第10章 集合
集合的概念ppt课件
(1) 1
N
(3) -12
Z (5) √2
R
(2) 0
N* (4) √3
Q (6) π
R
解析: (1) ∈ (3) ∈
(5) ∈
(2) ∉ (4) ∉ (6) ∈
03
集合的表示
一、合作探究
小组讨论:
1、小于5的自然数集合A,有哪些元素? 2、小于5的实数集合B,包括哪些元素?
1、集合A,包括元素:0,1,2,3,4。 集合A中的元素可以一 一列举。
③ 集合中元素的特征:确定性、无序性、互异性 ④ 集合的分类:有限集、无限集、空集 ⑤ 数集:N , N* , Z , Q , R ⑥ 集合的表示方法:列举法、描述法
06
课后作业
课后作业1
1、用符号“∈”或“∉”填空:
(1) -3
N, 0.5
N, 0.3
N
(2) 1.5
Z, -5
Z,
3
Z
(3)-0.2
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
目录
01 集合的概念
0 元素与集合 2
0 集合的表示 3
04 集合的分类
01
集合的概念
一、导入生活情景
情景1-上架商品:
如右图,“美汇”生活超市新进了一批果蔬:苹果, 葡萄,黄桃,柠檬,石榴,西瓜,土豆。茄子,西蓝 花等。
作为陈列员,你该如何分类摆放这些商品呢?
四、集合中元素的性质
集合中元素的性质
确定性
1 集合中的元素 必须是确定的
无序性
2 集合中的元素
无顺序之分 {a, b, c} = {a, c, d}
互异性
3 集合中的元素 是互不相同的
第10章创新的过程管理课件
10.2.2 第二代研发(系统型)
• 当企业进入第二代研发管理阶段时,研发与业务逐渐产生联结关系, 不过大都由业务部门提出需求,研发部门只是被动地配合。
• 研发活动仍以配合公司经营方针为主,研发创新成果并不被视为竞争 优势的主要来源,因此研发在组织内仍属于功能性部门。
第10章创新的过程管理
• 在公司的达拉斯总部,设立了一个专门的部门, 47名全职员工负责管理这些提议,并确保最好的 提议能够付诸实施。
• 最近一年,该项计划为公司节约了3600万美元 (Tucker,2002)
第10章创新的过程管理
10.1 创意产生阶段如何管理:模糊前端
10.1.1 模糊前端的界定和特征
图10-1 产品创新过程模式图
第10章创新的过程管理
Saxberg和Slocum分析了研发人员和营销人员个性 的区别,并认为这些区别是导致研发部门与营销部门 之间不协同的重要原因之一(见表10-3)。
表10-3 研发和营销人员个性的区别
第10章创新的过程管理
表10-4 用以表示研发-营销协同关系的19类活动
第10章创新的过程管理
第10章创新的过程管理
由表 10-1 可以看出,模糊前端阶段其实集合了众多的管理方法 和创新方法。
表10-1 模糊前端阶段不同环节下的具体方法
第10章创新的过程管理
10.1.4 如何挖掘创意
创新的源头是创意,如何挖掘创意并实现对创意的 有效管理成为了企业创新发展的关键。Forth 提出了20 周创新方法,为企业从创意的获取到创意最终转向创新 提供了借鉴,如图10-4 所示。
• 不同时代研发管理的特征见表10-2(P230)
第10章创新的过程管理
高等代数-习题第10章群、环和域简介
第十章 群、环和域简介10.1 群1. 判断以下集合对于所给的运算来说哪些作成群,哪些不作成群: (1) 某一数域F 上全体n n ⨯矩阵的加法; (2) 全体正整数对于数的乘法;(3) {}2xx Z ∈对于数的乘法;(4){}01x R x ∈<≤对于数的乘法;(5) {}1,1-对于数的乘法. 解:(1) 设数域F 上全体n n ⨯矩阵的集合为()n M F ,对于矩阵的加法来说()n M F 作成一个加群.因为对任意,,()n A B C M F ∈,有1°()A B C ++=()A B C ++(加法结合律)2°()n M F 中存在零矩阵O ,使得对任意的A ∈()n M F ,有A O O A A +=+=3°对于A ∈()n M F ,有A -∈()n M F .使得()()A A A A O +-=-+=4°对于,A B ∈()n M F ,有A B B A +=+. (2) 全体正整数对于数的乘法不作成群.因为对于数的乘法来说,单位元是1,但是对于正整数a =2来说不存在正整数b 使得a ×b =1.(3) 集合{}2x M x Z =∈对于数的乘法作成阿贝尔群.因为1°对于12x ,22x,32x ∈M ,123,,x x x Z ∈,有312(22)2x x x ⨯⨯=1232x x x ++=3122(22)x x x ⨯⨯2°在M 中有021=,使得2x M ∈,有022x ⨯=022x ⨯=2x .3°对于2x M ∈,存在2xM -∈使得22x x -⨯=22x x -⨯=02=14°对于2,2x y M ∈,有22x y =2x y +=22y x.(4) 集合{}101M x R x =∈<≤对于数的乘法来说不作成群.因为1M 中的单位元是1,而对于12a =不存在1b M ∈,使得1a b ⨯=.(5) 集合{}1,1G =-对于数的乘法作成群〔阿贝尔群〕.因为对于G 任三个元素来说,结合律显然成立.再者G 有单位元1.对于G 中元素来说1(1)⨯-=(1)1-⨯=1-,并且1的逆元是1,1-的逆元是1-.2. 证明群中的指数规那么〔1〕、〔2〕.证明:设G 是一个群,a G ∈,那么1a G -∈,对于,m n ∈Z,如果0(0)m n <<或,设m m '=-, ()n n '=-或,并且注意当0n <时,对于a G ∈,有1()n na a '-=.于是1°当0,0m n >>时,mnm na a aa aa ==m n a +;2°当0,0m n >=时,0mmn a a aa a ==m a e =m a =m n a +,当0,0m n =>时,同理可证.;3°当0,0m n ><时,11n mm na a aa a a '--==111,,()(()),m n m n n mm n m n m n a a m n a a a a m n '-+'''------+'⎧=≥⎨'===<⎩; 4°当0,0m n <<时,1111m n m n a a a a a a ''----==1()m n a ''-+=11(())m n a --+=m na +.所以对任意,m n ∈Z ,a G ∈都有m na a =m n a +,即〔1〕式成立.其次我们先证对于任意的m ∈Z ,a G ∈,都有1()m a -=1()ma -.∵1()m m a a -=1()m a a -=0()m a =m e =e再由定义1()m m a a -=e ,根据G 中每一个元素的逆元的唯一性,∴1()m a -=1()ma -.以下证明等式〔2〕成立.1°当0,0m n >>时,()m n a =()()()nmmma a a a a a =mn a2°当0,0m n ><时,()m n a =1[()]m n a '-=1[()]m n a '-=1()mn a '-=11[()]mn a --=mn a当0,0m n <>时,()m n a =1[()]m n a '-=1()m n a '-=11[()]mn a --=mn a .3°当0,0m n <<时,()m n a =1[()]m n a '-=11{[()]}m n a ''--=()m n a ''=m n a ''=mn a .综上所述所证,群G 中指数规那么〔1〕、〔2〕成立. 3. 设{,,}G a b c =,G 的乘法由下面的表给出:ab c a a b c b b c a c cab证明G 对于所给的乘法作成一个群.证明:根据G 的乘法表可知ab b ba ==,ac c ca ==,bc a cb ==,所以G 的乘法是可换的,以下证明G 对于乘法作成一个群.1°结合律成立.由于G 对于所给的乘法是可换的,对于结合律我们只要验证也容易验证以下的情况即可.()()ab c a bc =;()()aa b a ab =;()()aa c a ac =; ()()bb a b ba =;()()bb c b bc =;()()cc a c ca =; ()()cc b c cb =.其它情况由G 的乘法可换性,立即可以证得.2°G 中有单位元a ,使得对于G 中任意元素,,a b c ,都有aa a =,ab ba b ==,ac ca c ==3°G 中每一个元素都有逆元,a 的逆元是a ,〔因为aa a =〕,而b 的逆元是c ,c 的逆元是b ,〔因为bc cb a ==〕.所以G 对于所给的乘法作成一个〔可换〕群.4. 证明,一个群G 是阿贝尔群的充要条件是:对任意的,a b G ∈和任意的整数n ,都有()n n n ab a b =. 证明:必要性,群G 对乘法运算可换,且对结合律成立.设,a b G ∈,而n 是任意的整数,因为G 对指数规那么〔1〕、〔2〕成立.故有()n ab =()()()ab ab ab =abab ab =22a b ab ab =…=n n a b .充分性,设,a b G ∈,而n 是整数,有()n n n ab a b =,令2n =,那么有222()ab a b =,即()()ab ab =()a ba b =()()aa bb =()a ab b ,所以()a ba b =()a ab b ,在此等式两边左乘1a -以并右乘以1b -,得11()()()a a ba bb --=11()()()a a ab bb --,所以 ()e ba e =()e ab e ,即 ba =ab . 所以G 是一个阿贝尔群.5. 证明,群G 的两个子群的交还是G 的一个子群. 证明:设1H ,2H 是群G 的两个子群,那么12H H ≠∅〔至少有一个单位元e 〕.1°对于12,a b H H ∈那么1,a b H ∈且2,a b H ∈,因为1H ,2H 是子群,所以1ab H ∈且2ab H ∈,所以12ab H H ∈;2°设12c H H ∈,那么1c H ∈且2c H ∈因为1H ,2H 是子群,所以11c H -∈且12c H -∈,所以112c H H -∈,所以,由子群的定义可知,12H H 是G 的一个子群.6. 证明,n 维欧氏空间V 的全体正交变换作成V 上一般线性群()GL V 的一个子群,这个群称为V 上的正交群,用记号()O V 表示.证明:一般线性群()GL V 是指n 维欧氏空间V 上全体可逆线性变换的集合对V 上的线性变换与线性变换的乘法来说作成的群.因为正交变换是可逆的线性变换,且单位变换也是正交变换.所以()O V 是()GL V 的非空子集.任意两个正交变换的乘积也是正交变换,即乘法封闭. 正交变换的逆变换也是正交变换.所以,n 维欧氏空间V 的全体正交变换的集合()O V 是一般线性群()GL V 的一个子群.7. 令a 是群G 中的一个元素,令{}n a a n 〈〉=∈,证明a 〈〉是G 的一个子群,称为由a生成的循环子群.特别,如果a 〈〉=G ,就称G 是由a 生成的循环子群.试各举出一个无限循环子群和有限循环子群的例子.证明:显然a a ∈〈〉,故a 〈〉非空,设,n m a a a ∈〈〉,,n m Z ∈,那么n m n ma a a a +=∈〈〉;设na ∈a 〈〉,那么11()()n n n a a a a ---==∈〈〉,所以a 〈〉是G 的一个子群.例1:设G Z =,运算是加法运算,那么1G =〈〉是无限循环群. 例2:设{}70,1,2,3,4,5,6G Z ==运算是剩余类的“加法〞,那么1G =〈〉是由1生成的有限循环群,它只有7个元素.8. 令σ=1212n n i ii ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()A Mn F ∈,定义 ()A σ=111222121212n n n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭就是对A 的行作置换σ所得的矩阵,令n ∑={}()n I S σσ∈,其中I 是n n ⨯单位矩阵,证明n∑作成(,)GL n F 的一个与n S 同构的子群. 证明:首先注意以下的几个事实: 1°设1(1,0,,0)ε=,2(0,1,,0)ε=,……,(0,0,,1)n ε=,由矩阵的乘法可知i jεε'=1,,0,i j i j=⎧⎨≠⎩〔,1,2,,i j n =〕2°集合n ∑={}()n I S σσ∈中的任一元素()I σ都是由n 阶单位矩阵I 的各行所给的假设干次的置换而得到,所以,每一个()I σ的每一行和每一列都是只有一个位置上的元素为1,其余位置上的元素全为0,并且||1I =.而()I σ都是由I 的各行经过对换而得到的所以|()|I σ=1±.3°容易计算,集合n∑={}()n I S σσ∈共有!n 个不同的元素,不妨设为:n∑={}12!,,,n I I I ;所以n ∑是群(,)GL n F 的一个非空子集.现在证明n ∑与n S 同构,由于n S 是一个群,所以n S 是(,)GL n F 的一个子群.(1) 集合n∑对(,)GL n F 的运算〔即矩阵乘法〕是封闭的.设1212n n i i i σ⎛⎫=⎪⎝⎭,1212n n j j j τ⎛⎫=⎪⎝⎭∈nS ,那么()I σ和()I τ是n ∑的两个元素〔矩阵〕.因为I 的第1,2,…,n 行分别是n 维向量1ε,2ε,…,n ε,所以()I σ的第1,2,…,n 行分别是n 维向量1i ε,2i ε,…,niε,而()I τ的第1,2,…,n 行分别是n 维向量1jε,2jε,…,njε,由上述的事实2°可知()I τ的各列也是由一些单位向量所组成.