管理运筹学 专题三终结版
管理运筹学(第3版)章后习题解析(下)
− 0.2 x1 − 0.2 x2 + 0.8 x3 − d 3+ + d3− = 0
+ − 2.5 x1 + 0.5 x2 + 0.3x3 − d 4 + d4 = 20
d1− = 0
− d2 =0
d3+ = 0 x1 , x2 , x3 , di+ , di− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
1．解： 最优解为 A―B2―C1―D1―E 或 A―B3―C1―D1―E 或 A―B3―C2―D2―E。 最优值为 13。 2．解： 最优解是项目 A 为 300 万元，项目 B 为 0 万元、项目 C 为 100 万元。 最优值 z=71+49+70=190 万元。 3．解： ， 设每个月的产量是 xi 百台（i=1, 2, 3, 4） 最优解：x1=4，x2＝0，x3＝4，x4＝3。即第一个月生产 4 百台，第二个月生产 0 台，第三 个月生产 4 百台，第四个月生产 3 百台。 最优值 z=252 000 元。 4．解： 最优解为运送第一种产品 5 件。 最优值 z=500 元。 5．解： 最大利润 2 790 万元。最优安排如表 10-1 所示。
表 10-1 年 1 2 3 4 5 度 年初完好设备 125 100 80 64 32 高负荷工作设备数 0 0 0 64 32 低负荷工作设备数 125 100 80 0 0
6．解： 最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100，300，100）或 （200，200，0，200） 。总利润最大增长额为 134 万。 7．解： 在一区建 3 个分店，在二区建 2 个分店，不在三区建立分店。最大总利润为 32。 8．解： 最优解为第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使用，第五年继续 使用，总成本=450 000 元。 9．解： 最优采购策略为若第一、二、三周原料价格为 500 元，则立即采购设备，否则在以后的几 周内再采购；若第四周原料价格为 500 元或 550 元，则立即采购设备，否则等第五周再采购；
管理运筹学考试必备 复习课三
设备维修费如下表 使用年数 每年维修 费用 0-1 5 1-2 6 2-3 8 3-4 11 4-5 18
管
理
运
筹
学
6
§2 最短路问题
的解： 例3的解： 的解 将问题转化为最短路问题，如下图： 将问题转化为最短路问题，如下图： 表示“ 年年初购进一台新设备 弧 年年初购进一台新设备” 表示第i年年初购进 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi，vj）表示第 年年初购进 ， 的设备一直使用到第j年年初 年年初。 的设备一直使用到第 年年初。
v2 3 1 4 v7 3 v6 4 5 v5 2 8 v3 7 v4
图11-14
v1 10
3
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 11 的最小生成树 也即按照图11 13的(f)设计 可使此网络的总的线路长度为最短， 11设计， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。 百米。 “管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。 管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
16 v3 17 V2 （16,1） ） (22,1) 30
41
管
理
运
筹
学
8
最小生成树问题
用破圈算法求图（ ） 例 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 3 3 v6 v2 v1 3 3 v6 v2 3 v1 3 3 v6 (e) v5 管 4 4 1 v3 v1 10 7 3 4 v7 2 5 v5 v3 v4 v1 8 v6 v2 3 3 3 v5 v3 7 v4 v1 3 3 v6 v2 3 v7 2 v5
全国各院校考研专业课[管理运筹学],近年考试真题答案解析
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全国各院校考研专业课[管理运筹学],近年考试真题答案解析管理运筹学是考研专业课中的一项重要内容，近年来，各院校对此科目的考试真题难度逐年提高，考查范围广泛，要求考生具备扎实的理论基础和较强的实际应用能力。
以下是对近年考试真题的答案解析，以供考生参考。
一、选择题1. 下列关于线性规划问题的说法，正确的是（）。
A. 线性规划问题的目标函数可以是线性的，也可以是非线性的B. 线性规划问题的约束条件必须是线性的C. 线性规划问题的决策变量可以是整数D. 线性规划问题可以没有约束条件答案：B解析：线性规划问题的目标函数和约束条件都必须是线性的。
决策变量可以是实数，但不一定是整数。
2. 在非线性规划中，下列哪个条件是凸规划问题必须满足的（）。
A. 目标函数是凸函数B. 约束条件是凸集C. 目标函数和约束条件都是凸函数D. 目标函数和约束条件都是凹函数答案：A解析：凸规划问题要求目标函数是凸函数，而约束条件可以是凸集或非凸集。
二、填空题1. 在目标规划中，如果决策变量有上下界限制，则该问题可以转化为线性规划问题。
答案：对解析：在目标规划中，如果决策变量有上下界限制，可以通过引入松弛变量和人工变量，将问题转化为线性规划问题。
2. 在对偶规划中，原问题的最优解与对偶问题的最优解是相互关联的。
答案：对解析：对偶规划的原问题和对偶问题存在一定的关联性，原问题的最优解与对偶问题的最优解是相互关联的。
三、计算题1. 某企业生产甲、乙两种产品，甲产品的单位利润为100元，乙产品的单位利润为150元。
生产甲产品需要消耗2小时机器时间，1小时人工时间；生产乙产品需要消耗3小时机器时间，2小时人工时间。
企业每周最多可利用机器时间100小时，人工时间80小时。
求企业每周生产甲、乙两种产品的最大利润。
答案：设甲产品生产x件，乙产品生产y件，目标函数为Z=100x+150y。
约束条件为：2x + 3y ≤ 100（机器时间）x + 2y ≤ 80（人工时间）x, y ≥ 0求解得：x=20，y=20，最大利润为5000元。
管理运筹学 第3版 韩伯棠 高教社 课后答案
