勾股定理知识点及练习题及答案(1)

勾股定理知识点及练习题及答案(1)
一、选择题
1．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )
A ．(3510)cm +
B ．513cm
C ．277cm
D ．(2583)cm +
2．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．2
3．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）
A ．22
B ．32
C ．62
D ．82 4．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6
B ．a =1，b=2，c=3
C ．a =5，b=6，c=8
D ．a =3，b=2，c=5
5．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直
角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.
A．49 B．25 C．13 D．1
6．下列命题中，是假命题的是( )
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
7．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（）A．8 B．9.6 C．10 D．12
8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是()
A．5 B．4 C．34D．4或34
9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（）
A．3
2
B．2 C．22D．10
10．如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）
A．33
2
cm B．4cm C．32cm D．6cm
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，22
AD=，3
CD=，
45
ABC ACB ADC
∠=∠=∠=︒，则BD的长为__________．
12．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.
13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．
14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.
16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．
17．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．
18．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．
19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．
20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
三、解答题
21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．
，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3D ，使四边形ABCD 是
邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．
22．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150︒，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM的长．
23．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
24．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；
（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．
25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．
(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；
(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；
(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)
27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ∆是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________；
（2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标； （2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出ADG ∆的周长.
30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．
（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；
（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；
（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；
（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案
【详解】
① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=
② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =
+=+= ∵277<325
∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm
,
【点睛】
此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的
2．D
解析：D
【分析】
先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．
【详解】
根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ，回到起点． 乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1A 1→A 1A ．
因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，
因为2017÷6=336…1，
所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A 1，B.
，
故选D ．
【点睛】
此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．
4．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、
2222+≠，故错误；
B 、22
213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.
5．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.
【详解】
根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25，
四个三角形的面积=4×
12ab=25-1=24， ∴2ab=24，
联立解得：（a+b ）2=25+24=49．
故选A.
6．C
解析：C
【分析】
一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.
【详解】
A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠
，故本选项错误； D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；
故选C.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 7．B
解析：B
【分析】
如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.
【详解】
如图，作CE AB ⊥与E.
AD 是ABC ∆的中线,BC =12,
∴BD=6,
10,8,6,AB AD BD ===
∴ 222AB AD BD =+,
90,ADB ∴∠=
,AD BC ∴⊥ 11,22
ABC S BC AD AB CE ∆==
1289.6.10
CE ⨯∴=
= 故选B. 【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
8．D
解析：D
【详解】
解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：
x
；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：
x
故选：D
9．D
解析：D
【分析】
根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．
【详解】
解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠E ＝∠ADC ＝90°，
∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．
∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，
∴∠EBC ＝∠DCA ．
在△CEB 和△ADC 中，
E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），
∴CE ＝AD ＝3，
在Rt △BEC
中，，
故选D ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=1
2
AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=1
2
BD=
3
2
,
∴=
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题
11．5
【分析】
作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．
【详解】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
，
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得22()4AD AD +='，
∵∠D′DA+∠ADC=90°，
∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，
∴BD=CD′=5
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．
12．3
【分析】
由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.
【详解】
解：∵//AD BC ，AB DC =，
∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，
∵BD 平分ABC ∠，
∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，
∴ABD ADB ∠=∠，
∴1AD AB ==，
∴2C DBC ∠=∠，
∵BD CD ⊥，
∴90BDC ∠=︒，
∵三角形内角和为180°，
∴90DBC C ∠+∠=︒，
∴260C DBC ∠=∠=︒，
∴2212BC CD ==⨯=，
∴123AD BC +=+=.
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
13．15厘米
【分析】
要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】
解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，
∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米．
故答案为：15厘米
【点睛】
求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．
14．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案
【详解】
当△ABC 是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD =-=-=,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴222215129BD AB AD =-=-=,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC 的周长=4+15+13=32；
当△ABC 是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴222213125CD AC AD =-=-=，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴222215129BD AB AD =-=-=，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC 的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC 的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 15．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180°
所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以()()222210210220BO EO +=
+= 所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
16．4
【分析】
根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可
【详解】
∵AC 的垂直平分线FG ，
∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，
∵∠BAC=120°，AB=AC ，
∴∠B=∠C=12
（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，
∴BF=FG ，
∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，
即（2AE ）2=AE 2+32，
∴AE=3（负值舍去） 即CE=3，
同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，
（2EF ）2=EF 2+（3）2，
∴EF=1（负值舍去），
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
17．55
【解析】
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
展开图如图所示：
由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，
∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），
故答案为：5
