福建省厦门市2017-2018学年高三第二次(10月)质量检测理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{|4}A x x x N =<∈且，2{|20}B x x x =->，则AB =（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{3,4} 【答案】B 【解析】试题分析：因0|{},,3,2,1,0{<==x x B A 或}2>x ,故A B =}3{，所以应选B.考点：集合的交集运算．2.“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三200人，则应从高一学生中抽取的人数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 【答案】C考点：抽样方法及运用． 3.已知:(0,),sin 2P x x x π∀∈<，则（ ）A ．p 是真，:(0,),sin 2P x x x π⌝∀∈≥ B ．p 是真，000:(0,),sin 2P x x x π⌝∃∈≥C ．p 是假，:(0,),sin 2P x x x π⌝∀∈≥ D ．p 是假，000:(0,),sin 2P x x x π⌝∃∈≥【答案】B【解析】试题分析：设x x x f -=sin )(,因01cos )(/<-=x x f ,故x x x f -=sin )(在 )2,0(π上单调递减，所以0)0()(=<f x f ,即x x <sin 恒成立,故p 是真,而该的否定应为存在型,故应选B.考点：含一个量词的的否定．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．12- B ．0 C ．12D ．1【答案】D考点：算法流程图的识读和理解．5.在ABC ∆中，13AP AB =，13BQ BC =，记AB a =，AC b =，则PQ =（ ） A ．1133a b + B ．2133a b + C ．2233a b +D ．1233a b -【答案】A 【解析】 试题分析：因b a AB AC a BC a a AP BQ AB AP AQ PQ 3131)(31323131+=-+=+-=-+=-=,故应选A.考点：向量的几何运算．6.从6名女生中选4人参加4100⨯米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，她们的接力赛顺序就不能相邻，不同的排法种数为（ ）A ．144B ．192C ．228D ．264 【答案】D考点：排列组合数公式及运用．7.将函数()co s ()2f x x πω=-(0)ω>的图象向右平移4π个单位，所得的图象经过点3(,0)4π，则ω的最小值是（ ） A ．13 B ．1 C ．53D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：因x x f ωsin )(=,向右4π个单位平移后得ωπ)4sin()(-=x x g ,故02sin )43(==ωππg ，所以Z k k ∈=,2πωπ,即k 2=ω,当1=k 时,ω取最小2,故应选D. 考点：三角函数的图象和性质．8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D．6+【答案】C考点：三视图的识读和侧面积的计算．【易错点晴】几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视,因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据,然后再选择运用相应的体积或面积公式进行求解.本题是一道提供了新概念信息的信息迁移题,解答时要仔细阅读和理解“堑堵”这一条件信息,充分利用这一信息推断出该几何体的底面为等腰直角三角形的直三棱柱.最后运用矩形面积公式求出侧面积.9.已知,x y满足4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若不等式1ax y-≥恒成立，则实数a的取值范围是（）A．27[,)5+∞ B．11[,)5+∞ C．3[,)5+∞D．[2,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：画出不等式组4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域,如图,直线01=--yax过定点)1,0(-A,从图中可以看出:当动直线在过点)522,1(M 的直线上方时符合条件,因此动直线的斜率a 必须满足5271522=+=≥k a ,故应选A.考点：线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划背景的前提下不等式恒成立的条件下,参数的取值范围问题.其目的是检测数学中的数形结合的数学思想及函数最值的求解问题.解答时要充分借助题设中的条件画出不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,运用数形结合的思想,考查目标函数1-=ax y 的特点是过定点)1,0(-A 的动直线.结合图形不难看出目标函数1-=ax y 过点且取其上方的部分的点的坐标时恒成立,所以其斜率必需满足5271522=+=≥k a ,从而使问题获解.10.直线:l y kx =与曲线32:43C y x x x =-+顺次 相交于,,A B C 三点，若||||AB BC =，则k =（ ）A ．-5B ．59-C ．12- D ．12【答案】B考点：函数与方程的运用．11.已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙=，则MA BA ∙的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．3【答案】B考点：椭圆的几何性质及向量的数量积公式．【易错点晴】本题以圆锥曲线中的椭圆为背景，考查的是向量的数量积的取值范围问题,其目的是检测数学中的函数思想及函数最值的求解问题.解答时要充分借助题设中的条件0MA MB ∙=,运用向量的数量的乘法运算建立目标函数)11(22430020≤≤-+-=⋅x x x ,但要特别注意函数的定义域.最后借助椭圆的范围求出该函数的最大值和最小值,从而使问题获解.12.