自控理论第三章

r (t )
R 0
t
上式中R为常数 当t=0时, r(0)不定 且 r (0+ ) = R, r (0 ) = 0 不定, 上式中 为常数, 为常数 时 不定 当R=1时, 称为单位阶跃信号, 记为1(t). 时 称为单位阶跃信号 记为 (2) 等速度信号 斜坡函数 等速度信号(斜坡函数 斜坡函数) 其数学表达式和图形为: 其数学表达式和图形为
(3) 峰值时间 t p : 响应超过其稳态值到达第一个峰值所 h (t ) 需的时间. 如下图所示. 需的时间 如下图所示
hmax (t )
h (∞ )
± 5 % h ( ∞ ) or ± 2 % h ( ∞ )
0
tp
ts
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4) 调节时间(过渡过程时间 t s : 响应到达并保持在稳态 调节时间 过渡过程时间) 过渡过程时间 值的± 或 值的±5%或±2%误差范 误差范 围内所需的最短时间. 围内所需的最短时间 如上图所示. 如上图所示
尼, 0 < ξ < 1 叫欠阻尼 下面主要讨论欠阻尼时的动态 叫欠阻尼, 性能,欠阻尼时系统的两个极点为 欠阻尼时系统的两个极点为: 性能 欠阻尼时系统的两个极点为 s1 , 2 = ξω n ± j ω n 1 ξ 2 = σ ± j ω d 上式中, 上式中 σ = ξω n 叫衰减系数 ω d = ω n 1 ξ 2 叫阻尼 叫衰减系数, 振荡角频率,两个极点在 平面上的分布如下图所示, 两个极点在s平面上的分布如下图所示 振荡角频率 两个极点在 平面上的分布如下图所示 图中
t2 T
∴ t r = t 2 t1 = T (ln 0.1 ln 0.9) ≈ 2.2T
3-3 二阶系统的时域分析
典型二阶系统的结构图如下所示, 其闭环传递函数为: 典型二阶系统的结构图如下所示 其闭环传递函数为 2 ω n2 R (s ) C (s ) ωn φ (s) =
s ( s + 2ξω n ) s 2 + 2ξω n s + ω n2
二、动态性能指标 系统的动态性能指标, 系统的动态性能指标 是在系统的输入为单位阶跃 信号时, 对系统的输出进行定义的. 信号时 对系统的输出进行定义的 系统在单位阶跃信 号作用下的输出随时间的变化, 叫系统的单位阶跃响应, 号作用下的输出随时间的变化 叫系统的单位阶跃响应 常用h(t)表示 稳定的系统 其h(t)的变化曲线见下图 表示. 的变化曲线见下图: 常用 表示 稳定的系统, 的变化曲线见下图 h (t )
当R=1时, 叫做单位脉冲信号 时 叫做单位脉冲信号, 0用t ≠ 0 δ (t) = 而其面积为: 而其面积为
δ (t ) 表示 其数学表达式为 表示,
∞ ∞
∞ t = 0
∫ δ (t )dt = 1
单位脉冲信号δ (t ) 用下图表示 用下图表示:
δ (t )
1
0
t
强度不为1而为 的脉冲信号用 Rδ (t ) 表示. 强度不为 而为R的脉冲信号用 表示 而为 (5) 正弦信号(正弦函数 正弦信号 正弦函数) 其数学表达式为: 其数学表达式为 正弦函数
1 e ξω t sin( ω n 1 ξ 2 t r + β ) = 0 得: 1ξ 2 因在 t r 时刻 e ξω t ≠ 0 所以由sin( ω n 1 ξ 2 t r + β ) = 0
n r
n r
ω n 1 ξ 2 t r + β = 0 , π , 2π , 得: π β π β tr = = 2 ωd ωn 1 ξ
jω
ωn β
ξω n
cos β = ξ , sin β = 1 ξ 2 , β ωd = ωn 1 ξ 以顺时针方向为计量角度的正 方向, 方向 当输入为单位阶跃信号 σ 0 输出的拉氏变换表达式为: 时, 输出的拉氏变换表达式为 1 ω n2 2 C (s) = 2 ω d = ω n 1 ξ s + 2 ξω n s + ω n2 s
b ) ∵1 e t = 0.5 ∴ t d = T ln 0.5 ≈ 0.69T c ) ∵1 e T = 0.95 ∴ t s = T ln 0.05 ≈ 3T
s
td T
∵1 e
ts T
= 0.98 ∴ t s = T ln 0.02 ≈ 4T
d ) ∵1 e ∵1 e