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
18．49
【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC 22AB BC +10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52AD 2+CD 2=（522+（522=100．
∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S△ABC+S△ACD=
1
2
AB•BC+
1
2
AD•DC=
1
2
×8×6+
1
2
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．25
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
215
PN PH NH
=+=+=
∴PG ＝2PN ＝．
故答案为
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
20．49
【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23， ∴AC =()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC 为等边三角形，
过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =
160302⨯︒=︒， ∴122
AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=，
∴S △ADC =1423432
⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；
②当CD =CB =BD =23时，如图所示：
∴△BDC 为等边三角形，
过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =
160302⨯︒=︒，
∴12
BE BD ==
3DE ==
=，
∴S △BDC =132
⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，
∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，
∴DF=
12
S △ADB =122
⨯=，
∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =；
③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．
∴邻和四边形ABCD 的面积是或
【点睛】 本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
22．(1)2；(2)2q p =
；(3)OM =【分析】
（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；
（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根
据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出MN p =
=即可解决问题；
（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出
2MF =，ME =F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角
三角形的性质求出1FG =，MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，
故答案为：2；
（2）过M 作MN CD ⊥于N ，
∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，
∴60MON ∠=︒，
∵MN q =，OM p =， ∴1122NO MO p =
=， ∴223MN MO NO p =
-=， ∴32
q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．
∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，
∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，
∴260EOF BOD ∠=∠=︒，
∴△OEF 是等边三角形， ∴OM OE OF EF ===，
∵1MP =，3MQ =
∴2MF =，3ME =，
∵30BOD ∠=︒，
∴150PMQ ∠=︒，
过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，
∴30FMG ∠=︒， 在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，
在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=
∴22(33)127EF =+=
∴27OM =
【点睛】
本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．
23．（1）①见解析；②DE＝29
7
；（2）DE的值为517
【分析】
（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，
∴△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF＝x，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝29
7
，
∴DE＝29
7
；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°
∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD
∴∠ACE ＝∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ．
（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE ＝∠CBD ，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，
∴∠EAD ＝90°，
在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，
∴BD 2+AD 2＝ED 2，
∵ED ＝2CD ，
∴BD 2+AD 2＝2CD 2，
（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，
∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，
∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，
EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=，
解得x ＝1，
∴AB ＝2+4．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
25．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
26．（1）∠CBD=20°；（2）AD=16
4；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】
（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；
（3）根据三角形ACB 的面积可得112
AC CB m =+， 进而得到AC •BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．
【详解】
（1）
∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，
∴AD=DB ，
设CD=x ，则AD=BD=8-x ，
在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，
x 2+62=（8-x ）2，
解得：x=
74， AD=8-74=164； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴
12
AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，
∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，
∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB ，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD 的周长为m+2．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
27．（1）①详见解析；（2）222
CD n =+-（1n >）；（2）
AD BD -=，理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++
()()22
222211n n n =++=+ 又∵()2
221AB n =+
∴222AD BD AB +=
∴△ABD 是直角三角形
②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形
∴1290∠+∠=︒
又∵290E ∠+∠=︒
∴∠1=∠E
在ACD ∆和BCE ∆中，
A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE
∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-
又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =
+=
∴22CD =222222
n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=
，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD ⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
ACD ∆和BCF ∆中
97AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△BCF
∴CD=CF ，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得DF ==
又DF=BF-BD=AD-BD
∴AD BD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.
28．（1）2
，2）证明见解析（3
）
7（4
【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2
）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122
BC AB ==
，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中， ∵122BE AE AB ===
，DE =
∴22=4BD BE DE =+，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上， 则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3
PE PQ EQ =+； 综上，PE 23221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法
表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.
29．（1）(0
，；（2）DF OE =；（3
）9+
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===
，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；
（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证
出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒
，由等边三角形的性质得12
DG OF ==即可得出答案．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，
6OB ∴=，12AB AC BC ===
，OA === ∴点A 的坐标为(0
，；
（2）DF OE =；理由如下：
ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，
AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，
FAD OAE ∴∠=∠，
在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，
DF OE ∴=；
（3）60AOF ∠=︒，
30FOB ∴∠=︒，
60ABO ∠=︒，
90AGO ∴∠=︒，
AFO ∆
是等边三角形，AO =
·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，
AOE AFD ∴∠=∠，
30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，
30AOD AFD ∴∠+∠=︒，
FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，
60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，
AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，
G ∴为斜边OF 的中点， 11633322DG OF ∴==⨯=， ADG ∴∆的周长93233AG AD DG =++=++．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 30．（1）t ，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t 的值为2﹣1或2+1，BE =3．
【解析】
【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）根据SAS 即可证明△ADE ≌△CDF ；
（3）由△ADE ≌△CDF ，即可推出∠ADE =∠CDF ，推出∠EDF =∠ADC =90°；
（4）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）由题意：AE =t ．
∵CA =CB ，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =∠ACD =45°． 故答案为t ，45．
（2）∵∠ACB =90°，CA =CB ，CD ⊥AB ，∴CD =AD =BD ，∴∠A =∠DCB =45°． ∵AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）． （3）∵点E 在边AC 上运动时，△ADE ≌△CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =∠ADC =90°．
（4）①当点E 在AC 边上时，如图1．在Rt △ACB 中，∵∠ACB =90°，AC =CB ，AB =2，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB =1，AC =BC 2=
∵CE =CD =1，∴AE =AC ﹣CE 2=
1，∴t 2=1． ∵BC 22112+=BE 22EC BC +12+3
②当点E 在AC 的延长线上时，如图2，AE =AC +EC 2=
1，∴t 2=1． ∵BC 22112+=BE 22EC BC +12+3。