旋转曲面
4.3旋转曲面
绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f y,
x2 z2 0
o
y
x
xoz平面上的曲线 C f ( x , z ) 0 y0 绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S S的方程为
f
o
z
C y
x, y2 z2 0
x
xoy平面上的曲线
f ( x, y ) 0 C z0
所求旋转曲面方程为
x y z 2 2 2 1 2 a a a b
2 2 2
x
P
M0
M
l1
这是由 xoz平面上的双曲线
x z 2 2 1 2 a a b y0
2 2
l2
y
O
z
x
绕z轴旋转而成的 单叶旋转双曲面.
z
y
写出下列旋转曲面的方程 (1) 母线
4 x 2 9 y 2 36 : z0
z0 z
2 0
2 2
y x y z z0 0 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2 0 0 0 y0 x 2 y 2 f ( y0 , z0 ) 0 x0 0 f x 2 y 2 , z 0 为S的方程
v i ( 1,0,0 ) 1X 0Y 0Z 0 X 0 v ( 0,Y , Z ) k (0,0,1) Y 0 可设 v ( 0,1, b )
故 l1 的方程为
x a y z 1 b 0
x a y z 设 l1 绕 l2 旋转,所成旋转曲面S l1 : 0 1 b x l1 M ( x , y , z ) 旋转曲面S P M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l1 使得 M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) k (0,0,1) M ( x, y, z )
旋转曲面
解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
43旋转曲面定义431在空间一条曲线绕着定直线旋转一
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
4.3旋转曲面 4.4椭球面
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
§3旋转曲面的面积
2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
空间几何中的旋转体与曲面
空间几何中的旋转体与曲面在空间几何学中，旋转体与曲面是两个重要的概念。
它们在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。
本文将介绍旋转体和曲面的基本概念、性质以及相关应用。
一、旋转体旋转体是指一个平面图形绕某条轴线旋转一周形成的立体图形。
其中，轴线一般为与平面图形平行且在平面图形上的一条线段。
旋转体的旋转轴可以是任意方向，但最常见的是绕坐标轴旋转。
常见的旋转体有圆柱体、圆锥体和球体等。
圆柱体是指一个平行于坐标轴的圆形截面绕着与圆形截面相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
圆锥体是指一个与坐标轴相交的锥面绕着与坐标轴相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
球体则是指一个半径为r的球面绕着与球面上一点相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。
旋转体具有一些重要的性质。
首先，旋转体的体积可以通过积分来计算。
对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算体积。
其次，旋转体的表面积也可以通过积分来计算。
对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算表面积。
最后，旋转体具有对称性，其旋转轴是旋转体上任意一点到旋转轴的垂直平分线。
旋转体在日常生活和工程设计中有广泛的应用。
例如，食品加工业中的螺旋输送器和搅拌机就是基于旋转体的原理设计的。
此外，在建筑设计中，许多建筑物的柱子、圆形窗户等也是基于旋转体的形状。
二、曲面曲面是指由平面曲线沿曲线上的点运动而成的曲线。
