五年级数学培优之速算与巧算

第一讲速算与巧算

知识要点与学法指导：

1. 利用定律、性质进行速算，提高计算能力。

2. 引导学生发现数据特征，运用运算定律进行简单巧算。

3．让学生会运用“凑整”、“分拆”的方法进行简便运算。

4. 加、减法的一些运算性质：

(1)a＋(b＋c)＝a＋b＋c

(2)a＋(b－c)＝a＋b－c

(3)a－(b＋c)＝a－b－c

(4)a－(b－c)＝a－b＋c

例1巧算下列各题：

（1）219＋648＋51－138－548－62

（2）100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋……＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1

【分析与解】

观察这个算式，可以发现219和51相加凑整，648和548相减凑整，再利用减法性质a－b－c＝a－（b＋c），使138＋62也凑整。

所以：

解：（1）原式＝（219＋51）＋（648－548）－（138＋62）

＝270＋100－200

＝170

这道题是100以内自然数的加减，共有100个数进行加减，直接计算显然太烦琐，题目中的运算符号，是按两加两减的规律排列的，可按每两个数一组进行分组，正好所得的差都是2。所以：解：（2）原式＝（100－98）＋（99－97）＋（96－94）

＋（95－93）＋……＋（8－6）＋（7－5）

＋（4－2）＋（3－1）

＝2×50

＝100

如果从第二个数开始每连续的4个数为一组，可以分为：100＋（99－98－97＋96）＋（95－94－93＋92）＋……＋（3－2－1）。你会计算吗？

想一想：还有没有其他的巧解方法？（从第一个数开始，每相邻的4个数为一组）

试一试1

（1）198＋394－94＋2＋81

（2）100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－1

例2 巧算下列各题。

（1）348－179 （2）2356－（256＋159）

【分析与解】

可以先把179分拆，拆成有一个和被减数尾数相同的数，再进行计算。

解：（1）原式＝348－148－31

＝200－31

＝169

【分析与解】

可以把括号内的数凑成和被减数尾数相同的数，再利用减法性质：a－(b＋c)＝a－b－c使运算简便。

解：（2）原式＝2356－（256＋100＋59）

＝2356－356－59

＝2000－59

＝1941

试一试2

（1）938－589 （2）4636－（436＋281）

以上两题运用的是“凑整”和“拆分”的方法，使运算简便。

例3 计算：599996＋49997＋3998＋407＋89

【分析与解】

观察这道题目，每个加数它们都是接近整十万、整万、整千……的数，可以先把它们转化为整十、整百的数减去一个数的形式，再把整十、整百的数和减去的那个数分别计算。

解：原式＝（600000－4）＋（50000－3）＋（4000－2）＋

（400＋7）＋（90－1）

＝654490－4－3－2＋7－1

＝654487

试一试3 98＋998＋9998

乘法运算中可以运用交换律、结合律和分配律，使运算简便。

即：乘法交换律：a×b＝b×a；

乘法结合律：a×b×c ＝（a×b）×c

＝a×（b×c）；

乘法分配律：（a±b）×c＝a×c±b×c

例4巧算下列各题：

（1）18×4×25 （3）125×（10＋8）

（2）125×（16×8）（4）（20－4）×25

【分析与解】

利用乘法结合律，先算4×25，再算18×100。（2）题也是这样的特点。

解：（1）原式＝18×（4×25）

＝18×100

＝1800

解：（2）原式＝（125×8）×16

＝1000×16

＝16000

【分析与解】

（3）、（4）题都是直接运用乘法分配律进行计算的，乘法对加法的分配律，也适用于减法。

解：（3）原式＝125×10＋125×8

＝1250＋1000

＝2250

（4）原式＝20×25－4×25

＝500－100

＝400

有些题目可以将乘法分配律反过来使用，即

a×b±a×c＝a×（b±c）。

这个公式极为常用，一定要掌握。

试一试4

（1）125×72 （2）153×25＋25×47

（3）67×54＋67×45＋67

例5巧算下列各题：

（1）17×21

（2）11111×99999

（3）275÷25

【分析与解】

（1）题把21转化成20＋1，就也可以运用乘法分配律计算了。而（2）中的99999可以写成10000－1的形式，再运用乘法分配律进行计算。

解：（1）原式＝17×（20＋1）

＝340＋17

＝357

解法一

解：（2）原式＝11111×（100000－1）

＝1111100000－11111

＝1111088889

这里再介绍一种一个数乘11、111、1111……的简便算法，11、111、1111……可以表示为10＋1，100＋10＋1，1000＋100＋10＋1……的形式，再运用乘法分配律进行计算，可以使计算简便。所以：

解法二：原式＝99999×（10000＋1000＋100＋10＋1）

＝999990000＋99999000＋9999900

＋999990＋9999

＝1111088889

【分析与解】

（3）从题目中可以看出，除数如果扩大4倍，变成100，可以使运算简便；根据商不变性质，“被除数和除数同时乘或除以相同的非零数，商不变，”把被除数和除数同时乘4，所以：

解：（3）原式＝（275×4）÷（25×4）

＝1100÷100

＝11

试一试5

（1）25×24 （2）9999×2222

（3）132476×111 （4）1375÷125