设其在第1,2,…,n 列分别是n 维向量1k ε,2k ε,…,nkε,此处1k ,2k ,…,n k 是1,2,…,n 的某一个排列.设()I σ()I τ=A 〔A 是n n ⨯矩阵〕由矩阵的乘法可知A 的第s 行的各个元素分别是1si kεε',2si kεε',…,sni kεε',由上述事实1°可知,这n 个数中只有一个t s k i =时才等于1,其余各数均为0,〔因为s i 是1,2,…,n 的某一个排列〕,这样矩阵A 的第s 行只有一个位置的元素是1,而其余位置的元素均为0,并且当s i 不同时,1的位置不同,令s =1,2,…,n 可知矩阵A 的各行各列的元素都只有一个位置的1,而其余位置的元素均为0,并且||A =|()()|I I στ=1±,所以nA ∈∑,即()I σ()I τn ∈∑.(2) 存在着n ∑到n S 的一个同构映射f . 如上所述,n ∑={}12!,,,n I I I ,设i I 是n ∑的任意一个矩阵,用i I 右乘n ∑的各个元素,得1i I I ,2i I I ,…,!i n I I ,因为n ∑对乘法是封闭的,所以它们仍是n ∑中!n 个不同的元素〔因为假设i k I I =i i I I ,由i I 的可逆性那么有k I =i I 〕,这样我们得到一个n ∑元素之间的一个置换,i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭,所以我们定义n ∑到n S 的一个映射:ii I f I τ→.a ) f 是n ∑到n S 的一个双射. 它显然是满射,现证是单射.设,i j nI I ∈∑,且i jI I ≠,那么i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭≠j I τ=12!12!n j j n j I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,因为假设i t I I =j tI I ,t =1,2,…,n ,由n ∑中元素的可逆性,那么有i I =jI 这与i jI I ≠矛盾,所以f 是n ∑到n S 的一个一一映射;b ) f 是n ∑到n S 的一个同构映射,设,i j n I I ∈∑,依f 的对应法那么()i f I =i I τ,()j f I =j I τ,设i j kI I I =,那么有:()i j f I I =()k f I =k I τ=12!12!n k k n k I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭=12!12!n i j j i j n i I I I I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=i j I I τ=()i f I ()j f I所以f 是n ∑到n S 的一个同构映射.所以n ∑和n S 同构,又由于n S 是群,因而n ∑也是群.且n ∑⊆(,)GL n F . 9. 设G 是一个群,a G ∈,映射:a x ax λ,x G ∈叫做G 的一个左平移.证明:(1) 左平移是G 到自身的一个双射;(2) 设,a b G ∈,定义a b a b λλλλ=〔映射的合成〕,那么G 的全体左平移{}a a G λ∈对于这样的定义的乘法作成一个群G ';(3) G G '≅. 证明:(1) :a xax λ,x G ∈是G 到G 的一个双射.首先a λ是一个满射,因为对于任意的y G ∈,总存在一个1x a y G -=∈,使得ax y =,其次a λ的一个单射,因为12,x x G ∈,并且12x x ≠那么12ax ax ≠.(2) G '是一个群.因为G '对映射的乘法是封闭的,且G '对映射的乘法满足结合律.另外,设e 是G 的单位元,那么e λ是G '的单位元,对于a G λ'∈都有a λe λ=e λa λ=a λ.最后,设a G λ'∈,因为a G ∈,1a G -∈,所以存在一个映射1a G λ-'∈,使a λ1a λ-=1a λ-a λ=e λ,即G '中每一个元素a λ都有逆元1aλ-,所以G '是一个群.(3) G G '≅,作G 到G 的一个映射f :a a λ.容易证明f 是双射.且假设,a b G ∈,()f ab =ab λ=a λb λ=a b λλ=()f a ()f b .所以f 是G 到G 的一个同构映射,即G G '≅.10. 找出三次对称群3S 的一切子群.〔注意:要求证明你找出3S 的子群已经穷尽了的一切子群〕解:三次对称群3S ={}(1),(12),(13),(23),(123),(132)共六个元素.现在设H 是3S 的一个非空子集,如果H 要做3S 的子群,那么H 必须对3S 的运算是封闭的;同时H 有(1)作为单位元,并且假设a H ∈那么1a H -∈,而(1,2)的逆元是(1,2),(1,3)的逆元是(1,3),(2,3)的逆元是(2,3),(1,2,3)的逆元是(1,3,2).在3S 的一切非空子集中,可能构成3S 的子群的非空子集只有以下情况:1H ={}(1),2H =3S ,3H ={}(1),(12),4H ={}(1),(13),5H ={}(1),(23),6H ={}(1),(123),(132),7H ={}(1),(12),(123),(132),8H ={}(1),(13),(123),(132),9H ={}(1),(23),(123),(132),10H ={}(1),(12),(13),(123),(132),11H ={}(1),(12),(23),(123),(132), 12H ={}(1),(13),(23),(123),(132),13H ={}(1),(12),(13),14H ={}(1),(12),(23),15H ={}(1),(23),(13),16H ={}(1),(12),(13),(23),经检验,除1H ,2H ,3H ,4H ,5H ,6H ,可构成3S 的子群外,其余的子集都对乘法不封闭,所以不构成3S 的子群.10.2 剩余类加群1. 写出6Z 的加法表.解:略.2. 证明:n Z 是循环群,并与n 次单位根群n U 同构.证明:设{},n Z +是模n 的剩余类加群,其元素有n 个:0,1,2,,,,1k n -,因为1111k k =+++=,这就是说n Z 中任意元k 皆是1的倍数,所以n Z 可由1生成,即n Z =1〈〉,故n Z 是循环群.又设n U 是n 次单位根群,那么n U 是n 阶群,以ε表示n U 的一个单位原根,那么n U ε=〈〉={}0121,,,,n εεεε-,作n Z 到n U 的一个映射:k f k ε,那么f 显然是n Z 到n U 的一个双射.并且对于,n k l Z ∈都有()()()f k l f k f l +=+.1°假设k l n +<,那么()()f k l f k l +=+=k l ε+=k lεε=()()f k f l ;2°假设k l n +≥,那么(0)k l n s s n +=+≤≤,故有()()f k l f k l +=+=()f s =s ε=1s ε=n s εε=n s ε+=()()f k f l .所以f 是n Z 到n U 的一个同构映射,即n Z 与n U 同构. 3. 找到6Z 的所有子群. 解:{}60,1,2,3,4,5Z =,依习题10.1习题10的方法,在加群6Z 中,0是单位元,1与5互为逆元,2与4互为逆元,3与3互为逆元.所以,可能构成6Z 的子群的集合有以下几个:{}10H =,2H =6Z ,{}30,3H =,{}40,2,4H =,{}50,2,3,4H =,{}60,1,5H =,{}70,1,3,5H =,经检验,1H ,2H ,3H ,4H 是6Z 的子群,其余子集均对运算不封闭,不能构成子群.因此,6Z 的一切子群有{}10H =,2H =6Z ,{}30,3H =,{}40,2,4H =.4. 证明,每一个有限群含有一个子群与某一个n Z 同构.证明:设G 是n 元有限群,e 是G 的单位元,a e ≠是G 中任意的元,作元素a 的非负整数幂:e =012,,,,,,,n k a a a a a ,因为G 是群,故上列这些元均是G 中的元素,又因为G是n 阶群,故上列元必有相同的.设s ka a =,且s k ≠,不妨设k s >,而k s m -=,所以0k s a a -==e ,即m a e =.我们把满足这一条件的最小正整数m 称为元a 的阶,显然,假设a的周期为m ,那么m n ≤,〔否那么G 有多于n 个元素,这与G 是n 阶群〕.令{}2,,,m H a a a e ==,因为m n ≤,所以H 是群G 的非空子集,现证H 是G 的子群,且m H Z ≅.1°H 是G 的子群.首先H 的元互不相同.因为假设1,l t m ≤≤,且l t ≠那么l ta a ≠,〔假设l ta a =,设l t >,那么l t a e -=,而l t m -<.这与m 是a 的阶矛盾〕.同时,H 对G 的乘法封闭.设,i j a a H ∈那么有i j i j a a a +=,假设i j m +≤,那么i j i j a a a H +=∈,假设i j m +>,那么i j m p +=+,0p m <≤,那么i j i j a a a +=m pp aa +==H ∈,其次H 有单位元m a e =,最后设k a H ∈,那么1k m ≤≤.那么必有正整数m k -,使得m ka H -∈,这时k m k m a a a e -==.所以H 中任意一元k a H ∈都有逆元m k a H -∈.2°m H Z ≅.为了方便我们记0m a e a ==.作H 到n Z 的一个映射:k f ka ,显然f 是双射.设,m k l Z ∈,假设k l m +≤,那么 ()()()()k l k lf k l f k l a a a f k f l ++=+===,假设k l m +>那么设(0)k l m r r m +=+<<,那么()()()r rf k l f k l f r a e a +=+===()()m r k l a a a f k f l +===所以f 是H 到n Z 的一个同构映射,即m H Z ≅.5. 设G 、H 是群,在{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈中定义乘法:(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=,(,),(,)g h g h G H ''∈⨯.证明,G H ⨯按照这样的乘法来说作成一个群.证明:因为{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈,G 、H 是两个群.1°G H ⨯对乘法封闭.设(,),(,)g h g h G H ''∈⨯,因G 、H 是群,故gg G '∈,hh H '∈,故(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=G H ∈⨯2°G H ⨯的乘法适合结合律,设11(,)g h G H ∈⨯,22(,)g h G H ∈⨯,33(,)g h G H ∈⨯,那么123g g g G ∈,123h h h H ∈,又G 、H 是群,故123g g g G ∈,123h h h H ∈适合结合律.因此112233(,)[(,)(,)]g h g h g h=112323(,)(,)g h g g h h =123123(,)g g g h h h =121233(,)(,)g g h h g h =112233[(,)(,)](,)g h g h g h3°G H ⨯中有单位元12(,)e e ,其中设1e ,2e 分别是G 、H 的单位元.因为对于(,)g h G H ∈⨯,12(,)e e (,)g h •=12(,)e g e h =(,)g h ,12(,)(,)g h e e =12(,)ge he =(,)g h .4°G H ⨯中每个元(,)g h 都有逆元11(,)g h --,其中1g -,1h -分别是g G ∈,h H ∈的逆元.因为(,)g h 11(,)g h --=11(,)gg hh --= 12(,)e e ,11(,)g h --(,)g h =11(,)g g h h --=12(,)e e 综上所证,{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈对所定义的乘法(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=作成一个群.6. 写出22Z Z ⨯和23Z Z ⨯,证明,23Z Z ⨯6Z ≅ 证明:{}20,1Z =,{}30,1,2Z =,{}60,1,2,3,4,5Z =,22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),23Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).以下证明23Z Z ⨯6Z ≅,因为6Z 是一个6阶循环群,而元素1的阶是6,故1可作为6Z 的生成元,在23Z Z ⨯中(1,1)的阶也是6,故(1,1)可以作为23Z Z ⨯的生成元,即23Z Z ⨯=(1,1)〈〉.