（1） 、满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得临时工成本最小。 （2） 、这时付给临时工的工资总额是多少，一共需要安排多少临时工班次。请用剩余变量来说明应该安排一些临时
6
工的 3 小时工作时间的班次，可使得总成本更小。 （3） 、如果临时工每班工作时间可以是 3 小时，也可以是 4 小时，那么如何安排临时工的班次，使得临时工总成本 最小。这样比（1）节省多少费用，这时要安排多少临时工班次。 解题如下： (1)临时工的工作时间为 4 小时，正式工的工作时间也是 4 小时，则第五个小时需要新招人员，临时工只要招用，无 论工作多长时间，都按照 4 小时给予工资。每位临时工招用以后，就需要支付 16 元工资。从上午 11 时到晚上 10 时共计 11 个班次，则设 Xi(i =1,2,…,11)个班次招用的临时工数量，如下为最小成本： minf＝16（X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11) 两位正式工一个在 11－15 点上班，在 15－16 点休息，然后在 16－20 点上班。另外一个在 13－17 点上班，在 17 －18 点休息，18－22 点上班。则各项约束条件如下： X1+1>=9 X1+X2+1>=9 X1+X2+X3+2>=9 X1+X2+X3+X4+2>=3 X2+X3+X4+X5+1>=3 X3+X4+X5+X6+2>=3 X4+X5+X6+X7+2>=6 X5+X6+X7+X8+1>=12 X6+X7+X8+X9+2>=12 X7+X8+X9+X10+1>=7 X8+X9+X10+X11+1>=7 Xi>=0(i＝1,2,…,11) 运用计算机解题，结果输出如下; **********************最优解如下************************* 目标函数最优值为 : 320 变量 最优解 -------------x1 8 x2 0 x3 1 x4 0 x5 1 x6 4 x7 0 x8 6 x9 0 x10 0 x11 0 目标函数最优值为 : 320 这时候临时工的安排为： 变量 班次 临时工班次 -------------x1 8 x2 0 x3 1 x4 0
《管理运筹学》考试试卷A,B卷及答案
《管理运筹学》考试试卷A,B卷及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 运筹学的英文全称是：A. Operation ResearchB. Operation ManagementC. Operational ResearchD. Operations Management2. 线性规划问题的标准形式中，目标函数是：A. 最大化B. 最小化C. 既可以是最大化也可以是最小化D. 无法确定3. 在线性规划中，约束条件可以用以下哪个符号表示？A. ≤B. ≥C. =D. A、B、C都对4. 简单线性规划问题中，如果一个变量在任何解中都不为零，则称这个变量为：A. 基变量B. 非基变量C. 独立变量D. 依赖变量5. 以下哪个方法可以用来求解线性规划问题？A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 对偶理论D. A、B、C都可以二、填空题（每题3分，共15分）6. 在线性规划中，如果一个约束条件的形式为“≥”，则称这个约束为______约束。
7. 在线性规划问题中，若决策变量为非负整数，则该问题为______规划问题。
8. 在目标规划中，目标函数通常表示为______。
9. 在运输问题中，如果产地和销地的数量相等，则称为______。
10. 在排队论中，顾客到达的平均速率通常表示为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每件利润为200元，乙产品每件利润为150元。
工厂每月最多生产甲产品100件，乙产品150件。
同时，生产甲产品每件需要3小时，乙产品每件需要2小时，工厂每月最多可利用工时为300小时。
试建立该问题的线性规划模型，并求解。
12. 某公司有三个工厂生产同一种产品，分别供应给四个销售点。
各工厂的产量和各销售点的需求量如下表所示。
求最优的运输方案，并计算最小运输成本。
工厂\销售点 A B C D产量 20 30 50需求量 10 20 30 4013. 设某商店有三个售货员，负责四个收款台。
管理运筹学第三章习题答案
（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321Λ=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321Λ=≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。
由P32式（）（）（）可知b B b 1-='，5,,1,,1Λ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和jP 都是初始数据。
设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21b b b ，5,,1,21Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-021********10212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。
《管理运筹学》复习题及参考答案
《管理运筹学》复习题及参考答案一、选择题1. 管理运筹学的研究对象是（）A. 生产过程B. 管理活动C. 经济活动D. 运筹问题参考答案：D2. 以下哪个不属于管理运筹学的基本方法？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 人力资源规划参考答案：D3. 在线性规划中，约束条件是（）A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵参考答案：B4. 以下哪种方法不属于线性规划的对偶问题求解方法？（）A. 单纯形法B. 对偶单纯形法C. 拉格朗日乘数法D. 牛顿法参考答案：D5. 在目标规划中，以下哪个不是目标约束的类型？（）A. 等式约束B. 不等式约束C. 目标函数约束D. 线性约束参考答案：C二、填空题1. 管理运筹学的核心思想是______。
参考答案：最优化2. 在线性规划中，最优解存在的条件是______。
参考答案：可行性、有界性3. 整数规划的求解方法主要有______和______。