t1 T
= 0.1 ∴ t1 = T ln 0.9 = 0.9 ∴ t 2 = T ln 0.1
(5) 最大超调量 σ p : 响应的最大值 h ( t p ) 与稳态值 h (∞ ) h (t ) 之差, 即 σ p = h ( t p ) h ( ∞ ) 之差 h (t p ) 如下图所示. 如下图所示 σp h (∞ )
0
tp
%:
定义为
t
(6) 最大百分比超调量 σ
h (t p ) h ( ∞ ) σ%= × 100 % h (∞ )
2 sin( 1 ξ 2 ω n t d + cos 1 ξ ) 1ξ 2
2
利用计算方法中的曲线拟合法, 可得: 利用计算方法中的曲线拟合法 可得
1 + 0 .6ξ + 0 .2ξ
ωn
or t d =
1 + 0 .7ξ
ωn
( 0 < ξ < 1)
其关系曲线见教材P.88图3-12. 图 其关系曲线见教材 (2) 上升时间 t r : 因输出有振荡 由定义 令 h ( t r ) = 1 因输出有振荡, 由定义,
n
由上一屏 h (t ) 的表达式可见 无零点的典型二阶系统在 的表达式可见, 欠阻尼情况下, 其输出是衰减振荡的, 欠阻尼情况下 其输出是衰减振荡的 其曲线随 ξ 值的 不同而有一簇, 见教材P.87图3-10. h ( ∞ ) = 1 , 下面由 不同而有一簇 见教材 图
h (t ) = 1
1 e ξω t sin( ω n 1 ξ 2 t + β ) 1ξ 2
n
根据动态性能指标的定义, 根据动态性能指标的定义 推导各项动态性能指标的计 算公式. 算公式 由定义, (1) 延迟时间 t d : 由定义 令 h ( t d ) = 0 . 5 , 代入上式
ω ntd =
td =
1
ξ
ln
0 r (t ) = R sin( ω t + ) t<0 t≥0
(6) 信号的延迟 假如有两个信号如下左图所示, 假如有两个信号如下左图所示 曲线 r2 (t ) 和曲线 r1 (t )
r (t )
r1 (t )
r2 (t )
r (t )
1
0
1(t τ )
0
τ
t
τ
t
时间才发生, 的形状完全一样, 只不过前者比后者延迟了τ 时间才发生 的形状完全一样 曲线 r2 (t ) 可用如下数学式表达: 可用如下数学式表达 t <τ 0 r2 (t ) = r1 ( t τ ) 1(t τ ) = r1 ( t τ ) t ≥ τ 上式中1( t τ )是单位阶跃信号1( t ) 延迟 τ 时间才发生 图 时间才发生, 形见上面右图. 形见上面右图
具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二 两个参量, 极点为: 阶系统, 阶系统 其时间响应取决于ξ 和 ω n 两个参量 极点为
s1 , 2 = ξω n ± ω n ξ 2 1
ω n 叫无阻尼自然振荡角频率 单位为弧度 秒. ξ 叫阻尼 叫无阻尼自然振荡角频率, 单位为弧度/秒 系数,当 ξ = 0 叫无阻尼, ξ = 1 叫临界阻尼, ξ > 1叫过阻 系数 当 叫无阻尼 叫临界阻尼
2
对前式进行部分分式得: 对前式进行部分分式得 1 s + ξω n ξω n C (s) = 2 2 s ( s + ξω n ) + ω d ( s + ξω n ) 2 + ω d2
1 s + ξω n = 2 2 s ( s + ξω n ) + ω d
ξ
1ξ
2
ωn 1ξ 2 ( s + ξω n ) 2 + ω d2
第三章
线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
一、典型输入信号 工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种: 工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种 (1) 阶跃信号 阶跃函数 阶跃信号(阶跃函数 阶跃函数) 其数学表达式和图形为: 其数学表达式和图形为
0 t < 0 r (t ) = R t > 0
(3) 峰值时间 t P : 由定义 令 由定义,
dh ( t ) dt
= 0
t=tP
h (tP )得: =
'