已知平面四点,,,A B C D 满足2AB BC CD ===，AD =,ABD BCD ∆∆的面积分别为12,S S ，则2212S S +的取值范围是（ ）A ．12,14]B ．C ．(12,14]D ．(12,28] 【答案】A 【解析】 试题分析：设βα=∠=∠BCD BAD ,,则由余弦定理得ββcos 88cos 222442-=⨯⨯-+=BD .因ααcos 3816cos 32224122-=⨯⨯-+=BD ,可得1c o s 3c o s -=αβ.又2211412sin 4S α=⨯⨯212sin α=，2222221,44sin 4sin 44cos 412cos 44S βββαα=⨯⨯==-=-+-，故12cos 38cos 24cos 38cos 12cos 12122222221++-=+--=+αααααS S ，令)1,0(,c o s ∈=t t α所以123824)(22221++-=+=t t S S t h ,对称轴63=t ,故63=t 时,14)(max =t h ，当1=t 时，1238)1(-=h ,故应选A.考点：余弦定理及面积公式的运用．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若复数z 满足(1)2i z i -=，则z 在复平面内对应的点在第 象限. 【答案】二 【解析】 试题分析：因i i i i i z +-=+=-=12)1(212,所以在复平面上对应的点在第二象限. 考点：复数的概念及运算． 14.若函数2(),(,)(2,)21x af x x b b x +=∈-∞++∞-是奇函数，则a b += .【答案】1-考点：函数的奇偶性及运用．15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，以C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被C 截得的劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为 .【解析】试题分析：设圆M 与双曲线的在第一象限的交点为A ,因圆与双曲线都是关于x 轴对称的图形,故由题设可知060=∠AMx ,故点A 的坐标为)23,21(a a a A +,代入双曲线方程病整理得2235a b =,由此可得2285a c =,所以离心率5102=e . 考点：双曲线与圆的几何性质．【易错点晴】本题以圆锥曲线中的双曲线为背景，考查的是双曲线的几何性质和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答时充分运用题设中提供的信息,数形结合判断出三角形OAB 的形状是等边三角形,从而进一步确定交点A 的坐标点为)23,21(a a a A +,这是解答本题的关键,通过将该点的坐标代入双曲线的标准方程,从而求出该双曲线的离心率为5102=e .16.已知等边三角形ABC 的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，沿MN 将ABC ∆折成直二面角，则四棱锥A MNCB -的外接球的表面积为 . 【答案】52π考点：多面体的几何性质与外接球面积的计算．【易错点晴】多面体的外接球的体积面积问题一直以来都是教与学的难点.解答这类问题的关键是求半径,也是解答这类问题的难点值所在.本题在解答时充分借助题设条件,先搞清楚了四边形MNCB 的外接圆的圆心1O 的位置,再求出外接圆的半径.再结合球心与截面圆的半径之间的关系,建立了方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=129)3(2222d R d R ,求出了外接球的半径13=R 最后运用球的面积公式求出了外接球的面积为π52.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，314S =，1538a a a ∙=，数列{}n b n 项和为n T ，12log n n n b b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2n T .【答案】(1)nn a 2=；(2) 22n T n =.解法二：（1）由已知得21218(1)14a q a q q ⎧=⎨++=⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， 所以112n n n a a q -==. （2）同解法一.考点：三等比数列的通项和前n 项和公式等有关知识及运用． 18.（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 的底角A 等于60，其外接圆圆心O 在边AD 上，直角梯形PDAQ 垂直于圆O 所在的平面，90QAD PDA ∠=∠=，且24AD AQ ==. （1）证明：平面ABQ ⊥平面PBD ；（2）若二面角D PB C --的平面角等于45，求多面体PQABCD 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) V =（2）如图，过点B 作射线//BZ DP ，,,BA BD BZ 两两垂直， 以B 为原点，,,BA BD BZ 所在直线分别为,,x y z 轴建立坐标系，解法二：（1）同解法一（2）如图，在平面ABCD 中过点O 作AD 的垂线OX ， 过O 作射线//OZ DP ，,,OX OD OZ 两两垂直.以O 为原点，,,OX OD OZ 所在直线分别为,,x y z 轴建立坐标系，解法三： （1）同解法一.（2）取BD 中点E ，过E 作EF 垂直于PB 交线段PB 于点F ，连接CE ，CF ， 可证CE ⊥平面PBD ，∴PB CE ⊥， 又∵EF PB ⊥，EF CE E =，∴PB ⊥平面CEF ，∴PB CF ⊥，考点：空间线面的位置关系和空间向量的有关知识及运用．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的平面与平面的垂直问题和点与一个多面体的体积的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与直线与平面的判定定理、平面与平面判定定理进行推证.第二问求多面体PQABCD的体积的问题最终仍然转化为求点P到平面PBC的距离的问题,解法一是运用空间向量的知识进行求解的.解法二则是运用平面几何的知识求解.19.