曲面可以是平面曲线在空间中沿其曲线方向上运动形成的曲面，也可以是曲线在空间中绕曲线旋转形成的曲面。
常见的曲面有圆锥曲面、椭球面和双曲面等。
圆锥曲面是指一个与坐标轴相交的锥面，其侧面是一条直线和一个圆锥交线。
椭球面是指一个椭球体的表面，主要用来描述地球的形状。
双曲面是指一个双曲抛物面或双曲抛物柱面的表面，其形状类似于双曲线。
曲面也具有一些重要的性质。
首先，曲面可以通过参数方程或隐函数方程来表示。
参数方程是指用一个或多个参数来表示曲面上的点，隐函数方程则是指用一个或多个未知数的方程来表示曲面上的点。
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导
推导旋转曲面的面积公式，需要先了解以下概念：
1. 旋转曲面：将平面上的一条曲线绕着某个轴旋转一周所形成的曲面。
2. 微元法：将曲面分为无数个微小的扇形，计算每个扇形的面积，再将所有扇形面积相加得到整个曲面的面积。
3. 弧长：曲线上两点之间的弧长表示曲线上这两点之间的距离，可用微元法表示为：
在了解以上概念后，就可以开始推导旋转曲面的面积公式了。
假设旋转曲面是由曲线y=f(x)在x轴上旋转一周所得到的，旋转曲面的微元面积dS可以表示为：
dS = 2πy*ds
其中，2πy表示曲线在旋转时所经过的弧度，ds表示曲线上微小的弧长。
由微元法可知，旋转曲面的面积公式为：
S = ∫ 2πy*ds
其中，积分区间为曲线上的所有点。
又由于弧长公式为：
ds = sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将ds带入面积公式，有：
S = ∫ 2πy*sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将y=f(x)带入公式中，可得：
S = ∫ 2πf(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx
这就是旋转曲面的面积公式。
4.3：旋转曲面
z
绕 z 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
b
x2 y 2 z 2 2 1 2 b c
y
x
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
y
绕 y 轴一周
0
z
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
2
由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母 线来产生旋转曲面. 因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线 （显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线. 在直角坐标系下导出旋转曲面 的方程时，我们又常把母线所
M1
l
在平面取作坐标面而旋转轴取 作坐标轴，这时旋转曲面的 方程具有特殊的形式.
M
P0
设旋转曲面的母线为
P0
l
设 M1 ( x1 , y1 , z1 )是母线 上的任意点，那么过 M 1的 纬圆总可以看成是: 过 M 1 且垂直于旋转轴 l 的平面
与以 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为中心,
P0 M 1 为半径 的球面的交线.
M1
M
P0
所以过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬线的方程为：
（7）
（8）
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，所以又有
x1 y1 z1 1 2 1 0
即
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x1 y1 z1
x1 2 y1 ,
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.
旋转曲面
z
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
o
y
.
x 例5
( y b )2 + z 2 = a 2 . 将圆 Γ : 绕 z 轴旋转. (b > a > 0) x = 0
环面
救生圈
.
