级高等代数期末考试试卷
高等代数期末卷及答案
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。
3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。
1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。
X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。
求证 当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。
证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。
(1%令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%)不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。
故 p(x) |1 矛盾。
(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案一、选择题1. 设A和B都是n阶方阵，下列哪个条件可以推断出A与B一定可交换？A. AB = BAB. AB = 0C. det(A) = 0D. AB = I （单位矩阵）正确答案：A2. 设A是n阶方阵且可逆，则A^-1的列向量组是否一定线性无关？A. 是B. 否正确答案：A3. 设A是n阶对称矩阵，则A肯定满足的性质是：A. A的特征值为实数B. A的特征向量构成一组正交基C. A一定可以对角化D. A的秩等于n正确答案：A4. 设A是n阶可逆矩阵，下列哪个等式成立？A. (A^-1)^T = AB. (A^T)^-1 = AC. (A^-1)^T = (A^T)^-1D. (A^T)^-1 = (A^-1)^T正确答案：D5. 设A是n阶方阵，则A可能是可逆矩阵的充分必要条件是：A. 行列式det(A)不等于0B. 矩阵A的秩等于nC. 矩阵A有n个互不相同的特征值D. 矩阵A的伴随矩阵可逆正确答案：A二、计算题（请写出详细过程并附上最后计算结果）1. 计算矩阵相乘：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [1 -1; 2 -2; 3 -3]解答：A *B = [1*1 + 2*2 + 3*3 1*(-1) + 2*(-2) + 3*(-3);4*1 + 5*2 + 6*3 4*(-1) + 5*(-2) + 6*(-3)]= [14 -14;32 -32]2. 计算矩阵的逆：设A = [1 2; 3 4]解答：计算A的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2计算伴随矩阵：adj(A) = [4 -2;-3 1]计算A的逆：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) = (1/-2) * [4 -2;-3 1]= [-2 1;1.5 -0.5]三、证明题证明：若A是n阶对称矩阵，则A一定可以对角化。
解答：要证明A一定可以对角化，需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1) * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等代数试卷-中南大学
4---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷 时间100分钟题 号 一 二 三 四 合 计 得 分 评卷人 复查人 201 ~ 201 学年 1 学期 高等代数 课程期末考试试题 64 学时， 4 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 % 一、选择题 (本题15分，每小题3分) 1、若5级矩阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵的秩为（ ） *A A. 0 B. 1 C.2 D.4 2、 设5级矩阵A 的行列式 21||=A ，则 （ ） =−|2|*A A. 14 B. 12 C. 2 D. 2−3、设21,αα是非齐次线性方程组β=AX 的两个特解，又β是对应的齐次线性方程组的一个解, 则下列选择中哪一个是0=AX β=AX 的解？ （ ）A. 21αα+ B. 21αα− C. 1αβ+ D. 1αβ− 4、、设非零的矩阵n n ×A 的行列式为零, 则 ( ) A.A 中至少有一行(列)元素全为零或至少有两行(列)元素对应成比例关系; B. 齐次线性方程组有非零解, 其中是0=∗X A ∗A A 的伴随矩阵; C. A 的行向量组和列向量组不可能都是线性相关的; D. 线性方程组b AX =有无穷多解. 5 设x x x x x x f 111133111212)(−=， 则的系数为 （ ）4x A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 (本题15分，每小题3分) 1、若,)(23x x x x f −−=1)(+=x x g ，则除的余式)(x g )(x f 为=)(x r . 2、方程组的基础解系是12340x x x x +++= .得 分 评卷人 得 分 评卷人3、设，则次解集向量组W 的秩等于____________. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+++=−−−==0...0...|),,,(212121n n n x x x x x x x x x X W L 4、排列24351是__ _排列(选择奇偶).5 设A ＝，A*是A 的伴随矩阵，则(A*)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛543022001－1＝得 分评卷人 三、计算题(本题40分，每小题10分)（要求写出主要的计算过程）1、 设 , 求 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=011012111A 1−A---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 2、计算n 级行列式 n L M M M M M M L L L L 222224222223222222222221 3、求讨论λ为何值时方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？有解时求出其解或通解4、若，.143)(234−−−+=x x x x x f 1)(23−−+=x x x x g 试求:与的最大公因式.)(x f )(x g---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 四、综合证明题 (本题30分，每小题10分) 1、设321,,ααα线性无关，试证明：13322,,1αααααα−−也线性无关。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。