所以23Z Z ⨯是6阶循环群.作6Z 到23Z Z ⨯的映射::1(1,1)0,1,2,3,4,5f k k k =,那么在f 下,我们有:f 1(1,1),2(0,2),3(1,0),4(0,1),5(1,2),60(0,0)=,显然f 是双射.再对f 的(66)2⨯÷=16种情况逐一验证,知f 是一个同态映射,因而f 是6Z 到23Z Z ⨯同构映射,即23Z Z ⨯6Z ≅.7. 任何一个四阶循环群或者与4Z 同构,或者与22Z Z ⨯同构. 证明:设G 是任一四阶群,以下分两种情况讨论:(1) 假设G 是任一四阶循环群,那么{}023,,,G a a e a a a =〈〉==,而{}40,1,2,3Z =.做4Z 到G 的映射:0,1,2,3kf ka k =,显然f 是双射,现设0,3k l ≤≤,假设3k l +≤,那么()f k l +=()f k l +=k l a +=k l a a =()f k ()f l ,假设4k l +≥,那么4(04)k l r r +=+≤<,那么 ()f k l +=()f k l +=()f r =r a =r e a =4r a a =4r a +=k l a +=k la a =()f k ()f l .所以f是同构映射,即4G Z ≅(2) 假设{},,,G e a b c =不是循环群,那么G 作为一个群,其乘法表为e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e显然,{},,,G e a b c =非循环群,G 的非单位元的阶都是2,即2a e =,2b e =,2c e =,而22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),由2Z的运算性质可知,22Z Z ⨯的每个非单位元的阶也都是2.做G 到22Z Z ⨯的映射:(0,0)e ϕ,(0,1)a ,(1,0)b ,(1,1)c ,容易看出,映射ϕ是双射,再对ϕ的(44)2⨯÷=8种情况逐一验证,知ϕ是一个同态映射,所以映射ϕ是同构映射,即22G Z Z ≅⨯.10.3 环和域1. 证明,在一个交换环R 里,二项式定理()n a b +=11222n n n n n n a C a b C a b b --++++对于任意的,a b R ∈和正整数n 成立.证明:设,a b R ∈,我们对于正整数n 用数学归纳法来证明1°当n=1时,1()a b +=a b +,命题成立;2°当n=2时,2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ab b +++=222a ab b ++,命题成立;3°假定当n=k 时,命题成立,即有()k a b +=11222k k k k k k a C a b C a b b --++++成立,对于n=k+1时,我们有:1()k a b ++=()()k a b a b ++=11222()()k k k k k k a C a b C a b b a b --+++++=11212()k k k k k k a C a b C a b ab +-++++1122231()k k k k k k a b C a b C a b b --++++++=11212111()k k k k k k a C a b C ab b +-+++++++,故结论成立.2. 设R 是一个环,并且对于加法来说R 作成一个循环群,证明R 是一个交换环. 证明:由题设存在元a 生成,使得{}R a na n Z =〈〉=∈.设12,a a R ∈,那么11a n a =,22a n a =,12,n n Z ∈,有12a a =1()n a 2()n a =212n n a ,21a a =2()n a 1()n a =212n n a所以12a a =21a a ,即R 对乘法满足交换律,故R 是一个交换环.3. 证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其它条件是结果.〔提示:用两种方式展示()(11)a b ++〕证明:R 是一个有单位元1环,那么由环定义中条件〔3〕可知()(11)a b ++=()1()1a b a b +++=a b a b +++=()a b a b+++,而()(11)a b ++=(11)(11)a b +++=a ab b+++=()a a b b+++,因此()a b a b +++=()a a b b +++,所以 b a +=a b +.4. 写出2Z 和7Z 的加法和乘法表. 解:略.5. 设R 是一个只有有限多个元的交换环,且R 没有零因子,证明R 是一个域. 证明:因为R 是一个只有有限多个元素的交换环,故可设12,,,n a a a R ∈是R 的全部非零元,这意味着这n 个元互不相同.设i a 是{}12,,,n G a a a =中之一,以i a 乘以{}12,,,n G a a a =的所有元得12,,,i i i n a a a a a a ,由于R 没有零因子,故这n 个元素仍是R 的非零元,且各不相同〔因为假设()i s i k a a a a s k =≠,由于R 没有零因子,故消去律成立,得到s k a a =与{}12,,,n G a a a =元素各不相同矛盾〕,所以12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同.因此,对于这个i a ,必有一个k 存在〔1k n ≤≤〕使i k i a a a =〔因为如果不是这样,那么12,,,i i i n a a a a a a 中没有一个等于i a ,这与12,,,i i i n a a a a a a 与12,,,n a a a 完全相同矛盾〕,因为R 是一个交换环,所以k i i k i a a a a a ==.1°以下我们证明k a 是单位元.设.j a是G 的任一元,由以上证明知12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同,所以必有i s a a =j a ,k j a a =k a ()i s a a =i s a a =j a ,再由R是一个交换环,知j k ja a a =,所以k a 是G 的单位元,记为k e a =是G 的单位元.2°以下证明G 中的元素都有逆元,为此我们对G 重新排序记为{}121,,,,n G e a a a -=,设r a 是G 任意元,以r a 乘以{}121,,,,n G e a a a -=中每一个元,得121,,,,r r r r n a e a a a a a a -,那么由以上证明知121,,,,r r r r n a e a a a a a a -除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同,因而必有r t t r a a e a a ==.所以G 是一个可换群,所以R 是一个域.6. 设R 是一个环,a R ∈,如果存在一个正整数n ,使得0na =,就说a 是一个幂零元.证明,在一个交换环里,两个幂零元的和还是幂零元.证明:设,a b R ∈是两个幂零元,那么有n,m 是正整数,使得0n a =,0ma =,由本习题1,在交换环中二项式定理成立,故有()n m a b ++=11222n m n m n m n m n m n m a C a b C ab b ++-+-+++++++因为00n k n k k a a a a +===,00s m s m sb b b b +===,所以()n ma b ++=0,所以a b +是幂零元.7. 证明,在一个环R 中,以下两个条件等价: (i ) R 没有非零的幂零元;(ii )如果a R ∈,且20a =那么0a =.证明:设〔ⅰ〕成立我们证明〔ⅱ〕成立.因为20a =,但是R 中没有非零幂零元,所以0a =.反之,设〔ⅱ〕成立我们证明〔ⅰ〕成立.设a R ∈是任一幂零元,那么存在一个正整数n,使得0na =,以下证明0a =,假设0a ≠,由〔ⅱ〕成立,那么有20a ≠〔否那么由假设20a =那么0a =,矛盾〕,同理22()0a ≠,即40a ≠,如此继续下去,那么有20ka ≠,1,2,k =,而当2k n >时,由有220kknn a aa -==,矛盾.所以,假设不成立,即〔ⅰ〕成立.8. 设R 与R '是环,:f R R '→是一个同态映射,证明, (i ) {}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环; (ii ){}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环,并且对任意的r R ∈,a I ∈都有ra I ∈,如果R 与R '都有单位元,能不能断定(1)R f 是R '的单位元1R '?当f 是满射时,(1)R f 是R '的单位元1R '?证明:(i) 因为R 与R '是环,:f R R '→是一个同态映射,所以(0)0f '=〔此处0是R 的零元,0'是R '的零元〕,所以0Im()f '∈,又Im()()f f R R '=⊆,即Im()f 是R '的非空子集.所以对于(),()Im()f a f b f ∈,,a b R ∈,有()()()f a f b f a b -=-∈ Im()f .〔因为R 是环,,a b R ∈,所以a b R -∈〕,并且()()()Im()f a f b f ab f =∈.所以{}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环;(ii) 因为R 与R '是环,:f R R '→是一个同态映射,所以(0)0f R ''=∈,所以()Ker f ≠∅,设,()a b Ker f ∈,那么()()0f a f b '==,于是()()()000f a b f a f b '''-=-=-=,所以()a b Ker f -∈,且()()()000f ab f a f b '''===,故()ab Ker f ∈,因此,{}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环.对于r R ∈,a I ∈()Ker f =,那么()()()()00f ra f r f a f r ''===,所以ra I ∈ ()Ker f =.如果R 与R '都有单位元,:f R R'→是一个同态映射,那么(1)R f 不一定是R '的单位元1R ',例如{}20,1R Z ==,{}20,1R Z '==,作R R '→的映射:00,10f ,那么显然:f R R '→是一个同态映射,但(1)0f =不是R '的单位元.如果f 是满射,(1)R f 是R '的单位元1R '.9. 设F 和F '是域,:f F F '→是同态映射,证明,或者()0f F =,或者f 是个单射,〔提示:利用第8题〔ⅱ〕证明()Ker f 或者等于零,或者等于F 〕.证明:因为F 和F '是域,:f F F '→是同态映射,所以F 和F '是环,由上题〔ⅱ〕知{}()()0Ker f a R f a =∈=是F 的一个子环〔域〕,以下分两种情况讨论:(i ) 假设{}()0Ker f =,那么对于任意的,()a b Ker f ∈,有()()0f a f b '==,于是 ()()()000f a b f a f b '''-=-=-=,所以()a b Ker f -∈,但{}()0Ker f =,所以a b =,所以f 是个单射;(ii )假设{}()0Ker f ≠,那么()Ker f 必有非零元素,设()a Ker f ∈并且0a ≠,又因为F 是域,所以a 在F 中必有逆元1a F -∈,由上题〔ⅱ〕知1()a a Ker f -∈,即1()e a a Ker f -=∈,设x 是F 中任意元素,再由〔ⅱ〕的结果可知:()xe x Ker f =∈,所以()F Ker f ⊆,而()Ker f F ⊆,所以()Ker f F =,当()Ker f F =时,Im()()0f f F ==.10. 证明,2阶实矩阵2()M R 的子集F =,a b a b R b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎩⎭作成一个与复数域同构的域.证明:首先证明F 是环2()M R 的一个子域.设a b A b a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,c d B d c ⎛⎫=⎪-⎝⎭是F 任意两个元素,其中a,b,c,d R ∈,那么a b cd A B b a d c ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=a c b d b d a c --⎛⎫ ⎪-+-⎝⎭F ∈,又当0B ≠时,c,d 不全为零,那么22cd B c d dc ==+-0≠,所以1B -存在,且11cd B d c B --⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1B F -∈,于是11a b c d AB b a d c B--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=1ac bd bc ad ad bc ac bd B+-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭F ∈,所以F 是环2()M R 的一个子域,现在作复数域{}2,,1C a bi a b R i =+∈=-到F 的一个映射:a b f a bib a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,显然,f 是C 到F 的一个双射.