y
例6 （1） ）
x2 y2 =1 + 将椭圆 Γ : a 2 b 2 ( a > b ) z = 0
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
z 例3 （1） ）
y2 z2 =1 将双曲线 Γ : b 2 c 2 绕虚轴 x = 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
.
b
x
0
z
y 2 x2 z 2 2 2 =1 2 b c c
双叶旋转双曲面
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
o
y
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
z
.
o
y
x
生活中见过这 个曲面吗？ 个曲面吗？
y 2 = 2 pz 例4 将抛物线 Γ : x = 0 绕它的对称轴旋转
o
b
y
.
x2 y2 z 2 + 2 2 =1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y 例3 （2） ）
y2 z2 将双曲线 Γ : b 2 c 2 = 1 绕实轴 x = 0 （即 y 轴）旋转
第二章第五节 旋转面、柱面和锥面
一、旋转面 二、柱面 三、和锥面
在右手直角坐标系下讨论
§5
旋转面、柱面和锥面
一、球面的普通方程 二、球面的参数方程，点的球面方程 三、曲面和曲线的普通方程 四、旋转面
5.1 旋转曲面 定义3.1 一条 曲线Γ 绕一条直 线l 旋转一周所 成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线l 叫旋转 曲面的轴， Γ 称为 旋转面的母线。．
0
0
0
0
满足的方程，即为所求 旋转曲面的方程。
任取l 上的点 M1 , | MM1 || M 0 M1 |
例2. 设旋转面的轴线 l 过点M 0 (1,3, 1) ， 平行于向量 u0 (1,1,1) ，准线 是过点 M1 (0, 2,1) 平行于向量 u1 (1, 1,1) 的直线 求此旋转面方程。 x y 2 z 1 解： 先写出准线 方程： 1 1 1 旋转轴 l : x 1 y 3 z 1 设旋转面上点 M ( x, y, z ) 由准线上点 M ( t , 2 t , 1 t ) 旋转而得。 M M u0 M M u0＝0
u (1,1,1) 或( 1,1,1)， (1, 1,1)， (1,1, 1)
设点 M ( x , y, z ) 在圆锥面上
cos OM , u cos e1 , u
P91 例2.16
2 2 2 2 | e1 u |( x y z ) x y z | OM v | | e v | | OM | 1 | u | xy yz 2 zx 2 0 | OM || u | | OM u | | OM |
柱面：（准线为坐标面上的线， 母线平行于坐标轴）
旋转曲面方程与柱面方程
3.抛物面方程
旋转抛物面zx2y2：
平面 xa 或 yb与曲面的
交线都是抛物线。
抛物面的图形演示
zx2y2
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第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
所表示的曲面叫做单叶双曲面．
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四、练第习四节 二次曲面
1.指出下列方程在平和面空中间中各表 什么样的图形？
(1)x 2；(2)y x1； (3)x2 y2 4．
2.说明下列旋转曲 样面 形是 成:怎 的 (1)x2 y2 z2 1；(2)x2y2z2 1．
454
现在是27页\一共有27页\编辑于星期六
O
x
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第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
3、抛物柱面
2.柱面方程
z
C:x22py0,
. 母线与z轴平行
O y
x
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二、二第次四曲节面二次曲面
常见二次曲面方程有球面方程， 椭球面方程(包括旋转椭球面方程)，