（本小题满分12分）2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分100分）如下：（1）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度；（2）从成绩80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X表示所选4人中男生与女生人数的差，求X 的数学期望.【答案】(1)茎叶图见解析，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中；(2)9756)(=X E . 【解析】（2）成绩在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人，X 的所有可能取值为-2,0,2，136413223164646412(2)97C C P X C C C C C C =-==++， 226413223164646445(0)97C C P X C C C C C C ===++， 316413223164646440(2)97C C P X C C C C C C ===++， 所以12454056()20297979797E X =-⨯+⨯+⨯=. 考点：平均数、方差和数学期望等有关知识及运用． 20.（本小题满分12分）已知直线1:220l mx y m +--=，2:220l x my m -+-=，1l 与y 轴交于A 点，2l 与x 轴交于B 点，1l与2l 交于D 点，圆C 是ABD ∆的外接圆. （1）判断ABD ∆的形状并求圆C 面积的最小值；（2）若,D E 是抛物线22x py =与圆C 的公共点，问：在抛物线上是否存在点P 使得PDE ∆是等腰三角形？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2π；(2) 共有4个满足条件的P 点.（2）当PE 是底时，PE 中点00(,)22x y M ，则DM PE ⊥， 即0000(2)(2)022x y x y -+-=，3004160x x --=， 设3()416f x x x =--，'2()34f x x =-，则()f x 在(,3-∞-，(,)3+∞递增，在(33-递减，因为(03f -<，(0)160f =-<，(3)10f =-<，(4)320f =>，所以()f x 在(3,4)有唯一零点，存在一个满足条件的P 点.考点：直线的方程、抛物线和圆的位置关系等有关知识及运用． 21.（本小题满分12分）设函数()ln xf x ax x be -=+，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为11(1)12y e x e --=+--.（1）求,a b ；（2）求证：2()12f x e ->--.【答案】(1) 1,1a b ==-；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件和导数的知识求解. 试题解析:（1）依题意，()f x 定义域为(0,)+∞，'()(1ln )x f x a x be -=+-，1(1)f e -=-，'1(1)1f e -=+，解得1,1a b ==-.设()ln ln 1x x x x ϕ=++，因为21(,)x e e --∈， 所以'1()1ln 120x x e xϕ=++>-+>， 所以()x ϕ在21(,)e e --上单调递增，所以220()()12x e e ϕϕ-->=--， 所以200()()()12f x f x x e ϕ-≥=>--， 综上可知，2()12f x e ->--. 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知()ln x f x x x e -=-，'()ln 1x f x e x -=++，设()ln 1xg x e x -=++，则'1()x xxe xg x e x xe--=-+=，考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．【易错点晴】导数是高中数学的重要内容之一,也是研究函数的单调性和最值问题的有效工具之一.本题考查的是函数的零点的个数问题和不等式的证明问题.解答这类问题时常常要运用转化与化归的数学思想将其进行等价的化归和转化.如第一问中的零点问题就是要研究清楚函数在定义域中的单调性,从而确定了函数零点的个数.如第二问不等式的证明问题就是通过构造函数研究函数的最小值问题.通过构造函数将不等式的证明问题转化为求其最小值为221---e 的问题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,AD CF 分别是ABC ∆的中线和高线，,PB PC 是ABC ∆外接圆O 的切线，点E 是PA 与圆O 的交点.（1）求证：AC CD AF PC ∙=∙； （2）求证：DC 平分ADE ∠.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.考点：圆幂定理等有关知识及运用．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点,M N 的极坐标；（2）设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆的面积的最大值.【答案】(1) 2cos ρθ=，)4π；(2)1.【解析】试题分析：(1)借助题设将建直角坐标化为极坐标求解；(2)借助题设条件参数方程建立目标函数求解.考点：极坐标方程和参数方程等知识及运用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-.（1）求不等式()2|1|f x x <++的解集；（2）已知,m n R +∈且112mn m n+=，求证：()()6mf n nf m +-≥. 【答案】(1) {|0}x x >；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助题设分类求解；(2)借助题设条件基本不等式推证. 试题解析:（1）依题意得：|3||1|2x x --+<，当3x >时，3(1)2x x --+<，∴42-<，满足题意，当13x -≤≤时，3(1)2x x --+<，即0x >，∴03x <≤，考点：绝对值不等式等有关知识及运用．。