2020届高考数学限时复习题12 理

高三理科数学限时训练

班级姓名座号18、（本题满分14分）

已知向量

(cos,1sin),(1cos,sin)

a b

αααα

=+=+

r r

．

（1

）若

a b

+=

r r

求sin2α的值；

（2）设

(cos,2)

cα

=--

r

，求

()

a c b

+⋅

r r r

的取值范围．

19、（本题满分14分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正

方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正

方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正

方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在

质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.

（Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率；

（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.

20、（本题满分14分）在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足

1

2AE CF CP EB FA PB ===，将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A

（I ）求证：1A E BEP ⊥平面 (Ⅱ)求点B 到面1A PF 的距离

(Ⅲ)求异面直线BP 与1A F 所成角的余弦

C

限时训练（16）参考答案及评分标准

18、解：（1

）因

(12cos ,12sin ),a b a b αα+=+++=r r r r

=，

3sin cos 4αα∴+=-

，

两边平方得

912sin cos 16αα+=

，7

sin 216α∴=-

（2）因(0,1sin 2)a c α+=-+r r ，

()

2211sin sin (sin ),

24a c b ααα∴+⋅=-=--r r r

又

[]

sin 1,1α∈-，

()

a c b

∴+⋅r r r

的取值范围为1,24⎡⎤-⎢

⎥⎣⎦.

19、解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为

121

63

P =

= 因为只投掷一次不可能返回到A 点；

若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为221

1()333P =⋅=

若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为：

（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为3

311()33

9

P =⋅=

若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为441

1()381

P ==

所以，点P 恰好返回到A 点的概率为23411137

398181

P P P P =++=

++=

┅┅┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，

因为，3(2)7P ξ==

，3(3)7P ξ==，1(4)7P ξ== 所以，33119

2347777

E ξ=⋅+⋅+⋅= ┅┅┅┅┅┅┅┅12分

20、证明：（I ）在图1中，取BE 的中点D ，连DF

∵

1

2

AE CF CP EB FA PB ===，∵2,60,AF AD A ==∠=︒又∴ADF ∆为正三角形 又∵AE=ED=1 ∴AD ⊥EF ∴在图2中有1A E EF ⊥，BE EF =

∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角 ∵二面角1A EF B --为直二面角 ∴1A E BE ⊥ 又∵BE EF E =I

∴1A E BEF ⊥面

即1A E BEP ⊥面 ………………5分 (Ⅱ)∵BE//PF

∴BE//面1A PF ∵B 到面1A PF 的距离即为E 到面1A PF 的距离，

∵1BE A EF ⊥面，又BE//PF ， ∴1PF A EF ⊥面 ∴11A EF PF ⊥面面A ∵E 到面1PF A 的距离即为1A EF ∆中E 到1A F 的距离

d=A 1E

×sin 60︒=

∴点B 到面1A PF

10分 (Ⅲ)∵DF//BP

∴1DFA ∠即为所求角

1A DF ∆

中112,2A D DF A F === ,22211113

cos 24

DF A F A D DFA DF A F ++∠==g

∴异面直线BP 与1A F 所成角的余弦值为3

4

………………14分