12.1实数的概念

12．1 实数的概念

教学目标：

1．积极参与问题引导下的思考和操作活动，体验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数。

2. 通过对比分析，知道无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.

3. 了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程，知道实数的分类：；会分类思想.

教学重点及难点：

理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.

教学过程：

一、复习引入:

问：(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？

(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？

(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(≠q q p q

p 都是整数，且的形式？ 答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式.

二、新授：

（一）引入：

1． 操作剪拼正方形，引出2. 要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？

师：如果设该正方形的边长为x ，那么22=x ，即x 是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界

中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示.

追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示.

2． 说明2是一个无限不循环小数.（书第3页的问题3……） 师生总结：由此可以说明2是无限不循环小数.

3． 请你再举出几个无限不循环小数的例子. 除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率 也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.

（二）形成概念:

1．无理数：

无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.如兀与-兀等

2．实数：

有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：

正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数

实数 负有理数 正无理数

无理数 ——无限不循环小数

负无理数

{ {

{

（三）例题：

1、书第4页：例题1．将下列各数放入图中适当的位置： 0、-

2、2、4、3.1416、0.2

3、7

22、5、π、0.3737737773…（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个） 问：3.1416不是兀吗?怎么是有理数呢?(……)

师:22/7是一个无限循环小数,任何分数都是有理数.

2．书第5页:例题2.判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 无限小数都是无理数( )

(2)无理数都是无限小数( )

(3)正实数包括正有理数和正无理数( )

(4)实数可以分为正实数和负实数两类( )

……

引导出：实数的另一种分类方法？

三、巩固练习：

1、书第5页的练习1、2（注意：题中所指的分数，特别把分母q=1的排除了）

2、请构造几个大小在3和4之间的无理数.

3、用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：

(1)

. (2) 0 有理数.

(3) 无限不循环小数 无理数.(4) 实数 有理数和无理数.

(5) 正整数、0和负整数 整数.

(6) 有理数有限小数或无限循环小数.

四、小结：

1、今天学习了什么？

2、什么是无理数？什么是实数？

3、实数的分类？

4、你有什么样的疑问？

五、作业：练习册12.1

教学设计说明

本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出“正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.（即：第一，探究生活中是否存在无理数.通过操作产生面积为2的正方形，由正方形的边长引出“2”；第二，探究2是什么样的数.通过与有理数比较分析，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数；第三，探究是否存在其他的无理数.举面积为3、5、6、7、8、10的正方形边长及圆周率π为例，说明无理数普遍存在.）在此基础上，引进无理数，归纳得到实数的概念，体验数的扩充的过程和必要性.

（1）动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受2的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度，因而需要寻找一种新的数来解决问题；同时调动学生学习和思维的积极性，帮助学生

体验无理数的产生过程，引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，其含义待下一节课详述.

（3）把无限不循环小数叫做无理数，是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明.

（4）实数的分类办法，建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数，构建数系知识结构，应予重视.在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想.

（5）练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1 22应给予关注，它是一个无限循环小数，学生容易将它归入无理中

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数范畴.练习2的（3）、（4）两小题，建议与实数的分类作比较分析，即可得出正确结论.在此可引导学生总结实数的另一种分类办法.