现在设()a b f a bi b a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭,()cd f c di dc ⎛⎫+=⎪-⎝⎭,那么[()()]f a bi c di +++=[()()]f a c b d i +++=()a cb d b d ac ++⎛⎫ ⎪-++⎝⎭a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()f a bi f c di +++. 又[()()]f a bi c di ++=[()()]f ac bd ad bc i -++=ac bd bc ad ad bc ac bd +-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭ =a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以f 是C 到F 的同构映射,即F 作成一个与C 同构的域.11. 令Q 是有理数域,R 是一个环,而f ,g 都是Q 到环R 的环同态,证明,假设对任意整数n ,都有()()f n g n =那么f g =.证明:由,来证明11()()f g nn =,假设11()()f g n n ≠,那么 11()()()()f n f g n g n n ≠这与(1)(1)f g =,所以假设不成立,有11()()f g n n =.再证明f g =.对于任意有理数mQn ∈,我们有 11()()()()()()m mf f m fg m g g n n n n ===,所以f g =.12. 证明,一切形如,,a bi c di a b R c di a bi ++⎛⎫∈ ⎪-+-⎝⎭的二阶复矩阵所成的集合作成一个环K ,这个环的每一个非零元素都有逆元,K 是不是域?证明:1°集合K 对于矩阵的加法和乘法都是封闭的. 设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭,22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈, 那么1212121212121212()()()()()()()()a a b b i c c d d i A B c c d d i a a b b i ++++++⎛⎫+= ⎪-++++-+⎝⎭K ∈,记11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭,22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=ξηηξ⎛⎫⎪-⎝⎭,那么AB αβξηβαηξ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=αξβηαηβξβξαηβηαξ⎛⎫-+⎪---+⎝⎭=()αξβηαηβξαηβξαξβη⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭K ∈; 2°零矩阵00000000i i O i i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈,且A O O A A +=+=; 3°设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭K ∈,那么有逆元A -=αββα--⎛⎫ ⎪-⎝⎭K∈,且()()A A A A O +-=-+=,4°所以K 作成一个环.且K 有单位元I .设A =αββα⎛⎫ ⎪-⎝⎭是任何一个非零元,那么A=αββα-=ααββ+=22αβ+0≠.从而1A -=1Aαββα-⎛⎫ ⎪⎝⎭存在,但矩阵乘法不满足交换律,故K 不是域.13. 在15Z 中,找出适合方程21x =的一切元素.解:在15Z ={}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14中,211(mod15)=,24161(mod15)==, 2111211(mod15)==,2141961(mod15)==.故在15Z 中, 适合方程21x =的元有1,4,11,14.14. 证明,一个特征为0的域一定含有一个与有理数域同构的子域;一个特征为0p >的域一定含有一个与pZ 同构的子域.证明:(i)设F 是特征为0的域,那么F 含有单位元e ,所以对于任意整数n 来说,都有ne F ∈,令1{|}F ne n Z =∈,因为当且仅当0n =时,0ne =,所以,:n Z nne σ∀∈是Z 到1F 的双射,且显然是同构映射,令12{()()|,,0}F me ne m n Z n -=∈≠,那么12F F F ⊆⊆.对mQ n ∀∈,规定1:()()m me ne nτ-,那么τ是Q 到2F 的双射,且1212,m m Q n n ∀∈,1212()m m n n τ+=121212()m n n m n n τ+=1121212()()m n n m e n n e -+111122()()()()m e n e m e n e --=+=11()m n τ+22()mn τ11212121212121112112212()()()()()()()()()()m m m mm m e n n e n n n n m m m e n e m e n e n n ττττ---====所以2Q F ≅,所以2F 是域,且是F 的子域.(ii)设F 是一个特征为p >0的域, e 是F 的单位元,令1{0F =,,2,,(1)},ppe e e p e i Z =-∀∈,规定:iie σ,且是p Z 到的一个双射. ,p i j Z ∀∈且,0,,0j i kp r r p ij lp s s p +=+≤<=+≤<,故,i j r ij s +==那么()()()i j r re kpe re i j e ie je σσ+==+=+=+()()()()ij s se lpe se ije ie je σσ===+==.所以,σ是pZ 到1F 的同构映射.因为p 是素数,pZ 是域,所以1F 是的一个F 与pZ 同构的子域.15. 令2F Z =是仅含两个元素的域.[]F x 是F 上一元多项式环.(i)证明,21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约多项式.(ii)找出[]F x 中一切三次不可约多项式.解: (i)在[]F x 中二次多项式有222,1,x x x x ++,21x x ++,其中前三个多项式可约.因为0,1不是21x x ++的根,所以21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约.(ii) []F x 中三次多项式有3323332,,,1,x x x x x x x x x +++++,323321,1,1x x x x x x x +++++++.其中不可约多项式只有321x x ++和31x x ++。
《集合的概念》说课稿(精选10篇)
《集合的概念》说课稿(精选10篇)《集合的概念》说课稿 1一、说教材1、教材的地位和作用《集合的概念》是人教版第一章的内容(中职数学)。
本节课的主要内容:集合以及集合有关的概念,元素与集合间的关系。
初中数学课本中已现了一些数和点的集合,如:自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等,但学生并不清楚“集合”在数学中的含义,集合是一个基础性的概念,也是也是中职数学的开篇,是我们后续学习的重要工具,如:用集合的语言表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集,曲线上点的集合等。
通过本章节的学习,能让学生领会到数学语言的.简洁和准确性,帮助学生学会用集合的语言描述客观,发展学生运用数学语言交流的能力。
2、教学目标(1)知识目标:a、通过实例了解集合的含义,理解集合以及有关概念;b、初步体会元素与集合的“属于”关系,掌握元素与集合关系的表示方法。
(2)能力目标:a、让学生感知数学知识与实际生活得密切联系,培养学生解决实际的能力;b、学会借助实例分析,探究数学问题,发展学生的观察归纳能力。
(3)情感目标:a、通过联系生活,提高学生学习数学的积极性,形成积极的学习态度;b、通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的理性和严谨。
3、重点和难点重点:集合的概念,元素与集合的关系。
难点:准确理解集合的.概念。
二、学情分析(说学情)对于中职生来说,学生的数学基础相对薄弱,他们还没具备一定的观察、分析理解、解决实际问题的能力,在运算能力、思维能力等方面参差不齐,学生学好数学的自信心不强,学习积极性不高,有厌学情绪。
三、说教法针对学生的实际情况,采用探究式教学法进行教学。
首先从学生较熟悉的实例出发,提高学生的注意力和激发学生的学习兴趣。
在创设情境认知策略上给予适当的点拨和引导,引导学生主动思、交流、讨论,提出问题。
在此基础上教师层层深入,启发学生积极思维,逐步提升学生的数学学习能力。
集合概念的形成遵循由感性到理性,由具体到抽象,便于学生的理解和掌握。
(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的一个线性函数,已知f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数,所以有f (ε1)+ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f (ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).=X1f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3)=4 X1-7 X2-3 X32、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数,则由题设有f (ε1)+ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f (ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时,就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f (ε1)+X 2 f (ε2)+X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1,ε2,ε3是线性空间V 的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3试证:α1,α2,α3是V 的一组基,并求它的对偶基。
证: 设(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A由已知,得A =110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0,所以α1,α2,α3是V 的一组基。
设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(A ˊ)1-=(f1,f2,f3)011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间,f1,f2,…fs 是V *中非零向量,试证:∃α∈V ,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s 采用数学归纳法。
(湖南)数学知识点精讲精练(书)(答案)
参考答案:第一章 集合与不等式第一节 集合的概念一.选择题:1.D2.C3.D4.C5.B6.A. 二.填空题:7..,,,,,,∉∈∈∉∉∈∈ 8. ()(]2,11,--∞- , 9. 7. 三.解答题:10.解:(1) 若,,0φ==N m 满足题意,.0=∴m若,21},21{-==-=xm N 满足题意,.2-=∴m若,311},3{===x m N 满足题意,31=∴m 。
}.31,2,0{-=∴P(2)集合P 的子集的个数为8个,P 的非空真子集的个数为6个。
第二节 集合的运算一.选择题1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.D. 二.填空题:8.{}5,2 9. ()(){}4,2,1,1- 10.()+∞,2 11.}102|{<<x x 三.解答题:12.}.3,2{},5,3{==B A 13. }6,3{},7,5,3,1{},8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U}.8,4,2{)(},7,6,5,3,1{==B A B A C U 14. 解:.,A B B B A ⊆∴=若,42=x 得2±=x 当2-=x 时,}4,1{},4,1,2{=-=B A ,满足题意;当2=x 时,}4,1{},2,4,1{==B A ,满足题意; 若,2x x =得10==x x 或, 当0=x 时,}0,1{},0,4,1{==B A ,满足题意;当1=x 时,},1,4,1{=A 不满足集合元素的互异性,舍去。
