旋转曲面

其中P1 (x1, y1, z1)为母线G上任意一点， 轴的平面
参数x1, y1, z1变动的约束条件为 母线G的方程

F1 F2
( x1 , ( x1 ,
y1, y1,
z1) z1)

0 0
2
P1 (x1, y1, z1)既在动纬圆C上又在母线G上。
19
(2 )由消去参数x1,y1,z1所得的方程
X x

x1 x1
y y0 2 x0 2 Y y
z z0 2 y1 y0 2 y1 Z z
z1 z1
z0 2 0
这里P0 (x0, y0, z0)为(0, 0, 0) ，X=Y=0, Z=1，即
x2

y2
25
推论3.5.1
设由坐标平面上的曲线G绕此坐标面内的某一
坐标轴旋转所产生的旋转曲面为 S，则 S 的方
程可如下确定：将曲线G在坐标面上的方程保 留与旋转轴同名的坐标，并以其它两个坐标 平方和的平方根来代替另一个坐标.
26
例2. 将坐标面yOz上圆
y R2 z2 r2 R r 0

z12
(x x1) ( y y1) (z z1) 0
再由
x1 2

y1 1

z1 1 0
得x1=2y1,
z1=1，
代入纬圆C所在平面的方程：
(x 2 y1) ( y y1) (z 1) 0 3y1 x y z 1
22
5.2 特殊位置的旋转曲面方程
方程F(x, y, z) 0.
21
例1.求直线 x y z 1 绕直线 x = y = z 旋转所
21 0 得的旋转曲面的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
设P1(x1,y1,z1)为母线上任意一点，因为旋转轴过
原点且方向向量为{1,1,1}, 所以过P1的纬圆C的
方程为
x2

y2

z2

x12

y12

z2

x12

y12

z12


y1


x2 y2 x12
z z1 0
z1 z
由

F
(
y1, x1
z1
) 0
0
F( x2 y2 , z) 0
24
如果把旋转轴改为y轴，则旋转曲面的方程是
F( y, x2 z2 ) 0 由此看出,为了得到yOz坐标面上曲线绕z轴 或y轴旋转所得的旋转曲面的方程,只要在的 方程F( y, z) 0中,保留与旋转轴同名的坐标,而 以其它两个坐标平方和的平方根来代替另一个 坐标.
旋转曲面的每一条经线都可以作为它的母线，但母线 不一定是它的经线.
17
5.1 一般位置下的旋转曲面方程
定理3.5.1 设一旋转曲面S的母线为

:

F1 F2
(x, (x,
y, y,
z) z)

0 0
旋转轴为直线
l : x x0 y y0 z z0
P0
X
Y
Z
则有
18
b>c时，曲面以椭圆的短轴为旋转轴，得到扁
旋转椭球面，如左下图；
b<c时，曲面以椭圆的长轴为旋转轴，得到长
旋转椭球面，如右下图；
b=c时，即为球面。
32
2、旋转双曲面——由双曲线绕它的对称轴旋 转一周得到的曲面
y2
双曲线

b
2

z2 c2
1
x 0
F(x, y, z) 0 为旋转曲面S的方程.
20
旋转曲面方程的一般求法
i先写出过母线上任一点P1 x1, y1, z1 的纬圆 C的方程1,并写出其中参数x1, y1, z1应满足的 约束条件 2 ; ii由1,2消去参数x1, y1, z1,即得旋转曲面S的
空间解析几何
温州大学 教师教育学院 徐平
1
复习
§4 锥 面
1. 锥面的概念 2. 锥面的方程及求法 3. 顶点在原点的锥面方程 4. 锥面的判断
2
§5 旋转曲面
定义3.5.1 在空间中，一条曲线G绕定直
线l旋转一周所形成的曲面称为旋转曲
面。曲线G称为旋转曲面的母线，定
直线l称为旋转曲面的旋转轴，简称轴. 以轴l为边界的半平面与曲面的交线称 为经线，垂直于轴l的平面与曲面的交
母线为坐标面上的曲线,旋转轴为坐标轴的旋 转曲面：
定理3.5.2 设旋转曲面S的母线为yOz坐标面上
的曲线

:
F
(
y, z) x0
0
S的旋转轴为z轴,则旋转曲面S的方程为
F( x2 y2 , z) 0
23
一般的旋转曲面S的动纬圆C的方程为


x x0 2
30
5.3 二次旋转曲面
在空间直角坐标系中,二次方程表示的旋 转曲面称为二次旋转曲面。
1、旋转椭球面——由椭圆绕它的对称轴旋转一周得 到的曲面
y2
椭圆

b2

z2 c2
1
10
x 0
绕z轴旋转而成的旋转椭球面的方程为
x2 b2

y2 b2

z2 c2
1
31
上述旋转椭球面的形状由b, c的大小决定：
(1 )旋转曲面S的动纬圆C的方程为 球面方程


x X
x0 2 x

x1 x1
y y0 2 x0 2 Y y
z z0 y1 y0 2 y1 Z
2
z
z1 z1
z0 2 0
1
垂直于旋转


x0
绕z轴旋转一周, 求所得的旋转曲面的方程.
27
圆环面方程 (x2 y2 z2 R2 r2 )2 4R2 (x2 z2 ) y
o
x
z
生活中见过这个曲面吗？ . .
28
救生圈
29
定理3.5.3 在空间直角坐标系中，形如
F(x2 y2, z) 0 F (x, y2 z2 ) 0 F(x2 z2, y) 0 的方程依次表示以z轴, x轴, y轴为旋转轴的旋转 曲面.
线称为纬线或纬圆.
3
旋转曲面的形成过程
播灯
4
旋转曲面的纬圆、经线与母线
由定义可知，若给定母线和 轴，则旋转曲面就完全确定. 显然，对于母线G上任一点
P1，在旋转过程中形成一个 圆，这就是过点P1的纬圆C, 当P1沿母线G移动时，纬圆C
随着变动. 因此，任何一个 旋转曲面都可以看作是由它 的一族纬圆所构成的曲面.