7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。
8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。
9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。
10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。
12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。
13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。
14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。
高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
题号一二三四五总分签名得分一装订线得分阅卷教师一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV2,则V没有真子空间. ( )3.n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9.若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和A B也正定. ( )得二分阅卷教师二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1.下列命题不正确的是 ( ).A.若向量组{1,2,,r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B.若向量组{1,2,,r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组{1,2,,r}线性无关，且每一i可由向量{1,2,,s}线性表示，则r s ；D.n(n0)维向量空间的任意两个基彼此等价.2.下列关于同构的命题中，错误的是( ).A．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C．若是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1是W 到V 的同构映射；D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；C．充分必要条件； D.既非充分也非必要条件．21x14．二次型q(x 1,x 2,x 3)(x 1,x 2)31x的矩阵是( ).22121A．； B．3111；310210C．310； D．1100000005.实二次型q(x 1,x 2,x 3)x Ax 正定的充分且必要条件是 ( ).A．A0； B．秩为3；C．A 合同于三阶单位矩阵； D．对某一x (x 1,x 2,x 3)0,有x Ax 0.三得分阅卷教师三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）1.复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2.设F n{(x 1,x 2,,x n)xiF ,i 1,2,,n}是数域F 上n 元行空间，对任意(x 1,x 2,,x n)F n ，定义((x 1,x 2,,x n ))(0,0,x 1,x 2,,x n 2)，则是一个线性变换，且的核Ker()的维数等于______.3.若A 是一个正交矩阵，则A 2的行列式A 2=________.4.在欧氏空间R 3中向量1(1,0,0)与2(0,1,0)的夹角=______.5.实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.得四分阅卷教师四．计算题（每小题14分，共42分）1．求齐次线性方程组x 1x 2x 3x 403x 12x 2x 3x 40x 2x 2x 03425x14x 23x 33x4的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．1002．设A 021,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？032若可以，则求一可逆矩阵T ，使T 1AT 为对角形.3．写出3元二次型q(x1,x2,x3)x1x24x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五得分阅卷教师五．证明题（每小题10分，共20分）1．设1,2为n阶矩阵A的属于不同特征根，1,2分别是A的属于1,2的特征向量，证明12不是A的特征向量.2．设是n维欧氏空间V的正交变换，且2为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．A是关于V的数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
(完整word版)高等代数期末模拟题(一)
专业 学号 姓名 成 绩 (分)试 题 全 文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上.每小题2分，共20分）: 1. 排列36215784 的逆序数是 ，是 排列。
2．行列式513231412--的代数余子式31A = , 23A = 。
3。
设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当满足__________时,A 是可逆阵，其逆阵为___ _______。
4。
分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡00BA ，其中A ，B 都是可逆方阵，则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A = . 5. n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
6．设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。
7．向量)1,2,2,3()4,2,2,1(-==βα，,则α+β=____ __,2α－3β=___ _______。
8．单独一个非零向量必线性__________。
9．设AX = O 是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为2,则方程组AX = O 有____ _____组解,其基础解系含_ ________个解向量.10．若2是可逆方阵A 的特征值,则___ ___是2A 的特征值， __ ___ 是1-A 的特征值。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。
每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( )。
