2020年高考数学专题训练——第46讲 填空题压轴题精选

当 ∈( ,－2)∪( ,+∞)时， ＜0，
∴ 在（－∞， ）单调递增，在（ ，－2）单调递减，在（－2， ）单调递增，在（ ，+∞）单调递减，故当 = 和 = 时取极大值， = =16。
10、已知正数 满足： 则 的取值范围是。
【答案】：[e，7]
【解析】：由已知条件 可化为：
。
设 ，则题目转化为：
① 为增函数，满足条件；
②函数 在定义域上不单调，不满足条件；
③ ， ，函数在R上单调递增，满足条件；
④ ，当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件。
综上满足“H函数”的函数为①③。
2、定义在R上的 ，满足 且 ，则 的值为。
【答案】：1006
【解析】：①令 ，有 ；令 ，有 ；
故x=e时，函数取得最大值 ，即 的最大值为 。
10、在平面直角坐标系 中,设定点 ， 是函数 ( )图象上一动点，若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为_______。
【答案】：-1或
【解析】：由题意设 则有
令 ，则 ，对称轴 ；
（1）当 时， ；
因为点 之间的最短距离为 ，则有 ；
与圆有两个交点，故 也应该与圆有两个交点，
由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，
两种相切分别对应 ，由图可知，m的取值
范围应是 。
9、已知函数 ，存在 ，使得 ，则的 最大值为_________。
【答案】：
【解析】：由题意 ，则 ，
又 ，故令 y，则 ，
当 时， ，当 ， ；
从而函数在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， 可得 ；
由 ， 可得 ；
……
由 ， 可得 ；
从而
又 ， ， ，…， ， ，
所以
；
从而 ；
因此 。
7、已知 点为圆 与圆 的公共点， ， ，若 ，则点 与直线 ： 上任意一点 之间的距离的最小值为。
【答案】：2
【解析】：设 则圆 ，
圆 ， ；
故 是关于 的方程 的两根；
因此由韦达定理得 ，所以点 在圆 上，其到直线 距离就是点 与直线 上任意一点 之间的距离的最小值，为
解得： 或 （舍去）；
（2）当 时， ，则有 ；
解得： 或 （舍去）；
综上 或 。
B组
1、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a，b，c， ，则 =_________。
【答案】：4
【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有： ， ， ，
(4)由(3) 得 = ，则 ，设 ，有 ， 使其函数值相等，则 不恒为单调。
， ， 恒成立， 单调递增且 ， 。所以 先减后增，满足题意，所以正确。
10、设函数
(56)记集合 ,则 所对应的 的零点的取值集合为___________；
(2)若_ __________。(写出所有正确结论的序号)
若
【答案】：(1) (2)
【解析】：取x=1，y=0得
法一：通过计算 ，寻得周期为6。
法二：取x=n ，y=1，有 ，
同理
联立得：
故 。
6、已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形 的面积的最大值为。
【答案】：5
【解析】:如图连接OA、OD作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，
设圆心O到AC、BD的距离分别为 ，
已知 满足 ，求 的取值范围。
作出（ ）所在平面区域（如图）。求出 的切
线的斜率 ，设过切点 的切线为 ，
则 ，要使它最小，须 。
从而 的最小值在 处，为 。此时，点 在 上 之间。
当（ ）对应点 时， ，
则 的最大值在 处且
故 的取值范围为 ，即 的取值范围是 。
C组
1、设 ， 为单位向量，非零向量 ， ， 。若 ， 的夹角为 ，则 的最大值等于__________。
方法二：显然 ，所以 ；
令 ，则 ；
因为 ，所以 ；
结合图象可得 或 。
9、若函数 = 的图像关于直线 对称，则 的最大值是______。
【答案】：16
【解析】由 图像关于直线 =－2对称，则
0= = ，
0= = ，解得 =8， =15，
∴ = ，
∴ = =
=
当 ∈(－∞, )∪(－2, )时， ＞0，
因为AC⊥BD于M，则四边形OEMF为矩形；
又点 ，从而有 ；
则四边形ABCD的面积为 ，
当且仅当 时取等号；
故四边形 的面积的最大值为5。
7、（15年福建理科）已知
【答案】：13
【解析】：由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0，0)，B( ，0)，C(0，t)，
因为 ，则P（1，4）；
从而 ；
则 ，
【答案】：
【解析】：如图所示，延长BA，CD交于点E，
则在△ADE中，∠DAE=105∘，∠ADE=45∘，∠E=30∘；
设 ，
因为BC=2，则 ；
从而 ；
则有 ，
又 ；
故 的取值范围是 。
6、数列 满足 ，则 的前 项和为
。
【答案】：1830
【解析】：因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
……， ， ， 。
(3) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 ;
(4) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 .
