计量经济学3多元线性回归模型

β, βˆ 是有 k 个元素的列向量
X 是第一列为1的 nk 阶解释变量
数据矩阵 (截距项可视为解释变量
取值为1)
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三、多元线性回归中的基本假 定
假定1：零均值假定 E(ui) 0 ( i 1,2, ,n)
或
E(u) = 0
假定2和假定3：同方差和无自相关假定
Cov(ui,uj ) E[(ui - Eui )(uj - Euj )] E(uiuj )
2 i= j
0 (i j)
假定4：随机扰动项与解释变量不相关
Cov(X ji,ui ) 0 j 2,3, ,k
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假定5:无多重共线性假定 (多元中)
假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个 解释变量观测值之间线性无关。或解释变量观
测值矩阵X 列满秩( k 列)。
Rank(X ) k
即 XX可逆 假定6：正态性假定
lnY ln A ln L ln K ln u
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多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
E(Yi X2i , X3i ,..., Xki ) 1 2 X2i 3X3i ... k Xki
总体回归函数也可表示为:
Yi 1 2 X2i 3X3i ... k Xki ui
1 X 22
X kiei
X
k1
Xk2
1 e1
0
X 2n
e2
=
X e
=
0
X
kn
en
Y2
1
Yn
1
Y
n1
X 21 X 22
X 2n
X
nk
X k1 β1 u1
X
k
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
β2
u2Y
X
kn
βk
un
βu
k 1 n1
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总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ
或 Y = Xβˆ + e
其中：Y,Yˆ,u,e 都是有n 个元素的列向量
模型中参数 j ( j 1, 2,..., k) 是偏回归系数，样本容量
为n
偏回归系数：控制其它解释量不变的条件下，第
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
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多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
Y AL K u
取自然对数
Rank(XX ) K
ui ~ N(0,σ2)
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第二节 多元线性回归模型的估计
本节基本内容:
● 普通最小二乘法（OLS） ● OLS估计式的性质 ● OLS估计的分布性质
● 随机扰动项方差 的估2 计
● 回归系数的区间估计
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一、普通最小二乘法（OLS）
最小二乘原则
剩余平方和最小： min ei2 (Yi -Yˆi)2
min ei2 [Yi - (ˆ1 ˆ2X2i ˆ3X3i ... ˆk Xki )]2
求偏导,令其为0:
( ei2 )
ˆ j
0
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即
-2 Yi - (ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3X3i ... ˆki Xki ) 0
-2 X2i Yi - (ˆ1 ˆ2X2i ˆ3X3i ... ˆki Xki ) 0
M
-2 Xki Yi - (ˆ1 ˆ2X2i ˆ3X3i ... ˆki Xki ) 0
ei 0 X2iei 0
M
Xkiei 0
注意到 Yi - (ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3X3i ... ˆki Xki ) ei
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用矩阵表示
ei X 2i ...
ei
=
1 X 21
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
是什么因素导致中国汽车数量的增长? 影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的，经济增长、 消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内 外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。
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怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
例如:有两个解释变量的电力消费模型
Yi 1 2 X 2 3 X3 ui
其中: Yi 为各地区电力消费量；
X 2为各地区国内生产总值（GDP）；
X
为各地区电力价格变动。
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模型中参数的意义是什么呢?
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多元线性回归模型的一般形式
一般形式：对于有 k 个解释变量的线性回归模型
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui
k 个解释变量的多元线性回归模型的 n个观测
样本，可表示为
Y1 1 2 X 21 3 X31 ... k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X32 ... k X k2 u2
Yn 1 2 X 2n 3 X3n ... k X kn un
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用矩阵表示
Y1 1
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多元样本回归函数
Y 的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
或 其中
Yˆi ˆ1 ˆ2X2i ˆ3X3i ... ˆk Xki Yi ˆ1 ˆ2X2i ˆ3X3i ... ˆk Xki ei
i 1,2, , n
回归剩余（残差）： ei Yi -Yˆi
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二、多元线性回归模型的矩阵表 示
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第三章 多元线性回归模型
本章主要讨论:
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验 ●多元线性回归模型的预测
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第一节 多元线性回归模型及古典假定
本节基本内容:
一、多元线性回归模型的意义 二、多元线性回归模型的矩阵表示 三、多元线性回归中的基本假定
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一、多元线性回归模型的意义
计量经济学
第三章 多元线性回归模型
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引子:
中国汽车的保有量会达到1.4亿辆吗 ?
中国经济的快速发展，使居民收入不断增加，数以百万 计的中国人开始得以实现拥有汽车的梦想，中国也成为世界 上成长最快的汽车市场。
中国交通部副部长在中国交通可持续发展论坛上做出预 测 :“2020年，中国的民用汽车保有量将比2003年的数字 增长６倍，达到1.4亿辆左右”。