ωn ξω t e ξ sin(ωd tP + β ) + 1 ξ 2 cos(ωd tP + β ) 1ξ 2
n P
[
]
=0
所以
ξ sin(ωd tP + β ) + 1 ξ 2 cos(ωd tP + β ) = 0 tg(ωd tP + β ) = 1ξ 2
3-2 一阶系统的动态性能分析
典型一阶系统的结构图如下所示: 典型一阶系统的结构图如下所示 C (s ) R (s ) 1/ Ts
h (t )
1
0
t
其闭环传递函数为:φ ( s) = 1/(Ts + 1) , 当 R( s) = 1/ s 时 其闭环传递函数为 C ( s ) = φ ( s ) R ( s ) = 1 / s (Ts + 1) , 则 t 1 h (t ) = L [1 / s (Ts + 1) ] = 1 e T h(t)曲线见上右图 经分析可得下面结论: 曲线见上右图, 曲线见上右图 经分析可得下面结论 a ) h (t ) < h (∞ ) t ∈ (0, ∞ ) , 故叫非周期响应 无超调 故叫非周期响应, 无超调.
对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为: 对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为
h (t ) = 1 e =1 =1
ξω n t
(cos ω d t +
n
ξ
1ξ
2
sin ω d t )
1 e ξω t ( 1 ξ 2 cos ω d t + ξ sin ω d t ) 1ξ 2 1 ξω t e sin( ω n 1 ξ 2 t + β ) t ≥ 0 1ξ 2
h (∞ )
0
t
其动态性能指标有如下几项: 其动态性能指标有如下几项
(1) 延迟时间 t d : 响应曲线第一次达到其稳态值一半所 h (t ) 需的时间. 如下图所示. 需的时间 如下图所示
tr
h (∞ ) 0 .9 h ( ∞ ) 0 .5 h ( ∞ )
0 .1h ( ∞ ) 0
t
td
tr
(2) 上升时间 t r : 响应曲线无振荡时定义为响应从其稳 态值的10%上升到其稳态值的 上升到其稳态值的90%所 态值的 上升到其稳态值的 所 需的时间. 如上图所示. 需的时间 如上图所示 响应曲线有振荡时定义为响应从0第一 响应曲线有振荡时定义为响应从 第一 次上升到其稳态值所需的时间. 次上升到其稳态值所需的时间 如上 图所示. 图所示
0 t < 0 r (t ) = Rt t ≥ 0
r (t )
0
t
上式中R为常数 上式中 为常数, 当R=1时, 称为单位等速度信号 为常数 时 称为单位等速度信号.
(3) 等加速度信号 抛物线函数) 等加速度信号(抛物线函数 其数学表达式和图形为: 抛物线函数 其数学表达式和图形为 r (t ) 0 t < 0 r(t ) = 1 2 2 Rt t ≥ 0 t 0 上式中R为常数 上式中 为常数, 当R=1时, 称为单位等加速度信号 为常数 时 称为单位等加速度信号. (4) 脉冲信号 脉冲函数 先看下面图型 脉冲信号(脉冲函数 先看下面图型: 脉冲函数) r (t ) 具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号, 具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号 其数学表达式为: 其数学表达式为 R 0 t < 0 由图可见, 脉动信号 由图可见 ε R 的面积为R. 当脉动 的面积为 r (t ) = 0<t <ε 信号的宽度 ε → 0 ε 0 ε t 0 t > ε 时, 其高度为 ∞, 但 面积乃为R. 把宽度 ε → 0 时的矩型脉动信号定义为脉 面积乃为 冲信号, 而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度 称为脉冲信号的脉冲强度. 冲信号 而其面积 称为脉冲信号的脉冲强度
ξ
= tgβ , ωd tP = 0,π ,2π ,
π π tP = = ωd ωn 1 ξ 2
(4) 最大超调量
σ P :由定义 σ p = h ( t p ) h ( ∞ ) 由定义, 由定义