单叶双曲面方程 (包括单叶旋转双曲面
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
1. 椭圆柱面
C: x2 y2 1, a2 b2
母线L与z轴平行.
z
L
o
C
y
x
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第四节 二次曲面
球的旋转后的曲面表达式
球的旋转后的曲面表达式
平面曲线f(y，z)=0以Z为轴旋转一周，若y≥0，旋转曲面方程为f(√(x²+y²)，z)=0，若y<0，旋转曲面方程为f(-√(x²+y²)，z)=0。
旋转曲面方程
扩展资料
常见的曲面
1、球面
空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
（其中，定点称为球心，定长称为半径）
2、柱面
一条直线l沿着一个空间曲线C平行移动所形成的曲面。
（其中，
l称为母线，C称为准线）
方程：一个只含两个变量x，y的方程f(x,y)=0在空间中表示母线平行于z轴且准线为xOy面上的曲线f(x,y)=0的柱面。
（同理，方程
g(y,z)=0和h(x,z)=0在空间中分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面）
3、旋转面
一条曲线C绕一条直线l旋转所得的曲面。
（其中，曲线C为母线，直线l为旋转轴）
4、空间曲线
在直观上曲线可看成空间一个自由度的质点运动的轨迹。
5、投影柱面，投影曲线和投影
设空间曲线C，过曲线C上的每一点作xOy面的垂线，这些垂线形成一个母线平行于z轴且过C的柱面，称之为曲线C关于xOy面的投影柱面。
这个柱面与xOy面的交线称为曲线C在xOy面上的投影曲线。
曲线绕一条直线旋转的曲面方程
曲线绕一条直线旋转的曲面方程稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊“曲线绕一条直线旋转的曲面方程”这个有点神奇的话题。
你想啊，一条曲线，它本来就有自己独特的形状和姿态。
当它绕着一条直线转起来的时候，就像是在跳一场华丽的舞蹈，然后形成了一个全新的曲面。
比如说，假如有一条简单的抛物线，它就那么优雅地绕着一条定直线旋转。
这时候，它的每一个点都像是在努力地伸展自己，去拥抱新的空间，形成的曲面方程就变得有趣起来。
这个曲面方程可不是随随便便就能写出来的哟！得好好动动脑筋，用上咱们学过的那些数学知识。
要考虑曲线的方程，还有旋转的轴，以及旋转的角度等等好多因素。
想象一下，这就像是在搭建一个超级复杂的积木城堡，每一块积木的位置都要精心安排，才能让整个城堡完美呈现。
其实啊，当你真正搞懂了这个曲面方程，就会有一种恍然大悟的感觉，就像是解开了一个神秘的谜题，超级有成就感的！怎么样，是不是觉得这个话题其实也没那么枯燥，反而有点好玩啦？稿子二：哈喽呀！今天咱们来侃侃“曲线绕一条直线旋转的曲面方程”。
一提到这个，是不是感觉有点头大？别担心，让我来给你慢慢说道说道。
你看哈，曲线就像是一个调皮的小精灵，在空间里自由自在地舞动。
而那条直线呢，就像是它的舞台支柱。
当曲线围绕着直线旋转起来，那场面，简直太酷炫啦！比如说一个圆圆的曲线，它绕着一根直直的线转呀转，就会形成一个像大皮球一样的曲面。
这时候，我们就得用数学的魔法来描述这个神奇的过程，这就是曲面方程啦。
算这个方程的时候，可不能马虎。
要仔细琢磨曲线的特点，直线的位置，就像侦探破案一样，不放过任何一个小细节。
有时候，可能会觉得有点难，但是别放弃呀！每算出一个这样的方程，都像是给自己的数学宝库增添了一颗闪亮的宝石。
而且哦，当你以后看到一些奇妙的物体，说不定就能想到，哎呀，这不就是某个曲线绕直线旋转形成的嘛！是不是感觉很神奇？所以呀，别害怕这个看似复杂的概念，和我一起大胆地去探索它的奥秘吧！。
旋转曲面体积公式
旋转曲面体积公式在数学和物理领域，旋转曲面体积公式是一个重要的概念。
它不仅可以用于计算旋转曲面的体积，还可以应用于各种实际问题，如流体力学、地震学等领域。
本文将对旋转曲面体积公式进行详细阐述，并介绍其应用场景。
一、旋转曲面体积公式概述旋转曲面体积公式是指，在三维空间中，一个曲面绕着某个轴线旋转一周所形成的立体图形的体积。
设曲面方程为S(u,v)，旋转轴线为直线l，那么旋转后的立体图形体积V可以表示为：V=∫∫∫_S(u,v)×n(u,v)×dS，其中，n(u,v)表示曲面S在点(u,v)处的法向量，×表示向量叉乘，dS表示微小面积元。