参考答案：分支定界法、动态规划法4. 在目标规划中，目标函数的求解方法有______、______和______。
参考答案：单纯形法、拉格朗日乘数法、动态规划法5. 非线性规划问题可以分为______、______和______。
参考答案：无约束非线性规划、约束非线性规划、非线性规划的对偶问题三、判断题1. 管理运筹学的研究对象是管理活动。
（）参考答案：正确2. 在线性规划中，最优解一定存在。
（）参考答案：错误3. 整数规划的求解方法比线性规划复杂。
（）参考答案：正确4. 目标规划的求解方法与线性规划相同。
（）参考答案：错误5. 非线性规划问题一定比线性规划问题复杂。
（）参考答案：错误四、计算题1. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每件利润为10元，乙产品每件利润为8元。
生产甲产品每件需消耗2小时机器工作时间，3小时人工工作时间；生产乙产品每件需消耗1小时机器工作时间，2小时人工工作时间。
工厂每周最多可利用机器工作时间100小时，人工工作时间150小时。
管理运筹学 第三版韩伯棠 考点归纳
１.线性规划问题及其数学模型
２、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量xs，使它等于约束右边与左边之差 xs=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + „ + ain xn ) 显然， xs也具有非负约束，即xs≥0，
A B B’
C’
C D x1
E
3.图解法的灵敏度分析
（二）约束条件中右边系数bi的灵敏度分析 可见，由于增加了10个台时数，使利润增加了500元，可见 每 个台时数可增加利润50元. 像这样在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数 值得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。 本例中的设备对偶价格为50元/台时。 但不是每个约束条件右边常量的变化都会引起目标函数值的 变化的。 本例中，如果A原料的量增加10千克，也可以使可行域扩 大，但对最优解却没有影响，因此原料A的对偶价格为0。
3.图解法的灵敏度分析
（一）目标函数中的系数cj的灵敏度分析 由图可知，如果cj发生变化，则目标函数的等值线的斜率会 发生变化。如果要求最优解仍在B点，则会以B点为轴点而发 x 生转动。
2
z=27500=50x1+100x2
A B C
k=0
k=-c1/c2
E D x1
k=-2
k=-1
3.图解法的灵敏度分析
a11x1+a12x2+„+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+„+a2nxn≤( =, ≥ )b2
„„
am1x1+am2x2 +„+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，„ ，xn ≥ 0
运筹学试题及答案4套汇总
《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。
-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。
（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。
六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。
2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。
二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。
管理运筹学复习题及部分参考答案
管理运筹学复习题及部分参考答案一、填空题1. 运筹学起源于________时期，它是一门研究如何有效地进行决策的学科。
答案：二战2. 线性规划问题中，约束条件通常表示为________。
答案：线性不等式3. 在目标规划中，若目标函数为多个目标的加权和，则称为________目标规划。
答案：加权目标规划4. 整数规划中的0-1变量表示________。
答案：决策变量是否取值5. 动态规划是一种用于解决________决策问题的方法。
答案：多阶段二、选择题1. 在线性规划中，若约束条件均为等式，则该线性规划问题称为________。
A. 线性方程组B. 线性不等式组C. 线性规划问题D. 线性方程组与线性不等式组的混合答案：C2. 在目标规划中，以下哪项不是目标规划的约束条件？A. 目标约束B. 系统约束C. 系统等式D. 目标等式答案：D3. 在整数规划中，若决策变量必须是整数，则该问题称为________。
A. 整数规划B. 线性规划C. 非线性规划D. 动态规划答案：A4. 动态规划问题的最优策略是________。
A. 阶段决策的最优解B. 子问题的最优解C. 整个问题的最优解D. 阶段决策的最优解与子问题的最优解的组合答案：C三、判断题1. 线性规划问题的目标函数必须是线性的。
（）答案：正确2. 在目标规划中，目标函数与约束条件均可以是非线性的。
（）答案：错误3. 整数规划问题可以转化为线性规划问题求解。
（）答案：错误4. 动态规划适用于解决线性规划问题。
（）答案：错误四、计算题1. 某企业生产两种产品，甲产品每件利润为100元，乙产品每件利润为150元。
甲产品需要2小时加工时间，乙产品需要3小时加工时间。
企业每周最多可加工60小时。
求企业如何安排生产计划以使利润最大化。
答案：设甲产品生产件数为x，乙产品生产件数为y。
目标函数：Z = 100x + 150y约束条件：2x + 3y ≤ 60（加工时间）x, y ≥ 0（非负约束）求解得：x = 15，y = 10，最大利润为2000元。
管理运筹学 第3章 运输问题
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
i 1
xij 0
2.产量小于销量（
m
ai
n
＜
bj ）
i 1
j 1
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai (i 1, 2,L , m)
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
方法:最小元素法,即对单位运价最小的变量先分 配运输量.
