第九章 二重积分习题课

2. 选择坐标系,确定积分限 2. 选择 3. 计算
一 基本要求
1. 二重积分的定义
函数 f ( x, y )在D上连续, 存在定理： D是平面有界闭域，
则 f ( x, y )在D上可积.
定义：
f ( x, y)在D上的二重积分为
I
f ( x , y )d
D
lim f ( i , i )Δ i
(D)
3
1 2
3.计算 (1) 设 f ( x , y )连 续 ， 且 f ( x , y ) xy f (u, v )dudv ，
D
其 中 D是 由y 0, y x 2 , x 1所 围 成 的 闭 区 域 . 求 f ( x, y ) ?
(2) 计 算 ： I (3)
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例6. 计算二重积分
线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A

1
y 1 y
3
0
dy
y
0
xdx
2 1 . 3
2. 选择合适的坐标系积分 例2 计算
I

a
a
e
x
2
dx
a2 x2
2 2
a x
e
y2
dy
.
解： 极坐标系 x r cos y r sin
I



a
a
dx
a2 x2
a2 x
D1
其中D1是D在上半平面的部分.
*证明
(2)若积分区域D关于y 轴对称，而 f (x,y)是x的奇(偶)函数， 0 当 f (–x, y)= – f (x,y) 则 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d 当 f (–x,y)= f (x,y) D
D2
其中D2是D在右半平面的部分.
设 D = D1 + D2
其中D2是D在下半平面的部分.
因为域D关于x轴对称， ∴取定x=x0时，相应的D的
边界上的点必互为对称点。 ∴纵坐标满足：
b
x
y
a x b D可表示为 ( x ) y ( x ) –(x0) 定积分性质 若 f ( x , y ) f ( x , y ) 0 ( x) ( x ) f ( x, y )dy 2 ( x ) f ( x, y )dy 若 f ( x, y ) f ( x, y ) 0
(1)若积分区域D关于x轴对称，而 f (x,y)是y的奇(偶)函数， 0 当 f (x, –y)= – f (x,y) 则 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d 当 f (x, –y)= f (x,y) D
D1
其中D1是D在上半平面的部分.
证明：
(x0)
D1 o a
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x 2 d x d y x ye
D
D
d xd y
1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
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y
o
D 1x
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[5 (1) 3 2] A 9
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
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例7. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， 0 y 1 D
1 x
d x 2 d y d x
1
1
2 dy 3
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(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
y 1
作辅助线 y x 将D 分成
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
π 2 0
D1 o D2 y –a
I = 2 xy d 2 d 0 r 4 cos sin 2 dr
2
a
a
D1
2 5 a . 15
. . . .
x
（ D关于x轴对称，xy2是y的偶函数）
r 2a cos
（ 选什么系？） （ 选极坐标系）
.
D
o y a (a,a) D o a 2a x 2a x
D2
D
x0
( x0 ) y ( x0 ) .
f ( x , y )d

b
a
dx
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
x y e
D1
x2 y2
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
2 1
(A) I1 I2
x 2 y 2 1
| xy | dxdy ,
I2
| x | | y | 1
| xy | dxdy ,
(D) I1 > I2
则下列关系式成立的是：
(B) I1 I2
(C) I1 < I2
答:（D）
(2) 记 I
2 I2 (A) 3
1 dxdy , 2 2 | x|| y|1 1 cos x sin y
y 2x
2
因积分区域 D 关于 x 轴对称；
被积函数
o
f ( x, y ) y a 2 x 2
是 y 的奇函数 ,
D
x =1
x
I
2 2 y a x d 0. D
例4
I
| x | | y | e d D
D : | x | a , | y | a .
0
i 1
n
(1)
(为子域 i(i 1,2, ... ,n ) 中直径的最大者)
几何意义： 当 f (x,y) 0时，(1)式表示： 以 z = f (x,y)为曲顶, x0y平面上的域D为底的曲顶柱体的体积。 特殊情况： 若在域 D上
则
D
f (x,y) 1
. .
d = 域 D 的面积.
(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
D
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
D2
d xd y
x2 0
o D2
.
2. 二重积分的性质
除了一般性质， 特别要了解比较定理、估值定理、 中值定理这三个性质。
设 f(x,y), g(x,y) 在有界闭域 D 上可积 : 比较定理:
若在域 D上，
f (x,y) g(x,y),
则
f ( x , y )d g( x , y )d
D D
估值定理: 设 M, m为 f (x,y) 在 D上的最大值和最小值，s 是 D 的面积，
第九章
二重积分