}.0,2,2{-∈∴x15.解: 设两者都喜欢的人数为x 人,则只喜爱篮球的有(15)x -人,只喜爱乒乓球的有(10)x -人,由此可得(15)(10)830x x x -+-++=,解得3x =, 所以1512x -=,即 所求人数为12人。
注:最好作出韦恩图!第三节 充分必要条件一.选择题1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.B8.B9.A 10.B.第四节 不等式性质一.选择题1.D2.D3.D. 二.解答题4. 解:(1)解不等式①,得2->x 解不等式②,得1≤x不等式组的解集为(].1,2-(2)解不等式①,得,3-≤x 解不等式②,得1->x∴不等式组的解集为.φ5. 解:,31)()(11+≤-++≤+-y x y x 420≤≤∴x ,即630≤≤x ,31)()(11+≤-++-≤+-y x y x ,420≤-≤∴y 即20≤-≤y .830≤-≤∴y x第五节 一元二次不等式一.选择题1.C2.B3.A4.C5.A. 二.填空题6. },32|{<<x x7.(]2,1-8.}1,1{-9.()1,-∞- 10..22- 三.解答题11. 解:由题意得:,0>a 令02=++c bx ax 两根为:.2,121=-=x x 02=+-∴c bx ax 两根为:.2,121-==x x02>+-∴c bx ax 的解集为}.1,2|{>-<x x x 或12. 解:(1)由题意得:.52,2)2(3,0-=∴=-+-<m m m(2)由题意得:⎩⎨⎧<⋅--=∆<064)2(02m m m 解得,66-<mm ∴的取值范围为}.66|{-<m m 第六节 含绝对值的不等式一.选择题1. C2. C3. D4. B5. C. 二 .解答题6. (1)}3,21|{>-<x x x 或 (2) ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-5,2721,2 (3) ),21(+∞7..135232=⨯+=+c a8.解:},51|{},44|{>-<=+<<+-=x x x B a x a x A 或(1)若}.13|{},53|{,1-<<-=∴<<-==x x B A x x A a(2)若R B A = 则⎩⎨⎧>+-<+-5414a a 得.31<<a∴ 实数a 的取值范围为}.31|{<<a a 9.原不等式可转化为02)(2>--x x ,令)0(,≥=t t x 得,022>--t t 解得,2)(1>-<t t 或舍 ,22,2>-<∴>∴x x x 或得原不等式解集为}.22|{>-<x x x 或 10.原不等式可转化为,)2()12(22+≥-x x得331,0)3)(13(≥-≤∴≥-+x x x x 或,得原不等式解集为}.331|{≥-≤x x x 或第七节 线性分式不等式一.选择题1.B2. B3. D4. D5.D.二.解下列不等式6.(1)(]3,2;(2)()()+∞-∞-,43, ;(3)(][)+∞-∞-,41,(4)()()2,01, -∞-;(5)}12|{≥-=x x x 或;(6)]21,0()0,21[ -7.()+∞-,4)2,3( 8.).21,1(--=B A第二章 函数 第一节 函数的概念一. 选择题1. B2. A3. C4. C5. D6. D7. A8. B9. C 10. B 二.填空题11. 9 12. (][)+∞⋃∞-,21, 13. 421三.解答题14. (1)()()()+∞⋃⋃∞-,66,11, (2)[)()+∞⋃,55,2 15. (1)f(0)=-1, f(3)=8 (2)值域为{-1,5,8} 16. ()62=-f ()[]311=-f f第二节 函数的单调性与奇偶性一.选择题1. C2. B3. B4. A5. C6. D7. D8. D9. B 10. A 二.填空题11. 5 12. [)+∞,2 13. ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-25,三.解答题14. (1)奇函数 (2)偶函数 15.m 的取值范围为(1,2)第三节 指数式运算及指数函数的图像和性质一. 选择题1. B2. C3. A4. C5. A6. B7. D8. B9. C 10. C 二.填空题11. 5 12. 2 13. [)+∞-,1 三.解答题14. 19 15. y 的最小值为4 16. 21=a第四节 对数式运算及对数函数的图像和性质一. 选择题1. D2. C3. A4. C5. D6. C7. C8. C9. B 10. C 二.填空题11. 1,1 12. (2,3) 13. (0,2) 三.解答题 14. 4 15.41 16. 定义域为:()()+∞⋃-,11,1 17. 定义域为:()2,6-单调递增区间为:()2,6-- 单调递减区间为:[)2,2-第三章 三角函数一.选择题1.B2.B3.D4.A5.A 二.填空题6.ππππαα56-54z k k 2524,,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=7.S={}z k k ∈=,παα8.{}z k 180k 40∈︒+︒, 一或三 9.二 三.解答题10.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321,11.若t >0则r=5t43-tan 54cos 53-sin ===ααα,,若t <0则r=-5t43-tan 54-cos 53sin ===ααα,,第二节 同角三角函数的基本关系及其诱导公式一.选择题1.D2.A3.C4.B5.C 二.填空题6.53±7.54 8.22 9.2 三.解答题 10.-111.(1)-61(2)-52412.135cos 1312sin 1312cos 135sin ====ϕϕϕϕ,或,第三节 三角函数的图象和性质一.选择题1.C2.B3.B4.D5.C 二.填空题7.10 8.奇函数 9.6π 10.3 三.解答题11.(1)⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk 265k 265-,(2)(0,π) 12.[-6,3]第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 一.选择题1.D2.B3.B4.B 二.填空题5.-7259 6.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4340, 7.257 8.2239.2x -153-x 54y =(54<x <1)三.解答题 10.43π 11.2 12.-257第五节 解三角形和正弦型函数一.选择题1.C2.C3.D4.A5.C二.填空题6.12- 8.1932; 9.06C π<≤三.解答题10.解:∵3tan =B ,∴B=60° ∵31cos =C ,∴322sin =C b=AC=36,BC sin bsin c = 得:c=8sinA=sin (B+C )=sinBcosC+cosBsinC =6223322213123+=⋅+⋅ ∴3826bcsin 21+==A S ABC △ 11.解:(1)-91 (2)49 12.解:)(π32x 2sin 2y +=第四章 数列第一节 数列的概念一.选择题:1.C2.D3.B4.C5.D6.C7.C8.C 二.填空题: ⒐251⒑ 110-=n n a ⒒ 12-=n a n ⒓ 161三.解答题13.(1)12-=n a n (2) 2)1(+=n n a n(3) 22+=n n a n (4)nn a n n 2)12()1(21--=+14.因为pn n S n +=2,n n T n 232-=所以p p p s s a +=--+=-=199811010091010 55182432030091010=+--=-=T T b又1010b a =,所以有19+p=55, 故 p=36.15.因为1322++=n n S n ,所以611==s a ;]1)1(3)1(2[132221+-+--++=-=-n n n n s s a n n n =4n+1所以 ⎩⎨⎧≥+==2,141,6n n n a n第二节 等差数列一.选择题1.D2.A3.A4.D5.C6.D7.B8.A 二.填空题⒐ d=2 ⒑24 ⒒ 4,6,8或8,6,4⒓3 ⒔ 60 三.解答题14.设等差数列}{n a 共有n 项,则由题意得34321=++a a a ,14612=++--n n n a a a 所以 1801463423121=+=+++++--n n n a a a a a a 又 23121--+=+=+n n n a a a a a a 所以601=+n a a ,所以3902602)(1==+=nn a a s n n 故 n=13.15. 设等差数列}{n a 的首项为1a ,公差为d ,则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=982131414010114111d a s d a a 解得 2,201-==d a所以n n d n a a n 222)1(220)1(1-=--=-+= 16.证明:由题意得ba cbc a +++=+112 即=+++++))()(())((2b a c b c a b a c b ++++++))()(())((b a c b c a b a c a ))()(())((b a c b c a c a c b +++++所以有))(())(())((2c a c b b a c a b a c b +++++=++整理得2222c a b +=所以222,,c b a 成等差数列第三节 等比数列一.选择题1.B2.D3.B4.A5.C6.B7.A8.B 二.填空题⒐ 3 ,1 ⒑ 240 ⒒ 55 三.解答题12.12-=n n a ,102310=s13.⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++=15)4)(1()1(22c b a c a b c a b 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-===1511c b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===852c b a所以1,5,11-===c b a 或8,5,2===c b a 14. 由题意得q=2所以nn a 2= 因为12222loglog 1+⋅=n nn b =)1(1+n n 所以)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯=n n s n =11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n 所以 1+=n n n s第四节 等差、等比数列的综合应用一.选择题1.A2.B3.B4.A 二.填空题⒌ 15个月 ⒍ 2400 ⒎ 20%⒏ 按五年期零存整取(按a(1+n×6.5%)计本利) 三.解答题9.(1)10600元 (2)元10.(1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d =50, 则S n =250n +-2×50=25n 2+225n ,令25n 2+225n≥4 750,即n 2+9n -190≥0,而n 是正整数,∴n≥10.∴到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q =1.08,则b n =400×(1.08)n -1.由题意可知a n >0.85b n , 有250+(n -1)×50>400×(1.08)n -1×0.85. 当n =5时,a 5<0.85b 5,当n =6时,a 6>0.85b 6, ∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%11.(1)设每年还x 万元,则有10x=10+10×5%+(10-x )5%+(10-2x )5%+…+(10-9x )5% 所以解得x ≈1.2245万元=12245元(2)设每年还x 万元,则有%)41(1]%)41(1[%)41(101010+-+-=+x所以2333.11%)41(%4%)41(101010≈-+⨯+=x 万元=12333元 所以第一种方案更好。
第十节
如:IF(C3=“”,“”, 应执行的函数)
注意:函数是可以嵌套使用的,如IF函数的嵌套—— IF(I3=“”,“”,IF(I3<=1,“一等奖”,IF(I3<=3,“二等奖”, IF(I3<=6,"三等奖","优秀奖"))))
本章小结
• 数据库表格的条件格式化设置、 有效性设置;
•
•
数据的排序、筛选、分类汇总。
Excel出错信息: #### 数值长度超过列宽;
# N/A
#REF!