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。
【答案】：(1) (4)
【解析】：(1)设 > ，函数 单调递增，所有 > ， - >0，
则 = >0，所以正确；
(2)设 > ,则 - >0,则
， = 4。
（方法二） ，
由正弦定理，上式 。
2、过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P、Q两点，则 的值为___________。
【答案】：
【解析】：
代入 得：
设
又
3、已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为。
【答案】：
【解析】：因为在△ABC中，a=2，
则根据正弦定理可得 ，即 ；
当且仅当 ，即 时等号成立；
故 的最大值为13。
8、已知函数 ， .若方程 恰有4个互异的实数根，则实数 的取值范围为__________。
【答案】： 或
【解析】：方法一：显然 .
（1）当 与 相切时， ，此时 恰有3个互异的实数根；
（2）当直线 与函数 相切时， ，此时 恰有2个互异的实数根；
结合图象可知 或 。
【解析】：(1)由题意知 ,所以方程 可化为 ,即 又 ,所以当 时 此时 ;当 时 ,无解.所以 的零点的取值集合为 。
(8)①令 ，
则 ，因为 所以 ，
即 ，所以 是单调递减函数，所以在 上 ，
又 ，
所以
②又因为 是单调递减函数，所以在 一定存在零点 ,即 ,此时 不能构成三角形的三边.
③ 由余弦定理易知 ,即 ,又 ，且 连续，所以 故 都正确。
，可令 =1， =2，
，则 ，所以错误；
(3)因为 ，由（2）得： ，分母乘到右边，右边即为 ，所以原等式即为 = ，
即为 = ，令 ，
则原题意转化为对于任意的 ，函数 存在不相等的实数 ， 使得函数值相等， ，则 ，则 ，
令 ，且 ，可得 为极小值。若 ，则 ，即 ， 单调递增，不满足题意，所以错误。
【答案】：2
【解析】：由已知 ；
则 ，当x＝0时， ；
当x≠0时， ；
故 的最大值为2。
2、在面积为2的 中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则 的最小值是________。
【答案】：
【解析】：由题设知， 的面积为1，以B为原点，BC所在直线为 轴，过点B与直线BC垂直的直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ，
【答案】：
【解析】：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），
从而 ， ，设 ，
因为
则有 ，解得 ；
从而 ；
又因为 ，则 ，
故当 取最大值1时， 。
5、（2015全国一卷16）在平面四边形ABCD中 则AB的取值范围是________。
【答案】：
【解析】：由 ，得 ，所以 .
由题设得 ，
所以 。
6、（2016全国一卷16）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则b=。
【答案】：
【解析】：设 与 和 的切点分别为 ， ；
由导数的几何意义知 ，则有 ；
又切点在曲线上，可得 ；
联立解得
从而由 得出 。
7、已知椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是 ，若 （0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是。
则 ；
从而 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值是 。
3、已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是。
【答案】：(1， )
【解析】：方法一：因为在 中，由正弦定理得
则由已知，得 ，即 ，且知点P在双曲线的右支上；
设点 由焦点半径公式，得 ，
则有 ，解得 ；
由基本不等式可得 ，则 ，当且仅当b=c=2时取等号；
此时△ABC为等边三角形，它的面积为 。
4、设 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则不等式 的解集为。
【答案】：
【分析】：令 ，则 ，则 为增函数，
不等式 可化为 ，