① 0， 1 ② 0, 2 ③ 1， −1 ④ 2， −12. 设A ， B 为n 阶方阵,A ≠O , 且AB = O , 则( )。
① BA = O ② ∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 ③ B = O ④(A −B )2 = A 2 + B 23。
设有4维向量组1， …, 6，则(）。
① R (1， …,6） = 4 ② R （1 ， …， 6） = 2③ 1 ， 2 ，3 ,4必然线性无关④1 ， …, 6中至少有2个向量能由其余向量线性表示4. 当 （ ) 时， ()0a A b c=是正交阵。
山东师范大学高等代数期末考试试卷及参考答案
1山东师范大学成人高等教育期末考试试题（时间：120分钟 共100分）年级： 专业： 考试科目： 高等代数试题类别： A (A/B/C) 考试形式___(开、闭卷)一、选择题 （每题4分共20分） 1、 以下行列式中（ ）的值必为零（A ）n 阶行列式中有一行的元素全是0 （B ）行列式中有两行含有相同的公因子 （C ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例 （D ）行列式D 的转置行列式D D T -= 2、n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是：（ ）（A ）n A R =)( （B ）n A R <)( （C ）n A R >)( （D ）)(A R 与n 无关 3、 设有矩阵23⨯A ，33⨯B ，32⨯C ，则下面（ ）运算可行 （A ）BC （B ）ABC （C ）AC （D ）BC AB -4、 一个n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中（ ）（A ）含有零向量 （B ）有两个向量的对应分量成比例（C ）至少有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）每一个向量是其余向量的线性组合5、 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110A ，则矩阵A 的特征值为（ ） （A ）1,1- （B ）1,0 （C ）1,0- （D ）2,0二、填空题（每题2分共12分）1、5000054000543005432054321的值为______________ 2、已知行列式543432321---=D ，其转置行列式_____________________=T D 3、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=625972413A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6297213y x B ，已知B A =，则_____________________==y x4、设A 为4阶方阵，且A =2，则_________________2=A5、1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性____________________的6、线性方程组B AX =有解的充分必要条件是__________________________ 三、判断题 （每题4分共20分）1、任何两个矩阵都可以相加减 ( )2、333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k ka ka ka ka ka ka ka ka ka = ( ) 3、若齐次线性方程组0=AX 有非零解，则系数矩阵的行列式为0 ( )4、在一个向量组s ααα,,,21Λ中，如果有部分向量组线性相关，则向量组s ααα,,,21Λ 必线性相关 ( )5、对于矩阵B A ,，有TTTB A AB =)( ( ) 四、计算下列各题（每题6分共18分）1、求行列式122305403--中元素2的余子式和2-的代数余子式。
厦门大学《高等代数》期末考试试卷(考试真题归纳)
1 12 2 2 2 1 1厦门大学《高等代数》期末考试试卷（真题归纳）一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解； D) 当r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是m ⨯ n 阶矩阵， B 是 n ⨯ m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基⋂ ,⋂ {1 1 1 ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3| | |1 1 1|{ 1 2 1{ 1 1 1{ 1 2 1{ 1 1 1| | | 2 || | | 2 | A) | 2 0 2 | ；B) | 0 1 | ； C) | 10 1 | ； D) | 2 0 2 | 。
高等代数期末考试题
高等代数期末考试题一、选择题（共5题，每题2分）1. 考虑线性方程组的系数矩阵A，若A的秩为r，那么下列哪个选项是正确的？A. 方程组的基础解系包含n-r个自由变量。
B. 方程组的基础解系包含r个自由变量。
C. 方程组的基础解系包含n个自由变量。
D. 方程组的基础解系包含m个自由变量，其中m是方程个数。
2. 若线性变换T: V → W，其中V和W是向量空间，且dim(V) = n, dim(W) = m。
设T的值域的维数为k，则下列哪个等式成立？A. k + n = mB. k ≤ min{n, m}C. k = n - mD. k = m - n3. 给定一个上三角矩阵L和一个下三角矩阵U，它们的乘积LU是一个对角矩阵。
那么，L和U的乘积的对角线元素是多少？A. L的对角线元素与U的对角线元素的和B. L的对角线元素与U的对角线元素的积C. L的对角线元素与U的非对角线元素的积D. U的对角线元素与L的非对角线元素的积4. 若多项式f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，且f(1) = 1, f(-1) = -1。
则f(x)的表达式可以是：A. (x - 1)(x + 1)^(n-1)B. (x + 1)(x - 1)^(n-1)C. (x^n - 1)/(x - 1)D. (x^n - 1)/(x + 1)5. 设A是一个n阶方阵，且A的特征值都不相同。
如果A是可对角化的，那么下列哪个选项是正确的？A. A的每个特征值都有对应的特征向量。
B. A可以表示为几个特征向量的线性组合。
C. A可以表示为其特征向量矩阵的逆乘以特征值对角矩阵再乘以特征向量矩阵。
D. A的逆矩阵存在当且仅当所有特征值都不为零。
二、填空题（共5题，每题2分）6. 若二次型f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2，且该二次型表示的曲面在原点处的切平面方程为4x + 2y = 0，则a + b + c = _______。
高代期末考试题及答案解析