引用了目前无法使用的数值;
该单元格引用无效
#DIV/0!
#NAME? #NUM! #VALUE!
公式中除数为零或空白单元格
引用了不能识别的名字 当公式或函数中的数字产生错误值 使用错误的参数或运算对象类型
使用IF函数来避免# N/A错误: IF ( 条件,表达式1,表达式2)
不论包含公式的单元格处在什么位置,公式中所引用的单元格位置都是其工 作表的确切位置。在街道地址比喻中就像一个特定的住址,如“人民路32
号”。单元格的绝对引用通过在行号和列标前加一个美元符号“$”来表示,
如$A$1、$B$2,以此类推。
(3)混合引用:B$3 , $B3 ,只有列或行变化
10.2.7 排序
注意:根据数据库遵循的原则,数据库标题 不能和字段标题行直接相连,所以数据库标题输 入到第1行,字段标题至少输入到第3行,而不能
在第2行。
10.2.2 数据库表格的格式设置
1. 数据库标题 2. 字段标题 —合并居中
3. 条件格式化设置
选中区域—格式—条件格式 (最多3个) 4. 底纹颜色间隔设置——格式刷 5. 边框设置
高中数学高考高三理科一轮复习资料第10章 10.11 离散型随机变量
2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0,i=1,2,„,n; (2) pi=1.
i=1 n
三、常见离散列为 X 0 1 P 1-p p ,其中 p=⑥__________称为成功概率.
2.超几何分布列: 在含有 M 件次品数的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中含有 X k n -k CM CN-M 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为:P(X=k)= Cn (k N = 0,1,2 , „ , m) , 其 中 m = ⑦ ____________ , 且 ⑧ ______________,则称分布列为超几何分布列. X 0 1 m „ n-0 1 n-1 m n-m C0 · C C C C M N-M M N-M MCN-M P „ n Cn C Cn N N N
二、离散型随机变量的分布列及性质 1.一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1, x2,„,xi,„,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,„,n)的概率 P =(X=xi)=pi,则表 X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn 称为离散型随机变量 X 的③____________, 简称为 X 的④ ________.有时为了表达简单, 也用等式⑤____________表示 X 的分布列.
解析:由于抛掷 1 颗骰子,可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一,而 X 表示抛掷 2 颗骰子所得到的点数之和, 所以 X=4=1+3=2+2 表示的随机试验结果是:1 颗是 1 点, 另 1 颗是 3 点,或者 2 颗都是 2 点,故选 D. 答案:D
2.袋中有大小相同的 5 只钢球,分别标有 1,2,3,4,5 五个 号码,不放回地任意抽取两个球,设两个球号码之和为 X,则 X 的所有可能取值个数为( ) A.25 B.10 C.7 D.6
《离散数学》 第10章 代数系统
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.7 设 ,*为集合A上的两个可交换二元运算, 若对任意x,y∈A,都有x (x*y)=x和x* (x y)=x,则 称运算 和运算*是可吸收的,或称运算 和运算*满足
例如,A={所有整数},B={所有不等于零的整
数},C={所有有理数},则
f: A×B→C,
(a,b) a b
是一个A×B到C的代数运算,也就是普通的除法。
10.1 二元运算及其性质
10.1.1 二元运算
定义10.1.2 设A为集合,如果f是A×A到A的代数运算,则称f 是A上的一个二元运算,也称作集合A对于代数运算f来说是 封闭的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
例10.1.7 设R为实数集, 为集合R上的二元运算,对任意
的a,b∈R,a b=a+2b,问这个运算满足交换律、结合律
吗?
解 因为2 3=2+2×3=8,而3 2=3+2×2=7,2 3≠3 2,故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×((23+32)×44)=(=223+,2×(32)3+)2×44≠=216(,3而42)(,3故4)该运
算也不满足结合律。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.6 设 ,*为集合A上的两个二元运算,若对任意 x,y,z∈A,有x(y*z) = (x y)*(x z)和(y*z) x的=,(或y称x运)算*(z对x)运成算立*满,足则分称配运律算。 对运算*是可分配
高教版中职数学(基础模块)目录
高教版中职数学(基础模块)课时安排及目录课时安排第三版上册第1章集合与充要条件1.1 集合的概念1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.4 充要条件复习题1现代信息技术应用1 如何在Word文档中录入数学公式阅读与欣赏康托尔与集合论第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式复习题2现代信息技术应用2 利用Excel软件解一元二次方程阅读与欣赏数学家华罗庚第3章函数3.1 函数的概念及表示法3.2 函数的性质3.3 函数的实际应用举例复习题3现代信息技术应用3 利用几何画板作函数图像(静态)阅读与欣赏个人所得税计算方法解析第4章指数函数与对数函数4.1 实数指数幂4.2 指数函数4.3 对数4.4 对数函数复习题4现代信息技术应用4 利用几何画板作函数图像(动态)阅读与欣赏声音的计量及噪音第5章三角函数5.1. 角的概念推广5.2 弧度制5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数5.4 同角三角函数的基本关系5.5 诱导公式5.6 三角函数的图像和性质5.7 已知三角函数值求角复习题5现代信息技术应用5 利用几何画板作函数图像(从轨迹角度)阅读与欣赏光周期现象及其应用附录1 预备知识附录2 教材使用的部分数学符号下册第6 章数列6.1 数列的概念6.2 等差数列6.3 等比数列复习题6现代信息技术应用6 编制利用Excel软件进行数列相关计算的工作表阅读与欣赏堆垛中的数学计算第7章平面向量7.1 平面向量的概念及线性运算7.2 平面向量的坐标表示7.3 平面向量的内积复习题7现代信息技术应用7 利用几何画板软件绘图1阅读与欣赏牛顿第8章直线和圆的方程8.1 两点间的距离与线段中点的坐标8.2 直线的方程8.3 两条直线的位置关系8.4 圆复习题8现代信息技术应用8 利用几何画板软件绘图2阅读与欣赏解析几何的创始人———笛卡儿第9 章立体几何9.1 平面的基本性质9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质绪言第1章集合1.1 集合及其表示1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算1.3.1 交集1.3.2 并集1.3.3 补集趣味数学神奇的心灵魔术数学文化无限集的奥秘信息技术应用元素与集合(列表) 第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.1.1 实数的大小2.1.2 不等式的性质数学文化从弦图看基本不等式2.2 区间2.3 一元二次不等式2.4 含绝对值的不等式2.5 不等式应用举例数学文化等号与不等号的来历信息技术应用四个“二次”第3章函数3.1 函数的概念3.2 函数的表示方法3.3 函数的性质3.3.1 函数的单调性3.3.2 函数的奇偶性3.3.3 几种常见的函数信息技术应用“心形”曲线与函数3.4 函数的应用趣味数学百钱买百鸡数学文化中国古代数学的发展期——魏晋南北朝第4章三角函数4.1 角的概念的推广4.1.1 任意角4.1.2 终边相同的角4.2 弧度制4.3 任意角的三角函数4.3.1 任意角的三角函数定义4.3.2 单位圆与三角函数4.4 同角三角函数的基本关系4.5 诱导公式4.6 正弦函数的图像和性质4.6.1 正弦函数的图像4.6.2 正弦函数的性质4.7 余弦函数的图像和性质4.8 已知三角函数值求角趣味数学地球的周长数学文化sin 的由来信息技术应用三角函数的定义域新版下册课时安排第5章指数函数与对数函数5.1 实数指数幂5.1.1 有理数指数幂5.1.2 实数指数幂5.2 指数函数5.3对数5.3.1对数的概念5.3.2 积、商、幂的对数数学文化对数简史5.4 对数函数5.5 指数函数与对数函数的应用趣味数学神奇的对数速算信息技术应用运用指数函数比较值的大小第6章直线与圆的方程6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式6.2 直线的方程6.2.1 直线的倾斜角与斜率6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程6.2.3 直线的一般式方程6.3 两条直线的位置关系6.3.1 两条直线平行6.3.2 两条直线相交6.3.3 点到直线的距离6.4 圆6.4.1 圆的标准方程6.4.2 圆的一般方程6.5 直线与圆的位置关系6.6 直线与圆的方程应用举例趣味数学数形结合,相辅相成数学文化笛卡儿坐标系的产生信息技术应用用GeoGebra判断直线与圆的位置关系第7章简单几何体7.1.1 棱柱7.1.2 直观图的画法7.1.3 棱锥7.2 旋转体7.2.1 圆柱7.2.2 圆锥7.2.3 球7.3 简单几何体的三视图数学文化祖暅原理信息技术应用正方体的十一种平面展开图第8章概率与统计初步8.1 随机事件8.1.1 随机事件的概念8.1.2 频率与概率8.3 概率的简单性质8.4 抽样方法8.4.1 简单随机抽样8.4.2 系统抽样8.4.3 分层抽样8.5 统计图表8.6 样本的均值和标准差趣味数学圆周率π中各数码出现的概率相同吗?拓展延伸大数据信息技术应用数据统计分析。
第10章 组合设计
n是素数,则下列性质在Zn中成立: 是素数,则下列性质在Z 中成立: a ⊗b=0 =>a=0或b=0 =>a=0或 a ⊗b=a ⊗c, a≠0 =>b=c 如果a≠0,则方程 x=b 则方程a x=b有唯一的解 如果a≠0,则方程a ⊗ 有唯一的解 1 b ⊗
⊗ ⊗
x=a-
10.2 区组设计
计算a 计算a和b的GCD的算法 GCD的算法
置A=a和B=b A=a和 B≠0时 当AXB≠0时,做
如果A≥B,则用A 替换A 如果A≥B,则用A-B替换A; 否则,用B-A替换B。 否则, 替换B
置GCD=B 引理:上述算法经有限步终止并正确算法a 引理:上述算法经有限步终止并正确算法a GCD。 和b的GCD。
λv (v − 1)
例:是否存在参数b=12,k=4,v=16,r=3 是否存在参数b=12,k=4,v=16,r=3 BIBD? 的BIBD? 4X4的棋盘定义区组如下 的棋盘定义区组如下: 例:4X4的棋盘定义区组如下:对每个 方格,取与其同一行和同一列的6 方格,取与其同一行和同一列的6个方 能否得到一个BIBD? 格,能否得到一个BIBD? 如果存在(v,k,λ 定理 如果存在(v,k,λ)- BIBD, 1<k<v, 则 区组总数b 或者等价地有λ(v区组总数b≥v, 或者等价地有λ(v-1) ≥ k(k-1) k(k-
10.4 拉丁方
例如要对治疗某种病的6种药d 例如要对治疗某种病的6种药d1, d2, d3, d4, d5, d6的效果进行试验. 的效果进行试验. 实验疗程一星期, 6个病人参加实验 个病人参加实验. 实验疗程一星期, 6个病人参加实验. 方案1 周一每人都服用d 方案1: 周一每人都服用d1, 周二每人 都服用d ,周六每人都服用 周六每人都服用d 都服用d2, … ,周六每人都服用d6. 方案1缺点: 方案1缺点: 后服的药的疗效可能要 好一些, 因为前面服过的药已起作用. 好一些, 因为前面服过的药已起作用. 方案2 每人六天只服用一种. 方案2: 每人六天只服用一种. 缺点是 受病人体质与病情的影响. 受病人体质与病情的影响.
