1对1讲义解直角三角形

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中小学个性化辅导专家
说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方 法。 二、已知一条直角边和一个锐角
例 2 如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求 AB 的长。
分析一：所求 AB 是 Rt△ABC 的斜边，但在 Rt△ABC 中只知一个锐角 A＝α ，暂不可解。而在 Rt△ADE 中，已知一 直角边及一锐角是可解的，所以就从解 Rt△ADE 入手。
A
b ┌C
1.已知 a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B 及 C 边)
2.已知∠A，a.解直角三角形：______________________________________.
3.已知∠A，b. 解直角三角形:________________________________________.
4.已知∠A，c. 解直角三角形:_____________________________________
学海教育一对一个性化辅导讲义
中小学个性化辅导专家
学员姓名
学校
年级及科目
九年级数学
教师
课题
解直角三角形
授课时间： 教学目标
18：30--20:30
1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形． 2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题．
【基础知识梳理】
教学内容
一．直角三角形的边角关系：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别是△ABC 中∠A，∠B，∠C 的对边．
8. 若
，则锐角α =__________。
9.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为 200，则乙看到甲的俯角为
度。
10.已知一斜坡的坡度为 1：4，水平距离为 20 米，则该斜坡的垂直高度为
。
【考点解析】
题型 1 三角函数 例 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则 sinA 的值为_______． 2. 在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则 cosA 的值为______． 3. 如图 1，在△ABC 中，∠C =90°，BC=5，AC=12，则 cosA 等于（ ）
5. sin65°与 cos26°之间的关系为（
）
A. sin65°<cos26° B. sin65°>cos26° C. sin65°=cos26°
6. 已知 30°<α <60°，下列各式正确的是（
）
中小学个性化辅导专家 D. sin65°+cos26°=1
A.
B.
C.
D.
7. 已知 0°<α <90°，当α =__________时， sin 1 ，当α =__________时，Cota= 3 . 2
【基础自测】
1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则 cotE=（
）
A. 3
B. 4
4
3
2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（
C. 3 5
）
A. 1 2
B. 3
C. 1
3
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D. 3
D. 5 3
3. 在△ABC 中，若 cos A 2 ， tan B 3 ，则这个三角形一定是（
（1）三边之间的 关系：a2+b2=_____；
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______；
（3）直角三角形斜边上的中线等于_______；
（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______．
二．解直角三角形的四种类型：
已知条件
两条直角边 a、
一条直角边 a 和斜边 c 一条直角边 a 和锐角 A
点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步 创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量 关系，因而在解直角三角形时经常要用到。 变式训练：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是 BC 边上的中线。
叠部分（图中阻影部分）的面积为（
）
A.
1
B.
1
C.
Leabharlann Baidu
s in
cos
sin
D. 1
二. 填空题：
1. 已知 0°<α <90°，当α =__________时， sin 1 ，当α =__________时，Cota= 3 . 2
2. 若
，则锐角α =__________。
3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， sin A 3 ， a b c 36 ，则 a=__________，b=__________，c=__________， 5
A. 2 , B. 5 ,C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD⊥AB 于点 D，已知 AC= 5 ， BC=2，那么 sin∠ABC=（ ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算： 1 2 （cos60 tan30）+ 8
斜边 c 和锐角 A
解法 c=______, tanA=______, ∠B=_______. b=______, sinA=_____, ∠B=______. c=_______, b=_______, ∠B=_______ a=_______, b=_______, ∠B=______
1
三、30°，45°，60°的三角函数值
题型 2 解直角三角形 一、已知一条直角边和斜边
例 1 如图，在△ABC 中、D、F 分别在 AC、BC 上，且 AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC。
分析：由数形结合易知，△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角 边 AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且 BD＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形。因此，可以过 D 作 DE⊥BC，拓开思路。由于 DE， AF 同垂直于 BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得 AC。
（1）若 BD＝ 2 ，∠B＝30°，求 AD 的长； （2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tanβ＝2tan α。
4
题型 3 解斜三角形
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课后作业
1. 在△ABC 中，∠C=90°， sin A 2 ，则 sinB 的值是（
）
5
A. 2
B. 2
3
5
C. 4
D.
5
2. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60°，则平行四边形的面积是（
三. 解答题：
1. 计算 (1 tan 60 sin 60 )(1 cot 30 cos30 )
5
2. 如图 22，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求 tanD。
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3. 已知直角三角形中两条直角边的差是 7cm，斜边的长是 13cm，求较小锐角α 的各三角函数值。
学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意
○ 一般 ○ 差
学生签字：
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教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好
○ 较好 ○ 较好
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○ 一般 ○ 差 ○ 一般 ○ 差
教师签字： 学海教育教务处
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a
30°
45°
sina
cosa
tana
cota
60°
四、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
（2）坡度： tana=____
铅
仰角
α 为坡角
垂
线
俯角
h
水平线
α
l
（3）方位角 五、解直角三角形：(如图)
只有下面两种情况：
视线
B c
a
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
cotA=__________。
4. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。
5. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价 30 元，主楼梯宽 2 米，其侧 面如图 21 所示，则购买地毯至少需要__________元。
）
2
A. 锐 角 三 角 形
B. 直 角 三 角 形 C. 钝 角 三 角
形
D. 等腰三角形
4. 如图 18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（
）
A.
sin G EF
B.
EG
2
sin G EH EF
C. sin G GH
FG
D. sin G FH FG
21 5
）米 2
A. 150
B. 75 3
C. 9
D. 7
3. 如图 19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i=2∶3，顶宽是 3 米，路基高是 4 米，则路基的下底
宽是（
）
A. 7 米
B. 9 米
C. 12 米
D. 15 米
4. 如图 20，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α ，则它们重