高代期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3x3的方阵，且|A| = 3，那么矩阵A的伴随矩阵的行列式是：A. 9B. 27C. 81D. 243答案：B解析：矩阵A的伴随矩阵记为adj(A)，根据行列式的性质，|adj(A)| = |A|^(n-1)，其中n是矩阵的阶数。
因此，|adj(A)| = 3^(3-1) = 9。
2. 向量空间V中，若向量v1和v2线性无关，则下列哪个向量与v1和v2都线性无关？A. v1 + v2B. 2v1C. 3v2D. v1 - v2答案：A解析：线性无关意味着任何向量不能表示为另一个向量的倍数。
选项B、C和D都是v1或v2的倍数，因此它们与v1或v2线性相关。
选项A是v1和v2的和，它既不是v1的倍数也不是v2的倍数，因此与v1和v2都线性无关。
二、填空题（每空1分，共10分）1. 设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为[A|b]，若|A| = 0且b 不在A的列空间中，则该方程组有____个解。
答案：无穷解析：当系数矩阵A的行列式为0时，表示A不是满秩矩阵，方程组可能无解或有无穷多解。
如果增广矩阵的列向量b不在A的列空间中，则方程组无解。
2. 矩阵B的特征值是λ1和λ2，那么矩阵B的特征多项式是____。
答案：(λ-λ1)(λ-λ2)解析：矩阵的特征多项式是其特征方程的展开式，特征方程为|λI - B| = 0，其中I是单位矩阵。
对于有两个特征值的矩阵B，其特征多项式通常为(λ-λ1)(λ-λ2)。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是矩阵的秩，并说明如何计算一个矩阵的秩。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。
计算矩阵的秩通常有两种方法：一是利用初等行变换将矩阵转换为行简化阶梯形矩阵（或简化行阶梯形），秩即为非零行的数目；二是通过高斯消元法，将矩阵转换为行简化阶梯形，秩即为主元所在的行数。
2. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
高等代数（II）期末考试试卷及问题详解（A卷）
高等代数（II）期末考试试卷及问题详解（A卷）
实用标准文案
精彩文档高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、线性空间
P x 的两个子空间的交11L x L x 2、设
12,,...,n 与12,,...,n 是n 维线性空间V 的两个基，由12,,...,
n 到12,,...,n 的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量
在基12,,...,n 下的坐标，则在基12,,...,n 下
的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，
则A 与B 的关系是
4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：21,,1,
则其特征矩阵E A 的标准形是
5、线性方程组AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个
线性空间同构：
（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；
（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；
（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；
（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（）设是非零线性空间V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；
（B ）的核是V 的充要条件是是满射；。
(完整版)高等代数期末试卷
数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ）一、填空题（每小题2分）1. 设n x f =∂))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ∂=_________．2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式．3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则)(x f =_________________．4. 在行列式55511511a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项．5. 在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________．8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 ,m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________．9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____．10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．二、单选题（每小题2分））.(A) S 1={Z n m mn ∈,2}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}．2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1))()(,)()((=x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =．3. 设行列式D 1=333231232221131211a a a a a a a a a , D 2=313233212223111213a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．4. )(x f =xx x x x111123111212-中 4x 的系数为（ ）(A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3．5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ）(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)31())((9--+x i x i x ．6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件是（ ）(A) r k k k ,,,21 不全为零, (B) r k k k ,,,21 全为零, (C) r k k k ,,,21 全不为零, (D)以上结论都错．7. 