高中数学集合整章教案
高中数学集合整章教案一、教学目标:1. 了解集合的基本概念和表示方法;2. 学会集合的运算及运算性质;3. 掌握集合的常用定理和推理方法;4. 能够应用集合知识解决实际问题。
二、教学内容:1. 集合的概念及表示方法;2. 集合的运算:并集、交集、补集等;3. 集合的运算性质:交换律、结合律、分配律等;4. 集合的定理:德摩根定理、排列组合等。
三、教学步骤:1. 导入:通过一个具体的例子引入集合的概念,让学生了解什么是集合及如何表示集合。
2. 学习:介绍集合的表示方法和运算,引导学生掌握集合运算的基本规则。
3. 实践:设计一些练习题,让学生通过实际操作来加深对集合的理解。
4. 巩固:讲解集合的定理和推理方法,引导学生运用集合知识解决问题。
5. 总结:回顾本节课的重点知识,帮助学生总结学习心得。
四、教学资源:1. 课件资料:包括集合的概念、表示方法、运算性质等内容。
2. 练习题:提供一些集合运算的练习题,帮助学生巩固所学知识。
五、教学评估:1. 课堂互动:通过课堂提问和讨论,了解学生对集合知识的掌握情况。
2. 练习情况:评估学生在练习题中的表现,检验他们是否掌握了集合的运算规则。
3. 作业完成情况:布置一定数量的作业题,检查学生对集合知识的理解和应用能力。
六、拓展延伸:1. 针对学生不同的学习水平,设计一些拓展性的练习题,让他们进一步加深对集合知识的理解。
2. 可以引导学生利用集合知识解决实际生活中的问题,激发他们对数学的兴趣。
七、教学反思:1. 结合学生的反馈意见,分析教学中存在的问题和不足之处,及时调整教学方法和策略。
2. 总结本节课教学的得失,为下一节课的教学做出合理的规划和安排。
中班20以内10的集合计算教案
中班20以内10的集合计算教案教案:中班20以内10的集合计算目标:学生能够理解数集的概念,并能够计算中班20以内10的集合。
关键词:集合、计算、数学运算教学准备:1.数字卡片或数字图形卡片(1-20之间的数字)2.表示集合的席位或区域3.相关练习纸教学步骤:1.导入(5分钟)-引导学生回忆之前学习过的一些数字,并与他们发放的数字卡片进行比较。
-引导学生观察卡片上的数字,并问他们是否能够找到卡片中的数字在数轴上的位置。
2.引入集合概念(10分钟)-通过展示数字卡片,并将其放置在表示集合的席位或区域上,引入集合概念。
-鼓励学生观察数字卡片,尝试找到卡片中的相似数字。
-解释集合是一组具有相同属性或特征的物体或数字的概念。
3.集合计算(15分钟)-引导学生对集合中的数字进行计算。
-进行以下示例计算:-将数字卡片1-10放置在集合区域上,询问学生集合中数字的个数。
-在集合区域上放置数字卡片11-20,并询问学生集合中数字的个数。
-然后,将两个集合合并,并询问学生新集合中数字的个数。
-最后,将数字卡片1-20全部放置在集合区域中,并询问学生新集合中数字的个数。
-鼓励学生尝试不同的数字组合,并询问他们如何计算新集合中数字的个数。
4.进一步练习(15分钟)-分发练习纸,并设计一些相关练习,要求学生计算不同集合的数字个数。
-在练习中,可以使用数字图形卡片代替数字卡片,以帮助学生更好地理解集合的概念。
5.总结(5分钟)-引导学生回顾整堂课的内容,并总结集合计算的方法。
-提醒学生集合计算时需要仔细观察和计数。
教学延伸:1.可以通过让学生制作自己的数字卡片或数字图形卡片来加深对集合概念的理解。
2.引导学生探索更多关于集合的特性,如交集、并集等。
评估方法:1.教师观察学生在课堂上的参与情况,包括观察学生是否能正确理解集合概念,并计算集合中的数字个数。
2.通过练习纸上的练习,检查学生对集合计算的理解和运用能力。
教学反思:这堂课的教学目标是让学生理解数集的概念,并能够进行中班20以内10的集合计算。
第10章模糊逼近算法
第10章模糊逼近算法模糊逼近是一种通过模糊集合来近似地描述和解决模糊问题的方法。
在模糊逼近算法中,模糊集合用于表示不确定性或模糊性,并通过近似与模糊集合相关联的模糊集合函数来解决问题。
模糊逼近可以应用于多个领域,如模糊控制、模糊分类和模糊决策等。
它通过将经验和专家知识转化为模糊集合函数,从而模拟人类的思维和决策过程。
模糊逼近算法的核心思想是通过近似模糊集合函数来实现对模糊集合的描述和处理。
在模糊逼近算法中,最常用的方法是基于最小二乘法的逼近。
最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解逼近问题的方法。
在模糊逼近中,通过选择适当的模糊集合函数和一组合适的参数,可以使逼近函数与原函数之间的误差最小化。
在进行模糊逼近之前,首先需要选择适当的模糊集合函数。
常用的模糊集合函数有高斯函数、三角函数和逻辑函数等。
选择合适的模糊集合函数要考虑到问题的特点和需求,以及计算的复杂性。
接下来,需要确定模糊集合函数的参数,以使之与原函数最佳匹配。
常用的方法是通过最小二乘法来求解参数。
最小二乘法可以找到一组最优参数,使逼近函数和原函数之间的误差最小。
最后,通过比较逼近函数和原函数的差异,可以评估模糊逼近算法的效果。
如果逼近函数与原函数之间的差异较小,则可认为模糊逼近算法是有效的。
模糊逼近算法在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以帮助我们处理不确定性和模糊性的问题,提供更准确的决策和推理结果。
在模糊控制中,模糊逼近可以用于建立控制规则和推理机制,从而实现对模糊系统的控制和优化。
在模糊分类和模糊决策中,模糊逼近可以用于建立模糊分类器和模糊决策器,从而实现对模糊数据的分类和决策。
总之,模糊逼近算法是一种通过模糊集合来近似描述和解决模糊问题的方法。
它可以应用于多个领域,如模糊控制、模糊分类和模糊决策等。
模糊逼近算法通过选择适当的模糊集合函数和参数,来实现对模糊集合的描述和处理。
通过模糊逼近算法,可以获得更准确的决策和推理结果,从而提高问题求解的效果。
用列举表示法写出下列集合
用列举表示法写出下列集合第1章集合论 1( 用列举表示法写出下列集合。
(1)大于10小于20的整数全体;(2)20的所有因数的全体;(3)小于100的12正倍数。
2( 用描述表示法写出下列集合。
(1)从0到1000的整数;(2)奇数的全体;(3)7的倍数;(4)所有实数集上一元一次方程的解组成的集合; (5)能被100整除的整数集合;(6)直角坐标系中,单位元(不包括单位圆周)的点集。
3( 用列举元素法写出下列集合。
,(1){x|(xZ)并且(2,x,10)};(2){x|x是十进制的数字符号};(3){x|x是P 进制的数字符号},P = 2, 8, 16;(4){x|(x = 2)或(x = 5)};,(5)F = {,x, y,|(x, yZ)并且(0?x?2)并且(-2?y?1)}; (6){x|x是People's Republic of China中的英文字母}。
4( 设全集为Z;下列哪些集合是相等的?,(1)A = {x|x是偶数或奇数};(2)B = {x|((yZ)并且(x = 2y))}; (y),(3)C = {1, 2, 3}; (4)D = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …};,(5)E = {2x|xI}; (6)F = {3, 3, 2, 1, 2};323 2(7)G = {x|x - 6x - 7x - 6 = 0};(8)H = {x|x- 6x+11x - 6 = 0}。
5( 找出下列集合之间的关系。
,(1)A = {x|(xZ)并且(1,x,5);(2)B = {2, 3};2(3)C = {x|x - 5x+6 = 0}; (4)D = {{2, 3}}; (5)E = {2}; (6)F = {x|(x = 2)或(x = 3)或(x = 4)或(x = 5)};2 ,(7)G = {2x|(1?x?3)}; (8)H = {x|(xI)并且(x+ x + 1 = 0)}。
第十章理论课记录和集合
《Oracle数据库应用》理论课记录和集合⏹本章技能目标◆理解记录◆理解集合1.复合数据结构PL/SQL有两种复合数据结构:记录和集合。
记录由不同的域组成,集合由不同的元素组成。
2.PL/SQL 记录记录是PL/SQL的一种复合数据结构,scalar数据类型和其他数据类型只是简单的在包一级进行预定义,但复合数据类型在使用前必须被定义,记录之所以被称为复合数据类型是因为他由域这种由数据元素的逻辑组所组成。
域可以是scalar数据类型或其他记录类型,它与c语言中的结构相似,记录也可以看成表中的数据行,域则相当于表中的列,在表和虚拟表(视图或查询)中非常容易定义和使用,行或记录中的每一列或域都可以被引用或单独赋值,也可以通过一个单独的语句引用记录所有的域。
在存储过程或函数中记录也可能有参数。
1.1创建记录在PL/SQL中有两种定义方式:显式定义和隐式定义。
一旦记录被定义后,声明或创建定义类型的记录变量,然后才是使用该变量。
隐式声明是在基于表的结构或查询上使用%ROWTYPE 属性,隐式声明是一个更强有力的工具,这是因为这种数据变量是动态创建的。
显式定义记录显式定义记录是在PL/SQL程序块中创建记录变量之前在声明部分定义。
使用type命令定义记录,然后在创建该记录的变量。
语法如下:其中,typename 是类型名。
field_definition_list是由逗号分隔的列表。
域定义的语法如下:2域名必须服从与表或列的命名规则相同的命名规则。
下面我们看一个例子:例1:域定义时的%TYPE 属性用于引用数据库中的表或视图的数据类型和大小,而在此之前程序不知道类型和大小。
在上面的例子中记录域在编译时将被定义为与列SYMBOL 相同的数据类型和大小,当代码中要使用来自数据库中的数据时,在变量或域定义中最好使用%TYPE 来定义。
隐式定义记录隐式定义记录中,我们不用描述记录的每一个域。
这是因为我们不需要定义记录的结构,不需要使用TYPE 语句,相反在声明记录变量时使用%ROWTYPE 命令定义与数据库表,视图,游标有相同结构的记录,与TYPE 命令相同的是它是一种定义获得数据库数据记录的好方法。
集合的概念(一)(新教材)_贺永生
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(2)已知集合A满足条件:若(i)a ∈ A ,则 1 ∈ A ,(ii)若 (2)已知集合 满足条件: 已知集合A ,(ii) 1 a 且在A中还有另外两个数,求出这两个数。 且在A中还有另外两个数,求出这两个数。
2∈ A
,
解 由集合中元素的确定性知(1)、(3)、(5)、(6)是集合, 由集合中元素的确定性知( )、(3)、(5)、(6 是集合, )、(4 不构成集合。 (2)、(4)不构成集合。 4}; (1){-4,-2,0,2,4}; 东禅中学的学生} (3){东禅中学的学生}; 自然数} (5){自然数}; 单项式} (6){单项式}。 集合的表示,必须严格遵守规定。 ),若写成 若写成{ 说明 集合的表示,必须严格遵守规定。如(5),若写成{所有自然 全体自然数} 自然数集}是错误的,因为符号{}本身就具有 本身就具有“ 数}、{全体自然数}、{自然数集}是错误的,因为符号{}本身就具有“所 全体” 的意思了。 有”、“全体”、“集”的意思了。
2、填空题 实数集{1, 2x}中元素 应满足———— 中元素x (1)实数集{1,x,2x}中元素x应满足———— 2 的解集是———— (2)方程 x 2 x 3 = 0 的解集是———— 集合A 组成的集合, ——A (3)若 m ∈ N + ,集合A是由数 m 2 + 1 组成的集合,若,则y——A。 的解集是——。 (4)若 m ∈ N + ,则不等式 2 x 3 5 的解集是——。
第一课时 1、1集合的概念(一) 集合的概念( 集合
一、学习目标 1、理解集合的意义,会判断一组对象是否组成集合 理解集合的意义, ;掌握元素与集合的关系的表示法以及集合中元素的特性 。 2、初步知道集合的表示法,能正确使用常用数集的 初步知道集合的表示法, 名称及其符号。 名称及其符号。
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第10章集合第5章介绍了数组和Array类执行的接口。
数组的大小是固定的。
如果元素个数是动态的,就应使用集合类。