二、旋转曲面体积公式的应用1.流体力学：在流体力学中，旋转曲面体积公式可用于计算流体在旋转管道中的流量。
通过测量管道内径和流速，可以估算出流体的流量。
2.地震学：在地震学中，旋转曲面体积公式可以用于计算地震震源区的应力场。
通过对地震波形进行分析，可以确定震源区的几何形状和物理参数，从而为地震研究提供依据。
3.机械工程：在机械工程中，旋转曲面体积公式可用于计算轴承、齿轮等旋转部件的润滑油膜厚度。
这对于确保旋转部件的正常工作和延长其使用寿命具有重要意义。
4.航空航天：在航空航天领域，旋转曲面体积公式可用于计算飞行器翼型的升力。
通过对翼型形状和气动参数进行优化，可以提高飞行器的性能。
5.生物医学：在生物医学中，旋转曲面体积公式可以用于计算人体器官的体积。
例如，在磁共振成像（MRI）中，可以通过测量器官的边界来估算其体积。
三、总结旋转曲面体积公式在数学和物理领域具有广泛的应用，从流体力学到生物医学，都能发挥重要作用。
深入理解和掌握旋转曲面体积公式，有助于解决实际问题，推动科学的发展。
同时，也为研究人员提供了一个强大的工具，用于研究各种自然现象和工程应用。
在今后的研究中，我们期待旋转曲面体积公式在更多领域发挥更大的作用。
旋转曲面的旋转轴
旋转曲面的旋转轴
旋转曲面的旋转轴是指沿着该轴进行旋转时，曲面保持不变或具有对称性的轴线。
旋转轴通常位于曲面的中心或轴线上，其选择取决于曲面的几何形状和对称性。
以下是一些常见旋转曲面及其旋转轴的例子：
1. 圆锥曲面：
-圆锥的旋转轴位于其对称轴上，即通过圆锥顶点和底面中心的直线。
2. 圆柱曲面：
-圆柱的旋转轴位于其对称轴上，即通过圆柱两个底面中心的直线。
3. 球面：
-球面的旋转轴可以是任何通过球心的直线，因为球面具有完全的旋转对称性。
4. 椭球面：
-椭球面的旋转轴通常位于两个焦点之间的直线上。
5. 长方体：
-长方体的旋转轴可以是通过任意两个对面中心的直线，因为长方体具有多个对称轴。
6. 圆环面（环面）：
-圆环面的旋转轴位于通过环面中心且垂直于环面的直线上。
需要注意的是，旋转曲面的旋转轴并不一定只有一个，有些曲面可能具有多个旋转轴或对称轴。
在分析旋转曲面时，了解旋转轴的位置和性质对于理解曲面的几何特征和旋转对称性是非常重要的。
通过确定旋转轴，可以简化曲面的分析和描述，并揭示曲面的几何和物理属性。
证明曲线是旋转曲面
证明一个曲线是旋转曲面步骤：
第一步，假设我们有一条已知的曲线C，这条曲线在平面上。
第二步，我们以这条曲线C所在的直线为轴，围绕它旋转360度。
第三步，我们观察旋转后的结果。
如果这条曲线C在旋转过程中始终保持与轴线相切，那么旋转后的结果就是一个旋转曲面。
第四步，进一步观察，我们发现这个旋转曲面上的任意一点都与轴线保持等距离。
这是因为曲线C在旋转过程中始终与轴线保持相切，所以它们的距离始终不变。
第五步，通过上述观察，我们可以得出结论：如果一个曲面上的任意一点都与某一直线保持等距离，那么这个曲面就是由这条曲线围绕该直线旋转而成的。
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20
旋转曲面方程的一般求法
i先写出过母线上任一点P1 x1, y1, z1 的纬圆 C的方程1,并写出其中参数x1, y1, z1应满足的 约束条件 2 ; ii由1,2消去参数x1, y1, z1,即得旋转曲面S的
空间解析几何
温州大学 教师教育学院 徐平
1
复习
§4 锥 面
1. 锥面的概念 2. 锥面的方程及求法 3. 顶点在原点的锥面方程 4. 锥面的判断
2
§5 旋转曲面
定义3.5.1 在空间中，一条曲线G绕定直
线l旋转一周所形成的曲面称为旋转曲
面。曲线G称为旋转曲面的母线，定
直线l称为旋转曲面的旋转轴，简称轴. 以轴l为边界的半平面与曲面的交线称 为经线，垂直于轴l的平面与曲面的交
X x
x1 x1
y y0 2 x0 2 Y y
z z0 2 y1 y0 2 y1 Z z
z1 z1
z0 2 0
这里P0 (x0, y0, z0)为(0, 0, 0) ，X=Y=0, Z=1，即
x2
y2
线称为纬线或纬圆.
3
旋转曲面的形成过程
播灯
4
旋转曲面的纬圆、经线与母线
由定义可知，若给定母线和 轴，则旋转曲面就完全确定. 显然，对于母线G上任一点
P1，在旋转过程中形成一个 圆，这就是过点P1的纬圆C, 当P1沿母线G移动时，纬圆C
随着变动. 因此，任何一个 旋转曲面都可以看作是由它 的一族纬圆所构成的曲面.