例、食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销 售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司 每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示， 在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问 该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运 费最少？
季度 生产能力(台) 单位成本(万元)
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
解: 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机的数目 Cij为第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的 实际成本.
j
i
1
2
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
25
销量
60 40 20 15
销地 产地
A B C 销量
甲
4 2 8
8
乙
12 10 5
14
丙
4 3 11
2024年考研高等数学三运筹学在物流管理中的应用历年真题
2024年考研高等数学三运筹学在物流管理中的应用历年真题随着现代物流管理的不断发展和进步，运筹学在物流管理中的应用越来越广泛。
本文将通过历年真题的分析，探讨2024年考研高等数学三中运筹学在物流管理中的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中应用广泛的方法之一，也在物流管理中发挥重要作用。
通过历年真题的分析，可以发现在物流过程中，很多问题可以通过线性规划得到解决。
举例来说，在物流配送中存在着大量的货物配送问题。
运筹学中的线性规划模型可以将这类问题形式化，以达到最优化的目标。
通过确定供应链中不同环节的目标函数和约束条件，可以通过线性规划方法来优化车辆配送路线、减少运输时间和成本，并提高物流效率。
二、整数规划在物流管理中，存在着许多需要做出整数决策的问题，如仓库选址、设备调度等。
这些问题很适合使用整数规划方法来解决。
历年真题中的一个例子是仓库选址问题。
通过整数规划模型，可以确定最优的仓库选址方案，以降低运输成本和缩短货物运输时间。
整数规划通过在模型中引入整数决策变量，使得实际问题的解更加准确和可行。
三、网络流模型网络流模型是物流管理中常用的数学模型之一。
通过历年真题的分析，我们可以看到网络流模型在物流管理中的广泛应用。
一个典型的例子是最小费用流问题。
在物流配送中，我们常常需要在不同的供应链节点之间进行货物调度。
网络流模型可以帮助我们确定最佳的调度方案，以最小化调度成本。
通过建立网络流模型，可以有效地解决物流调度中的配送优化问题。
四、排队论排队论是运筹学中用于解决排队问题的数学方法。
在物流管理中，排队论也得到了广泛应用。
历年真题中的一个典型例子是货物装卸服务系统的排队问题。
通过排队论的方法，可以确定最优的服务系统设计和优化方案，以提高货物装卸服务的效率和质量。
综上所述，运筹学在物流管理中的应用是十分广泛且重要的。
通过线性规划、整数规划、网络流模型和排队论等方法，可以解决物流过程中的诸多问题，优化物流效率，降低运输成本，提高供应链管理的质量。
管理运筹学整理答案(DOC)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第二章2.5 表2-3为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为12max 53z x x =+，约束形式为≤，34,x x 为松弛变量，表中解代入目标函数后得10z =。
(1)求a ~g 的值；(2)表中给出的解是否为最优解。
解：a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f=0,g=5；表中给出的解为最优解。
2.6 表2-4中给出某求最大化线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，45,x x 为松弛变量，求表中a ~l 的值及各变量下标m ~t 的值。
解：a=-3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=-5,k=3/2,l=0；变量的下标为m—4,n—5,s—1,t—62.10 下述线性规划问题：要求根据以上信息确定三种资源各自的影子价格。
2.11 某单位加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9m 、2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。
已知原材料长7.4m 。
问如何下料使得所用的原材料最省？解：简单分析可知，在每一根原材料上各截取一根2.9m,2.lm 和1.5m 的圆钢做成一套工架，每根原材料剩下料头0.9m ，要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90m 料头。
若采用套截方案，则可以节省原材料，下面给出了几种可能的套截方案，如表2-5所示。
实际中，为了保证完成这100套工架，使所用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。