在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（ ） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 8. 若矩阵A 的秩为r ，则（ ）(A)A 有r 阶非零子式； (B)A 有r 阶非零子式且任意r +1阶子式为0； (C)A 的任意r +1阶子式为0； (D)A 的r 阶子式都不等于0． 9. 下列矩阵中( )不是初等矩阵(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101．10. 若数域P 上三元齐次线性方程组0=AX 的基础解系中仅含有一个向量,则其系数矩阵的秩是( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3．三、判断正误（每小题2分）1. 若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g .( )2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵. ( )4. 若A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则A+B 也是n 阶可逆矩阵． ( )5. 等价的向量组含有相同个数的向量． ( ) 四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）1. 计算n 阶行列式nnna a a a a a a a a a a a +++111321321321．2. 设111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．3. 用导出组的基础解系表出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）1. 设P[x]的多项式)(x f 与不可约多项式)(x p 有一个公共根, 则)()(x f x p ．2. 若方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++11212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解, 则行列式111111111+++n nn n n nnn n b a a b a a b a a=0．。
(完整word版)高等代数期末试卷
高等代数课程期末试卷命题人：审题人：姓名数学系班学号：题号一二三四五总分得分一、是非题（每小题2分，共10分）1．f(x)=ax+b (a≠0)在任意数域上不可约。
（）2．行列式D=0，则行列式定有两行成比例。
（）3.两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（）4.若对于方阵A，存在0021≠≠αα，满足2211αααα-==A A ，，则21αα、线性无关.()5.设δ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，则δ关于V 的任一基的矩阵都为正交矩阵.()二、选择题（每小题3分，共18分）1.设f(x)∈R[x],若对任意的首项系数为1的g(x)∈R[x],都有（f(x),g(x)）=g(x),则f(x)必为()A.零次多项式B.零多项式C.f(x)≡1D.不存在得分得分2.记D=ba cacbc b a ,A=a+b+c,B=a 2+b 2+c 2,C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（）A.A=0B.B-C=0C.A=0或B-C=0D.A,B,C 不确定3.若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（）A.维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +；B.维()21W W +=维()1W +维()2W ；C.维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ；D.维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。
4.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A.合同的；B.相似的；C.相等的；D.正交的。
5.设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（）A 若()()γβγαβα=⇒=,,；B 若βαβα=⇒=；C 若()11,=⇒=ααα；D 若()βα,>βα=⇒0。
6、设u 是正交矩阵，则（）A u 的行列式等于1B u 的行列式等于-1C u 的行列式等于±1D u 的行列式等于0三、填空题（每小空3分，共21分）1.2i 是多项式f(x)=x 7+x 5+2x 4-8x 3+8x 2-12x+8的二重根，f(x)的其他根是。
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(4) α1 = (1,1,1) ,α 2 = (0,1,1) ,α3 = (0,0,1)
则上面向量组中线性相关的向量组只有（
）
A、（1）（2）
B、（1）（3）
C、（2）（3）
D、（2）（4）
a a a a 0
5、若
a
≠
0
，则矩阵
a a
2a 4a
3a 9a
4a 16a
0
的秩为（
0
）
0
0
0
0
a
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数学系 级《高等代数》期末考试试卷
C、若 h(x) | 2 f (x) + g(x) ，且 h(x) | f (x) ，则必有 h(x) | g(x) . D、设 p1(x), p2 (x) 都是不可约多项式，且 p1(x) | p2 (x) ，则 p2 (x) | p1(x) . 2、多项式 f (x) = 2x3 + x2 + x −1的有理根只有（ ）
α1 ,α 2 ,L,α s 线性表出.
证明：由于α1,α2 ,L,αs , β 线性相关，故存在不全为零的数 k1, k2 ,L, ks , k ，使得
k1α1 + k2α2 + L + ksαs + kβ = 0
而α1 ,α 2 ,L,α s 线性无关，由
k1α1 + k2α2 +L + ksα s = 0
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数学系 级《高等代数》期末考试试卷
2、计算 n 级行列式 a1 a1 a1 L a1 b1 a2 a2 L a2
D = b2 b1 a3 L a3 L L L LL bn−1 bn−2 bn−3 L an
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数学系 级《高等代数》期末考试试卷
3、 λ 为何值时，方程组
2xx11++25xx22
− x3 + − 3x3
2 +
x4 x4
=1 =5
x1 + x2 + 5x4 = λ
有解？并在有解时，用导出组的基础解系表示其全部解.