30
5.3 二次旋转曲面
在空间直角坐标系中,二次方程表示的旋 转曲面称为二次旋转曲面。
1、旋转椭球面——由椭圆绕它的对称轴旋转一周得 到的曲面
y2
椭圆
b2
z2 c2
1
10
x 0
绕z轴旋转而成的旋转椭球面的方程为
x2 b2
y2 b2
z2 c2
1
31
上述旋转椭球面的形状由b, c的大小决定：
母线为坐标面上的曲线,旋转轴为坐标轴的旋 转曲面：
定理3.5.2 设旋转曲面S的母线为yOz坐标面上
的曲线
:
F
(
y, z) x0
0
S的旋转轴为z轴,则旋转曲面S的方程为
F( x2 y2 , z) 0
23
一般的旋转曲面S的动纬圆C的方程为
x x0 2
z12
(x x1) ( y y1) (z z1) 0
再由
x1 2
y1 1
z1 1 0
得x1=2y1,
z1=1，
代入纬圆C所在平面的方程：
(x 2 y1) ( y y1) (z 1) 0 3y1 x y z 1
22
5.2 特殊位置的旋转曲面方程
方程F(x, y, z) 0.
21
例1.求直线 x y z 1 绕直线 x = y = z 旋转所
21 0 得的旋转曲面的方程。
设P1(x1,y1,z1)为母线上任意一点，因为旋转轴过
原点且方向向量为{1,1,1}, 所以过P1的纬圆C的
方程为
x2
y2
z2
x12
y12
(1 )旋转曲面S的动纬圆C的方程为 球面方程
x X
x0 2 x
x1 x1
y y0 2 x0 2 Y y
z z0 y1 y0 2 y1 Z
2
z
z1 z1
z0 2 0
1
垂直于旋转
25
推论3.5.1
设由坐标平面上的曲线G绕此坐标面内的某一
坐标轴旋转所产生的旋转曲面为 S，则 S 的方
程可如下确定：将曲线G在坐标面上的方程保 留与旋转轴同名的坐标，并以其它两个坐标 平方和的平方根来代替另一个坐标.
26
例2. 将坐标面yOz上圆
y R2 z2 r2 R r 0源自z2x12
y12
z12
y1
x2 y2 x12
z z1 0
z1 z
由
F
(
y1, x1
z1
) 0
0
F( x2 y2 , z) 0
24
如果把旋转轴改为y轴，则旋转曲面的方程是
F( y, x2 z2 ) 0 由此看出,为了得到yOz坐标面上曲线绕z轴 或y轴旋转所得的旋转曲面的方程,只要在的 方程F( y, z) 0中,保留与旋转轴同名的坐标,而 以其它两个坐标平方和的平方根来代替另一个 坐标.
x0
绕z轴旋转一周, 求所得的旋转曲面的方程.
27
圆环面方程 (x2 y2 z2 R2 r2 )2 4R2 (x2 z2 ) y
o
x
z
生活中见过这个曲面吗？ . .
28
救生圈
29
定理3.5.3 在空间直角坐标系中，形如
F(x2 y2, z) 0 F (x, y2 z2 ) 0 F(x2 z2, y) 0 的方程依次表示以z轴, x轴, y轴为旋转轴的旋转 曲面.
其中P1 (x1, y1, z1)为母线G上任意一点， 轴的平面
参数x1, y1, z1变动的约束条件为 母线G的方程
F1 F2
( x1 , ( x1 ,
y1, y1,
z1) z1)
0 0
2
P1 (x1, y1, z1)既在动纬圆C上又在母线G上。
19
(2 )由消去参数x1,y1,z1所得的方程
旋转曲面的每一条经线都可以作为它的母线，但母线 不一定是它的经线.
17
5.1 一般位置下的旋转曲面方程
定理3.5.1 设一旋转曲面S的母线为
:
F1 F2
(x, (x,
y, y,
z) z)
0 0
旋转轴为直线
l : x x0 y y0 z z0
P0
X
Y
Z
则有
18
b>c时，曲面以椭圆的短轴为旋转轴，得到扁
旋转椭球面，如左下图；
b<c时，曲面以椭圆的长轴为旋转轴，得到长
旋转椭球面，如右下图；
b=c时，即为球面。
32
2、旋转双曲面——由双曲线绕它的对称轴旋 转一周得到的曲面
y2
双曲线
b
2
z2 c2
1
x 0