设按方案A,B,C,D,E 下料的原材料数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，根据表2-5可以得到下面的线性规划模型123451243451235min 00.10.20.30.8210022100..3231000,1,2,3,4,5i z x x x x x x x x x x x s t x x x x x i =++++++=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=⎩用大M 法求解此模型的过程如表2-6所示，最优解为：x *=(0,40,30,20,0)T ，最优值为z*=16。
管理运筹学3
建立的线性规 划模型
x61 x62 x63 x65 1.1152x15 1.0648x33 1.03888x42 1.018x51 y
x71 x72 x73 1.1152x25 1.0648x43 1.03888x52 1.018x61 y x81 x82 x83 1.1152x35 1.0648x53 1.03888x62 1.018x71 y x91 x92 1.1152x45 1.0648x63 1.03888x72 1.018x81 y
98．47
4581．97
109．82
109．82 109．82 109．82 109．82 109．82
（2）考虑奖金逐年递增的情况
奖金额逐年递增的最优投资方案
奖金增长率 第一年奖金额 一年期 第 投 一 二年期 资 年 三年期 方 五年期 式 一年期 第 二 二年期 年 三年期 五年期 一年期 第 三 二年期 年 三年期 五年期 100.093 101.642 103.598 104.520 106.544 111.350 1% 105.155 394.790 198.579 195.683 2% 100.653 392.856 196.661 195.712 3% 95.826 390.927 194.810 195.686 4% 92.119 389.100 192.827 195.658 5% 88.664 389.827 192.169 190.412 10% 70.093 378.651 181.400 194.679
x(10)1 1.1152 x55 1.0648 x73 1.03888 x82 1.018 x91 y
1.1152 x65 1.0648 x83 1.03888 x92 1.018 x(10)1 y 5000
管理运筹学 专题一终结版
目录一、项目一背景： (1)二、问题一解析： (2)三、问题一建模与求解 (2)四、项目二背景： (8)五、问题二解析： (9)六、问题二求解： (9)七、会议纪要： (10)八、学习体会： (10)一、项目一背景：G A T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。
因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A，B）是有限的。
每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。
据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2 5美元每件(A，B)。
管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题。
公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：（1）为该问题建立模型并求解。
（方法不限）（2）因为两类活动的单位利润是估计的，所以管理层希望能够知道，为了保持最优解不变，估计值允许的变动范围。
针对第一个活动（生产玩具），在最优解保持不变的前提下，单位利润可以偏离其初值3美元多少?（3）针对第二个活动（生产配件）重复（2）的分析，该活动的单位利润从-3.50美元增加到-1.50美元，生成数据表（第一种活动的单位利润固定在3.00美元）。
（4）在不改变最优解的情况下，每个活动的单位利润最多能变化多少（在其他活动单位利润不变的情况下）。
用这一结果表明每个活动的单位利润允许变化范围。
（5）运用Excel灵敏度报告来找到每个活动单位利润的允许变化范围。
二、问题一解析：把问题为一实际问题，实际问题现有的资料和数据与运用理论知识解决这个问题所需的数据存在一定的差距。
因此需作出一些假设来解决此类问题，经讨论本小组所做假设如下：1、对本公司、本产品来说，市场是无限的；2、生产线的生产能力是无限的；3、生产配件A、B不配套生产，在2.5美元中，生产配件A的增加价为α，生产B的增加价为（2.5- α）三、问题一建模与求解玩具乙：由a个购买的配件A与（2-a）个生产的配件A’与1个生产的配件B’生产（0<=a<=2）1、设：x甲、x乙分别为生产玩具甲乙的数量，配件A’比配件A贵α元，则配件B’比配件B贵（2.5-α）元则：maxZ=3 x甲+（0.5+aα-α）x乙2 x甲+a x乙<=3000x甲<=1000x甲、x乙>=0,0<=a<=2,0<=α<=2.5因为：a取得小数时没有其取得整数优所以：a=0,1,2则：（1）当a=0时：0.5-α>0即0<=α<0.5时：0.5-α=0即α=0.5时：0.5-α<0即α>0.5时：x甲=1000，x乙为无限大整数x甲=1000，可产乙也可不产x甲=1000，x乙=0这时Z为无限大Z=3000 Z=3000(2)当a=1时：0.5+α-α>0 这时：x甲=1000，x乙=1000，这时：Z=3500（3）当a=2时：0<0.5+α<=3,即0<α<=2.5 