一元二次方程 小结与思考
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解 : 设水渠的宽度xm, 根据题意, 得
(92 2 x)60 x 6 885.
x 2 106 x 105 0,
整理得 : 解得 :
x1 1; x2 105(不合题意, 舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
快乐学习 3
几何与方程
解 : 1.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 56 x ( ) 100. 4 4
x 2 56 x 0,
2
解得 : x 56, x 0不合题意, 舍去. 1 2
答 : 不剪, 可围成一个正方形的其面积能等于196cm2 .
快乐学习 3
几何与方程
解 : 3.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
快乐学习 3
数字与方程
3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得 x 2 10x 3 x. 整理得x 2 11x 30 0. 解得x1 5, x2 6. x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25, 或36.
快乐学习 7
几何与方程
7 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm, 在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小 路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设小路的宽度xm, 根据题意, 得
15+2x
(20 2 x)15 2 x 25 15 246.
2 x 2 35x 123 0,
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
整理得 :x 2 56 x 768 0, 解得 : x1 32, x2 24. 56 x 56 32 24; 或56 x 56 24 32. 答 : 剪下的一段为32cm或24cm, 可使正方形的面积和等于100cm2 .
x 2 56 x ( ) 196. 4 4
2
快乐学习 3
几何与方程
解 : 2.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
整理得 : x 56 x 34 0, 解得 : x 56 2 818 28 818. 2 x1 28 818 56; x2 28 818 0均不合题意, 舍去. 答 : 不能剪, 正方形的面积和不可能等于200cm2 .
一元二次方程 小结与思考
回顾与思考 0
你掌握了些什么
1.一元二次方程在生活中有哪些应用?请举例说 明． 2.在解决实际问题的过程中,怎样判断所求得 的结果是否合理?请举例说明. 3.举例说明解一元二次方程有哪些方法?
4.配方法的一般过程是怎样的?
5.利用方程解决实际问题的关键是
什么?
回顾与复习 1
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
回顾与复习 5
解应用题
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?
几何与方程
6 . 一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另 一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
解 : 设一条直角边为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 ( x 1) 2 7 2.
x 2 x 24 0.
1 97 解得 : x . 2 1 97 1 97 x1 ; x2 (不合题意, 舍去). 2 2 1 97 1 97 x 1 1 . 2 2 1 97 1 97 答 : 两条直角边分别为 cm和 cm.
x 2 56 x ( ) 200. 42 4
2
快乐学习 3
几何与方程
10. 在<九章算术>“勾股”章中有这样一个问题: 今有邑方不知大小,各中开门.出北门二十步有木,出南门 十四步折而西行,一千七百七十五步见木.问邑方几何. 大意是: 如图,四边形DEFG是一 A 座正方形小城,北门H位 D G 于DG的中点.南门K位于 H EF的中点,出北门20步到 A处有一棵树,出南门14 K F E 步到C处,再向西行1775 B C 步到B处,正好看到A处 的树木(即点D在直线AB 上).求小城的边长.
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
快乐学习 5
几何与方程
5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
回顾与思考6
有关利润的知识基本知识
快乐学习 2
数字与方程
2. 两个连续奇数的积等于20022-1,求这两个数.
解 : 设这两个连续奇数2 x 1和2 x 1, 根据题意, 得
2 x 12 x 1 20022 1.
整理得x 2 1002001. 解得x1 1001, x2 1001. 2 x 1 2003, 或2 x 1 2001;2 x 1 2001或2 x 1 2003. 答 : 这两个连续奇数为2003,2001或 2001或 2003.
称为二次项系数和一次项系数．
回顾与复习 2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
回顾与复习 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac x . 2a 2a 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 .
2
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用心
去想一想
知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
20+2x
20
15
整理得 : 解得 :
41 x1 3; x2 (不合题意, 舍去). 2
答 : 小路的宽度为3m.
快乐学习 3
几何与方程
8. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 形小块,水渠应挖多宽.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
解 : 设原正方形铁皮的边长为xcm, 根据题意, 得
4( x 8) 100.
2
解这个方程 : ( x 8) 2 100, x 8 10, x 8 10, x1 18; x2 2(不合题意, 舍去). 答 : 原正方形铁皮的边长为18cm.
快乐学习 6
快乐学习 4
数字与方程
4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b 2 4ac 4.变形:方程左边分解因 . x 2 2a 4a 式,右边合并同类项; 当b 2 4ac 0时,
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
回顾与复习 4
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
利润 商品利润=售价-进价； 商品利润率 . 进价
独立 作业
知识的升华
复习题.共22题;
祝你成功！
快乐学习 1
数字与方程
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设其中一个数为x, 根据题意, 得 xx 4 45. 整理得x 2 4 x 45 0. 解得x1 5, x2 9. x 4 5 4 9, 或x 4 9 4 5. 答 : 这两个数为5,9或 9,5.