List和ArrayList是与数组相当的集合类。
还有其他类型的集合:队列、栈、链表和字典。
本章介绍如何使用对象组。
主要内容如下:●集合接口和类型●列表●队列●栈●链表●有序表●字典● Lookup● HashSet●位数组●性能10.1 集合接口和类型集合类可以组合为集合,存储Object类型的元素和泛型集合类。
在CLR 2.0之前,不存在泛型。
现在泛型集合类通常是集合的首选类型。
泛型集合类是类型安全的,如果使用值类型,是不需要装箱操作的。
如果要在集合中添加不同类型的对象,且这些对象不是相互派生的,例如在集合中添加int和string对象,就只需基于对象的集合类。
另一组集合类是专用于特定类型的集合,例如StringCollection类专用于string类型。
提示:泛型的内容可参见第9章。
对象类型的集合位于System.Collections命名空间;泛型集合类位于System.Collections. Generic命名空间;专用于特定类型的集合类位于System.Collections.Specialized命名空间。
当然,组合集合类还有其他方式。
集合可以根据集合类执行的接口组合为列表、集合和字典。
接口及其功能如表10-1所示。
.NET 2.0为集合类添加了新的泛型接口,例如IEnumerable和IList。
这些接口的非泛型版本将一个对象定义为方法的参数,而其泛型版本使用泛型类型T。
提示:接口IEnumerable、ICollection和IList的内容详见第5章。
对集合和列表非常重要的接口及其方法和属性如表10-1所示。
表10-1接口方法和属性说明IEnumerable,IEnumerable<T> GetEnumerator() 如果将foreach语句用于集合,就需要接口IEnumerable。
这个接口定义了方法GetEnumerator(),它返回一个实现了IEnumerator的枚举。
泛型接口IEnumerable<T>继承了非泛型接口IEnumerable,定义了一个返回Enumerable<T>的GetEnumerator方法。
因为这两个接口具有继承关系,所以对于每个需要IEnumerable类型参数的方法,都可以传送Enumerable<T>对象ICollection Count,IsSynchronized,SyncRoot,CopyTo() 接口ICollection由集合类实现。
对于实现了这个接口的集合,可以获得元素个数,把集合复制到数组中接口ICollection<T>扩展了接口IEnumerable的功能ICollection<T> Count,IsReadOnly,Add(),Clear(),Contains(),CopyTo()Remove() ICollection<T>接口是ICollection接口的泛型版本。
这个接口的泛型版本可以添加和删除元素,获得元素个数IList IsFixedSize,IsReadOnly,Item,Add,Clear,Contains,IndexOf,Insert,Remove,RemoveAt 接口IList派生于接口ICollection。
IList 允许使用索引器访问集合,还可以在集合的任意位置插入或删除元素IList<T> Item,IndexOfInsert,Remove 与接口ICollection<T>类似,接口IList<T>也继承了接口ICollection。
第5章提到,Array类实现了这个接口,但添加或删除元素的方法会抛出NotSupportedException异常。
在大小固定的只读集合(如Array类)中,这个接口定义的一些方法会抛出NotSupportedExceptiuon异常比较接口IList的非泛型版本和泛型版本,会发现新的泛型接口只为提供了索引的集合定义了重要的方法和属性。
其他方法重构到ICollection<T>接口中IDictionary IsFixedSize,IsReadOnly,Item,Keys,Values,Add(),Clear(),Contains(),GetEnumerator(),Remove() 接口IDictionary由其元素包含键和值的非泛型集合实现IDictionary<TKey,TValue> Item,Keys,Values,Add(),ContainsKey (),Remove(),TyrGetValue()IDictionary<TKey,TValue>由其元素包含键和值的泛型集合实现。
这个接口比IDictionary简单ILookup<TKey,TElement> Count, Item,Contains()ILookup<TKey,TElement>是.NET 3.5中的一个新接口,一个键对应多个值的集合使用它。
索引器为指定的键返回一个枚举IComparer<T> Compare() 接口IComparer<T>由比较器实现,通过Compare()方法给集合中的元素排序IEqualityComparer<T> Equals(),GetHashCode() 接口IEqualityComparer<T>由一个比较器实现,该比较器可用于字典中的键。
使用这个接口,可以对对象进行相等比较。
提示:非泛型接口ICollection定义的一些属性用于同步不同线程对同一个集合的访问。
这些属性不再用于新的泛型接口。
其原因是这些属性会导致与同步相关的安全性问题,因为集合通常不仅仅必须同步。
集合同步的内容可参见第19章。
表10-2列出了集合类和由这些类执行的集合接口。
表10-2集合类集合接口ArrayList IList, ICollection, IEnumerableQueue ICollection, IEnumerableStack ICollection, IEnumerableBitArray ICollection, IEnumerableHashtable IDictionary, ICollection, IEnumerableSortedList IDictionary, ICollection, IEnumerableList<T> IList<T>, ICollection<T>, IEnumerable<T>, IList, ICollection, IEnumerable Queue<T> IEnumerable<T>, ICollection, IEnumerableStack<T> IEnumerable<T>, ICollection, IEnumerableLinkedList<T> ICollection<T>, IEnumerable<T>, ICollection, IEnumerableHashSet<T> ICollection<T>, IEnumerable<T>, IEnumerableDictionary<TKey, TValue> IDictionary<TKey, TValue>, ICollection<KeyValuePair<TKey,TValue>>, IEnumerable<KeyValuePair<TKey, TValue>>,IDictionary, ICollection, IEnumerableSortedDictionary<TKey, TValue> IDictionary<TKey, TValue>, ICollection<KeyValuePair<TKey,TValue>>, IEnumerable<KeyValuePair<TKey, TValue>>,IDictionary, ICollection, IEnumerableSortedList<TKey, TValue> IDictionary<TKey,TValue>,ICollection<KeyValuePair<TKey,TValue>>, IEnumerable<KeyValuePair<TKey, TValue>>,IDictionary, ICollection, IEnumerableLookup<TKey, TElement> ILookup<TKey, TElement>, IEnumerable<IGrouping<TKey,TElement>>, IEnumerable10.2 列表.NET Framework为动态列表提供了类ArrayList和List<T>。
System.Collections.Generic 命名空间中的类List<T>的用法非常类似于System.Collections命名空间中的ArrayList类。
这个类实现了IList、ICollection和IEnumerable接口。
第9章讨论了这些接口的方法,所以本节只探讨如何使用List<T>类。
下面的例子将Racer类中的成员用作要添加到集合中的成员,以表示一级方程式的一位赛手。
这个类有4个字段:firstname、lastname、country和获胜次数。
这些字段可以用属性来访问。
在该类的构造函数中,可以传送赛手的姓名和获胜次数,以设置成员。
方法ToString()重写为返回赛手的姓名。
类Racer也实现了泛型接口IComparer<T>,为Racer元素排序。
[Serializable]public class Racer : IComparable<Racer>, IFormattable{public Racer(): this(String.Empty, String.Empty, String.Empty) {}public Racer(string firstname, string lastname, string country): this(firstname, lastname, country, 0) {}public Racer(string firstname, string lastname, string country, intwins){this.firstname = firstname;stname = lastname;this.country = country;this.wins = wins;}public string Firstname{ get; set; }public string Lastname{ get; set; }public string Country { get; set; }public int Wins { get; set; }public override string ToString(){return String.Format("{0} {1}",FirstName, LastName);}public string ToString(string format, IFormatProviderformatProvider){switch (format.ToUpper()){case null:case "N": //Namereturn ToString();case "F": //FirstNamereturn Firstname;case "L": //LastNamereturn Lastname;case "W": //Winsreturn String.Format("{0}, Wins: {1}",ToString(), Wins);case "C": // Countryreturn String.Format("{0}, Country: {1}",ToString(), Country);case "A": // Allreturn String.Format("{0}, {1} Wins: {2}",ToString(), Country, Wins);default:throw new FormatException(String.Format(formatProvider,"Format {0} is not supported",format));}}public string ToString(string format){return ToString(format, null);}public int CompareTo(Racer other){int compare = pareTo(stName);if (compare == 0)return pareTo(other.FirstName);return compare;}}10.2.1 创建列表调用默认的构造函数,就可以创建列表对象。