2 2 3
4、已知
A
=
1 −1
−1 2
0 1
，求
A−1
.
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数学系 级《高等代数》期末考试试卷 五、证明题：（每小题 9 分，共 18 分）
1、若 m, n, p 的奇偶性相同，则 x2 + x +1| x3m + x3n+1 + x3 p+2
知 k1 = k2 = L = ks = 0 ，故 k ≠ 0 ，
所以
β
=
−
k1 k
α1
−
k2 k
α2
−L−
ks k
αs
，
即 β 可由α1 ,α 2 ,L,α s 线性表出.
四、计算题（每小题 10 分，共 40 分）
1、已知 f (x) = x4 − x3 + x2 + 2 ， g(x) = 2x4 + x3 + 3x2 + x + 2 ，求 ( f (x), g(x)) .
数学系 级《高等代数》期末考试试卷
楚雄师范学院
学年 下 学期期末考试卷 卷
课程《高等代数》（一）
考试时间： 120 分钟
班级：
姓名
学号
题号
一
二
三
四
五
总分
评卷人
得分
一、 判断题（在正确的题后括号内画“√”，在错误的题后括号内画“×”，每小题 2
分，共 14 分）
1、若有等式 f (x) = g(x)q(x) + r(x) 成立，则必有(f(x), g(x))=(f(x), r(x)). （ ）
B、 a1 c1 + a2 c2 b1 d1 b2 d2
D、 a1 + a2 b1 + a1 + a2 b2 c1 + c2 d1 c1 + c2 d2
(2)
α1 = (1,2,1) ,α 2 = (3,1,2)
,α3
=
(1 2
,1, 1) 34
,
α 4 = (−1,2,6)
(3) α1 = (1,2,1,4) ,α 2 = (1,3,2,5) ,α3 = (3,2,1,4) ,α 4 = (1,2,1,4)
2、设 A 为 n 级 矩阵，且 A2 + 2 A − 4E = 0 ，证明： A + 3E 和 A − E 都可逆。
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2、多项式 f (x1, x2, x3) = x1x22 + x2x32 + x3x12 是三元对称多项式.
（）
3、若 n( n > 2 )级行列式 D=0，则 D 中必有两行元素成比例．
（）
4、如果α1 ,α 2 ,L,α s 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合（. ）
5、非齐次线性方程组的任意两个解的和仍是非齐次线性方程组的解.
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数学系 级《高等代数》期末考试试卷
A、0；
B、2；
C、3；
D、4.
6、若 P、Q、R 为同级方阵，且 PQR=E，则（
）
A、QPR=E
B、PRQ=E
C、RPQ=E
D、RQP=E
三、改错题（指出下列证明题中的错误，并加以改正.10 分）
若向量组α1 ,α 2 ,L,α s 线性无关，而 α1,α2 ,L,αs , β 线性相关，则向量 β 可由
A、1 个;
B、2 个;
C、3 个;
D、0 个.
3、 a1 + a2 b1 + b2 =(
)
c1 + c2 d1 + d2
A． a1 + a2
0
0
+
b1 + b2
0 d1 + d2 c1 + c2 0
C、 a1 + a2 b2 + a1 b1
c2
d1 c1 d2
4、设(1)α1 = (2,1,0) ，α 2 = (1,2,1)
（）
6、若矩阵 A 中有一个 r 级子式不为零，则秩（A） ≤ r .
（）
7、A、B 都为 n 级对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵.
（）
二、单项选择题（将正确答案的代号填入题后括号内，每小题 3 分，共 18 分）
1、下列结论中不正确的是（ ）
A、零多项多只能整除零多项式. B 、 设 f (x), g(x), p(x) 是 数 域 Ｐ 上 的 多 项 式 ， 且 p(x) | f (x)g(x) ， 则 p(x) | f (x)或者P(x) | g(x) ．