一元二次方程的概念
方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称 为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ，
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别
(92 2 x)60 x 6 885.
x 2 106 x 105 0,
整理得 : 解得 :
x1 1; x2 105(不合题意, 舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
快乐学习 3
几何与方程
解 : 1.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 56 x ( ) 100. 4 4
x 2 56 x 0,
2
解得 : x 56, x 0不合题意, 舍去. 1 2
答 : 不剪, 可围成一个正方形的其面积能等于196cm2 .
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几何与方程
解 : 3.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
快乐学习 3
数字与方程
3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得 x 2 10x 3 x. 整理得x 2 11x 30 0. 解得x1 5, x2 6. x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25, 或36.
快乐学习 7
几何与方程
7 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm, 在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小 路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设小路的宽度xm, 根据题意, 得
15+2x
(20 2 x)15 2 x 25 15 246.
2 x 2 35x 123 0,
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
整理得 :x 2 56 x 768 0, 解得 : x1 32, x2 24. 56 x 56 32 24; 或56 x 56 24 32. 答 : 剪下的一段为32cm或24cm, 可使正方形的面积和等于100cm2 .
x 2 56 x ( ) 196. 4 4
2
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几何与方程
解 : 2.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
9. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
整理得 : x 56 x 34 0, 解得 : x 56 2 818 28 818. 2 x1 28 818 56; x2 28 818 0均不合题意, 舍去. 答 : 不能剪, 正方形的面积和不可能等于200cm2 .
一元二次方程 小结与思考
回顾与思考 0
你掌握了些什么
1.一元二次方程在生活中有哪些应用?请举例说 明． 2.在解决实际问题的过程中,怎样判断所求得 的结果是否合理?请举例说明. 3.举例说明解一元二次方程有哪些方法?
4.配方法的一般过程是怎样的?
5.利用方程解决实际问题的关键是
什么?
回顾与复习 1
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
回顾与复习 5
解应用题
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?
几何与方程
6 . 一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另 一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
解 : 设一条直角边为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 ( x 1) 2 7 2.
x 2 x 24 0.
1 97 解得 : x . 2 1 97 1 97 x1 ; x2 (不合题意, 舍去). 2 2 1 97 1 97 x 1 1 . 2 2 1 97 1 97 答 : 两条直角边分别为 cm和 cm.
x 2 56 x ( ) 200. 42 4
2
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几何与方程
10. 在<九章算术>“勾股”章中有这样一个问题: 今有邑方不知大小,各中开门.出北门二十步有木,出南门 十四步折而西行,一千七百七十五步见木.问邑方几何. 大意是: 如图,四边形DEFG是一 A 座正方形小城,北门H位 D G 于DG的中点.南门K位于 H EF的中点,出北门20步到 A处有一棵树,出南门14 K F E 步到C处,再向西行1775 B C 步到B处,正好看到A处 的树木(即点D在直线AB 上).求小城的边长.
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
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几何与方程
5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
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有关利润的知识基本知识
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数字与方程
2. 两个连续奇数的积等于20022-1,求这两个数.
解 : 设这两个连续奇数2 x 1和2 x 1, 根据题意, 得
2 x 12 x 1 20022 1.
整理得x 2 1002001. 解得x1 1001, x2 1001. 2 x 1 2003, 或2 x 1 2001;2 x 1 2001或2 x 1 2003. 答 : 这两个连续奇数为2003,2001或 2001或 2003.
称为二次项系数和一次项系数．
回顾与复习 2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
回顾与复习 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac x . 2a 2a 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 .
2
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用心
去想一想
知识是怎样发现的
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
20+2x
20
15
整理得 : 解得 :
41 x1 3; x2 (不合题意, 舍去). 2
答 : 小路的宽度为3m.
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几何与方程
8. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 形小块,水渠应挖多宽.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
解 : 设原正方形铁皮的边长为xcm, 根据题意, 得
4( x 8) 100.
2
解这个方程 : ( x 8) 2 100, x 8 10, x 8 10, x1 18; x2 2(不合题意, 舍去). 答 : 原正方形铁皮的边长为18cm.
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数字与方程
4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
105 x x10x 5 x 736.
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解 : x x 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x x . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b 2 4ac 4.变形:方程左边分解因 . x 2 2a 4a 式,右边合并同类项; 当b 2 4ac 0时,
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
回顾与复习 4
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
利润 商品利润=售价-进价； 商品利润率 . 进价
独立 作业
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复习题.共22题;
祝你成功！
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数字与方程
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设其中一个数为x, 根据题意, 得 xx 4 45. 整理得x 2 4 x 45 0. 解得x1 5, x2 9. x 4 5 4 9, 或x 4 9 4 5. 答 : 这两个数为5,9或 9,5.
一元二次方程的概念
方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称 为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ，
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别