这时：x甲=1000，x乙=500，这时：Z=3250+500综上所述：（1）若配件A’与配件A的差价小于0.5元，则购买2000个A，1000个B，生产无限个A’与B’（2）若配件A’与配件A的差价为0.5元，有两种方案可供选择：①购买3000个A，1000个B，生产1000个A’，1000个B’；②购买3000个A，1000个B，生产500个B’，0个A （3）若配件A’与配件A的差价大于0.5元，则购买3000个A，1000个B，生产500个B’，0个A’2、maxZ=（3+Δc）x1+（Δc+0.5+aα-α）x2（x1、x2分别为x甲、x乙）2x1+ax2<=3000 2x1+ax2+x3=3000X1<=1000 x1+x4=1000X1、x2>=0 x1、x2、x3、x4>=0则：（1）当a=0时：所以：当a=0时无最优解（2）当a=1时：3+ΔC X 1000 1 0 0 1-0.5<=ΔC<=2-2+ΔC<=0即：当a=1时，利润在2.5到5之间变化时，其最优解不变（3）当a=2时： 即：当a=2时，利润大于或等于2.5-α时，其最优解不变3、maxZ=（3+ΔC ）X 1+（1.5+ΔC+a α-α）X 22X 1+ax 2<=3000 2X 1+ax 2+X 5=3000X 1<=1000 X 1+X 6=1000X 1,X 2>=0 X 1,X 2,X 5,X 6>=00 3+ΔC ΔC+1.5 0 0-1.5<=ΔC<=0ΔC<=0即：当a=1时，利润在1.5到3之间变化时，其最优解不变所以： -1/2（1.5+ΔC+α）<=0-1.5-α<=ΔC<=1.5 -1.5+ΔC<=0即：当a=2是，利润利润在1.5-α到4.5之间变化时，其最优解不变4、针对第一个活动：maxZ=（3+Δc ）x 1+（Δc+0.5+a α-α）x 22X 1+aX 2<=3000 2X 1+aX 2+ X 7=3000X 1<=1000 X 1+ X 8=1000X 1、X 2>=0 X 1、X 2、X 7、X 8>=0 则：1）当a=0时：0 X3000 2 0 1 0 （2）当a=1时：-0.5<=ΔC<=2-2+ΔC<=0即：当a=1时，利润在2.5到5之间变化时，其最优解不变（3）当a=2时：即：当a=2时，利润大于或等于2.5-α时，其最优解不变针对第二个活动：maxZ=3X1+(0.5+ΔC+aα-α)X22X1+ax2<=3000 2X1+ax2+X9=3000X1<=1000 X1+X10=1000X1，X2>=0 X1，X2，X9，X10>=0 （1）当a=0时：所以：当a=0时无最优解（2）当a=1时：所以：-（0.5+ΔC）<=0-0.5<=ΔC<=1 -2+2ΔC<=0即：当a=1时，利润在-3到-1.5之间变化时，其最优解不变（3）当a=2时：3+ΔC X1000 1 0 0 1-0.5<=ΔC<=2.5-α-2.5+ΔC+α<=0即：当a=1时，利润在-3到-α之间变化时，其最优解不变5、灵敏度报告：四、项目二背景：重新考虑线性规划专题1，在与配件的卖主协商之后，G.A.T公司的管理层得知，如果公司能够提高买价，两个卖主都会愿意考虑增加原来的供货量(A类配件每天3000，B类配件每天1000)。
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
【定理 3】m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件 是它不包含任何闭回路。
定理 3 告诉了一个求基变量的简单方法，同时 也可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的 基变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需 要在系数矩阵 A 中去寻找，从而给运输问题求初始 基可行解带来极大的方便。
例 3-3 ： m=3,n=4 ，在运价表 Cij 的格子的右上 方填上相应的xij，如表3-5所示。
表3－4 B1 B2 x12 B3
A1
A2 A3 A4
x11
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
例如变量组 A x21 , x22 , x33 , x31 , x11 , x12 ;
x32
x33 x43
x41
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
…
B1 x11 x21 c11 c21
B2 x12 x22
…
Bn x1n x2n c1n c2n
产量 a1 a2
…
c12
c22
Am 销量
xm1 b1
cm1
xm2 b2
cm2 …
xmn bn
cmn
am
设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到 第j个销地的运量，产销平衡运输问题的数学模型为：
（2）所有结构约束条件都是等式约束 （3）各产地产量之和等于各销地销量之和
（4)运输问题约束条件的系数矩阵特点
管理运筹学(第3版)案例题解
则第一年的成本 TC1 为 1 000X11+3 000X21+3 000X31+2 800X41+2 000X51+3 600 X61≤550 000； 第二年的成本 TC2 为 1 000X12+3 000X21+2 000X31+2 800X42+(3 200 X51+2 000X52)+3 600X62≤450 000； 第三年的成本 TC3 为 1 000X13+1 000X21+4 000X31+2 800X43+3 200 X52+3 600X63≤500 000； 总成本 TC= TC1 +TC2 +TC3≤1 500 000; 其他约束条件为 X41 +X42 +X43+X51 +X52≤226； X61+ X 62 + X 63≤560； X 1j≤90 （j=1，2，3） ； X 21 + X 41≤80； X 21 + X 42≤80；
