ECF ∵AB=AC ，AH ⊥CB ，∴∠2=21∠BAC ∵∠BAC=∠ECF ∴∠1=∠2． ……………………………………6分 ∵AH ⊥CB ∴∠2+∠ACH=90°．∴∠1+∠ACH=90°．即AC ⊥CF ． ………………………………………………8分 24．(9分)解：过点C 作CE AB ⊥于E ．……………………………1分 906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=°°，°°°，90CAD ∴∠=°． ………………………………………………2分11052CD AC CD =∴==，．………………………………3分在Rt ACE △中，5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==°，………………………4分5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==°5分在Rt BCE △中，545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==°，°， (6)分551) 6.822AB AE BE ∴=+=+=≈（米）．………8分所以，雕塑AB 的高度约为6.8米．………………………………9分25．(9分)（1）①当0≤x ≤5且x 为整数时，y ＝30 ……………………2分 ②当6≤x ≤30，且x 为整数时，y ＝30－0.1×（x －5）＝－0.1x ＋30.5 ………4分 （2）若该月售出低于5辆，（32－30）×5＜45，不符合题意，因此售出要多于5辆．M……………………………5分设该月销售x 辆，则由题可得：x [32－（－0.1x ＋30.5）]＝45…………………………7分 解得：x 1＝15，x 2＝－30（舍去）答：该月需要售出15辆汽车． ……………………………9分 26．(10分)（1）证明：连接CG 、AC ，过点C 作CH ⊥AD , 垂足为H ………1分 ∵AB 与⊙C 相切，∴CG ⊥AB ，…2分 ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC 平分∠BAD …3分∴CG ＝CH , ∴AD 与⊙C 相切…5分 （2）∵∠A ＝135°，∴∠B ＝45°， 在Rt △CBG 中，得∠B ＝45°，BC ＝AB ＝2， ∴CG ＝1，即：R ＝1． …7分设圆锥底面的半径为r ，则2πr ＝135180180n R ππ=…9分 ∴r ＝38．答：圆锥底面圆的半径为38…10分27．(10分)（1）如图（以AB 为边在x 轴上方作等边三角形ABC ，以C 为圆心，AB 长为半径作圆，与直线l 1有两个交点P 1、P 2，则P 1、P 2是符合条件的点） …3分（2）如备用图①，当直线l 1与⊙C 相切于点P ，且A 在O 的右侧时，则∠APB ＝30° 连接CP ，过A 作AD ⊥l 1于D 则AD ＝CP ＝2，∴OA ＝AD sin60° ＝433 …………………………………………6分 如备用图②，当直线l 1与⊙C 相切于点P ，且A 在O 的左侧时，则∠APB ＝30°连接CP ，过B 作BE ⊥l 1于E 则BE ＝CP ＝2，∴OB ＝BE sin60° ＝4 3 3∴OA ＝ 433＋2 ……………………7分 综上所述，当A 在O 的右侧，OA ＝4 3 3 或A 在O 的左侧，OA ＝ 433＋2时符合条件的点P 有且只有一个（3）存在 ………………………………………8分如备用图③，当直线l 1与⊙C 1相交于点P 1、P 2，与⊙C 2相切于点P 3时连接C 2P 3，过O 作OF ⊥BC 2于F ,则OF ＝C 2P 3＝2，∴OB ＝BE sin60° ＝ 4 3 3 ∴OA ＝433－2 ---9分 如备用图④，当直线l 1与⊙C 1相切于点P 1，与⊙C 2相交于点P 2、P 3时连接C 1P 1，过A作AG ⊥l 1于G则AG ＝C 1P 1＝2，∴OA ＝AG sin60° ＝433 ………………10分综上所述，当A在O的右侧，OA＝433－2或A在O的左侧，OA＝433时，符合条件的点P有三个。