第六章 重积分
一 基本要求 1. 正确理解 二重积分 2. 了解二重积分的性质。 3. 熟练掌握二重积分的计算方法。 (1)直角坐标系下 (2) 极坐标系下 (4)问题与注意 5 会用二重积分计算曲面的面积、立体的体积； 以及平面薄片的质量； 二 典型例题 1. 积分换序 三 课堂练习 1. 填空
由对称性，
a x a
设 D1是D在第一象限的部分.
I 4 e
D1
x y
y d 40 e dx 0 e dy
. . .
4(1 e ) .
2
a
例5. 计算二重积分 I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
D
(3) 设 I

D
1 f ( x , y )dxdy , 其中域 D ( x , y ) y x , 1 x 2 , x
π 4 2 cos
.
则在极坐标下的二次积分为
I

1 arctan 4
d
1
f ( r cos , r sin )rdr
(3)若D分别关于x 轴、y轴对称，而 f (x,y)关于x,y同时为偶函数，
则
f ( x , y )d
D
4 f ( x , y )d
D3
当 f (–x,y)= f (x,y) 且f (x,–y)= f (x,y)
. . .
其中D3是D在第一象限的部分.
举例如下
例3
y
2 2 y a x d D
则 ms
f ( x , y )d Ms
D
中值定理: 设 f (x,y) 在有界闭域 D 上连续， 则点( , )D,
使
f ( x , y )d
D
f ( , ) s
3. 二重积分的计算
计算方法： 化二重积分为二次积分. 问题： (1)根据什么选择坐标系？
根据被积函数和积分区域的特点。
二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式
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典型例题 1. 积分换序 例1 计算
I
dx
0
1
1
xy 1 y
3
x2
dy
此题必须换序。 换序：I 因为原函数不能用初等函数表示。
a r 2
e 2
x2 y2
dy
a2
.
2π
0
d e
0
rdr π (1 e
).
(1)若积分区域D关于x 轴 对称，而 f (x,y)是 y 的奇(偶)函数， 0 当 f (x, –y)= – f (x,y) 则 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d 当 f (x, –y)= f (x,y) D
I=

π 2 0
d
2 a cosθ
0
r cos θ r sin θ rdr
2 2

π 5 a . 8
(选什么系?) (直角系) (先对 哪个变量积分?) (先对x)
I=

a
0
dy
2a y
yБайду номын сангаас
xy2 dx 1 a 5 .
6
1(2) 设D是矩形域：– x , –1 y 1 .则 ( 2 sin y )d 8
(2)根据什么选择积分次序？ 根据积分区域 D 的边界的特点： 原则：分块尽可能少，并且积分上、下限简单； 容易根据第一次积分结果计算第二次积分。 注意： (1)无论在什么坐标系下， 转化成二次积分计算时， 积分的下限要小于积分的上限。 (2)灵活运用二重积分的性质简化计算过程。 (3)善于利用被积函数在对称积分区域上的奇偶性 简化计算。具体如下：
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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三 课堂练习 1.填空 (1)计算 I
y a
2 xy d D
其中D分别为:
D2
–a o a y
D1
a x
I= 0
（积分域D关于y轴对称，xy2是x的奇函数）
(B) 2 I 3
则 I 满足（ A ）.
1 2
(D) 1 I 0
(C) 0 I
(3) 设 D : x 2 y 2 a 2 (a 0) ,当 a _____ B 时，有：

D
a 2 x 2 y 2 dxdy π
(B)
3
(A)
1
3 2
(C)
3
3 4
. .
sin cos
(4) 交换二次积分的积分顺序：

(5)
0
1
dy
1 y
2
f ( x , y )dx

2
1
dx
1 x
0
f ( x, y )dy
–
.
.
ε 0
lim
2
ε x y 1

2
ln(x 2 y 2 )dxdy
2
.
2.选择 (1) 记 I 1
I

1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy
2 2
2 2
y
y x
1
y y
e dx
y x

D
x2 y2 4a x y
2
dxdy , 其 中D是 由 曲 线
y a a 2 x 2 和 直 线 y x 围 成 的 闭 区 域 .
.
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