表 3-1 第一年 1．高中生升初级工 2．高中生升中级工 3．高中生升高级工 4．初级工升中级工 5．初级工升高级工 6．中级工升高级工 X11 X21 X31 X41 X51 X61 X42 X52 X62 X63 X43 第二年 X12 第三年 X13
则每年年底培养出来的初级工、中级工和高级工人数如表 3-2 所示。
652
上限 --------无上限 无上限 无上限 无上限 无上限
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目录一、项目背景： (1)二、项目解析： (2)三、项目建模及解题： (3)3、1枚举法 (3)3、2动态规划法： (4)3、3指派问题： (5)3、4节约法（一种启发式算法）：可得到满意解，不一定是最优解。
(6)四、问题一背景： (7)五、问题一解析： (7)六、问题一建模及解题： (7)七、问题二背景： (9)八、问题二解析： (9)九、问题二建模及解题： (9)十、问题三背景： (11)十一、问题三解析、建模及解题： (11)十二、问题四背景： (20)十三、问题四解析、建模及解题： (20)十四、会议纪要： (21)十五、学习体会： (21)一、项目背景：某配送中心从A地出发（货源充足），将货物配送至B、C、D、E 各地用户，再返回A地，各地之间的距离（公里）见下表。
试确定最短配送路线。
配送问题是时下热门的话题，通过设计配送可减少因库存而解脱出大量储备资金，用来开发新业务、改善财务状况。
好的配送设计能提高物流服务水准，提高服务效率，相应提高货物供应的保证程度。
配送活动可以将灵活性、适应性、服务水准高等优势充分利用，从而使运行成本过高的问题得以解决。
配送问题研究的方向有路径优化、车辆搭配、配送中心选址、共同配送和第三方物流配送的选择。
而我们要研究的这个案例背景很简单，并不是在特定公司，问题约束条件从案例本身来说也没有太多限制，由此留给我们分析的空间很大，需要我们应用所学，不仅要解决问题，还要自己设计问题并分析解决。
需要解决的问题如下：1．当B、C、D、E各处货物需求量分别为6.1吨、13.8吨、6.8吨、12.7吨时，配送车辆最大载货量为5吨，试用不同方法探求配送方案，并进行对比分析。
2．由于客户需求的变化，B、C、D、E各处货物需求量分别为6.8吨、13.8吨、6.1吨、12.7吨时，配送车辆最大载货量为5吨，试用不同方法探求配送方案，并进行对比分析。
3．对问题6，运输费用为1.6元/吨·公里，每次装车、卸车费用各30元，空车（载货量少于0.5吨时按空车计收运费）返程费按0.8元/公里计算，试论证采用多大载货量（载货量有5吨、8吨、10吨、12吨、20吨几种规格）的车辆效果最好？4．对问题6，运输费用为1.6元/吨·公里，每次装车、卸车费用各30元，空车（载货量少于0.5吨时按空车计收运费）返程费按0.8元/公里计算，试论证采用多大载货量（载货量允许为任意值）的车辆效果最好？二、项目解析：本项目属于配送网络的设计和实施中的配送路线设计问题，项目本身除了给出从A地（货源充足）到B、C、D、E各地用户，再返回A地，各地之间的距离外，没有限定其他条件。
而在实际生活中，设计最短配送路线时需要考虑的条件很多，比如运费，配送量，车辆选择等，项目的最终目标为路线最短，费用最小。
下面为我们的解题思路及假设条件：①首先，如果不加入其他变量，最简单的方法是采用枚举法列出每个路线的可能距离，从中选择出一个最优方案。
②然后可以假设从A 出发，经各个用户一次且仅一次，没有回路的简单情境下采用动态规划法一一列出可能求方案，得出最优方案。
③在此基础上，为使得所有站点提供服务的卡车数量最少，我们采用节约法，算出各地之间的节约里程，一步步地将节约距离最多的站点纳入现有路线。
④在给定车辆最大载货量以及各地现有货物量的情况下，进行对比分析⑤最后在考虑运费的情况下，论证采用多大载货量的车辆效果最好。
三、项目建模及解题：3、1枚举法假设从A 出发，经各个用户一次且仅一次，没有回路的简单情境下方法说明：不加入任何变量，依据案例背景，列出所有可能的配送路线，求得最优解，所有可能配送路线如下：路线距离1、AEBCDA 5+8+4+7+5=292、AEBDCA 5+8+5+7+7=323、AECDBA 5+8+7+6+10=364、AECBDA 5+8+4+5+5=275、AEDBCA 5+3+6+4+7=256、AEDCBA 5+3+7+4+10=297、ABCDEA 11+4+7+3+3=288、ABCEDA 11+4+8+3+5=319、ABDCEA 11+5+7+8+3=3410、ABDECA 11+5+3+8+7=3411、ABEDCA 11+8+3+7+7=3612、ABECDA 11+8+8+7+5=3913、ACBDEA 7+4+5+3+3=2214、ACBEDA 7+4+8+3+5=2715、ACDBEA 7+7+6+8+3=3116、ACDEBA 7+7+3+8+10=3517、ACEBDA 7+8+8+5+5=3318、ACEDBA 7+8+3+6+10=34 19、ADBCEA 4+6+4+8+3=25 20、ADBECA 4+6+8+8+7=33 21、ADCEBA 4+7+8+8+10=37 22、ADCBEA 4+7+4+8+3=26 23、ADECBA 4+3+8+4+10=29 24、ADEBCA 4+3+8+4+7=26综上得出最优解就是A-C-B-D-E-A ，总路程223、2动态规划法：因为从A 出发回到A 需要五个阶段 所以：当k=5时，()105=B f ,()75=C f ,()()3,555==E D f f 当k=4时，()()()()()()()10385574min ,,,min 5454544=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=E E B D D B C C B B f d f d f d f其相应的决策为 ()DB u =5同理，从C,D,E 出发，则有：()124=C f ，其相应的决策为()E C u =4()64=D f ，其相应的决策为()E D u =4()84=E f ，其相应的决策为()D E u =4当k=3时，()()D B B u f ==33,11()()D C C u f ==33,13()()C D D u f ==33,19()()B E E u f ==33,18当k=2时，()()C B B u f ==22,17()()B C C u f ==22,15当k=1时，()()()()()()C A C C A B B A A u f d f d f==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=121211221571711min ,,min 且 于是，从A 运输货物到B,C,D,E 各点，再返回A 的最短路程为22其路线为A-C-B-D-E-A3、3指派问题：设：j i j i ≠地，且地运输到为从x ij⎩⎨⎧=地地运到，当货物不从地地运输到，当货物从j i 0j i 1ijx则：该问的数学模型是：∑∑===51i 51j ijijmin X C Z⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠=====∑∑==j i j x x x ij j ij i ij i 105,4,3,2,1,15,4,3,2,1,15151，或⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡M M M M MM M M M MM M M M M 0552042043024206024705520421430342070247334433885375487478641135710解得：货物从A →D ，B →C ，C →B ，D →E,E →A,则在从A 出发回到A 的过程中出现了C B →←的这样一个圈，所以将此路径插入到A →D →E →A 中，则有如下情况：1、A →B →C →D →E →A,路程为：11+4+7+3+3=282、A →C →B →D →E →A,路程为：7+4+5+3+3=223、A →D →B →C →E →A,路程为：4+6+4+8+3=254、A →D →C →B →E →A,路程为：4+7+4+8+3=265、A →D →E →B →C →A,路程为：4+3+8+4+7=266、A →D →E →C →B →A,路程为：4+3+8+4+10=29综上所述，最短路径为A →C →B →D →E →A,总路程为223、4节约法（一种启发式算法）：可得到满意解，不一定是最优解。
假设从A 出发，往各个用户一次且仅一次，没有回路的简单情境下，取A 为基点，计算将弧（i ，j ）（i ，j ≠A ）插入到线路中时引起的节约值，将节约值按由大到小的顺序填入表中 (C,B) 14 (B,C) 13 (D,B) 10 (B,D) 9 (D,E) 7 (B,E) 7 (E,B) 6 (D,C) 5 (C,D) 4 (C,E) 4 (E,D) 4四、问题一背景：当B、C、D、E各处货物需求量分别为6.1吨、13.8吨、6.8吨、12.7吨时，配送车辆最大载货量为5吨，试用不同方法探求配送方案，并进行对比分析。
五、问题一解析：车数量没有限制，如果想一次将4个地点的货物同时运送，根据汽车的最大载货量5吨，可以得出最少需要8辆车。
我们假定就只使用8辆车。
六、问题一建模及解题：根据假设把问题可有两种方案供选择：第一种是四辆车同时出发，走相同的路线，即第1问求得的最短路，依次送达；第二种是将需要配送的地点分为两组，由两组车分别送达，由于车载货量的限制，所以只有一种组合，即B、C两地的货物由两辆车送达，D、E两地的货物由另外两辆车送达。
方案一：最短路线为： A-C-B-D-E-Ad(AC)=7 d(CB)=4 d(BD)=5 d(DE)=3 d(EA)=3d(CA)=7 d(BA)=10 d(DA)=5 d(EA)=3当到达C地时，有两辆车已空，可以先行返回A地，随后到达B地时又可返回一辆车，到达D地时，有2辆车可以返回A地，最后到达E 地，剩下的3辆车由E地返回A地。
8辆车的总路程(7+7)*2+(7+4+10)*1+(7+4+5+5)*2+(7+4+5+3+3)*3=157如果四辆车都是走同一条路线，没有先行返回的情况下8辆车的总路程=(7+4+5+3+3)*8=176方案二：1、先考虑B、C两地的配送，有两种可能性：路线一：A-D-B-A 一辆车送完B地的5吨货后先返回A地A-B-C-A 一辆先送货到B地，后将剩下的3.9吨货物送往C 地，然后返回A地。
A-C-A 两辆车将货物送到C地，然后返回A地。
d(AD)=4 d(DB)=6 d(BA)=10 d(AC)=7 d(CA)=7 d(BC)=44辆车的总路程=(4+6+10)+(11+4+7)+（7+7）*2=70路线二：A-D-B-A 一辆车送完B地的5吨货后先返回A地A-C-B-A 一辆先送货到C地，后将剩下的1.2吨货物送往B地，然后返回A地。
A-C-A 两辆车将货物送到C地，然后返回A地。